1

MATERIMATERI

• Pengertian fungsiPengertian fungsi• Jenis- jenis fungsi• Penggambaran fungsi• Penggambaran fungsi

- PenggalSi t i- Simetri

- Perpanjangan- Asimtot- Faktorisasi

2

PENGERTIANPENGERTIANPENGERTIANPENGERTIAN

• FungsiFungsiSuatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antaray g g gsuatu variabel dengan variabel lain.

y = a + bxy

dimana:y = variabel terikatya = konstantab = koefisien variabel xx = variabel bebas

3

x = variabel bebas

JENISJENISJENISJENISFungsi

Non-Aljabar (transenden)Aljabar

RasionalIrrasional

PecahPolinomialLinier

EksponensialLogaritmikTrigonometrik

KuadratKubikPangkat

gHiperbolik

4

• FUNGSI ALJABARFungsi yang dapat dibuat denganFungsi yang dapat dibuat denganmenggunakan operasi aljabar: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.

5

• Fungsi IrasionalFungsi yang variabelnya berada di dalamFungsi yang variabelnya berada di dalamtanda akar.

xy 22xay a

a a

a a

2xay a

6

• Fungsi Rasional1 Fungsi polinomial1. Fungsi polinomial2. Fungsi konstan3 Fungsi pecah3. Fungsi pecah

7

1. Fungsi polinomialFungsi yang mengandung suku banyakFungsi yang mengandung suku banyakpada variabel bebasnya.y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn

2. Fungsi konstanJika pada fungsi polinomial nilai a1,

0 k di l h f ia2,…an = 0, maka diperoleh fungsikonstan y = a0.

Y

3f(x) = 3

0

a0

X

f(x) = a0

8

0

f(x) = 1

X

1

3. Fungsi pecahFungsi yang dapat dinyatakan sebagaiFungsi yang dapat dinyatakan sebagaihasil bagi dua fungsi polinomial.

n

y = 1x

xmm

nn

xbxbb

xaxaaxf

...

...)(

10

10

y = 1

y = 1/x

1x

9

x = 1

• Fungsi LinearFungsi polinomial yang pangkat tertinggiFungsi polinomial yang pangkat tertinggidari variabelnya adalah pangkat satu(fungsi berderajat satu).y = a0 + a1x a1 ≠ 0

yContoh:Contoh:

y = 3 + 2x

a0

a1y 3 2x

10x

0

0

• Fungsi KuadratFungsi polinomial yang pangkat tertinggi dariFungsi polinomial yang pangkat tertinggi darivariabelnya adalah pangkat dua, sering jugadisebut fungsi berderajat dua.

2y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0

11

1212

• Fungsi KubikFungsi polinomial yang pangkat tertinggi dariFungsi polinomial yang pangkat tertinggi darivariabelnya adalah pangkat tiga. y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 a3 ≠ 0

y

a0

13

x0

• Fungsi Pangkat (power function)Fungsi yang veriabel bebasnya berpangkatFungsi yang veriabel bebasnya berpangkatsebuah bilangan nyata bukan nol. y = axn n = bilangan nyata bukan noly ax n bilangan nyata bukan nol.

y

y = x

yy = x2

y

y = x3y x y x

0 0xx

0x

14

• FUNGSI NON-ALJABAR (TRANSENDEN)- Fungsi yang bukan fungsi aljabarFungsi yang bukan fungsi aljabar. - Himpunan fungsi transenden mencakupfungsi eksponensial, logaritmik,fungsi eksponensial, logaritmik, trigonometrik, hiperbolik.

15

• Fungsi EksponensialFungsi dari konstanta berpangkat variabelFungsi dari konstanta berpangkat variabelbebas. y = ax a > 0y a a > 0

16

AturanAturan EksponenEksponen

• xn = x x x x…..x xx  x x x x…..x x

n suku

• Aturan I : xm x xn = xm+n

Contoh : x3 x x4 = x7Contoh : x x x = x

• Aturan II : xm / xn = xm-n

Contoh : x4 / x3 = xContoh : x4 / x3 = x

• Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0)

17

• Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0)Aturan IV : x = 1 (x ≠ 0)

• Aturan V : x1/n =Aturan V : x

At VI ( )• Aturan VI : (xm)n = xmn

• Aturan VII : xm x ym = (xy)m

18

• Fungsi LogaritmikFungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensialFungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilanganlogaritmik. gy = alog x y

19

x0

AturanAturan LogaritmaLogaritma

alog y = x y = axalog y = x y = ax

elog x = ln x

20

log x ln x

• Fungsi TrigonometrikFungsi yang variabel bebasnya merupakanFungsi yang variabel bebasnya merupakanbilangan-bilangan gonometrik (sinus, cosinus, cotangent, secant, cosecant).g , , )

21

y

y = sin x

0-π

1

x

y sin x

-2π 2ππ-1

1

yy = cos x

π0

-1

x-2π

-π π2π

22

y = 2 sin x2

1

0 900 1800 2700 3600

-1

2

Y=sin x

23

-2

24

25

26

• Fungsi HiperbolikSifatnya serupa dengan fungsi trigonometrikSifatnya serupa dengan fungsi trigonometrik

27

28

29

Penggambaran FungsiP lPenggal

• Penggal sebuah kurva adalah titik titik• Penggal sebuah kurva adalah titik-titikpotong kurva tersebut pada sumbu-sumbukoordinat. Penggal pada sumbu x dapatgg p pdicari dengan memisalkan y = 0 (berlakusebaliknya).

• Contoh :y = 16 – 8x + x2

penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4penggal pada sumbu y : x = 0 y = 16p gg p y y

30

SimetriSimetri

• Dua buah titik dikatakan simetri terhadapDua buah titik dikatakan simetri terhadapsebuah garis apabila garis tersebut berjaraksama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurusteradap segmen garis yang menghubungkannya.

• Dua buah titik dikatakan simetri terhadap titikketiga apabila titik ketiga ini terletak persis ditengah segmen garis yang menghubungkantengah segmen garis yang menghubungkankedua titik tadi.

31

y yy(x,y) (x,y)

x xx

(x,y)(-x,y)

0 00x xx

(x,-y)(-x,-y)

0 00

( , y)

Terhadap sumbu x Terhadap sumbu y Terhadap titik pangkal

32

y yy(x,y)

x xx

(x,y)(x,y)(-x,y)

0 0

(x,-y)

(-x,-y)

Terhadap sumbu x Terhadap sumbu y Terhadap titik pangkal

33

PerpanjanganPerpanjangan

• Konsep perpanjanganKonsep perpanjanganMenjelaskan apakah ujung-ujung sebuah kurvadapat terus menerus diperpanjang sampai takp p p j g pterhingga (tidak terdapat batas perpanjangan) ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilaix atau y tertentu.

• Latihan: selidiki apakah terdapat batasj b i k di i k l hperpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh

fungsi :2 2 25 0 d 2 2 25 0x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 0

34

AsimtotAsimtot• Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis

l j k ki d k t dlurus yang jaraknya semakin dekat dengansalah satu ujung kurva tersebut.

• Jarak tersebut tidak akan menjadi nol• Jarak tersebut tidak akan menjadi nol. Dengan kata lain tidak akan terjadiperpotongan antara garis lurus dan kurva.

• Penyelidikan asimtot berguna untukmengetahui pola kelengkungan kurvayang akan digambarkanyang akan digambarkan

35

x x

b y = - a - bx

y y

y = - a - bx y a bx

y yy = f(x)y =

f(x)

x x

Asimtot miring

y = k

y y

x =

k

36Asimtot tegak Asimtot datar

FaktorisasiFaktorisasi

• Faktorisasi fungsi: menguraikan ruas utamaFaktorisasi fungsi: menguraikan ruas utamafungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. f(x, y) = g(x, y). h(x, y)

• Contoh: 2x2 – xy – y2 = 0faktorisasi fungsi di atas menghasilkan : a to sas u gs d atas e g as a(x – y) (2x + y) = 0

37