DIKTAT MATEMATIKA DISKRET 2

Prof. BELAWATI H. WIDJAJA, Ph.D

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS INDONESIA

2009

1

TEORI GRAF Daftar Isi Bab I Terminologi Bab II Representasi Graf Bab III Isomorfisme Bab IV Listasan dan Sirkuit Bab V Keterhubungan Bab VI Lintasan Euler dan Sirkuit Euler Bab VII Lintasan Hamilton dan Sirkuit Hamilton Bab VIII Lintasan Terpendek Bab IX Graf Planar Bab X Pewarnaan BAB I. Terminologi Terminologi atau istilah-istilah tentang graf belum baku, maka istilah-istilah yang akan dipakai di diktat ini akan didefinisikan terlebih dahulu. (1) Definisi: Suatu graf (graph) G adalah sebuah triplet (V, E, f ), dan dinyatakan sebagai G = (V, E, f ). V adalah sebuah himpunan tidak kosong, yang unsur-unsurnya disebut verteks atau simpul (vertex), E adalah sebuah himpunan yang unsur-unsurnya disebut sisi atau busur (edge), dan f adalah sebuah fungsi dengan daerah definisi (domain) E dan daerah jelajah (codomain) V x V. Jadi, untuk setiap sisi e E berkaitan dengan dua verteks, yaitu f(e) = (u, v) dengan u V dan v V. Jika (u, v) dipandang sebagai pasangan tak terurut, maka G disebut graf tak berarah (undirected graph). Jika (u, v) dipandang sebagai pasangan terurut, maka G disebut graf berarah (directed graph, digraph). Dua sisi e1 E dan e2 E dikatakan sisi sejajar atau sisi ganda (parallel edge) apabila f(e1) = f(e2) = (v, w). Sebuah sisi e3 disebutkan sebuah gelang (loop), jika f(e3) = (x, x) untuk suatu x V. Himpunan verteks V sebuah graf G = (V, E, f ) tidak boleh merupakan himpunan kosong, sedangkan himpunan sisi E boleh merupakan himpunan kosong , dalam hal ini f() = . Himpunan V dan himpunan E boleh merupakan himpunan tak berhingga. Jika V dan E merupakan himpunan berhingga, maka graf G disebut graf berhingga, jika V atau E atau kedua-duanya tak berhingga, maka graf G disebut graf tak berhingga. Di sini yang dibicarakan hanya graf berhingga, dan jika tidak disebutkan graf berarah, yang diartikan dengan graf adalah graf tak berarah.

2

Sebuah graf G boleh dinyatakan oleh G = (V, E), dengan pengertian bahwa E merupakan himpunan hasil pemetaan f tadi. Berikut ini akan diberikan contoh-contoh. Contoh: C.1. G1 = (V, E, f ) dengan e5 V = {v1, v2, v3, v4, v5}, v1 e1 v2 E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}, dan e4 f : E V x V sebagai berikut: v3 e2 v4 f(e1)=(v1,v2), f(e2)=(v3,v4), f(e3)=(v1,v5), e6 e3 f(e4)=(v2,v4), f(e5)=(v1,v2), f(e6)=(v3,v3). v5 Gambar 1. Graf G1 G1 juga dapat dinyatakan sebagai G1 = (V, E) dengan V = {v1, v2, v3, v4, v5}, E = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v2,v4), (v1,v2), (v3,v3)}. G1 adalah sebuah graf dengan 5 verteks dan 6 sisi dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 1. Sisi e6 adalah sebuah gelang, sisi e1 dan sisi e5 merupakan dua sisi ganda. C.2. G2 = (V, E, f ) dengan e6 V = {v1, v2, v3, v4, v5}, E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}, dan v1 e1 v2 f : E V x V sebagai berikut: e3 e5 e4 f(e1)=(v1,v2), f(e2)=(v3,v4), f(e3)=(v1,v5), v3 e2 v4 f(e4)=(v2,v4), f(e5)=(v1,v5), f(e6)=(v1,v2). v5 G2 juga dapat dinyatakan sebagai G2 = (V, E) dengan Gambar 2. Graf G2 V = {v1, v2, v3, v4, v5}, E = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v2,v4), (v1,v5), (v1,v2)}. G2 adalah sebuah graf yang memiliki sisi ganda e1 dengan e6, dan e3 dengan e5, tetapi G2 tak memiliki gelang seperti terlihat pada Gambar 2. C.3. G3 = (V, E) dengan v1 v2 V = {v1, v2, v3, v4, v5}, dan E = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v1,v4), (v2,v5), (v2,v4)}. v3 v4 G3 adalah sebuah graf tanpa sisi ganda maupun v5 gelang, seperti terlihat pada Gambar 3. Gambar 3. Graf G3 Dari tiga contoh di atas, timbul gagasan untuk mengklasifikasikan graf dalam beberapa jenis, seperti yang diberikan pada definisi berikut.

3

(2) Definisi: Graf G = (V, E, f ) disebutkan graf sederhana (simple graph) jika G tidak memiliki sisi-sisi ganda maupun gelang. Dengan perkataan lain, G adalah sebuah graf sederhana, apabila berlaku f(e1) f(e2) untuk setiap dua sisi e1 dan e2, dan untuk setiap e E dengan f(e) = (u, v) berlaku u v. Graf G = (V, E, f ) disebut graf ganda atau multigraf (multigraph) jika G tidak memiliki gelang. Dengan perkataan lain, G adalah sebuah graf ganda, apabila utk setiap e E dengan f(e) = (u, v) berlaku u v. Sebuah graf G = (V, E) sembarang disebut graf samaran (pseudograph). Sebuah graf berarah G = (V, E, f ) disebut graf berarah sederhana, disingkat dengan graf berarah (digraph) saja, jika berlaku f(e1) f(e2) untuk setiap dua sisi e1 dan e2. Sebuah graf berarah G = (V, E, f ) sembarang disebut multigraf berarah (multidigraph). Jadi, jika S adalah himpunan semua graf sederhana, M adalah himpunan semua multigraf dan P adalah himpunan semua graf samaran, maka berlaku S M P. Jika D adalah himpunan semua graf berarah dan MD adalah himpunan semua multigraf berarah, maka berlaku D MD. Berdasarkan definisi (2), semua graf pada contoh C.1., C.2. dan C.3. adalah graf samaran. Graf G2 pada contoh C.2 dan graf G3 pada contoh C.3 adalah graf ganda atau multigraf. Graf G3 pada contoh C.3 adalah graf sederhana. Contoh: C.4. Misalkan dalam suatu program terdapat 6 buah pernyataan: P1: x := 0 P2: y := 1 P1 P3 P5 P3: z := x + y P4: u := x + 2 P2 P4 P6 P5: v := u + 1 P6: z := z + u Gambar 4. Graf Precedence G4 Ketergantung pernyataan Pi pada hasil eksekusi pernyataan lainnya dapat dimodelkan dalam suatu graf berarah yang disebut graf precedence (Precedence graph) G4 = (V, E), dengan V = {P1, P2, P3, P4, P5, P6} dan (Pi, Pj) E apabila pernyataan Pj tidak dapat dilaksanakan sebelum pernyataan Pi selesai dilaksanakan. Untuk contoh ini, precedence graph G4, yang digambarkan seperti pada Gambar 4 adalah sebagai berikut: G4 = (V, E) dengan V = {P1, P2, P3, P4, P5, P6} dan E = {(P1,P3), (P2,P3), (P1,P4), (P4,P5), (P3,P6), (P4,P6)}. (3) Definisi: Dalam sebuah graf G = (V, E), dua verteks u dan v dikatakan bersisian (adjacent) jika (u, v) E. Jika e = (u, v) E, maka dikatakan bahwa sisi e bertumpuan pada (incident with) verteks u dan v, atau u dan v disebut titik-titik ujung (endpoints) dari sisi e = (u, v) itu. Dalam sebuah graf berarah G* = (V*, E*), jika e* = (u*, v*) E*, maka u* disebut verteks-awal (initial vertex) sisi e* dan v* disebut verteks-akhir (terminal vertex) sisi e*.

4

(4) Definisi: Derajat (degree) suatu verteks v dalam suatu graf G, dinyatakan oleh deg(v) adalah jumlah sisi-sisi yang bertumpuan pada verteks v itu. Suatu gelang memberikan kontribusi 2 kepada derajat verteks yang bersangkutan. Suatu verteks u di G disebut verteks terisolasi (isolated vertex) apabila deg(u) = 0, dan verteks w di G disebut sebuah gandul (pendant) apabila deg(w) = 1. Dalam graf berarah G* = (V*, E*), untuk setiap verteks v* didefinisikan derajat-masuk (in-degree) dari v*, dinyatakan oleh deg(v*), dan derajat-keluar (out-degree) dari v*, dinyatakan deg+(v*). deg(v*) adalah jumlah sisi dengan v* sebagai verteks-akhirnya dan deg+(v*) adalah jumlah sisi dengan v* sebagai verteks-awalnya. Jumlah derajat semua verteks suatu graf dapat ditentukan dari jumlah sisi pada graf yang bersangkutan, hal ini dinyatakan dalam teorema berikut. (5) Teorema: Jumlah derajat semua verteks dalam sebuah graf sama dengan dua kali jumlah sisi graf tersebut. Bukti: Misalkan graf G = (V, E) dengan V = {v1, v2, vn} dan E = {e1, e2, em}, berarti jumlah verteks = V= n dan jumlah sisi = E= m. Setiap sisi ei E bertumpuan pada 2 verteks, berarti setiap sisi memberi kontribusi 2 kepada jumlah derajat semua verteks.

Jadi, 1deg( )

ni

iv

= = 2 m.

Contoh: C.5. e5 Tentukan derajat masing-masing verteks graf A e1 B e6 C G5 = (V, E) pada Gambar 5. e2 e3 e4 e8 e7 Jawaban: D e9 E F V = {A, B, C, D, E, F} e10 E = {e1 = (A, B), e2 = (A, D), e3 = (A, D), e4 = (A, E), e11 e5 = (B, B), e6 = (B, C), e7 = (B, D), e8 = (B, E),

e9 = (D, E), e10 = (D, E), e11 = (D, E)} Gambar 5. Graf G5 maka deg(A) = 4, deg(B) = 6, deg(C) = 1,

deg(D) = 6, deg(E) = 5 dan deg(F) = 0. Jumlah sisi = E= 11, dan Jumlah derajat = deg(A) + deg(B) + deg(C) + deg(D) + deg(E) + deg(F)

= 4 + 6 + 1 + 6 + 5 + 0 = 22. Jadi terlihat bahwa: Jumlah derajat = 2 x Jumlah sisi.

5

C.6. Berapa jumlah sisi pada graf G dengan 15 verteks yang masing-masing verteksnya berderajat 8? Jawaban: Misalkan jumlah sisi graf G adalah m, dan jumlah derajat semua verteks adalah d, maka berdasarkan Teorema (5), diperoleh d = 2 m G memiliki 15 verteks dengan masing-masing berderajat 8, maka jumlah derejat semua verteks adalah d = 15 x 8 = 120, jadi m = d/2 = 120/2 = 60. (6) Teorema: Jumlah verteks berderajat ganjil dalam sebuah graf adalah genap. Bukti: Misalkan graf G = (V, E), U = {v Vdeg(v) ganjil} dan W = {v Vdeg(v) genap}, maka V = U W deg( )

v Vv

= deg( )

v Uv

+ deg( )

v Wv

deg( )v W

v adalah genap, karena jumlah bilangan genap selalu genap. Berdasarkan Teorema 5,

deg( )v V

v = 2E, yang juga merupakan bilangan genap, jadi

deg( )v U

v bernilai genap. Tetapi masing-masing deg(v) untuk v U adalah ganjil, maka haruslah

Ugenap. Jadi teorema terbukti. (7) Teorema: Untuk suatu graf berarah G = (V, E) berlaku () deg ( )

v Vv

= deg ( )

v Vv+

= E

Bukti: Setiap sisi di G memiliki satu verteks-awal dan satu verteks-akhir, berarti setiap sisi memberi kontribusi 1 ke masing-masing jumlah derajat masuk dan jumlah derajat keluar semua verteks di G. Maka berlaku (). Contoh: C.7. Tentukan derajat-masuk dan derajat-keluar masing-masing verteks dalam graf berarah G = (V, E), dengan V = {A, B, C, D, E, F}

E = {e1= (A, A), e2= (A, B), e3= (A, C), e4= (A, E), e5= (B, D), e6= (C, B), e7= (C, C), e8= (D, C), e9= (D, E), e10= (E, A), e11= (E, D), e12= (E, E)}

Jawaban: deg(A) = 2 dan deg+(A) = 4, deg(B) = 2 dan deg+(B) = 1 deg(C) = 3 dan deg+(C) = 2, deg(D) = 2 dan deg+(D) = 2 deg(E) = 3 dan deg+(E) = 3, deg(F) = 0 dan deg+(F) = 0 Terlihat bahwa deg(A) + deg(B) + deg(C) + deg(D) + deg(E) + deg(F) = 12 = E, dan deg+(A) + deg+(B) + deg+(C) + deg+(D) + deg+(E) + deg+(F) = 12 = E. (8) Definisi: Sebuah graf dengan n buah verteks disebut graf lengkap (complete graph), dan dinyatakan oleh Kn, apabila antara setiap pasang verteks yang berbeda terdapat tepat satu sisi.

6

Contoh: C.8. Graf lengkap dengan 1 verteks adalah K1:

Graf lengkap dengan 2 verteks adalah K2: Graf lengkap dengan 3 verteks adalah K3: Graf lengkap dengan 4 verteks adalah K4: Graf lengkap dengan 5 verteks adalah K5: C.9. Berapa jumlah sisi pada sebuah graf lenglap dengan n buah verteks? Jawaban: Dari setiap verteks pada Kn terdapat tepat satu sisi ke (n 1) verteks lainnya, dan pada Kn ada n buah verteks, jadi akan ada n x (n 1) buah sisi, tetapi setiap sisi dihitung 2 kali, maka jumlah sisi Kn adalah

( 1)2

n n . (9) Definisi: Sebuah graf G = (V, E) disebut graf bipartite, apabila V adalah gabungan dari dua buah subset U dan W yang tidak kosong dan saling lepas, yaitu U , W , V = U W dan U W = , sedemikian sehingga untuk setiap sisi (u, w) E berlaku u U dan w W. Contoh: C.10. Graf G = (V, E) pada Gambar 6 adalah sebuah a b graf bipartite. Dengan V = U W, di mana g c U = {a, b, d} dan W = {c, e, f, g} E = {(a, c), (a, e), (a, f), (a, g), (b, c), (b, e), e d (b, f), (b, g), (d, c), (d, e), (d, f), (d, g)} f

Gambar 6. Graf bipartite

7

C.11. Graf G = (V, E) pada Gambar 7 bukan sebuah a b graf bipartite. V = {a, b, c, d, e, f} dan f c E = {(a, b), (a, e), (a, f), (b, c), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, f), (d, e), (d, f), (e, f)} e d Misalkan V = U W, dan a U, karena (a, b), (a, e), (a, f) E, berarti b, e, f U, Gambar 7. dengan perkataan lain b, e, f W. Sedangkan (b, e) E, hal ini mengakibatkan b dan e tidak boleh berada pada subset yang sama, bertentangan dengan b dan e termasuk di W. Jadi V tidak mungkin merupakan gabungan dari dua buah subset U dan W yang tidak kosong dan saling lepas, yaitu U , W , V = U W dan U W = , sedemikian sehingga untuk setiap sisi (u, w) E berlaku u U dan w W. Berarti G bukan sebuah graf bipartite. (10) Definisi: Sebuah graf G = (V, E) disebut graf bipartite lengkap Km,n, apabila V merupakan gabungan dari dua buah subset U dengan m 0 unsur dan W dengan n 0 unsur yang saling lepas, sehingga sisi (u, w) E jika dan hanya jika u U dan w W. Contoh: C.12. Gambar 8.(a) menunjukkan graf bipartite lengkap K2,3, dan Gambar 8.(b) menunjukkan graf bipartite lengkap K3,3. a b a b c c d e d e f (a) K2,3 (b) K3,3.

Gambar 8. Graf bipartite lengkap K2,3 dan K3,3. (11) Definisi: Sebuah graf G = (V, E) dengan n verteks disebut sebuah siklis (cycle) Cn, apabila V = {v1, v2, v3, , vn} dan E = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), , (vn1, vn), (vn, v1)}. Contoh: C.13. Gambar 9.(a), (b) dan (c) masing-masing menunjukkan siklis C3, C4, dan C5. a b a b a b c c c d d e (a) C3 (b) C4 (c) C5

Gambar 9. Siklis C3, C4, dan C5.

8

(12) Definisi: Sebuah graf dengan (n + 1) buah verteks disebut sebuah roda (wheel) Wn, apabila n buah verteks dari (n + 1) verteks itu membentuk sebuah siklis Cn, dan dari verteks ke-(n+1) yang tinggal terdapat tepat satu sisi ke setiap n buah verteks pertama tadi. Contoh: C.14. Gambar 10.(a), (b) dan (c) masing-masing menunjukkan siklis W3, W4, dan W5. a b a b a p p b p c c c d d e

(a) W3 (b) W4 (c) W5

Gambar 10. Roda W3, W4, dan W5. (13) Definisi: Subgraf dari suatu graf G = (V, E) adalah sebuah graf H = (W, F) dengan W V dan F E. Contoh: C.15. Tentukan semua subgraf dengan 5 sisi dari graf G3 pada contoh C.3. G3 = (V, E) dengan v1 v2 V = {v1, v2, v3, v4, v5}, dan E = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v1,v4), (v2,v5), (v2,v4)}. v3 v4 v5 Graf G3 H1 = (W1, F1) dengan v1 v2 W1 = V F1 = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v1,v4), (v2,v5)}, v3 v4 v5 H2 = (W2, F2) dengan v1 v2 W2 = V F2 = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v1,v4), (v2,v4)}, v3 v4 v5 H3 = (W3, F3) dengan v1 v2 W3 = V F3 = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v5), (v2,v5), (v2,v4)}, v3 v4

v5

9

H4 = (W4, F4) dengan v1 v2 W4 = V F4 = {(v1,v2), (v3,v4), (v1,v4), (v2,v5), (v2,v4)}, v3 v4 v5 H5 = (W5, F5) dengan v1 v2 W5 = {v1, v2, v4, v5}, F5 = {(v1,v2), (v1,v5), (v1,v4), (v2,v5), (v2,v4)}, v4 v5 H6 = (W6, F6) dengan v1 v2 W6 = V F6 = {(v3,v4), (v1,v4), (v1,v5), (v2,v5), (v2,v4)}. v3 v4 v5 (14) Definisi: Graf gabungan (union) dari dua graf sederhana G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) adalah sebuah graf sederhana G = G1 G2, dengan G = (V, E), di mana V = V1 V2 , dan E = E1 E2. Contoh: C.16. Tentukan graf gabungan G dari dua graf G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) dengan V1 = {a, b, c} dan E1 = {(a, b), (b, c)} V2 = {b, c, d, e} dan E2 = {(b, c), (b, d), (c, d)}. Jawaban: Graf gabungan dari G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) adalah G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e} dan E = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, d)}. II. Representasi Graf Sebuah graf dapat direpresentasikan oleh dua macam matriks, yaitu matriks ikatan (adjacency matrix) dan matriks kehadiran (incidence matrix). (15) Definisi: Jika graf G memiliki n buah verteks v1, v2, , vn, maka G dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks n x n, A = [ aij ], dengan aij = jumlah sisi yang memiliki vi dan vj sebagai titik-titik ujungnya. Matriks A disebut matriks ikatan (adjacency matrix) untuk G. Untuk graf berarah G* yang memiliki n buah verteks v1, v2, , vn, dapat pula direpresentasikan oleh sebuah matriks n x n, A* = [ aij* ], dengan aij* = jumlah sisi yang memiliki vi sebagai verteks-awal dan vj sebagai verteks-akhirnya. Matriks A* disebut pula matriks ikatan (adjacency matrix) untuk G*.

10

Contoh: C.17. Tentukan matriks ikatan untuk graf G = (V, E), dengan V = {a, b, c, d} dan E = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c)}. Jawaban: Matriks ikatan untuk graf G dapat dibentuk lebih dari satu, tergantung pada pemilihan urutan verteksnya. Matriks A1 dan A2 berikut merupakan dua buah matriks adjacency untuk graf G. Matriks ikatan A1 yang akan diperoleh apabila urutan abcd yang dipilih, dan matriks ikatan A2 yang akan diperoleh apabila urutan bcda yang dipilih. Matriks ikatan A2 dapat diperoleh dari matriks ikatan A1 dengan menggeser baris ke-i matriks A1 menjadi baris ke-(i1) untuk i = 2, 3, 4, dan baris ke-1 ditempatkan ke baris ke-4. Hal yang sama dilakukan pula untuk kolom, maka akan diperoleh matriks ikatan A2. a b c d b c d a a b

A1 =

0 1 1 11 0 1 01 1 0 01 0 0 0

abcd

A2 =

0 1 0 11 0 0 10 0 0 11 1 1 0

bcda

c d

Jadi, untuk graf dengan n verteks dapat dipilih satu dari n! (yaitu jumlah permutasi n unsur) matriks sebagai matriks adjacencynya. C.18. Tentukan matriks ikatan untuk graf G = (V, E), dengan V = {a, b, c, d} dan E = {(a, b), (a, b), (a, d), (a, d), (a, d), (b, c), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)}. Jawaban: Untuk menentukan matriks ikatan graf G pilih sebuah urutan veteksnya, misalnya cdab. Untuk urutan tersebut, matriks ikatan untuk graf G adalah c d a b

A =

1 1 0 21 0 3 10 3 0 22 1 2 0

cdab

C.19. Tentukan matriks ikatan untuk graf berarah G = (V, E), dengan V = {a, b, c, d, e} dan E = {(a, a), (b, e), (c, d), (c, d), (d, b), (d, c), (d, e)}. Jawaban: Pilih sebuah urutan verteks-verteks dari G, misalkan abcde, maka matriks ikatannya adalah

11

a b c d e a b e

A =

1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 2 00 1 1 0 10 0 0 0 0

abcde

c d

Perhatikan bahwa matriks adjacency untuk graf tak berarah bersifat simetri, sedangkan matriks adjacency untuk graf berarah tidak harus simetri. (16) Definisi: Jika graf G memiliki n buah verteks v1, v2, , vn, dan memiliki m buah sisi e1, e2, , em, maka G dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks n x m, M = [ mij ], dengan

1 jika bertumpuan pada ,

0 jika tidak bertumpuan pada i j

iji j

e vm

e v=

Matriks M disebut matriks kehadiran (incidence matrix) untuk G. Untuk graf berarah G* yang memiliki n buah verteks v1, v2, , vn, dan memiliki m buah sisi e1, e2, , em, dapat pula direpresentasikan oleh sebuah matriks n x m, M* = [ mij*], dengan

1 jika merupakan verteks-awal dari ,

1 jika merupakan verteks-akhir dari ,

0 jika bukan verteks-awal maupun verteks-akhir dari ,

j i

ij j i

j i

v e

m v e

v e

=

Matriks M* disebut pula matriks kehadiran untuk G*. Contoh: C.20. Tentukan matriks kehadiran untuk graf G = (V, E) dengan V = {v1, v2, v3, v4, v5} dan E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} dengan e1 = (v1, v1), e2 = (v1, v2), e3 = (v1, v2), e4 = (v2, v3), e5 = (v2, v3), e6 = (v2, v5), e7 = (v3, v5), e8 = (v4, v4). Jawaban: Matriks kehadiran untuk G adalah maritks 5 x 8 : e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

M =

1

2

3

4

5

1 1 1 0 0 0 0 00 1 1 1 1 1 0 00 0 0 1 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 1 0

vvvvv

12

III. Isomorfisme (17) Definisi: Graf sederhana G1 = (V1, E1) isomorfik (isomorph) dengan graf sederhana G2 = (V2, E2) jika terdapat suatu fungsi satu-satu dan pada (one-one and onto) f dari V1 pada V2 sehingga dua verteks a dan b di G1 berikatan jika dan hanya jika verteks f(a) dan f(b) di G2 berikatan, untuk semua a dan b di V1. Dengan perkataan lain, dua graf sederhana adalah isomorfik apabila terdapat korespondensi satu-satu antar verteks-verteks dari kedua graf tersebut dan hubungan keterikatan dua verteks dipertahankan. Contoh: C.21. Apakah dua graf G = (V, E) dan H = (W, F) isomorf apabila V = {v1, v2, v3, v4, v5}, E = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v1), (v1, v5)} W = {w1, w2, w3, w4, w5}, F = {(w1, w3), (w1, w4), (w2, w5), (w4, w2), (w5, w1)} Jawaban: Untuk menyelidiki apakah dua graf tersebut isomorf, harus dicari fungsi satu-satu pada dari V pada W sehingga keterikatan dua verteks dapat dipertahankan. Untuk itu, periksa apakah V = W dan E = F, jika tidak, berarti G dan H tidak isomorfik, bila ya, lakukan hal lebih lanjut, yaitu tentukan derajat masing-masing verteks di V dan di W. deg(v1) = 3, deg(v2) = 2, deg(v3) = 2, deg(v4) = 2, deg(v5) = 1 dan deg(w1) = 3, deg(w2) = 2, deg(w3) = 1, deg(w4) = 2, deg(w5) = 2. Dari derajat masing-masing verteks di atas, dapat dicoba mencari fungsi satu-satu dan pada yang dimaksud. Misalkan f(v1) = w1, f(v5) = w3, f(v2) = w4, f(v3) = w2, f(v4) = w5, maka keterpeliharaan keterikatannya dua verteks dapat dilihat sebagai berikut: (v1, v2) E maka harus (f(v1), f(v2)) = (w1, w4) F, (v2, v3) E maka harus (f(v2), f(v3)) = (w4, w2) F, (v3, v4) E maka harus (f(v3), f(v4)) = (w2, w5) F, (v4, v1) E maka harus (f(v4), f(v1)) = (w5, w1) F, (v1, v5) E maka harus (f(v1), f(v5)) = (w1, w3) F, Ternyata semua terpenuhi, maka G dan H adalah isomorf.

C.22. Apakah dua graf G = (V, E) dan H = (W, F) isomorf apabila V = {v1, v2, v3, v4, v5}, E = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1), (v5, v3)} W = {w1, w2, w3, w4, w5}, F = {(w1, w2), (w2, w3), (w3, w4), (w5, w1), (w1, w4), (w1, w3)} Jawaban: Untuk menyelidiki apakah dua graf tersebut isomorf, harus dicari fungsi satu-satu pada dari V pada W sehingga keterikatan dua verteks dapat dipertahankan. Untuk itu, tentukan derajat masing-masing verteks di V dan di W. deg(v1) = 2, deg(v2) = 2, deg(v3) = 3, deg(v4) = 2, deg(v5) = 3 dan deg(w1) = 4, deg(w2) = 2, deg(w3) = 3, deg(w4) = 2, deg(w5) = 1. Dari derajat masing-masing verteks di atas, dapat disimpulkan bahwa G dan H tidak isomorf, karena fungsi satu-satu f dari V pada W yang mempertahankan keterikatan dua verteks tidak

13

mungkin ada, sebab G memiliki verteks berderajat 3 dua buah, sedangkan H hanya memiliki satu verteks berderajat 3. C.23. Apakah dua graf G = (V, E) dan H = (W, F) dengan

v1 v2 V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}, v5 v6 E = {(v1,v2), (v2,v3), (v3,v4), (v4,v1), (v5,v6), v8 v7 (v6,v7), (v7,v8), (v8,v5), (v6,v2), (v4,v8)} v4 v3 dan W = {w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8}, F = {(w1,w2),(w2,w3),(w3,w4),(w4,w1),(w5,w6), w1 w2 (w6,w7),(w7,w8),(w8,w5),(w1,w5),(w4,w8)} w5 w6 isomorf? w8 w7 w4 w3 Jawaban: Pertama-tama, perhatikan apakah V = W dan E = F, ternyata ya. Maka langkah berikutnya adalah tentukan derajat masing-masing verteks: deg(v1) = 2, deg(v2) = 3, deg(v3) = 2, deg(v4) = 3, deg(v5) = 2, deg(v6) = 3, deg(v7) = 2, deg(v8) = 3, dan deg(w1) = 3, deg(w2) = 2, deg(w3) = 2, deg(w4) = 3, deg(w5) = 3, deg(w6) = 2, deg(w7) = 2, deg(w8) = 3, Dari derajat masing-masing verteks di atas, terlihat bahwa masih ada harapan agar G dan H isomorf. Tetapi dalam hal ini graf G tidak isomorf dengan H, sebab (w8,w5) F, sedangkan (v6,v8) H. Maka dapat disimpulkan bahwa G dan H tidak isomorf.

14

IV. Lintasan dan Sirkuit (18) Definisi: Sebuah lintasan (path) L dari verteks u ke verteks v dalam sebuah graf tak berarah maupun berarah G = (V, E, f) adalah sebuah barisan sisi-sisi L = e1, e2, , en di E sedemikian sehingga f(e1) = (u, v1), f(e2) = (v1, v2), f(e3) = (v2, v3), , f(en) = (vn1, v). Panjang lintasan L, p(L), adalah jumlah sisi pada lintasan itu. u disebut verteks-awal dan v disebut verteks-akhir lintasan L. Jika verteks-awal dan verteks-akhir sebuah lintasan adalah sama, yaiyu u = v, maka lintasan itu disebut sebuah sirkuit (circuit, cycle). Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) atau sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana (simple circuit) apabila lintasan atau sirkuit itu tidak mengandung sisi yang sama. Sebuah lintasan dikatakan lintasan elementer (elementary path) atau sebuah sirkuit dikatakan sirkuit elementer (elementary circuit) apabila lintasan atau sirkuit itu tidak melalui suatu verteks lebih dari satu kali. Dalam sebuah graf tanpa sisi ganda, sebuah lintasan atau sebuah sirkuit dapat dinyatakan oleh sebuah barisan verteks L = u, v1, v2, , vn1, v. Contoh: C.24. Graf G pada Gambar 12 memiliki lintasan c f L1 = e1, e2, e3 = a, b, c, f dari verteks a ke verteks f, b d e L2 = e1, e2, e4, e8, e9, e10, e3 = a, b, c, d, g, e, c, f a h g dari a ke f pula, L3 = e1, e2, e4, e7, e2, e4, e8, e9, e10, e3 Gambar 12. = a, b, c, d, b, c, d, g, e, c, f dari a ke f juga. Lintasan L1 adalah sebuah lintasan elementer, karena tidak ada verteks yang dilalui lebih dari satu kali. Lintasan L2 adalah sebuah lintasan sederhana yang bukan lintasan elementer, karena ada verteks c dilalui lebih dari satu kali, tetapi tidak ada sisi yang dilalui lebih dari satu kali. Lintasan L3 adalah sebuah lintasan yang bukan lintasan sederhana, karena ada sisi e2 = (b, c) (atau e4 = (c, d)) yang dilalui lebih dari satu kali. C.25. Graf G pada Gambar 12 memiliki sirkuit S1 = e1, e2, e4, e5, e6 = a, b, c, d, h, a yang merupakan sebuah sirkuit elementer, karena tidak ada verteks yang dilalui lebih dari satu kali, kecuali verteks awal sama dengan verteks akhir. S2 = e1, e2, e4, e8, e9, e11, e5, e6 = a, b, c, d, g, e, d, h, a yang merupakan sebuah sirkuit sederhana, tetapi tidak merupakan sirkuit elementer, karena ada verteks d dilalui lebih dari satu kali, tetapi tidak ada sisi yang dilalui lebih dari satu kali.

15

S3 = e1, e2, e4, e8, e9, e10, e4, e5, e6 = a, b, c, d, g, e, c, d, h, a yang merupakan sebuah sirkuit, tetapi tidak merupakan sirkuit elementer maupun sirkuit sederhana, karena ada sisi e4 = (c, d) yang dilalui lebih dari satu kali. (19) Teorema: Dalam sebuah graf berarah maupun tidak berarah dengan n buah verteks, untuk setiap pasang verteks u dan v berlaku hal berikut: jika dari u terdapat sebuah lintasan L ke v, maka terdapat sebuah lintasan L dengan panjang lintasan p(L) (n 1) dari u ke v. Bukti: Misalkan L = u, , vi, , v adalah sebuah lintasan dari u ke v dengan panjang p(L) = p, berarti L terdiri dari (p + 1) verteks. Jika p (n 1) maka teorema terbukti. Jika p > (n 1), berarti pada L terdapat 2 verteks yang sama, karena jumlah verteks yang ada hanya n, misalkan vk, jadi, L = u, , vi, , vk, , vk, ,v. Dengan menghapus sisi-sisi di antara vk dan vk, yaitu vk, , vk, dari L, barisan sisi-sisi yang tinggal masih merupakan sebuah lintasan dari u ke v, yang memiliki jumlah sisi lebih kecil. Proses ini dapat dilakukan terus sampai mendapat sebuah lintasan L dengan panjang lintasan p(L) (n 1). (20) Teorema: Misalkan G adalah sebuah graf berarah atau tidak berarah G dengan urutan verteksnya v1, v2, , vn, dan A adalah matriks ikatan untuk G. Jumlah lintasan dengan panjang r dari vi ke vj, sama dengan aijr pada matriks Ar. Bukti: Dengan induksi matematik. Contoh: C.26. Tentukan jumlah lintasan dengan panjang 2 b dari setiap verteks ke verteks lain pada graf berarah G = (V, E) dengan V = {a, b, c} dan E = {(a, b), (b, c)}. a c Jawaban: Matriks ikatan untuk G adalah

A = 0 1 00 0 10 0 0

abc

untuk menentukan lintasan panjang 2, harus ditentukan matriks A2.

A2 = 0 1 00 0 10 0 0

abc

x

0 1 00 0 10 0 0

abc

=

0 0 10 0 00 0 0

abc

Jadi lintasan panjang 2 yang ada hanya ada 1 dari a ke c saja. Lintasan panjang 1 yang ada, adalah dari a ke b dan dari b ke c. C.27.

16

Tentukan jumlah lintasan panjang 2, 3 dan 4 dari a ke setiap verteks lainnya pada graf G = (V, E), dengan V = {a, b, c, d} dan a b E = {(a, b), (a, c), (b, d), (c, d), c d Jawaban: Tentukan dahulu matriks ikatan untuk G, yaitu

A =

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

abcd

Untuk mencari jumlah lintasan panjang k, k = 2, 3, 4, antara sepasang verteks pada G, dihitung matriks B = A2, C = A3, dan D = A4, Untuk k = 2:

B = A2 =

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

x

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

=

2 0 0 20 2 2 00 2 2 02 0 0 2

Jadi: Dari a ke a, jumlah lintasan = b11 = 2, yaitu: a, b, a dan a, c, a. Dari a ke b, jumlah lintasan = b12 = 0. Dari a ke c, jumlah lintasan = b13 = 0. Dari a ke d, jumlah lintasan = b14 = 2, yaitu: a, b, d dan a, c, d. Untuk k = 3:

C = A3 = B x A =

2 0 0 20 2 2 00 2 2 02 0 0 2

x

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

=

0 4 4 04 0 0 44 0 0 40 4 4 0

Jadi, Dari a ke a, jumlah lintasan = c11 = 0. Dari a ke b, jumlah lintasan = c12 = 4, yaitu:

a, b, a, b, a, b, d, b, a, c, d, b, dan a, c, a, b. Dari a ke c, jumlah lintasan = c13 = 4, yaitu:

a, b, a, c, a, b, d, c, a, c, d, c, dan a, c, a, c. Dari a ke d, jumlah lintasan = c14 = 0. Untuk k = 4:

17

D = A4 = C x A =

0 4 4 04 0 0 44 0 0 40 4 4 0

x

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

=

8 0 0 80 8 8 00 8 8 08 0 0 8

Jadi, Dari a ke a, jumlah lintasan = d11 = 8, yaitu:

a, b, a, b, a, a, b, d, b, a, a, c, d, b, a, a, c, a, b, a, a, b, a, c, a, a, b, d, c, a, a, c, d, c, a, dan a, c, a, c, a.

Dari a ke b, jumlah lintasan = d12 = 0. Dari a ke c, jumlah lintasan = d13 = 0. Dari a ke d, jumlah lintasan = d14 = 8, yaitu:

a, b, a, c, d, a, b, d, c, d, a, c, d, c, d, a, c, a, c, d, a, b, a, b, d, a, b, d, b, d, a, c, a, b, d, dan a, c, d, b, d.

V. Keterhubungan (21) Definisi: Suatu graf G dikatakan terhubung (connected) apabila antara setiap pasang verteks u dan v di G terdapat suatu lintasan dari u ke v. Suatu graf berarah G* dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap dua verteks u* dan v* di G* terdapat lintasan dari u* ke v* dan v* ke u*. Suatu graf berarah G* dikatakan terhubung (connected) saja jika untuk setiap dua verteks u* dan v* di G* terdapat lintasan apabila arah dari semua sisi-sisi diabaikan. Jika sebuah graf G tidak terhubung, maka G dapat dipecah menjadi dua atau lebih subgraf terhubung yang maksimal, masing-masing subgraf maksimal itu disebut komponen dari graf. Jadi dapat pula dikatakan bahwa sebuah graf berarah atau tidak berarah adalah terhubung jika graf tersebut hanya memiliki satu komponen. Contoh: C.28. Graf G = (V, E) dengan a b V = {a, b, c, d, e} dan E = {(a, b), (a, c), (b, c), (c, d), (c, e)} c adalah terhubung. Bukti: d e G terhubung, karena antara setiap dua verteks selalu ada lintasan: dari a ke c ada lintasan panjang 1: a, c, dari a ke b ada lintasan panjang 1: a, b, dari a ke d ada lintasan panjang 2: a, c, d, dari a ke e ada lintasan panjang 2: a, c, e, dari b ke c ada lintasan panjang 1: b, c, dari b ke d ada lintasan panjang 2: b, c, d, dari b ke e ada lintasan panjang 2: b, c, e, dari c ke d ada lintasan panjang 1: c, d,

18

dari c ke e ada lintasan panjang 1: c, e, dari d ke e ada lintasan panjang 2: d, c, e. Atau memeriksa matriks ikatannya A dan pangkat-pangkatnya A2, A3,

A =

0 1 1 0 01 0 1 0 01 1 0 1 10 0 1 0 00 0 1 0 0

, B = A2 =

2 1 1 1 11 2 1 1 11 1 4 0 01 1 0 1 11 1 0 1 1

Terlihat bahwa (aij 0) (bij 0) untuk i, j = 1, 2, 3, 4, 5, yang berarti antara sepasang verteks selalu ada lintasan dengan panjang 1 atau 2.

C.29. Graf G = (V, E) dengan a b V = {a, b, c, d, e, f} dan E = {(a, b), (b, c), (d, e), (e, f), (f, d)} c d adalah tidak terhubung. Bukti: e f Antara verteks a dan d tidak adalah lintasan, maka G tidak terhubung. Hal ini juga bisa dicek dari matriks ikatannya A, A dapat dijadikan matriks blok B, di mana submatriks B12 dan B21 merupakan matriks nol.

A =

0 1 0 0 0 01 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 1 10 0 0 1 0 10 0 0 1 1 0

= 11 1221 22

B BB B

,

di mana B11 = 0 1 01 0 10 1 0

, B22 =

0 1 11 0 11 1 0

dan B12 = B21 =

0 0 00 0 00 0 0

.

C.30. Graf berarah G = (V, E) dengan a b V = {a, b, c, d, e} dan E = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, d), (d, e), (e, a)} e c adalah terhubung kuat. Bukti: d Graf berarah G adalah terhubung kuat karena dari a ke b ada lintasan panjang 1: a, b, dari a ke c ada lintasan panjang 2: a, b, c, dari a ke d ada lintasan panjang 2: a, b, d,

19

dari a ke e ada lintasan panjang 4: a, b, c, d, e, dari b ke a ada lintasan b, c, d, e, a dengan panjang 4, dari b ke c ada lintasan b, c dengan panjang 1, dari b ke d ada lintasan b, d dengan panjang 1, dari b ke e ada lintasan b, d, e dengan panjang 2, dari c ke a ada lintasan panjang 3: c, d, e, a, dari c ke b ada lintasan panjang 4: c, d, e, a, b, dari c ke d ada lintasan panjang 1: c, d, dari c ke e ada lintasan panjang 2: c, d, e, dari d ke a ada lintasan panjang 2: d, e, a, dari d ke b ada lintasan panjang 3: d, e, a, b, dari d ke c ada lintasan panjang 4: d, e, a, b, c, dari d ke e ada lintasan panjang 1: d, e, dari e ke a ada lintasan panjang 1: e, a, dari e ke b ada lintasan panjang 2: e, a, b, dari e ke c ada lintasan panjang 3: e, a, b, c, dari e ke d ada lintasan panjang 4: e, a, b, c, d. C.31. Graf berarah G = (V, E) dengan a b V = {a, b, c, d, e} dan E = {(b, a), (b, c), (b, d), (c, d), (d, e), (e, a)} e c adalah tidak terhubung kuat, tetapi terhubung. Bukti: d G tidak terhubung kuat karena tidak ada lintasan dari a ke b, tetapi G terhubung, sebab jika G dipandang sebagai graf tak berarah, G terhubung, hal ini dapat terlihat dari matriks terikat A

A =

0 1 0 0 11 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 0

dan B = A2 =

2 0 1 2 00 3 1 1 21 1 2 1 12 1 1 3 00 2 1 0 2

Terlihat bahwa (aij 0) (bij 0) untuk i, j = 1, 2, 3, 4, 5, yang berarti antara sepasang verteks selalu ada lintasan panjang 1 atau 2.

20

VI. Lintasan Euler dan Sirkuit Euler Konigsberg Bridges: Di kota Konigsberg terdapat sebuah sungai, di tengah sungai itu terdapat dua daratan seperti pulau, sebut pulau-pulau itu A dan B, dan kedua tepi sungai itu C dan D. Antara pulau A dan B terdapat sebuah jembatan, antara pulau A dan kedua tepi sungai C dan D masing-masing terdapat dua jembatan, antara pulau B dan kedua tepi terdapat C dan D masing-masing terdapai sebuah jembatan. Timbul sebuah pertanyan: Apakah seseorang mulai dari salah satu daratan (A, B, C atau D) berjalan-jalan melalui 7 jembatan tersebut masing-masing satu kali dan kembali ke tempat asalnya? Persoalan ini dapat dipecahkan dengan penggunakan pengertian sirkuit Euler, setelah menyatakan 4 daratan dan 7 jembatan itu dengan suatu graf . Graf yang sesuai adalah graf G = (V, E) dengan V = {A, B, C, D} dan E = {(A, B), (A, C), (A, C), (A, D), (A, D), (B, C), (B, D)} B

C D A G merupakan sebuah graf ganda. Pertanyaan di atas dapat diterjemahkan menjadi pertanyan:

Apakah ada sebuah sirkuit sederhana yang melalui semua sisi di E. Sirkuit semacam itu memiliki nama khusus, dan akan diberikan pada definisi berikut. (22) Definisi: Sebuah lintasan L pada suatu graf G = (V, E) (graf sederhana atau graf ganda) disebut sebuah lintasan Euler apabila L adalah sebuah lintasan sederhana yang mengandung semua e E. Suatu sirkuit S pada suatu graf G disebut sirkuit Euler apabila S adalah sirkuit sederhana yang mengandung semua e E. Contoh: C.32. Tentukan lintasan Euler dari verteks a dan sebuah sirkuit Euler bila ada, pada graf a b G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e} c d E = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (b, e), (c, d), (d, e)} Jawaban: e Lintasan Euler dari verteks a: a, c, d, a, b, d, e, b, a, c, d, a, b, e, d, b, a, c, d, b, a, d, e, b, a, c, d, b, e, d, a, b, a, c, d, e, b, a, d, b, a, c, d, e, b, d, a, b. Pada graf G tidak ada sirkuit Euler.

21

C.33. Tentukan lintasan Euler dari verteks a dan sebuah sirkuit Euler pada graf G = (V, E) dengan a b V = {a, b, c, d, e} E = {(a, b), (a, e), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e)} e Jawaban: c d Lintasan Euler dari verteks a: a, b, e, c, d, e, a, a, b, e, d, c, e, a, a, e, c, d, e, b, a, a, e, d, c, e, b, a. Semua lintasan Euler di atas merupakan sirkuit Euler. C.34. Tentukan lintasan Euler dari verteks a dan sebuah sirkuit Euler pada graf G = (V, E) dengan a b V = {a, b, c, d, e} E = {(a, b), (a, e), (a, d), (b, c), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e)} e Jawaban: d c Tidak ada lintasan Euler dan juga tidak ada sirkuit Euler. C.35. Tentukan lintasan Euler dari verteks a dan sebuah sirkuit Euler pada graf berarah G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d} a b E = {(a, b), (a, d), (c, b), (c, d)} d c Jawaban: Tidak ada lintasan Euler dan juga tidak ada sirkuit Euler. (23) Teorema: Suatu graf G = (V, E) memiliki sebuah sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap verteks v V berderajat genap. Bukti: Misalkan graf G = (V, E) memiliki sirkuit Euler S, akan dibuktikan bahwa G terhubung dan setiap v V berderajat genap. G terhubung adalah jelas. Ambil verteks v V sembarang, dan misalkan Ev = {e1, e2, , en} adalah himpunan semua sisi di E yang bertumpuan pada v. Karena setiap ei Ev harus dilalui oleh S tepat satu kali, maka jumlah unsur di Ev harus genap, yaitu satu sisi dilewati waktu masuk ke verteks v dan satu sisi lain dilewati waktu keluar dari verteks v. Dengan perkataan lain derajat v adalah genap. Sebaliknya, misalkan G terhubung dan setiap verteks v V berderajat genap, akan dibuktikan bahwa G memiliki sebuah sirkuit Euler. Sirkuit Euler S dapat dikonstruksikan dengan langkah-langkah berikut: a) Misalkan G0 = G, dan sirkuit C0 = . Ambil i = 1 dan pilih sebuah verteks ai di G,

22

b) Buat sebuah sirkuit Si sederhana di Gi1 mulai dari ai sepanjang mungkin dan berakhir di ai lagi (sampai tidak ada sisi lagi yang bisa dilewati untuk keluar dari ai). Hal ini dimungkinkan karena derajat setiap verteks di G0 adalah genap, yaitu setelah masuk ke suatu verteks v melalui satu sisi pasti masih ada sisi lain yang bisa dilewati untuk keluar dari v.

c) Jika i = 1, ambil Ci = Si dan teruskan ke langkah berikut. d) Jika tidak, buat sirkuit Ci yang lebih panjang dalam G dengan menyambung sirkuit Si dan

Ci1. e) Hal ini dimungkinkan, karena ai Si Ci1. f) Bentuk Ei sebagai himpunan sisi-sisi yang ada di Ci dan Wi sebagai himpunan verteks-

verteks yang hadir pada sisi yang ada di Ci. g) Misalkan Fi = E Ei dan Gi = (Vi, Fi) adalah subgraf dari Gi1. h) Jika Fi = maka sirkuit Euler yang dicari adalah Ci. Jika Fi , lakukan langkah berikut. i) Karena G terhubung, maka Vi Wi , ambil sebuah verteks ai+1 di himpunan Vi Wi.

Setiap verteks di Gi masih berderajat genap. j) Nilai i ditambah 1. Lakukan lagi langkah b) dan seterusnya. Contoh: C.36. Tentukan sebuah sirkuit Euler pada graf G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e, f } dan a b E = {(a, b), (a, f), (b, c), (c, d), (d, e), (e, c), (c, f)} Jawaban: f c d Setiap verteks di G memiliki derajat genap, maka G memiliki sebuah sirkuit Euler. e Ambil a1 = a dan sirkuit S1 = a, b, c, f, a, C1 = S1. E1 = {(a, b), (b, c), (c, f), (f, a)}, dan W1 = {a, b, c, f} F1 = E E1 = {(c, d), (d, e), (e, c)} , maka bentuk G1 = (V1, F1) dengan V1 = {c, d, e} dan W1 V1 = {c} Ambil a2 = c dan sirkuit S2 = c, e, d, c, dan C2 = a, b, c, e, d, c, f, a, E2 = {(a, b), (b, c), (c, e), (e, d), (d, c), (c, f), (f, a)}, dan W2 = {a, b, c, e, d, f}. F2 = E E2 = , maka C2 adalah sirkuit Euler yang dicari. C.37. Tentukan sebuah sirkuit Euler pada graf G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} dan E = {(a, b), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), (d, f), (d, g), (e, f), (e, i), (f, g), (f, i), (g, h), (g, k), (h, i), (h, k), (h, j), (i, j)} a e i j b f h c d g k

23

Jawaban: Setiap verteks di G memiliki derajat genap, maka G memiliki sebuah sirkuit Euler. Ambil a1 = a dan sirkuit S1 = a, b, e, a, C1 = S1. E1 = {(a, b), (b, e), (e, a)}, dan W1 = {a, b, e} F1 = E E1 = {(b, c), (b, d), (c, d), (d, f), (d, g), (e, f), (e, i), (f, g), (f, i), (g, h), (g, k), (h, i), (h, k), (h, j), (i, j)} , maka bentuk G1 = (V1, F1) dengan V1 = {b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} dan W1 V1 = {b, e} Ambil a2 = b dan sirkuit S2 = b, d, c, b, dan C2 = b, e, a, b, d, c, b, E2 = {(b, e), (e, a), (a, b), (b, d), (d, c), (c, b)}, dan W2 = {a, b, c, d, e} F2 = E E2 = {(d, f), (d, g), (e, f), (e, i), (f, g), (f, i), (g, h), (g, k), (h, i), (h, k), (h, j), (i, j)} , maka bentuk G2 = (V2, F2) dengan V2 = {d, e, f, g, h, i, j, k} dan W2 V2 = {d, e} Ambil a3 = d dan sirkuit S3 = d, f, i, j, h, k, g, d, dan C3 = d, c, b, e, a, b, d, f, i, j, h, k, g, d, E3 = {(d, c), (c, b), (b, e), (e, a), (a, b), (b, d), (d, f), (f, i), (i, j), (j, h), (h, k), (k, g), (g, d)}, dan W3 = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} F3 = E E3 = {(e, f), (e, i), (f, g), (g, h), (h, i)} , maka bentuk G3 = (V3, F3) dengan V3 = {e, f, g, h, i} dan W3 V3 = {e, f, g, h, i} Ambil a4 = e dan sirkuit S4 = e, f, g, h, i, e, dan C4 = d, c, b, e, f, g, h, i, e, a, b, d, f, i, j, h, k, g, d, E4 = {(d, c), (c, b), (b, e), (e, a), (a, b), (b, d), (d, f), (f, i), (i, j), (j, h), (h, k), (k, g), (g, d), (e, f), (e, i), (f, g), (g, h), (h, i)}, dan W4 = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} F4 = E E4 = , maka C4 adalah sirkuit Euler yang dicari. (24) Teorema: Suatu graf G = (V, E) memiliki sebuah lintasan Euler tetapi tidak memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan memiliki tepat dua verteks u dan v berderajat ganjil. Bukti: Coba sendiri. Contoh: C.38. Selidiki apakah graf G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d} dan E = {(a, b), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)} memiliki lintasan Euler? C.39. Selidiki apakah graf G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e, f, g} dan E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, f), (f, a), (a, g), (b, g), (c, g), (d, g), (e, g), (f, g)} memiliki lintasan Euler?

24

VII. Lintasan Hamilton dan Sirkuit Hamilton (25) Definisi: Sebuah lintasan L pada suatu graf G = (V, E) (graf sederhana atau graf ganda) disebut sebuah lintasan Hamilton apabila L adalah sebuah lintasan yang melalui setiap v V tepat satu kali. Suatu sirkuit S pada suatu graf G disebut sirkuit Euler apabila S adalah sebuah sirkuit yang melalui setiap v V tepat satu kali. . Contoh: C.40. Tentukan sebuah sirkuit Hamilton pada graf a b G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e} dan c d E = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d), (c, e), (d, e)}. Jawaban: e Sirkuit Hamiltonnya adalah S = a, b, d, e, c, a atau S = a, c, e, d, b, a atau S = a, d, e, c, b, a. C.41. Tentukan sebuah sirkuit Hamilton pada graf a b G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e} dan E = {(a, b), (a, d), (b, c), (c, d), (d, e)}. c d Jawaban: Tidak ada sirkuit Hamilton, karena e berderajat satu. e C.42. Tentukan sebuah sirkuit Hamilton pada graf a b G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e} dan c E = {(a, b), (a, c), (b, c), (c, d), (c, e), (d, e)}. e d Jawaban: Tidak ada sirkuit Hamilton, karena verteks c perlu dilewati dua kali. C.43. Buktikan bahwa setiap graf lengkap Kn, untuk n 3, memiliki suatu sirkuit Hamilton. Bukti: Coba sendiri.

25

C.44. Selidiki apakah graf G = (V, E) berikut memiliki lintasan Hamilton ? A B B B A A A A B B A B A A A B Jawaban : Ambil sebuah verteks v sembarang, beri label A pada v, lalu pada setiap verteks yang bersisian dengan v diberi label B, dan setiap verteks yang bersisian dengan verteks berlabel B diberi label A, hal ini dilakukan terus sampai semua verteks telah berlabel. Pada graf G di atas, ternyata jumlah verteks berlabel A adalah 9 dan jumlah verteks yang berlabel B adalah 7, maka tidak mungkin ada lintasan Hamilton. Tidak ada syarat perlu dan cukup agar sebuah graf memiliki suatu sirkuit Hamilton, tetapi terdapat syarat cukup agar sebuah graf memiliki suatu sirkuit Hamilton. (26) Teorema: Syarat cukup untuk sebuah graf sederhana G dengan n verteks memiliki suatu lintasan Hamilton adalah jumlah derajat setiap pasang verteks dari G harus lebih besar atau sama dengan (n 1). Bukti: Pertama-tama dibuktikan dahulu bahwa jika jumlah derajat setiap pasang verteks lebih besar atau sama dengan (n 1), maka G terhubung. Misalkan G tidak terhubung, berarti G memiliki dua atau lebih komponen. Misalkan v1 adalah suatu verteks di komponen yang memiliki n1 verteks dan v2 adalah verteks di komponen yang memiliki n2 verteks, maka deg(v1) n1 1 dan deg(v2) n2 1, berarti deg(v1) + deg(v2) n1 + n2 2, tetapi n1 + n2 n, jadi deg(v1) + deg(v2) n 2 < n 1, bertentangan dengan hipotesa. Jadi G harus terhubung. Sekarang akan dibuktikan bahwa pada graf G dapat dibentuk suatu sirkuit Hamilton. Lintasan Hamiltonnya dibentuk tahap demi tahap, dimulai dengan lintasan yang terdiri dari satu sisi saja. Kemudian, misalkan ada suatu lintasan L = v1, v2, ,vp panjang (p 1), p < n v1 v2 v3 vp Maka akan timbul 2 kasus berikut: a) v1 atau vp bersisian dengan suatu verteks w yang tidak ada di L.

26

b) v1 dan vp hanya bersisian dengan verteks-verteks yang ada di L. Dalam kasus a), dibuat lintasan baru dengan panjang p, L = w, v1, v2, ,vp atau L = v1, v2, ,vp, w w v1 v2 v3 vp atau v1 v2 v3 vp w Dalam kasus b), akan dibuktikan bahwa terdapat suatu sirkuit S yang hanya mengandung verteks-verteks v1, v2, ,vp saja. Di sini akan terdapat dua kemungkinan, yaitu i. v1 bersisian dengan vp

Dalam hal ini sirkuit yang dimaksud adalah S = v1, v2, ,vp, v1 v1

v2 v3 vp

ii. v1 tidak bersisian dengan vp, dan hanya bersisian dengan verteks-verteks

1,iv 2 ,iv , ,kiv dengan 2 ij (p 1), j = 1, 2, , k

maka vp akan bersisian dengan salah satu dari 1 1,iv 2 1,iv , 1,kiv sebab bila tidak demikian, akan berlaku

deg(vp) (p 1 k) sedangkan deg(v1) = k jadi,

deg(v1) + deg(vp) k + (p 1 k) = (p 1) < (n 1) bertentangan dengan hipotesa. Jadi vp pasti bersisian dengan salah satu dari 1 1,iv 2 1,iv

, 1,kiv misalkan vj1, maka akan diperoleh sirkuit S = v1, v2, , vj1, vp, vp1, vp2, ,vj, v1 Karena G terhubung, maka salah satu dari v2, , vp1, misalkan vk, pasti bersisian dengan

satu verteks u yang berbeda dengan v1, v2, ,vp. Maka akan diperoleh lintasan baru L dengan panjang p,

L = u, vk, vk+1, , vj1, vp, vp1, vp2, ,vj, v1, v2, ,vk1 Proses di atas diulangi terus sampai diperoleh lintasan dengan panjang (n 1). (27) Teorema: Syarat cukup untuk sebuah graf sederhana G dengan n (n 3) verteks memiliki suatu sirkuit Hamilton adalah derajat setiap verteks dari G harus lebih besar atau sama dengan n/2.

27

VIII. Lintasan Terpendek Banyak aplikasi teori graf yang membutuhkan pengertian graf berbobot. (28) Definisi: Sebuah graf G = (V, E) disebut graf berbobot (weighted graf), apabila terdapat sebuah fungsi bobot bernilai real W pada himpunan E, W : E R, nilai W(e) disebut bobot untuk sisi e, e E. Graf berbobot tersebut dinyatakan pula sebagai G = (V, E, W). Graf berbobot G = (V, E, W) dapat menyatakan suatu sistem perhubungan udara, di mana

V = himpunan kota-kota E = himpunan penerbangan langsung dari satu kota ke kota lain W = fungsi bernilai real pada E yang menyatakan jarak atau ongkos atau waktu

suatu sistem jaringan komputer, di mana V = himpunan komputer E = himpunan jalur komunikasi langsung antar dua komputer W = fungsi bernilai real pada E yang menyatakan jarak atau ongkos atau waktu

Dengan adanya bobot pada setiap sisi, maka timbul persoalan menentukan lintasan terpendek (shortest path) antara dua verteks dalam sebuah graf berbobot. Lintasan terpendek dapat berarti jalur termurah atau terdekat atau tercepat tergantung pada makna dari fungsi bobot yang bersangkutan. Terdapat beberapa algoritma untuk mencari lintasan terpendek antara dua verteks dalam sebuah graf berbobot, salah satunya adalah algoritma Dijkstra. Ide dasar dari algoritma tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan dalam sebuah graf berbobot G = (V, E, W) ingin dicari suatu lintasan terpendek P(a, z) dari verteks a V ke verteks z V. Untuk itu, dicari dahulu lintasan terpendek P(a, b) dari a ke suatu verteks lain b di V, kemudian dicari lagi lintasan terpendek P(a, c) dari a ke suatu verteks lain lagi c di V, dan seterusnya. Lalu berhenti apabila lintasan P(a, z) telah diperoleh. Caranya adalah sebagai berikut: 1) Selama proses berlangsung ditentukan dua himpunan S V dan B V, dengan

S B = V dan S B = , dan S = himpunan verteks-verteks yang sudah diketahui lintasan terpendeknya dari a B = himpunan verteks-verteks yang belum diketahui lintasan terpendeknya dari a

2) Setiap sisi memiliki bobot tertentu, sisi yang tidak ada diberi bobot tak berhingga (). 3) Misalkan B V dengan a B, dan S = V B. Lintasan terpendek dari a ke salah satu verteks

di B dapat ditentukan sebagai berikut: Untuk setiap verteks t B, diberi label L(t) yang menyatakan panjang suatu lintasan terpendek

di antara semua lintasan dari a ke t yang tidak melibatkan verteks lain di B, (boleh melibatkan verteks lain di S), L(t) disebut label untuk t terhadap S.

4) Ambil verteks t1 di B yang memiliki label terkecil di antara semua label-label verteks di B, maka L(t1) adalah panjang lintasan terpendek dari a ke t1. Bukti:

Misalkan L(t1) bukan panjang lintasan terpendek dari a ke t1, maka ada suatu lintasan P(a, t1) dari a ke t1 yang panjangnya kurang dari L(t1). Lintasan P(a, t1) ini pasti melibatkan satu atau

28

lebih verteks di B1 = B {t1}. Andaikan u adalah verteks pertama di B1 yang ditemui dalam lintasan P(a, t1) itu. Hal ini berarti bahwa

L(u) < L(t1) Kontradiksi dengan L(t1) merupakan label terkecil di antara label-label verteks di B.

5) Cara efisien untuk menentukan label baru dari label sebelumnya adalah sebagai berikut: Misalkan semua verteks di B telah memiliki label terhadap suatu S, dan x adalah vertek di B dengan label terkecil. Bentuk

S = S {x} dan B = B {x}, maka label L(t) untuk verteks t di B terhadap S adalah

L(t) = min [L(t), L(x) + W(x, t)] karena, lintasan terpendek dari a ke t tanpa melibatkan verteks lain di B dapat merupakan

lintasan yang tidak melibatkan x dan vertek lain di B, maka L(t) bisa = L(t), lintasan yang terdiri dari suatu lintasan dari a ke x yang tidak melibatkan verteks di B

kemudian diteruskan oleh sisi dari x ke t, maka L(t) bisa = L(x) + W(x, t). Contoh: C.45. Diberikan sebuah graf berbobot G = (V, E, W), dengan V = {a, b, c, d, e, z}, b d E = {(a, b), (a, c), (b, c), (b, d), (b, e), a z (c, e), (d, e), (d, z), (e, z)} c e dan W(a, b) = 1, W(a, c) = 4, W(b, c) = 2, W(b, d) = 7, W(b, e) = 5, W(c, e) = 1, W(d, e) = 3, W(d, z) = 2, W(e, z) = 6. Jawaban: Misalkan S = {a, b} dan B = {c, d, e, z}. Untuk menentukan label untuk c terhadap S, dicari semua lintasan dari a ke c yang tidak melibatkan verteks lain di B, di sini hanya ada dua,yaitu: lintasan a, c dengan panjang W(a, c) = 4, dan lintasan a, b, c dengan panjang W(a, b) + W(b, c) = 1 + 2 = 3, jadi L(c) = min(4, 3) = 3. Lintasan dari a ke d yang tidak melibatkan verteks lain di B hanya ada satu, yaitu lintasan a, b, d dengan panjang W(a, b) + W(b, d) = 1 + 7 = 8, jadi L(d) = 8. Lintasan dari a ke e yang tidak melibatkan verteks lain di B hanya ada satu, yaitu lintasan a, b, e dengan panjang W(a, b) + W(b, e) = 1 + 5 = 6, jadi L(e) = 6. Lintasan dari a ke z yang tidak melibatkan verteks lain di B tidak ada, atau dapat diambil lintasan a, b, z dengan W(b, z) = , berarti panjang lintasan tersebut adalah W(a, b) + W(b, z) = 1 + = , jadi L(e) = . Di antara L(c), L(d), L(e) dan L(z), yang terkecil adalah L(c), maka panjang lintasan terdendek dari a ke c adalah L(c) = 3. Bentuk S = S {c} = {a, b, c}dan B = B {c} = {d, e, z} maka L(d) = min [L(d), L(c) + W(c, d)] = min [8, 3 + ] = 8 L(e) = min [L(e), L(c) + W(c, e)] = min [6, 3 + 1] = 4 L(z) = min [L(z), L(c) + W(c, z)] = min [, 3 + ] = Jadi panjang litasan terpendek dari a ke e adalah 4. (29) Algoritma Dijkstra untuk mencari panjang lintasan terpendek dari vertek a ke vertek z di sebuah graf berbobot G = (V, E, W) 1) Pertama-tama misalkan S = {a} dan B = V {a}. Untuk setiap verteks t di B tentukan,

29

L(t) = W(a, t), (W(a, t) = bila (a, t) E) 2) Pilih verteks x di B yeng memiliki label terkecil terhadap S. 3) Jika x adalah verteks yang ingin dicapai, yaitu z, maka stop. Jika tidak, bentuk S = S {x}

dan B = B {x}. Untuk setiap verteks t di B tentukan labelnya terhadap S dengan rumus L(t) = min [L(t), L(x) + W(x, t)] 4) Ulangi langkah 2) dan 3) dengan memakai S sebagai S dan B sebagai B. C.46. Tentukan lintasan terpendek dari verteks a ke verteks z dan panjangnya pada graf berbobot G = (V, E, W), dengan V = {a, b, c, d, e, z}, E = {(a, b), (a, c),(b, c), (b, d), (b, e), b d (c, e), (d, e), (d, z), (e, z)} a z dan W(a, b) = 1, W(a, c) = 4, W(b, c) = 2, c e W(b, d) = 7, W(b, e) = 5, W(c, e) = 1, W(d, e) = 3, W(d, z) = 2, W(e, z) = 6. Jawaban: Pertama-tama ambil S = {a} dan B = V {a} = {b, c, d, e, z}. Untuk setiap verteks t di B, diberikan label L(t) dan label pendamping a , L(b) = W(a, b) = 1, L(c) = W(a, c) = 4, (1, a) b d (,a) L(d) = W(a, d) = , a z (,a) L(e) = W(a, e) = , (4, a) c e (,a) L(z) = W(a, z) = . Tahap 1: Label terkecil adalah L(b) = 1, maka ambil x = b, dan bentuk S = S {b} = {a, b} dan B = B {b} = {c, d, e, z}. Untuk setiap verteks t di B, diberikan label L(t) dan label pendamping a, b, L(c) = min [L(c), L(b) + W(b, c)]

= min [4, 1 + 2] = 3, (1,a) b d (8,a, b) L(d) = min [L(d), L(b) + W(b, d)]

= min [, 1 + 7] = 8, a z (,a, b) L(e) = min [L(e), L(b) + W(b, e)]

= min [, 1 + 5] = 6 (3,a, b) c e (6,a, b) L(z) = min [L(z), L(b) + W(b, z)]

= min [, 1 + ] = Ambil S sebagai S dan B sebagai B, begitu pula L(t) sebagai L(t) untuk semua verteks t di B. Tahap 2: Label terkecil adalah L(c) = 3, maka ambil x = c,. dan bentuk S = S {c} = {a, b, c} dan B = B {c} = {d, e, z}. Untuk setiap verteks t di B, beri label L(t) dan label pendamping a, b, c,

30

L(d) = min [L(d), L(c) + W(c, d)] = min [8, 3 + ] = 8 (1,a) b d (8,a, b, c)

L(e) = min [L(e), L(c) + W(c, e)] = min [6, 3 + 1] = 4 a z (,a, b, c)

L(z) = min [L(z), L(c) + W(c, z)] = min [, 3 + ] = (3,a, b) c e (4,a, b, c)

Ambil S sebagai S dan B sebagai B, begitu pula L(t) sebagai L(t) untuk semua verteks t di B. Tahap 3: Label terkecil adalah L(e) = 4, maka ambil x = e,. dan bentuk S = S {e} = {a, b, c, e} dan B = B {e} = {d, z}. Untuk setiap verteks t di B, beri label L(t) dan label pendamping a, b, c, e, L(d) = min [L(d), L(d) + W(d, z)]

= min [8, 4 + 3] = 7 (1,a) b d (7, a, b, c, e) L(z) = min [L(z), L(e) + W(e, z)]

= min [, 4 + 6] = 10 a z (10, a, b, c, e) (3, a, b) c e (4, a, b, c) Ambil S sebagai S dan B sebagai B, begitu pula L(t) sebagai L(t) untuk semua verteks t di B. Tahap 4: Label terkecil adalah L(d) = 7, maka ambil x = d,. dan bentuk S = S {d} = {a, b, c, e, d} dan B = B - {e} = {z}. Untuk setiap verteks t di B, diberikan label L(t) dan label pendamping a, b, c, e, d, (1,a) b d (7, a, b, c, e) L(z) = min [L(z), L(d) + W(d, z)]

= min [10, 7 + 2] = 9 a z (9, a, b, c, e, d) (3,a, b) c e (4, a, b, c) Ambil S sebagai S dan B sebagai B, begitu pula L(t) sebagai L(t) untuk semua verteks t di B. Tahap 5: Label terkecil adalah L(z) = 9, maka ambil x = z, dan sampailah pada tujuan. Jadi panjang lintasan terpendek dari a ke z adalah 9. Dan label pendamping verteks z memberikan lintasan terpendeknya, yaitu a, b, c, e, d, z. Dari komputasi di atas, selain diperoleh lintasan terpendek dari verteks a ke verteks z, juga diperoleh lintasan terpendek dari a ke b : lintasan a, b dengan panjang 1 c : lintasan a, b, c dengan panjang 3 d : lintasan a, b, c, e, d dengan panjang 7 e : lintasan a, b, c, e dengan panjang 4. C.47. Tentukan sebuah lintasan terpendek dari verteks a ke verteks z dan panjangnya pada graf berbobot G = (V, E, W), dengan V = {a, b, c, d, e, f, g, z}, E = {(a, b), (a, c), (b, c), (b, d), (c, d), (c, e), (d, e), (d, f), (e, g), (f, g), (f, z), (g, z)}, dan

31

W(a, b) = 4, W(a, c) = 3, W(b, c) = 2, W(b, d) = 5, W(c, d) = 3, W(c, e) = 6, W(d, e) = 1, W(d, f) = 5, W(e, g) = 5, W(f, g) = 2, W(f, z) = 7, W(g, z) = 4.

b d f a z c e g IX. Graf Planar (30) Definisi: Sebuah graf G = (V, E) disebut sebuah graf planar apabila graf tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bidang datar tanpa ada sisi yang saling berpotongan (kecuali sisi sisi berpotongan pada sebuah verteks).

Contoh: C.48. 1) Apakah graf lengkap dengan 4 verteks K4 adalah planar.

Jawaban: K4 adalah sebuah graf planar 2) Apakah Q3, yaitu graf berbentuk kubus dimensi 3, merupakan graf planar ?

Jawaban: Q3 adalah sebuah graf planar 3) Apakah graf bipartite lengkap K3,3 planar?

Jawaban: K3,3 bukan sebuah graf planar.

Representasi planar suatu graf (yaitu representasi graf itu pada bidang datar), membagi bidang datar tersebut menjadi daerah-daerah (regions).

Contoh: C.49. Graf lengkap dengan 4 verteks membagi bidang datar menjadi 4 daerah: R1, R2, R3, dan R4, R4 Terlihat bahwa Jumlah daerah = r = 4 Jumlah verteks = v = 4 R2 R1 Jumlah sisi = e = ( 1)

2v v = 6, R3

antara r, v dan e terdapat hubungan r = e v + 2.

(31) Teorema Euler: Jika G adalah sebuah graf sederhana planar terhubung dengan v verteks dan e sisi dan representasi planar graf itu membagi bidang datar itu menjadi r buah daerah, maka berlaku r = e v + 2.

Contoh: C.50. Sebuah graf sederhana planar terhubung G memiliki 20 verteks, masing-maing berderajat 3. Berapa daerah yang terjadi pada representasi planar dari graf G itu? Jawaban: v = 20, jumlah derajat = 3 x 20 = 60. Sedangkan telah diketahui bahwa: jumlah derajat = 2 x jumlah sisi, jadi 2 x e = 60, maka e = 30. Dari rumus Euler diperoleh: r = e v + 2 = 30 20 + 2 = 12.

32

(32) Definisi: Derajat suatu daerah adalah jumlah sisi pada batas daerah itu. Apabila suatu sisi perlu ditelusuri dua kali dalam menelusuri batas daerah tersebut, maka sisi itu memberikan kontribusi 2 kepada derajat daerah tersebut. Contoh: C.51. Derajat masing-masing daerah graf di samping adalah derajat R1 = 3 R3 R1 derajat R2 = 6 derajat R3 = 7 R2 (33) Teorema Euler I: Jika G adalah sebuah graf sederhana planar terhubung dengan v verteks dan e sisi, dengan v 3, maka e 3v 6

Contoh: C.52. Buktikan bahwa K5 tidak planar. Bukti:

K5 memiliki jumlah verteks v = 5, jumlah sisi = e = ( 1)

2v v = 5(5 1)

2 = 10,

maka 3v 6 = 9, jadi pertaksamaan e 3v 6, atau 10 9 tidak terpenuhi, maka berdasarkan Teorema 33, K5 tidak planar. (34) Teorema Euler II: Jika G adalah sebuah graf sederhana planar terhubung dengan v verteks dan e sisi, dengan v 3, dan tidak memiliki sikuit dengan panjang 3, maka e 2v 4. Contoh: C.53. Buktikan bahwa K3,3 tidak planar. Bukti: K3,3 memiliki jumlah verteks v = 6, jumlah sisi = e = 3 x 3 = 9, 3v 6 = 12. Di sini pertaksamaan e 3v 6, atau 9 12 terpenuhi, tetapi tidak berarti bahwa K3,3 planar. K3,3 tidak memiliki sirkuit dengan panjang 3, maka dicoba Teorema (5.34). Hitung 2v 4 = 8, terlihat bahwa e 2v 4 tidak terpenuhi, maka K3,3 bukan graf planar. (35) Definisi: Dari sebuah graf G = (V, E) dapat diperoleh sebuah graf baru G = (V, E) dengan melakukan operasi berikut: V = V {w}, dengan w V, dan untuk suatu sisi (u, v) di E bentuk E = ( E {(u, v)}) {(w, u), (w, v)}. Dengan perkataan lain, operasinya adalah menambah sebuah verteks baru w ke V dan menghapus sebuah sisi (u, v) E, dan sekaligus menambah dua buah sisi (u, w) dan (v, w) ke E, operasi ini disebut operasi pembelahan elementer (elementary subdivision) terhadap sisi (u, v).

33

(36) Teorema: Sebuah graf G yang diperoleh dari sebuah graf planar G dengan melakukan operasi pembelahan elementer berhingga kali juga merupakan sebuah graf planar. Bukti: Coba sendiri. (37) Definisi: Dua graf G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) dikatakan homeomorfik jika kedua graf itu dapat diperoleh dari graf yang sama melalui sebarisan operasi pembelahan elementer.

Contoh: C.54. Graf G = (V, E) dengan G : b a V = {a, b, c, d, e, f, g, h} dan E = {(a, d), (a, f), (b, c), (b, d), (b, g), (c, f), (e, h), (g, h)} f g dapat diperoleh dari graf G1 = (V1, E1) di mana V1 = { a, b, c, d, e, f, g} dan c d h e E1 = {(a, d), (a, f), (b, c), (b, d), (b, g), (c, f), (e, g)} dengan melakukan operasi pembelahan elementer terhadap sisi (e, g). b a Graf G1 = (V1, E1) dapat diperoleh dari graf G2 = (V2, E2) di mana G1 : f g V2 = { a, b, c, d, e, f} dan E2 = {(a, d), (a, f), (b, c), (b, d), (b, e), (c, f)} c d e dengan melakukan operasi pembelahan elementer terhadap sisi (b, e). b a Graf G2 = (V2, E2) dapat diperoleh dari graf G3 = (V3, E3) di mana G2 : f V3 = {a, b, c, d, e} dan E3 = {(a, d), (a, c), (b, c), (b, d), (b, e)} c d e dengan melakukan operasi pembelahan elementer terhadap sisi (a, c). Graf G3 = (V3, E3) dapat diperoleh dari G3 : b a graf G4 = (V4, E4) di mana V4 = {a, b, c, e} dan c d e E4 = {(a, b), (a, c), (b, c), (b, e)} G4 : b a dengan melakukan operasi pembelahan elementer terhadap sisi (a, b). c e Jadi lima graf G, G1, G2, G3, G4 saling homeomorfik. (38) Teorema Kuratowski: Sebuah graf G = (V, E) adalah tidak planar jika dan hanya jika G mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik dengan K3,3 atau K5.

34

Contoh: C.55. Apakah graf G = (V, E) planar? Bila V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} dan E = {(a, b), (a, c), (a, g), (a, i), (b, c), (b, g), (b, i), (b, j), (c, d), (c, h), (c, i), (c, j), (d, e), (e, f),

(f, g), (g, h), (g, i), (g, k), (i, k)} Jawaban: G mengandung subgraf G1 = (V1, E1) dengan V1 = {a, b, c, d, e, f, g, i} dan E1 = {(a, b), (a, c), (a, g), (a, i), (b, c), (b, g), (b, i), (c, d), (c, i), (d, e), (e, f), (f, g), (g, i)} Sedangkan graf G1 homeomorfik dengan K5. Maka G tidak planar. X. Pewarnaan Graf

Dalam mewarnai suatu peta, dua daerah (negara atau propinsi) yang memikili batas bersama biasanya diberi warna yang berbeda. Maka timbul pertanyaan berapa jumlah warna yang diperlukan untuk mewarnai suatu peta agar daerah-daerah yang memiliki batas yang sama tidak berwarna sama? Setiap peta dapat direpresentasikan oleh sebuah graf, di mana verteksnya merepresentasikan daerah, dan sebuah sisi menghubungkan 2 verteks yang memiliki batas bersekutuan. Dua daerah yang hanya bersinggungan di satu titik tidak dianggap memiliki batas persekutuan. Contoh: C.56. Graf G1 menyatakan peta di sampingnya. D A A B B G1 : D C E C E Jadi persoalan mewarnai peta setara dengan persoalan mewarnai verteks-verteks sehinga tidak ada dua verteks yang bersisian berwarna sama.

(39) Definisi: Jumlah warna yang paling kecil yang dibutuhkan untuk mewarnai sebuah graf agar tidak ada dua verteks yang bersisian berwarna sama disebut bilangan kromatik (chromatic number) dari graf tersebut.

Contoh: C.57. Tentukan bilangan kromatik dari Kn dan Km,n. Jawaban: Bilangan kromatik dari Kn adalah n dan bilangan kromatik dari Km,n adalah 2.

35

C.58. Tentukan bilangan kromatik dari graf G = (V, E) dengan b e V = {a, b, c, d, e, f, g} dan E = {(a, b), (a, c), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), a d g (c, f), (d, e), (d, f), (e, f), (e, g), (f, g)} Jawaban: c f Bilangan kromatik dari G adalah 3. C.59. Tentukan bilangan kromatik dari graf G = (V, E) dengan V = {a, b, c, d, e, f, g} dan E = {(a, b), (a, c), (a, g), (b, c), (b, d), (b, e), b e (c, f), (d, e), (d, f), (e, f), (e, g), (f, g)} a g d Jawaban: Bilangan kromatik dari G adalah 4. c f

(40) Teorema Empat Warna (Four coloring): Bilangan kromatik dari suatu graf planar adalah lebih kecil atau sama dengan 4.

DIKTATProf. BELAWATI H. WIDJAJA, Ph.D FAKULTAS ILMU KOMPUTERUNIVERSITAS INDONESIA