1

Fungsi Implisit

Diferensiasi fungsi dari 1 variabel, dedifinisikan secara implisit dengan relasi f(x,y) = 0

1. TeoremaI

Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. AndaikanF(x,y)=0,dimana

y fungsi implisit dari x, maka

=0 atau

Dimana

0

Contoh:

1. Diketahui ( ) , tentukan

!

Penyelesaian :

a. Langkah 1:Mencari turunan parsial

b. Langkah 2:Dari turunan parsial substitusi ke teorema I

2. Diketahui : ( ) , tentukan

!

Penyelesaian :

a. Langkah 1 : Fungsi kedua ruas dikurang 1

( )

b. Langkah 2 : Mencari turunan parsial

c. Langkah 3 : Dari turunan parsial substitusi ke teorema I

y

Fx

F

dx

dy

xy

y

y

Fx

F

dx

dy

23

xeye

xeye

y

Fx

F

dx

dyyx

yx

sincos

cossin

2

2. Teorema II

Turunan fungsi implisit tiga variabel

Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel sedemikian

hingga z = f (x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka

Contoh:

1. Diketahui :fungsi implisit f(x,y,z) = xy z2 + 2xyz = 0, tentukan

!

Penyelesaian :

a. Langkah 1:Mencari turunan parsial

= y + 2yz

= 2xy 2z

= x + 2xz

b. Langkah 2 : Substitusikan kedalam teorema II

2. Diketahui : ( ) , tentukan

Penyelesaian :

a. Langkah 1 : mencari turunan parsial

(i)

( ) ( )

= 0

(ii)

( ) ( )

= 0

z

Fx

F

dx

dz

3

b. Langkah 2 :Substitusikan kedalam teorema II

(i)

(ii)

3. Teorema III

Turunan fungsi implisit empat variabel

Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel

sedemikian hingga w=f (x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka

1. Turunan satu fungsi implisit empat variabel

Contoh:

Diketahui : fungsi implisit f(x,y,z,w) = 2x2w + 3y

2z + zwyx + w

2 = 0, tentukan

dan

!

Penyelesaian :

a. Langkah 1 : mencari turunan parsial

=

=

= 3y2 + wyx

= 2x2 + zyx +2w

dw

dFdx

dF

x

w

dw

dF

dy

dF

y

w

dw

dFdz

dF

z

w

4

b. Langkah 2 : subtitusikan ke dalam teorema III

=

=

=

2. Turunan dua fungsi implisit empat variabel menggunakan determinan

jacobian

(

) |

|

Untuk menentukan

menggunakan rumus sebagai berikut :

|

|

|

|

|

|

|

|

Contoh :

Diketahui : f(x,y,u,v) =

g(x,y,u,v) =

Tentukan (i)

(ii)

!

5

Penyelesaian :

a. Langkah 1: mencari turunan parsial

b. Langkah 2: mencari determinan jacobian

|

| |

| ( )

c. Langkah 3: mencari

dan

1.

|

|

|

|

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2.

|

|

|

|

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

6

3.

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

4.

|

|

|

|

( )

( )

( )

( )

( ) =

( )

( )

( )

( )

Jadi,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )