1

GELOMBANG ELASTIS DALAM MEDIUM TAK TERBATAS

DASAR-DASAR TEORI ELASTISITAS

Apabila batuan alami yang terdiri dari butiran–butiran kecil (partikel) dalam

fenomena pada fluktuasi lokal dengan gaya internal terhadap berbagai wilayah

maka hubungan antara butiran (partikel) dapat diabaikan. Jumlah yang banyak

diambil sebagai kumpulan, dengan demikian setiap gaya adalah resultan dari efek-

efek berskala kecil yang disebut dengan variabel kontinu. Derivatif komponen-

komponen gaya yang sangat sukar dipahami pada skala mikroskopik merupakan

yang pasti dalam teori makroskopik. Validitas pendekatan ini mensyaratkan

bahwa seluruh volume mengandung butiran yang banyak dimana gaya bekerja.

Sehingga disetiap kasus “ continuum” batas pencapaian stress yang baik secara

praktis terdapat pada batasan (ruang lingkup) pengamatan.

Bentuk dan ukuran suatu material dapat berubah dengan dikenakannya gaya

luar, dan material pun cenderung untuk kembali kepada keadaan semula ketika

gaya ini dihilangkan. Hal yang serupa terjadi pada fluida yang dapat mengalami

perubahan ukuran (volume) tetapi tidak terjadi perubahan bentuk.

Sifat yang melawan perubahan bentuk maupun ukuran dan kembalinya

kepada kondisi semula ketika gaya luar dihilangkan disebut sebagai Elastisitas.

Suatu material elastic sempurna adalah material yang dapat kembali ke bentuk

semula dengan sempurna setelah terdeformasi. Batuan adalah termasuk sebagai

suatu bahan elastis sempurna.

Hubungan antara gaya yang diterapkan dan deformasi dinyatakan dalam

konsep stress dan strain.

ANALISIS STRESS (TEGANGAN)

Benda- benda padat mampu merambatkan gaya. Untuk “Load Acting” pada

suatu permukaan bebas menghasilkan suatu reaksi terhadap yang lain. Secara

fisis konsep stress persepsi awal dari stress dari sebuah benda menyangkut

2

keseimbangan aksi dan reaksi internal antara bagian-bagian yang berbeda. Secara

implisit pembatasan nilai dari gaya tarik atau gaya beban pada suatu area

menyebabkan area menyusut menjadi nol. Akan tetapi ide pembatasan ini

memberikan kita definisi matematika tentang stress. Ini sama sekali tidak

berhubungan dengan pengukuran secara praktis. Untuk praktisnya, stress pada

titik bagian dalam benda padat tidak dapat dihitung secara langsung, hanya dapat

diduga dari kondisi mekanik pada permukaan terluar, dimana reaksi internal

dalam keadaan seimbang akibat pemberian beban luar.

Kita anggap gaya F bekerja pada titik p continuum elastik. Jika ∆S elemen

permukaan kecil yang mengandung P dan dipotong dari bidang orientasinya oleh

vektor satuan normal n, maka stress pada titik P patuh ke arah n yang diberikan

tiga komponen besaran vektor S

Flim0s

(gambar 1). Keadaan Stress P secara

umum dalam bagian tiga komponen gaya yang melewati permukaan yang tegak

lurus satu sama lain diambil dari batas masing-masing gaya pada permukaan yang

menyusut mendekati nol.

Gambar 1. Tenaga yang bekerja melalui permukaan kecil

3

Gambar 2. Komponen-komponen stress pada sebuah titik dalam kontinum elastik

Titik P dilingkupi dengan volume ∆V yang kecil dari sebuah balok yang

sisinya adalah ∆x, ∆y dan ∆z (gambar 2). Volume ∆V diasumsikan sebagai

makroskopik kecil di mana semua variabel makroskopik konvergen ke batas nilai

di dalamnya. Di saat yang sama mikroskopik yang berguna pada jumlah butiran

atau partikel untuk diberikan kepada variabel-variabel yang diketahui pada teori

continuum.

Kita dapat membuat ∆V yang sangat kecil sehingga setiap perubahan pada

stress dari nilai di P dapat diabaikan. Hal ini diperbolehkan jika P kontinu.

Momen sumbu P dalam arah Oz pada gaya-gaya permukaan di ∆V adalah:

pyx ∆V = pxy ∆V atau pyx = pxy

Dengan cara yang sama, memperhitungkan momen sumbu dalam arah Ox

dan Oy kita dapatkan pxz = pzx dan pzx = pyz . Sehingga kita dapatkan bahwa

pnm = pmn , dan tensor stress adalah simetris.

Stress yang terjadi pada suatu material tidak dapat dihitung tanpa mengikut

sertakan gaya yang terjadi.

4

Gambar 3 menunjukkan suatu blok material yang dikenakan gaya.

Dan stress yang terjadi pada blok material tersebut kita dapat dituliskan

sebagai :

Stress = (gaya/luas area) atau σ = F/A

karena gaya adalah besaran vektor dan luasan adalah besaran skalar maka stress

harus dalam bentuk vektor dan satuan yang digunakan adalah Pa (pascal)

Gaya/satuan Luas = massa x percepatan/Luasan = (kg(m/s2))/m2 = Pa

Sekarang marilah kita mencoba melihat stress yang terjadi pada suatu

bidang. Pada gambar 4 menunjukkan suatu stress yang terjadi pada suatu bidang

sempurna, jika stress datang pada arah tegak lurus bidang, maka yang terdapat

hanya normal stress yang biasa kita sebut sebagai tekanan (pressure). Dan jika

datang dengan arah tidak tegak lurus, maka akan terdapat normal stress (dapat

dihitung dari sudut yang dibentuk) dan shear stress atau tangensial (stress yang

terjadi sejajar dengan bidang).

Gambar 4. Stress yang terjadi pada suatu bidang

5

Chaucy dan Navier adalah dua orang ahli yang mula-mula menganggap

bahwa benda padat adalah suatu sistem yang terdiri dari partikel-partikel medium.

Distribusi partikel ini menerus (continuous) sehingga pergeserannya dapat dilacak

sebagai fungsi koordinat.

Sekarang mari kita tinjau sebuah elemen medium yang kita andaikan

berbentuk kubus (3 dimensi) dengan panjang sisi-sisinya mendekati nol

(gambar 5).

Gambar 5. Stress pada suatu permukaan

Pada gambar 5 di bidang x, komponen stress akan bekerja pada arah x, y

dan z ditulis sebagai σxx ; σyx dan σzx, dimana subscript pertama menunjukkan

arah dari stress tersebut dan subscript kedua menunjukkan kepada permukaan

stress tersebut bekerja. Sehingga σzx menunjukkan bahwa stress bekerja sejajar

dengan sumbu z pada bidang x. Jika subscriptnya sama (misalnya σxx)

menunjukkan normal stress, dan jika subscript berbeda (misalnya σxz) disebut

shear stress.

6

Pada gambar 5 menunjukkan bahwa stress yang terjadi pada permukaan

DEFG sama dengan yang terjadi pada permukaan OABC, begitu pula pada

keempat permukaan lainnya. Sehingga dapat dituliskan tegangan (stress) yang

bekerja pada bidang-bidang elemen kubus ada 9 macam yakni

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

(1)

Persamaan ini biasa disebut sebagai stress tensor.

Jika kubus tersebut berada pada kondisi equilibrium (kondisi diam,

takbergerak, tak berputar, dll) maka akan berlaku

σxy = σyx

σxz = σzx

σyz = σzy

sehingga hanya tinggal 6 komponen tensor yang indipenden. Dan hal ini

menunjukkan bahwa stress tensor adalah suatu tensor simetris.

KASUS TAK SEIMBANG

Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai medium dalam kondisi

static equilibrium (kondisi diam). Sekarang akan dibahas mengenai stress yang

terjadi pada kasus takseimbang seperti yang ditunjukkan pada gambar 6.

Gambar 6. Stress yang terjadi pada ketidakseimbangan

7

Stress yang terjadi pada bidang DEFG dan OABC pada arah x, y dan z

ditulis sebagai

dxx

xxxx

dxx

yxyx

dxx

zxzx

Dan gayanya yang terjadi dapat dituliskan sebagai (Gaya = stress kali satuan

luas) yang terdiri dari

Gaya normal

dydzdxx

F xxxxxx

(2)

Gaya geser

dydzdxx

F yxyxyx

(3)

dydzdxx

F zxzxzx

(4)

Kemudian dengan cara yang serupa untuk bidang BCFG atau ADEO adalah

Gaya normal

dxdzdyy

F yyyyyy

(5)

Gaya geser

dxdzdyy

F xyxyxy

(6)

8

dzzudy

yudx

xudu

dxdzdyy

F zyzyzy

(7)

dan untuk bidang ABEF atau CDGO adalah

Gaya normal

dxdydzz

F zzzzzz

(8)

Gaya geser

dxdydzz

F xzxzxz

(9)

dxdydzz

F yzyzyz

(10)

ANALISIS STRAIN (REGANGAN)

Kita tinjau dua buah partikel berdekatan yang tidak memberikan tekanan

dalam padatan dengan P(x,y,z) dan Q ( x + dx, y + dy, z + dz ). Andai deformasi

benda dengan satu cara menggunakan beban sehingga partikel P digantikan

dengan posisi u, sehingga posisi baru P (x + u, y +v, z + w). Jika u + du

merupakan perpindahan partikel Q, kita menulis untuk komponen du

( du,dv, dw )

begitupula dengan cara yang sama untuk dv dan dw,

Kita dapat memberikan ekspresi dari pemisahan du, dv, dan dw secara

tersendiri dalam bentuk :

9

ijj

i

jiik

k

i

kiik

k

i

ki

i

iiii

dxdxxudxdx

xudxdx

xudx

dxdudxQPPQd

3

1

3

1

3

1

3

1

23

1

3

1

223

1

2''2

ikikk

i exu

2/1

Gambar 7. Perpindahan titik sekitar dalam sebuah kontinum elastik

Yang lebih kompak ,dan perlakuan yang sesuai untuk memanipulasinya

terdapat sembilan kuantitas ki xu / merupakan tensor kartesian pangkat dua.

Ada dua

Bagian simetri :

k

i

xi

kik x

uu

Bagian non simetri kita dapat tulis:

Dimana tulisan pertama merupakan dua tensor ike dan ik . ik = 0 jika ki dan

kiik , jika ki .

Dengan komponen ike pada sisi yang lain berasosiasi dengan deformasi material.

10

Gambar 8. Strain pada titik. (a) Strain Utama; (b) Strain geser

Jika kedua bagian ij dan ki ,maka :

kiikki

dxdxePQd3

1

3

1

2 2 ,

Secara fisis tensor ike ditunjukan dalam dua diagram pada gambar 8. Sesudah

deformasi panjang berubah vy , v adalah fungsi dari y kita menulisnya

sebagai berikut :

....!2)( 2

2

2

y

yvy

yvv

kuantitas : yyv

eyv

yv

lim0

ini disebut pertama strain dasar dalam arah y

......!2)( 22

2

2

yxyx

uyyuy

yuu

dengan cara yang sama deformasi v sebagai order pertama pada sumbu x

......!2)( 22

2

2

yxyxxx

yvx

xvv

kuantitas :

yxxyvee

yu

xv

yv

xv 22)(lim

0

11

ini disebut order pertama (atau infinitesimal) strain Shearing tegak lurus terhadap

sumbu zO

Dilatasi kubikal atau dilatasi sederhana merupakan sebuah suku yang sering

digunakan dalam teori elastisitas menambahkan pertambahan sebagian kecil untuk

P dalam batas kasus dimana dimensi volume P mendekati nol. Digunakan simbol

, dan order pertama strain sama dengan jumlah zzyyxx eee . Dalam notasi

vektor:

Uzw

yv

xu

Jika suatu benda dikenai suatu gaya, maka benda tersebut akan mengamali

perubahan bentuk dan dimensi. Perubahan tersebut disebut dengan strain. Dengan

kata lain strain merupakan deformasi yang diakibatkan oleh stress.

Gambar 9. Dalam bentuk 2 dimensi

Regangan Linear (normal strain) didefinisikan sebagai perubahan panjang

persatuan panjang.

12

Pada sumbu x

xu

dx

dxdxxudx

dxPQ

xx

xu

xx

(11)

Dan pada sumbu y dan z dengan cara yang sama akan diperoleh

yv

yy

(12)

zw

zz

(13)

Dimana : sudut δ <<<

Regangan geser (shear strain) dapat didefinisikan sebagai perubahan sudut yang

terjadi (berkurangnya sudut dari kondisi awal). Hal ini diperoleh dengan

menjumlahkan sudutnya.

Pada gambar 9, sudut δ1 dan δ2 dapat diperoleh dengan

dx

dxxv

δ

1tan

maka karena tan 11

xv

yu

xv

21 dan

Sehingga regangan geser (shear strain) yang terjadi adalah

yu

xv

yxxy

21 (14)

13

Sehingga dengan cara yang serupa akan diperoleh

zv

yw

zyyz

(15)

xw

zu

xzzx

(16)

Regangan Volum/Dilatasi (volume strain/dilatation) didefinisikan sebagai

perubahan volum persatuan volum.

Dengan volum didefinisikan sebagai

dV = dxdydz (17)

dxdydz

dxdydzdzdydxdV

dVdV

zzyyxx

111

'

diabaikan)dapat yang (variable .............. zzyyxx

Uzw

yv

xu

zzyyxx

(18)

Dimana

wkvjuiUz

ky

jx

i

14

HUKUM HOOKE

Dalam teori elastisitas, tegangan yang bekerja pada suatu medium kontinu

akan mengakibatkan (strain) pada medium itu. Hooke menyatakan bahwa

hubungan atara tegangan dan regangan itu linear selama besar tegangannya tidak

melebihi batas elastiknya.

Gambar 10

Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap komponen stress merupakan suatu

kombinasi linear dari strain yang dapat dinyatakan dalam

zxyzxyzzyyxxxx CCCCCC 161514131211

zxyzxyzzyyxxyy CCCCCC 262524232221

Dan seterusnya, yang dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

(19)

Dalam hal ini C11, C12, C13,…. C16 merupakan konstanta-konstanta elastik (Cij)

yang jumlahnya ada 36,

εxx, εyy, εzz, merupakan regangan-regangan (strain) normal

15

εxy, εyz, εzx, merupakan regangan-regangan geser (tangensial)

Dapat dilihat bahwa hanya terdapat 6 komponen stress dan strain dimana

yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya mengenai tensor simetris.

Menurut Love (1927) kondisi yang harus dipenuhi agar energi elastik hanya

merupakan fungsi tunggal dari regangan adalah bahwa Cij = Cji , hubungan ini

mengakibatkan jumlah konstanta elastik menurun dari 36 menjadi 21. Kemudian

bila material mempunyai sumbu atau bidang simetri, jumlah konstanta elastik

yang sudah tinggal 21 tersebut dapat berkurang lagi. Sebagai contoh untuk kristal

berbentuk kubus hanya ada 3 konstanta elastik.

Untuk medium padat yang bersifat isotropik, konstanta-konstanta elastik

harus tak bergantung kepada konfigurasi sumbu-sumbu koordinat yang dipilih

sehingga akhirnya hanya tinggal 2 konstanta elastik saja, yakni

C12 = C13 = C21 = C23 = C32 = λ

C44 = C55 = C66 = µ

C11 = C22 = C33 = λ +2μ

konstanta-konstanta yang lain bernilai nol. λ dan μ disebut sebagai konstanta-

konstanta Lame yang mendefinisikan kelakuan medium padat isotropis, sehingga

persamaan (18) dapat dituliskan kembali sebagai berikut

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

000000000000000000200020002

(20)

Sehingga dari persamaan diatas dapat dituliskan

zzyyxxxx 2

zzxxyyyy 2

16

yyxxzzzz 2

Dengan mengambil salahsatu dari ketiganya sebagai contoh

zzyyxxxx

zzyyxxxx

zzyyxxxx

2

2

2

Berdasarkan dari persamaan (18) maka

xxxx 2

atau secara umum dapat dituliskan sebagai

zyxiiiii ,, 2 (21)

Begitupula pada persamaan selanjutnya

xyxy

yzyz

zxzx

atau secara umum dapat dituliskan sebagai

jizyxjiijij dan ,,, (22)

HUBUNGAN STRESS-STRAIN UNTUK BENDA PADAT ELASTIS

Untuk benda elastis sempurna strain pada suatu titik ditentukan oleh stress

pada titik itu. Pada kasus khusus komponen strain merupakan fungsi linear

homogen komponen stress yang merupakan bagian elastik sempurna (hukum

Hooke). Hukum ini tidak berlaku secara universal. Mulanya hukum Hooke

observasi pada material yang disebut viskoelastis dan plastis. Mampu secara

teoretis untuk mekanika yang bekerja pada material untuk memperoleh hubungan

stress dan strain yang bersifat lebih kompleks. Akan lebih baik jika gelombang

seismik dideskripsikan dengan hukum Hooke. Stress seharusnya tidak melebihi

batas dalam pendekatan material elastik sempurna.

17

Pernyataan Hooke mengenai deformasi pada benda elastik sempurna dari

keseimbangan langsung konfigurasinya sebanding dengan penggunaan beban

padanya. Itu benar dalam rentang pembebanan, batasan tertinggi ini disebut batas

kesebandingan pada material. Walaupun deformasi masih tercatat dan karenanya

material masih dapat elastis.

Hukum Hooke lebih umum digunakan kearah material aleotropik. Jika

tensor Stress direduksi menjadi tegangan sederhana xxp dan jika sepanjang

sumbu itu diperkenankan arah sumbu xO . Disini diekspresikan dalam notasi

tensor :

xxxx peE ; xxzzyy peEeE

Dimana sesuai dengan perjanjian, kita merenggangkan stress dan luas strain

secara aljabar positif dan Compresive Stress dan Contraktive Strain negatif . E

dan keduanya adalah konstanta material disebut modulus Young dan rasio

Poisson.

HUBUNGAN STRESS-STRAIN DALAM MEDIUM ALEOTROPIK

(MELINTANG- ISOTROPIK)

Dalam medium isotropik trasversal, tensor stress dan strain sama dengan

sumbu utama. Jika sumbu simetri arahnya zO kita boleh menulis

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

eCeFFep

eFeAGepeFeGAep

(23)

Dimana A,C,F,G adalah konstanta yang memiliki dimensi Stress.

zzzz

zzyyyy

zzxxxx

epeep

eep

2)(2

)(2

(24)

2,,,2 ////// CFGA

18

Persamaan diatas mendiskripsikan hukum Hooke untuk benda isotropik-

trasversal

PERSAMAAN GERAK

Bagaimana sekarang tentang stress terikat waktu yang ditrasmisikan terus

pada benda padat elastik terhingga. Pertama kita akan menghitung semua gaya

permukaan balok kecil v dalam arah z (gambar 11). Kita dapatkan suatu

komponen arah melalui setiap tiga pasang yang berlawanan sisi. Sebagai contoh

dari sisi tegak lurus yO kita dapatkan

Vy

pxzy

yP

pxzyy

pp yzyz

yzyz

xz

21

21

Gambar 11. Gaya-gaya permukaan dalam arah z yang bekerja pada elemen volume pada P

Serupa dengan ekspresi itu didapatkan pasangan permukaan- permukaan

yang berlawanan lainnya.

Vz

Py

Px

PF zzyzxxz

19

iik

i

i

k

kiikik

k

ik

k

i uxx

uxu

xxe

xp

tu 2

3

12

2

2

uu 2

secara umum dapat ditulis

VxpV

xpF

k

ik

kk

ki

ki

3

1

3

1

Gerak untuk material P, jika kita mengabaikan gaya gravitasi, kita akan peroleh

persamaan :k

ik

k

i

xp

dtud

3

12

2

Operator deferensial Lagrangian dtd deferensial yang penting dalam gerakan

material, dan sepanjang total gerakan sebagian elemen atau partikel dalam ruang .

Operator Eulerian t yang lain adalah deferensial yang penting pada sebuah titik

tertentu dalam ruang. Dan ini adalah operator yang tepat untuk persamaan gerak

material. Yang memiliki hubungan sebagai berikut :

i

i

i xtu

tdtd

3

1

(25)

secara umum persamaan gerak adalah :

k

ik

k

i

xp

tu

3

12

2

(26)

PERAMBATAN DALAM MEDIUM ELASTIS ISOTROPIS

Jika media adalah homogen, isotropik dan elastik sempurna kita boleh

mensubtitusikan ikikik ep 2 ke persamaan (26)

Persamaan ini dapat juga kita tulis dalam bentuk vektor :

(27)

dalam sistem koordinat kartesian. Jika kita menganggapnya divergensi kedua

bagian persamaan dan ini berkurang kembali dalam order deferensial.

20

22

2

2

t (28)

di sini standar persamaan gelombang untuk penjalaran dilatasi kubikal dengan

sebuah kecepatan oleh

)2(

.

Sekarang jika curlkan kedua bagian itu kita akan peroleh :

uut

2

2

2

Ini merupakan suatu standar dalam persamaan gelombang, waktu untuk

penjalaran suatu rotasional murni gangguan dengan kecepatan

.

Operasi divergensi pada persamaan (27) dan (28) mempunyai arti fisis

bahwa terjadi perubahan volume dan tentu saja perubahan bentuk (shear). Arah

osilasi partikel tentu saja searah dengan perubahan displacementnya atau searah

dengan arah rambat. Gerak partikel ini sama persis dengan gerak partikel

gelombang suara seperti terlihat pada gambar 12 di bawah ini.

Gambar 12. Perambatan gelombang P dalam suatu medium berupa kompresi (pemampatan) dan dilatasi (perenggangan) partikel. Arah gerak partikel searah dengan arah perambatan gelombang

(Braile, 2006)

21

Tipe gelombang yang kedua, yaitu gelombang S yang dapat dirumuskan

dengan menerapkan operasi curl ( x ). Gerak partikel ketika gelombang S

melewati suatu medium dapat dilihat dari sifat operasi curl di atas. Gerak

partikelnya akan tegak lurus terhadap arah rambat gelombangnya dan terjadi

perubahan bentuk (shear) tanpa perubahan volume, seperti terlihat pada gambar

13 di bawah ini.

Gambar 13. Ilustrasi gerak partikel dalam suatu medium ketika dilewati gelombang S. Gerak partikelnya tegak lurus terhadap arah rambat gelombang (Braile, 2006)

Arah gerak partikel ketika melewati gelombang S secara umum bias tak hingga

banyaknya karena arah tegak lurus terhadap arah rambat gelombang jumlahnya

tak berhingga. Karena itu, para seismologist mendefinisikan dua buah tipe

gelombang S yaitu gelombang SV (shear vertical) dan SH (shear horizontal).

Untuk lebih jelasnya, perlu menggambarkannya dalam ruang tiga dimensi seperti

terlihat dalam gambar 14 di bawah ini.

22

Gambar 14. Ilustrasi arah gerak gelombang SV dan SH. Bidang vertikal dibuat mengandung ray dan bidang vertikal sejajar dengan permukaan bumi.

Arah rambat gelombang dinyatakan oleh arah ray. Gerak partikel

gelombang SV tegak lurus terhadap ray dan terletak pada bidang vertikal yang

juga mengandung ray. Sedangkan gerak gelombang SH juga tegak lurus terhadap

ray tapi terletak pada bidang horizontal atau sejajar dengan permukaan bumi.

Tipe-tipe gelombang di atas merupakan gelombang bodi, yaitu gelombang

yang merambat di dalam medium. Tipe gelombang lain adalah gelombang

permukaan yang merambat sejajar dengan permukaan medium. Di sini akan

dibahas permukaan antara bumi padat dengan udara yang diasumsikan ruang

hampa. Permukaan ini juga disebut permukaan bebas.

Solusi persamaan gelombang dalam medium homogen isotropis hanya

menghasilkan dua tipe gelombang. Gelombang permukaan terbentuk dari

interferensi gelombang-gelombang tersebut yang mempunyai sifat tertentu akibat

interaksinya dengan permukaan bebas. Gelombnag tersebut adalah gelombang

pantul yang gelombang datangnya melibihi sudut kritis sehingga amplitudo

gelombang pantulnya berkurang terhadap kedalaman.

Tipe pertama gelombang permukaan adalah Gelombang Love. Gelombang

ini terbentuk akibat adanya interferensi gelombang-gelombang pantul gelombang

SH pada suatu lapisan dekat permukaan bumi. Gerak partikel medium ketika

dilewati gelombang love tentu saja sama dengan gelombang SH, tapi

amplitudonya berkurang terhadap kedalaman. Seperti terlihat pada gambar 15 di

bawah ini.

23

Gambar 15. Ilustrasi gerak partikel pada suatu medium ketika dilewati gelombang Love. Gerak partikelnya sejajar dengan permukaan bumi dan tegak lurus terhadap arah rambat gelombang

(Braile, 2006).

Tipe kedua gelombang permukaan adalah gelombang Rayleigh. Gelombang

ini terbentuk akibat interferensi gelombang-gelombang pantul P dan SV yang

sudut datangnya melebihi sudut kritis. Gerak partikel medium ketika dilewatinya

berbentuk elips yang merupakan kombinasi dari gerak partikel gelombang P dan

SV. Amplitudonya juga akan turun terhadap kedalaman. Gerak partikel tersebut

dapat terlihat dalam gambar 16 di bawah ini.

Gambar 16. Ilustrasi gerak partikel pada suatu medium ketika dilewati gelombang Rayleigh. Gerak partikelnya seperti gulungan berbentuk elips (Braile, 2006)

24

Gelombang permukaan bersifat dispersif, yaitu kecepatan gelombangnya

tergantung pada frekuensi. Semakin besar frekuensinya semakin kecil

kecepatannya dan penetrasi kedalamannya semakin dangkal dan sebaliknya.

Selama terjadi deformasi gelombang seismik, kondisi yang nampak lebih

dahulu adalah adiabatik. Nilai adiabatik dan isotermal sebagai parameter elastik

zat padat tercatat oleh hubungan berikut:

IA vcTIIA

22

A dan I adalah nilai adiabatik dan isotermal. adalah koefisien ekspansi

kubikal,T adalah temperatur zat padat, vc menunjukan tetapan panas, untuk

volume konstan. Sebagian besar pengukuran laboratorium mengatakan

pendekatan diluar kondisi isitermal dengan fakta:

vcTIIA

22

22 , dengan IA

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

Gelombang adalah suatu gangguan yang menjalar dalam suatu medium. Dan

suatu fungsi gelombang secara umum dituliskan sebagai

y = f(x,t)

Yang merupakan fungsi yang bergantung pada x dan t. Dan suatu

persamaan gelombang secara umum dapat dituliskan dengan

2

2

22

2 1ty

vxy

(29)

Catatan :

Misalnya fungsi gelombang

y=f(x,t)

berbentuk

y(x,t) = y0 sin (kx-ωt) (a)

kemudian persamaan ini diturunkan dua kali terhadap t dan x dan hasilnya dimasukkan ke dalam

persamaan differensial tadi.

25

diturunkan dua kali terhadap t

)cos(0

)cos(0

)sin(0

tkxytt

y

t

tkxyt

y

tkxytt

y

)sin(202

2tkxy

t

y

(b)

diturunkan dua kali terhadap x

)cos(0

)cos(0

)sin(0

tkxkyxx

y

x

tkxkyx

y

tkxyxx

y

)sin(202

2tkxky

x

y

(c)

Karena ω=kv maka dari persamaan (b) akan kita peroleh

)sin(202

12

2

)sin(2)(02

2

tkxkyvt

y

tkxkvyt

y

(d)

persamaan (c) sama dengan persamaan (d) maka

21

2

2

2

2

vt

y

x

y

(e)

Persamaan gelombang yang terjadi pada medium yang diturunkan melalui

Hukum II Newton.

Dengan meninjau gaya-gaya netto (gaya pada kondisi non equilibrium -

gaya pada kondisi equilibrium) pada arah sumbu x pada bidang-bidang DEFG,

BCFG dan ABEF yang dituliskan sebagai :

26

pada bidang DEFG dari persamaan (2)

dxdydzx

dydzdydzdxx

F

xx

xxxx

xx

1

pada bidang BCFG dari persamaan (6)

dydxdzy

dxdzdxdzdyy

F

xy

xyxy

xy

2

pada bidang ABEF dari persamaan (9)

dzdxdyz

dxdydxdydzz

F

xz

xzxz

xz

3

sehingga gaya total yang bekerja pada sumbu x adalah

dzdxdyz

dydxdzy

dxdydzx

FFFF

xzxyxx 321

dxdydzzyx

F xzxyxx

(30)

gaya yang diperoleh ini biasa disebut dengan gaya unbalance.

berdasarkan Hukum II Newton

ΣF = ma

dengan massa dinyatakan sebagai hubungannya dengan densitas dan volum

sebagai

Volm

27

dan pada persamaan (17) dan persamaan (30) sehingga :

zyxtu

dxdydzzyxt

udxdydz

xzxyxx

xzxyxx

2

2

2

2

dengan mensubstitusikan untuk nilai-nilai stress dari Hukum Hooke yang telah

dipaparkan sebelumnya dari persamaan (21) dan (22),

xxxx 2

xyxy

xzxz

maka

zyxx

zyxtu

xzxyxx

xzxyxx

2

22

2

dimana dari persamaan (11) (14) dan (16),

xu

xx

yu

xv

xy

xw

zu

xz

akan diperoleh :

28

zw

yv

xu

xxu

zu

yu

x

zxw

yxv

xu

xu

zu

yu

x

zxw

zu

yu

yxv

xu

x

zxw

zu

yyu

xv

xxu

xtu

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

zw

yv

xu

xu

x

zw

yv

xu

xxu

zu

yu

xtu

2

2

2

2

2

2

2

2

2

berdasarkan dari persamaan (18) maka :

ux

xu

x

Ux

uxt

u

2

2

22

2

uxt

u 22

2

(31)

dengan cara yang serupa untuk sumbu y dan z dapat dituliskan sebagai :

untuk sumbu y :

vyt

v 22

2

(32)

29

untuk sumbu z :

wzt

w 22

2

(33)

kemudian, ketiga persamaan tersebut masing-masing kita turunkan terhadap x, y

dan z

untuk sumbu x dari persamaan (31),

u

xxtu

x2

2

2

xu

xxu

t

2

2

2

2

2

(34)

Untuk sumbu y dari persamaan (32)

v

yytv

y2

2

2

yv

yyv

t

2

2

2

2

2

(35)

untuk sumbu z dari persamaan (33)

w

zztw

z2

2

2

zw

zzw

t

2

2

2

2

2

(36)

dengan menjumlahkan persamaan (34) (35) dan (36), akan diperoleh

30

22

2

222

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

t

t

zw

yv

xu

zyxzw

yv

xu

t

atau kita tuliskan sebagai :

2

22

2 t

(37)

persamaan ini identik dengan persamaan gelombang secara umum, pada

persamaan (29),

2

22

2 t

2

2

22

2 1ty

vxy

sehingga dapat dituliskan sebagai :

2

12

v

kecepatan yang kita peroleh ini disebutkan sebagai kecepatan gelombang p atau

Vp,

22

pv (38)

kemudian dengan menurunkan persamaan (32) terhadap z akan diperoleh :

v

yztv

z2

2

2

zv

yzzv

t

2

2

2

2

(39)

31

dan menurunkan persamaan (33) terhadap y akan diperoleh :

w

zytw

y2

2

2

yw

zyyw

t

2

2

2

2

(40)

dengan mengurangkan kedua persamaan ini akan diperoleh :

zv

yw

zv

yw

t2

2

2

(41)

atau dapat dituliskan sebagai

zv

yw

zv

yw

t2

2

2

zv

yw

tzv

yw

2

22

yang juga identik dengan persamaan gelombang secara umum, pada persamaan

(29),

zv

yw

tzv

yw

2

22

2

2

22

2 1ty

vxy

sehingga dapat dituliskan sebagai :

21v

kecepatan yang kita peroleh ini disebutkan sebagai kecepatan gelombang s atau

Vs,

2sv

(42)

32

DAFTAR PUSTAKA

Afnimar. 2009. Seismologi, Jilid I. ITB. Bandung.

Grant,F.S.,West,G.F. 1965. Interpretation Theory in Applied geophysics. McGraw-Hill Book Company.

Hamzah, Alimuddin. 2006. Diktat Kuliah, Teori Seismologi. Universitas Hasanuddin, Makassar.