Gelombang SeismikAgus Eko SMR Geofisika,Jurusan Fisika,Fakultas MIPA,Universitas Brawijaya Jl. Veteran,65145,Malang,Indonesia Email : agus_esmr@sains.fisika.net

Abstrak Banyak bangunan yang dibuat oleh manusia hancur sebab gempa bumi. Dari sini manusia mulai memikirkan bagaimana mendeteksi getaran besar yang menghancurkan bangunan mereka itu. Kemudian mereka menemukan alat yang dapat mendeteksi gelombang gempa yang kemudian dikenal sebagai gelombang seismik. Pada saat sekarang ini manusia mempelajari gelombang seismik tidak lagi hanya untuk mendeteksi adanya gempa bumi namun juga untuk keperluan eksplorasi. Dengan mempelajari sifat-sifat golombang, sumber gelombang, dan dengan menamai gelombang berdasar cara dia merambat, maka kita akan dapat memanfaatkan gelombang gempa atau gelombang seismik untuk keperluan manusia. Untuk memberikan pembahasan yang lebih mendetail, dalam makalah ini hanya akan dibahas mengenai tipe-tipe gelombang seismik beserta sedikit tambahan persamaan dasar gelombangnya.

Pendahuluan Gelombang seismik adalah gelombang mekanis yang muncul akibat adanya gempa bumi. Sedangkan gelombang secara umum adalah fenomena perambatan gangguan (usikan) dalam medium disekitarnya. Gangguan ini mulamula terjadi secara local yang menyebabkan terjadinya osilasi (pergeseran) kedudukan pertikel-partikel medium, osilasi tekanan ataupun osilasi rapat massa. Karena gangguan merambat dari satu tempat ke tempat lain, berarti ada transformasi energi. Gelombang seismik disebut juga gelombang elastik karena osilasi partikelpartikel medium terjadi akibat interaksi antara gangguan (gradien stress) melawan gaya-gaya elastik. Dari interaksi ini dapat muncul gelombang longitudinal, gelombang transversal dan kombinasi antara keduanya. Apabila medium hanya

memunculkan gelombang longitudinal saja (misalnya di air atau di dalam fluida) maka dalam kondisi ini gelombang seismik sering dianggap sebagi gelombang akustik. Sumber gelombang seismik yang pada awalnya berasal dari gempa bumi alam yang dapat berupa gempa vulkanik maupun gempa tektonik, namun pada saat sekarang ini sumber gelombang seismik dapat berasal dari sumber buatan seperti water gun, dinamit atau hentakan martil dan yang lainnya.Partikel medium dalam keadaan setimbang

Zona peregangan

Sumber usikan

Zona pemampatan

Sinyal seismik

Gambar.1. Pemampatan dan peregangan partikel-partikel medium akibat adanya sumber usikan dapat dinyatakan dalam bentuk grafik tekanan atau pergeseran partikel sebagai fungsi jarak atau waktu yang disebut sebagai sinyal seismik (Dobrin,1976).

Gradien tegangan mengakibatkan terganggunya keseimbangan gaya-gaya didalam medium sehingga terjadi pergeseran titik materi yang menyebabkan deformasi yang menjalar dari satu titik ke titik lain. Dimana deformasi ini dapat menyebabkan pemampatan atau peregangan partikel-partikel medium yang

berbentuk osilasi. Kurva osilasi yang bentuknya mirip sinusoidal terpotong ini dinamakan sinyal seismik.

Tipe-tipe Golombang Seismik Pada pembahasan ini tipe golombang seismik didasarkan pada cara begetar, tempat menjalar dan bentuk muka gelombangnya.

Menurut cara bergetar Menurut cara bergetarnya gelombang seismik dibedakan atas dua tipe yaitu: 1. Gelombang longitudinal : arah getar (osilasi) partikel-partikel medium searah dengan arah penjalaran (Gambar.2a). Gelombang longitudinal disebut juga gelombang kompresi karena terbentuk dari osilasi tekanan yang menjalar dari satu tempat ke tempat lain. Disebut juga gelombang P (Primary) karena datang paling awal dibanding gelombang-gelombang yang lain. 2. Gelombang transversal : arah getar (osilasi) partikel-partikel medium tegak lurus terhadap arah penjalarannya (Gambar.2b). Gelombang transversal juga biasa disebut dengan gelombang rotasi atau gelombang S (Secondary), karena dia datang setelah gelombang P.

(a)

(b)

Gambar.2. (a) bentuk gelombang longitudinal, arah rambat gelombang searah dengan arah getarnya partikel medium. (b) bentuk gelombang transversal yang arah rambatannya tegak lurus dengan arah getarnya.

Menurut tempat menjalarnya Menurut tempat menjalarnya, gelombang seismik dapat dibedakan menjadi dua bagian yakni gelombang tubuh (body wave) yang menjalar masuk menembus medium, dan gelombang permukaan (surface wave) yang

amplitudonya akan semakin melemah bila semakin masuk kedalam medium. Ada beberapa jenis gelombang permukaan diantaranya adalah gelombang Rayleigh, gelombang Love, Pseudo Rayleigh, Pseudo Love dan gelombang Stoneley atau gelombang tabung. Adapun bentuk gelombang-gelombang tersebut adalah sebagai berikut :

(a)Gambar.3.

(b)

(a) gelombang Reyleigh bertipe P-SV, partikel medium bergerak pada bidang vertical mengikuti pola elips sementara penjalaran ke arah lateral. (b) gelombang love bertipe P-SH, partikel medium bergerak mengikuti pola elips pada bidang horizontal, sementara penjalarannya kearah lateral.

Menurut bentuk muka gelombang Berdasarkan bentuk muka gelombangnya, gelombang seismik dapat dibedakan atas empat macam, yaitu gelombang bidang/datar, gelombang silinder, gelombang bola (sferis), dan gelombang kerucut (conic). Muka gelombang adalah suatu bidang permukaan yang pada suatu saat tertentu membedakan medium yang telah terusik dengan medium yang belum terusik. Muka gelombang merupakan cerminan dari penjalaran usikan. 1. Gelombang Bidang Gelombang bidang atau gelombang datar ditimbulkan oleh sumber terkolimasi (Tjia,1994). Gelombang ini menjalar sepanjang satu arah

tertentu dengan muka gelombang yang berupa bidang datar tegak lurus pada arah perambatannya.

X

Gambar.4. Gelombang bidang merambat kearah gelombang berbentuk bidang datar.

X

positif.

Muka

2. Gelombang Silinder Gelombang silinder dapat ditimbulkan dari sumber usikan yang seragam dan terletak disepanjang suatu garis lurus. Gelombang silinder menjalar ke semua arah tegak lurus pada garis sumbu dengan kecepatan sama. Muka gelombangnya berbentuk silinder yang koaksial (sesumbu).

Gambar.5. Gelombang silinder merambat kearah radial simetris terhadap sumbu tegak.

3. Gelombang Bola

Gelombang bola (sferis) ditimbulkan oleh sumber berupa titik (point source) yang menjalar ke segala arah menuju ke pusat bola atau menjauhi pusat bola dengan kecepatan yang sama, muka

gelombangnya berbentuk permukaan bola yang konsentris (sepusat).

Gambar.6. Gelombang bola (digambar ) menjalar radial menjauhi pusat bola, dan keadaan tersebut ketika merambat dalam medium homogen, isotropic dan elastik sempurna.

4. Gelombang Kerucut Gelombang kerucut ditimbulkan oleh sumber yang bergerak. Dalam hal ini sumber gelombang bergerak lebih cepat dari pada cepat rambat gelombang itu sendiri dan muka gelombang berupa kerucut-kerucut yang sesumbu. Keadaan ini dijumpai pada penerbangan pesawat supersonik. Gambar.7. Muka gelombang berbentuk kerucut akibat sumber gelombang bergerak lebih cepat dari pada kecepatan suara.

Dalam gelombang seismik hal ini terjadi juga yakni pada fenomena perambatan gelombang terbias (head wave). Fenomena ini muncul bila gelombang seismik masuk ke dalam medium yang lebih besar cepat rambatnya dengan sudut datang melebihi sudut kritis. Karena Huygens setiap titik dalam medium yang telah diusik menjadi sumber gelombang baru, maka titik disepanjang bidang batas pembias tadi menjadi sumber gelombang yang bergerak lebih cepat dari pada cepat rambat gelombang lapisan pertama.

Persamaan Gelombang SeismikGelombang Longitudinal Dengan cara mendeferensialkan persamaan gerak ke arah sumbu x, y, dan z lalu dijumlahkan akan didapat suatu persamaan gelombang longitudinal, adapun turunan persamaan gerak adalah sebagai berikut :

3u 2 u = ( + ) 2 + 2 2 x x t xv 2 3v = ( + ) 2 + 2 2 y y y t 2 w 3w = ( + ) 2 + 2 2 z z z t

(1)

(2)

(3)

jika persamaan (1), (2), dan (3) dijumlahkan akan dihasilkan suatu persamaan berikut :

3u 2 u 2 v 2 w 3v 3w = ( + ) 2 + 2 + ( + ) 2 + 2 + ( + ) 2 + 2 + + 2 2 2 x x y y z z xt yt zt

yang kemudian dapat dituliskan menjadi :

2 t 2

u u u u u 2 2 u x + y + z = ( + ) + x + y + z

2 = ( + ) 2 + 2 t 2 2 2 = ( + 2 ) 2 t

(4)

Persamaan (4) ini mirip dengan persamaan gelombang yang telah dikenal dalam mekanika yaitu : 2 = 2 2 t 2 (5)

Dalam hal ini adalah kecepatan perambatan gelombang dan adalah fungsi gelombang. Karena menyatakan dilatasi (regangan volume, strain volume) maka persamaan (5) menyatakan persamaan gelombang dilatasi atau gelombang longitudinal dengan kecepatan perambatannya sebesar :

=

( + 2 )

(6)

Gerak gelombang longitudinal merupakan pemampatan dan peregangan partikel-partikel medium yang dijalari gelombang tersebut. Dalam hal ini arah gerakan partikel-partikel medium sejajar dengan arah perambatannya. Dibangdingkan dengan gelombang-gelombang lain dalam seismologi, gerak gelombang longitudinal ini yang paling cepat sehingga selalu sampai di stasiun pengamatan lebih awal dari pada yang lain. Itulah sebabnya gelombang longitudinal disebut juga gelombang P atau gelombang primer.

Gelombang Transversal Diferensialkan persamaan gerak partikel berikut, untuk persamaan (7) kea rah x dan persamaan (8) ke arah y :

2v = ( + ) + 2 v 2 t y

(7)

2u + 2 u = ( + ) 2 t x

(8)

sehingga menjadi : 2 v 3v = ( + ) + 2 2 x y x x t dan

(9)

u 2 3u = ( + ) + 2 2 x y y y t

(10)

kemudian kurangi persamaan (9) dengan persamaan (10), yang akan didapatkan :

2 t 2

v u v u = 2 x y x y

v u missal z = , maka ; x y

2 z = 2 z 2 t

(11)

dengan jalan analogi dapat diturunkan untuk notasi x dan y, dan persamaan (11) dapat ditulis kembali menjadi :

2 = 2 2 t 2 dengan ketentuan : = x i + y + k z j

(12)

Persamaan (12) bentuknya mirip dengan persamaan gelombang dasar, disini fungsi z menyatakan gerak rotasi tegak lurus sumbu z sedang perambatan gelombangnya searah dengan sumbu z, yang biasa juga disebut dengan gelombang transversal.

Adapun cepat rambat gelombang rotasi atau gelombang transversal adalah sebagai berikut :

=

(13)

Gerak gelombang rotasi (transversal) menyebabkan bergetarnya partikelpartikel medium pada arah tegak lurus arah perambatan. Gelombang transversal disebut juga gelombang S (secondary), karena bila dibandingkan dengan gelombang-gelombang gelombang P. Teori gerak gelombang transversal mula-mula diperkenalkan oleh Navier pada tahun 1821, kemudian dikembangkan secara lebih mendalam oleh Piosson pada tahun 1827. Kedua teori ini muncul kurang lebih bersamaan waktunya dengan teori Fresnel tentang gelombang transversal pada cahaya (Kolsky,1976). lain dalam seismologi, waktu datangnya setelah

Gelombang BidangPertama-tama marilah kita anggap bahwa fungsi gelombang hanya tergantung pada x dan t, sehingga persamaan (5) akan berubah menjadi : 1 2 2 = 2 c 2 t 2 x

(14)

Dan menurut dAlembert di tahun 1750 fungsi matematik yang memenuhi persamaan ini, misalnya :

=f(x-ct)(15) yang dapat berubah menjadi :

=A sin(x-ct)atau

(16)

=Aei(x-ct)untuk melukiskan

(17)

gelombang yang merambat dari sumber dan mengarah

menjauhi sumber akan diandaikan sumber terletak di O(0,0). Fungsi-fungsi f(x+ct) secara matematis juga memnuhi persamaan (14), akan tatapi secara fisis tak dapat diterima sebagai penyelesaian persamaan gelombang karena

menyalahi syarat radiasi. Fungsi f(x+ct) menyatakan gelombang yang merambat menuju sumber. Disyaratkan bahwa hanya ada satu sumber di O(0,0). Fungsi gelombang pada persamaan di atas tidak tergantung pada y dan z. Pada persamaan (15), A disebut amplitude dan (x-ct) disebut fasa. Bidang yang melukiskan tempat kedudukan titik-titik yang fasanya sama dinamakan muka gelombang dan dapat digambarkan seperti berikut : x

t

Gambar.8. Fungsi f(x-ct) yang mencerminkan gelombang menjalar ke arah x posifit.

Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa x-ct adalah konstan atau turunannya sama dengan 0 ; d (x ct ) = 0 dt atau

dx =c dtdimana c menyatakan kecepatan penjalaran gelombang. Sekarang diandaikan suatu gelombang bidang menjalar dalam ruang yang dilukiskan dalam gambar 9 berikut :

Z

3 1

2

Y

XGambar.9. Bentuk bidang menjalar dalam ruang dengan arah penjalaran membentuk sudut 1, 2, 3 terhadap sumbu-sumbu koordinat.

Dan penyelesaian persamaan gelombang dari persamaan (14) menjadi :

= f(lx + my + nz cz)Dimana ; l = cos 1m = cos 2 n = cos 3

(18)

yang merupakan cosinus arah. Dengan mengingat

c

=k;= kx ;

cos 1c

cos 2c

= ky;

cos 3c

= kz

dan2 k 2 = k x2 + k y + k z2

dengan demikian persamaan (18) dapat diubah menjadi :

( x, y , z , t ) = Ae

i { t (k x x + k y y + k z z )}

(19)

Gelombang BolaPersamaan (14) dapat dinyatakan dalam koordinat bola sebagai berikut (ganti notasi dengan supaya tidak rancu dengan fungsi gelombang).

1 2 1 2 1 1 2 = r r + sin + sin 2 2 c 2 t 2 r r r sin

(20)

Dengan anggapan bahwa jarak gelombang tidak tergantung pada dan lihat gambar 10 berikut :

z

y x

Gambar.10.

Gelombang bola

Sehingga persamaannya menjadi : 1 2 1 2 = r r 2 2 c t r r r atau

(21)

1 2 2 2 = + r r r 2 c 2 t 2

(22)

lakukan substitusi R=r, sehingga didapatkan persamaan sebagaimana berikut:

R =r + r r 2R 2 =r 2 +2 2 r r r

sehingga persamaan (22) dapat ditulis kembali menjadi :2 1 2 (r ) = 2 (r ) c 2 t 2 r dan penyelesaian umumnya adalah :

r = f1(r-ct) + f2(r+ct) atau

=

1 1 f1 (r ct ) + f 2 (r + ct ) r r

(23)

Penyelesaian ini menerangkan bahwa amplitudo gelombang bola berkurang dengan bertambahnya jarak. Dengan demikian energinya berkurang dengan faktor 1/r2. Hal ini sesuai dengan sifat divergensi sferis dari gelombang bola karena di dalam medium yang homogen isotropic energi gelombang didistribusikan keseluruh arah yang untuk suatu saat tertentu tempat kedudukannya berupa kulit bola dengan luas 4r2. Suku pertama dari persamaa (23) menyatakan gelombang bola yang mengembang dengan muka gelombang berupa kulit-kulit bola, sedang suku kedua menyatakan gelombang bola yang mengkerut menuju titik asal. Karena syarat radiasi di titik O(0,0) maka penyelesaian suku kedua ini tidak kita pakai.

Gelombang Silindris

Jika = (r,t), maka persamaa gelombang dalam koordinat silinder menjadi : 2 1 1 2 + = 2 2 r 2 r r c t

(24)

Pisahkan variable = R() T(t), dan misalnya T(t) = eit, maka persamaan (24) menjadi : 2 R 1 R + + k 2R = 0 2 r r r

dengan k =

c

dan bila dilakukan substitusi x = kr, akibatnya persamaan (24) dapat ditulis kembali menjadi : 2 R 1 R + R=0 x 2 x x (25)

Persamaan (25) merupakan persamaan Bessel yang mempunyai penyelesaian kusus yaitu : = AJ0 (kr) ejt (26)

Hal ini berarti gelombang merambat seperti fungsi sinusoidal dalam waktu tetapi menuruti fungsi quasi sinusoidal dalam jarak. Keadaan yang lain adalah jika = (r,z,t) tetapi tidak bergantung terhadap , maka persamaan gelombang dalam koordinat silinder adalah : 2 1 2 1 2 = + 2 2 r r z r 2 c t 2 yang mempunyai penyelesaian : = R(r)Z(z)ejt, karena : 1 dR = r r R d 2 2 R = r 2 R 2 2 2 = z z 2 z 2

(27)

1 2 2 = 2 = k c c 2 t 2 dan persamaan (27) akan berubah menjadi : (28) 1 d 2 R 1 dR 1 d 2 Z 2 2 + + dr z dz 2 + k = 0 R r dr Penyelesaian dari persamaan (28) adalah dengan melakukan pengelompokan dan menyamakannya dengan suatu konstanta misalnya (-v2), sehingga didapat :d 2 R 1 dR 2 + + ( k v 2 ) R = 0 2 dr r dr d 2Z v2R = 0 dz 2

Persamaan diatas merupakan persamaan Bessel yang punya penyelesaian sebagai berikut : = {A1J0(kr) + A2Y1(kr)}{B1evz + B2e-vz}eit

dengan k2 = k2 + 2, ini nampak bahwa ada saling keterkaitan antara fungsi gelombang terhadap z dan r.

Gelombang Rayleigh

Penyelesaian persamaan gelombang yang telah dibahas terdahulu berlaku pada medium homogen, isotropic dan ukurannya tak berhingga. Pada medium yang berhingga, misalnya pada medium yang dibatasi oleh permukaan tanah atau udara bebas akan muncul suatu bentuk gelombang lain yang disebut gelombang permukaan. Untuk medium berdimensi dua (x-z) yang dibatasi oleh udara bebas maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

= 0 e [ j (t kx + az )]r r = 0 e [ j (t kx + bz )]

(29) (30)

dengan ketentuan :k=

c

a = j k2 b = j k2

2Vp2

2Vs2

agar c merupakan bilangan imajiner murni maka : c