Matematika Dasar

Fungsi

I Gede Made Wira SaputraUniversitas Putera Batam

2

Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari

A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya :

212121 ,,, xfxfmakaxxjikaAxx

3

Pengertian FungsiJika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Relasi di bawah ini merupakan fungsi

a

i

u

e

i

o

1

2

3

4

5

A B

4

Pengertian FungsiRelasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :

a

i

u

e

o

1

2

3

4

5

A B

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B.

a mempunyai 2 nilai

5

Pengertian FungsiJelajah : BAxyxfy ,

Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf

Contoh :

1. Carilah domain dan range dari fungsi :

34

1

xxf

Jawab :

a. Mencari domain

6

Pengertian Fungsi

034 x4

3x

,

4

3

4

3,fD

4

3

0fR ,00,fR

syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

Sehingga atau

b. Mencari Range

Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol

atau

7

Contoh

13

2

x

xxf

013 x

3

1x

a. Mencari domain

Sehingga

,

3

1

3

1,tD

2. Carilah domain dan range dari fungsi :

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

8

Contoh

13

2

x

xyxf

23 xyxy

yxxy 23

yyx 213

b. Range

13

2

y

yx

013 y

3

1y

,

3

1

3

1,fR

3

1

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

Jadi

Atau

9

Macam-macam Fungsi

nnxaxaxaaxf ...2

210

0axf

xaaxf 10

2210 xaxaaxf

Macam-macam fungsi :

- Fungsi konstan,

- Fungsi linier,

- Fungsi kuadrat,

1. Fungsi polinom

10

Macam-macam Fungsi

xq

xp

1

123

2

xx

xxf

2. Fungsi Rasional

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0

contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak

2213 xxxf

Bentuk umum :

Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

11

Macam-macam Fungsi

x

1 nxnnx

55

32,3

4. Fungsi bilangan bulat terbesar

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

xfxf 5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika

terhadap sumbu y

22,1

12

Macam-macam Fungsi

2xxf xxf

xxf cos

xfxf

xxf sin

3xxf

Contoh :

6. Fungsi Ganjil

simetris terhadap titik asal, contoh :Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya

13

Macam-macam Fungsi

xf xg xf xg xgfxgf

xgf

xg xg fD

7. Fungsi Komposisi

dan , komposisi fungsi antara dan ditulis Domain dari

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain

sehingga di dalam

Diberikan fungsi

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,

terpenuhi

maka harus

fg DR

14

Fungsi Komposisi

Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :

g(x) f(x)

(fog)(x)

Dg Rg Df Rf

fg DR

15

Fungsi KomposisiDengan cara yang sama, xfgxfg

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,

terpenuhi

maka harus

gf DR

Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :

fggf DxgDxD

gffg DxfDxD

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi

fgfg RtRtgR fgfg RttgyRyR ,

gfgf RtRtfR gfgf RttfyRyR ,

atau

atau

16

Fungsi Komposisi

xfgxgf

xhgfxhgf

Sifat-sifat fungsi komposisi :

17

Contoh

xxxf 1xxg

fD fR gDgR

1. Jika diketahui fungsi

fg

gf DR fg Tentukan beserta domain dan range-nya!

= , sehingga terdefinisifg

gffg DxfDxD

xxx

a. Domain

18

Contohfg

fgfg RttgyRyR ,

ttyy ,1

b. Range

19

Grafik dari fungsi1. Garis Lurus

cmxy

persamaan garis lurus yang melewati (0,c)

3xy

3

-3

contoh :

20

Garis Lurus

11 xxmyy

11 , yx

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

2211 ,&, yxyx

Persamaan garis lurus melalui

Persamaan garis lurus melalui

cbxaxy 2

acbD 42

2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)

Diskriminan

21

Grafik Fungsi KuadratTitik puncak =

a

D

a

b

4,

2

D>0 D=0 D<0

a>0

x

y

22

Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi 12 xxyContoh :

a =1 jadi a > 0

acbD 42

412

= -3 < 0

grafik menghadap ke atas

tidak menyinggung sumbu x

23

Grafik Fungsi Kuadrat

Titik potong dengan sumbu koordinat◦ Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x

tidak ada◦ Titik potong dengan sumbu y x = 0 dengan demikian grafik melalui (0,1)

• Titik puncak =

a

D

a

b

4,

2

4

3,

2

1

112 xxy

24

Grafik Fungsi Kuadrat

cbyayx 2

a

b

a

D

2,

4

a

b

2

Untuk persamaan kuadrat

Titik puncak =

Sumbu simetri =

Gambar grafik fungsi

12 xxy

-1

1

21-

43

25

Grafik Fungsi Majemuk/banyak aturan

3. Grafik Fungsi Majemuk

xxf )(

Contoh :

1. Gambarkan grafik fungsi

0,

0,

xx

xxx

y=xy=-x

26

Grafik Fungsi Majemuk3. Gambarkan grafik dari fungsi

xxf 31

031

03131

xx

xxx

Kita definisikan :1

31-

31

xy 31+= xy 31 -=

27

Translasi

axfy xfy

axfy xfy

axfy

xfy

axfy xfy

grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

grafik

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai xfy

mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

, a > 0

28

Contoh Translasi

542 xxxf

54442 xx

12 2 x

2xy

22 xy

digeser sejauh

1. Gambarkan grafik dari fungsi

2 ke kanan

2

42xy= ( )22-= xy

29

Contoh Translasi 22 xy

12 2 xy

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk

2

4

( )22-= xy

122 +-= xy

30

Contoh Translasi xxf 31

xy 32. Gambarkan grafik fungsi

Kita lihat dahulu grafik

:

3

xy 3-= xy 3=

31

Contoh Translasixy 31

xy 3

Grafik dapat

yang digeser

dipandang sebagai grafik

ke atas sejauh 1 satuan

1

xy 3-=

xy 31

Thank You !