TUGAS KALKULUS

FUNGSI EXSPONEN ASLI

OLEH :

1. Ni Wayan Damiasih (2010.V. I .0077 )

2. Ni Kadek Lina Dwiyanti (2010.V. I . 0076)

3. Ni Luh Meri Sri Rahayu (2010. V. I . 0079)

4. Ni Kadek Sri Adnyani (2010. V. I . 0078)

5. I Made Sukma Dinata (2010. V. I . 0080)

6. Ni Kadek Supardewi (2010. V. I. 0081)

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI BALI

2010/2011

i

KATA PENGANTAR

“Om Swastyastu”

Puji Syukur kami Panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa / Tuhan Yang

Maha Esa, atas asung kertha Wara Nugrahaya, sehingga kami dapat menyusun Tugas

Kalkulus II ini dalam yang membahas mengenai “Fungsi Exsponen asli ”.

Dalam tugas presentasi ini, kami yang berkesempatan membahas mengenai fungsi

eksponen asli ini, ingin sedikit memberi gambaran tentang penurunan dan pengintegralan

suatu fungsi eksponen asli ini, beserta penerapan-penerapan rumusnya dalam bentuk yang

masih sederhana.

Kami menyadari isi presentasi ini masih banyak kekurangan untuk itu kritik dan saran

yang bersifat konstruktif dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan dan

menjadi batu loncatan ke arah yang positif, dalam penulisan presentasi-presentasi berikutnya.

Semoga presentasi yang mengangkat masalah tentang “Fungsi eksponen asli ”, ini

dapat bermanfaat dan bisa menjadi inspirasi, sehinga dapat memberi sedikit pemahaman

mengenai Fungsi eksponen asli ,dan juga dapat menambah wawasan serta ilmu pengetahuan

rekan-rekan mahasiswa.

“ Om Santih, Santih, Santih, Om”

Denpasar, April 2011

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

KATA PENGANTAR......................................................................................... i

DAFTAR ISI........................................................................................................ ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah........................................................................... 1

1.3 Tujuan............................................................................................. 2

BAB II PEMBAHASAN TEORI....................................................................... 3

2.1 Definisi Fungsi ekspoene Asli........................................................ 3

2.2 Definisi Lain Fungsi Eksponen Asli dengan Sebuah Kurva......... 4

2.3 Sifat- Sifat Fungsi Eksponen Asli.................................................. 5

2.4 Definisi Formal Fungsi Eksponen Asli............................................ 10

2.5 Penurunan dan Persamaan Deferensial Fungsi Eksponen Asli...... 11

2.6 Pengintegralan Fungsi Eksponen Asli........................................... 14

2.7 Evaluasi soal-soal .......................................................................... 15

2.8 Jawaban Evaluasi Soal .................................................................... 16

BAB III PENUTUP ............................................................................................ 18

3.1 Kesimpulan.................................................................................... 18

3.2 Saran............................................................................................... 19

DAPTAR PUSTAKA

iii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Tanpa kita sadari dalam kehidupan sehari-hari, kita banyak melibatkan, yang

namanya ilmu matematika, dalam ruang lingkup ini yaitu kalkulus dalam kaitannya

mengetai fungsi eksponen asli dan kurva penerapannya, salah satu penerapannya adalah

pada penerapan konsep alat musik yang menggunakan dawai atau dibentuk dari kolom

udara, merefleksikan bentuk dari sebuah kurva ekspnen dalam struknya, demikian juga

pada konsep pertumbuhan dan peluruhan dalam ilmu Fisika, Biologi, kimia maupun

ekonomi. Misalnya kecepatan pertumbuhan suatu bakteri pada keadaan tertentu

berbanding lurus dengan banyaknya bakteri pada saat itu. Kecepatan reaksi zat-zat

kimia sebanding dengan banyak zat pada saat itu.

Banyaknya kegunaan fungsi eksponen ini mendorong rasa ingin tahu kami lebih

banyak mengenai penerapannya. Dalam presntasi kami ini akan lebih banyak di bahas

mengenai fungsi eksponen asli. Penurunan dan pengintegrannya, sehingga rekan-rekan

mahasiswa lebih mengenal dan mampu menerapkan masing-masing teorema eksponen

mulai dari bilangan sederhana yaitu bilangan asli, sehingga nantinya mampu menelaah

permasalahan kompleks,dengan dasar yang kuat.

1.2 Rumusan Masalah

Bagaiman sesungguhnya Definisi fungsi eksponen asli?

Bagaimana definisi lain fungsi eksponen dengan berdasarkan sebuah kurva ?

Apa saja sifat-sifat fungsi eksponen asli ?

Bagainama penurunan dan persamaan deferensial fungsi eksponen?

Bagaimana rumus pengintegralan sebuah fungsi eksponen ?

Definisi formal dari fungsi eskponen asli ?

1

1.3 Tujuan:

Rekan-rekan mahasiswa memahami dan lebih megetahui secara pasti mengenai

definisi fungsi eksponen asli sejara jelas.

Rekan-rekan mahasiswa dapat mengidentifikasi definisi lain dari fungsi eksponen

asli melalui sebuah kurva.

Rekan-rekan mahasiswa dapat mengetahui dan memahami sifat-sifat fungsi

eksponen asli.

Rekan-rekan mahasiswa mengetahui penurunan dan persamaan diferensial dari

fungsi eksponen asli.

Rekan-rekan mahasiswa mangetahui rumus pengintegralan dari fungsi eksponen

asli.

Rekan-rekan mahasiswa dapat lebih mengerti mengenai difinisi formal dari fungsi

eksponen asli.

2

BAB II

PEMBAHASAN MATERI

2.1 Definisi Fungsi Eksponen Asli

Fungsi Eksponen Asli, Bilangan e adalah suatu bilangan real yang

merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Dengan Nilai e =

2,71828………. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinisikan

sebagai balikan ln dan dinyatakan dengan exp. Jadi x = exp y y = ln x.

kemudian menyusul definisi berikutnya yaitu :

Fungsi f : R→ (0,+∞),f(x) = exadalah invers dari fungsi g : (0,+∞)→ R,g(x) = ln x.

Bentuk lain dapat ditulis :

y = x = ln y.

Karena antara exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafik y = exp x adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x.

Sebelumnya telah dijelaskan huruf e menyatakan bilangan real positif, sama

istimewanya seperti ( phi) dalam matematika, sehimgga nilai ln e = 1

Jika ada sebuah bilangan, misalkan r adalah bilangan rasional, utuk rumus yang di

terapkan adalah :

= exp = exp = exp r

sehingga dari rumus di atas dapat ditarik kesimpulan exp r adalah identik dengan .

Kemudian untuk mendefinisikan secara sederhana untuk nilai x (rasional maupun

irasional) sebagai berikut:

= exp x

Dengan bepedoman kepada teorema:

exp (ln x) = x x ˂ 03

exp (ln x) = x x ˂ 0

ln (exp y) = y untuk semua y

ln (exp y) = y untuk semua y

Rumus di atas ini merupakan rumus sederhana dari definisi logaritma berbasis e.

2.2 Definisi Formal Fungsi Eksponen Asli

Fungsi eksponensial ex dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:

atau sebagai limit berikut ini:

Dalam definisi diatas, n! adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

Nilai numerik

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga diatas dapat ditulis menjadi:

2.3 Definisi Lain Fungsi eksponen Asli dengan Sebuah Kurva

4

Fungsi eksponen asli adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika.

Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp ata , dimana adalah basis fungsi

logaritma asli yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

1. f : x Grafik Fungsi Eksponen

f : dengan > 1

untuk mempermudah menggambar grafik fungsi eksponen y = dengan berikut

dicontohkan grafik fungsi eksponen y = , x . Terlebih dahulu kita pilih beberapa titik yang

terletak

pada grafik tersebut.

Tabel: Y =

x … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … …

y … … 1 2 4 8 … … …

Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut : Y

Y =

4

2

-2 -1 0 1 2 X

Dari gambar di atas dapat di simpulkan

5Y = dengan adalah fungsi monoton naik sebab jika maka

Dalam bentuk yang lebih umum pada pertidaksamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi diatas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

Contoh Soal :

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen dibawah ini :

1)

2)

3)

Penyelesaian :

1)

2.

Garis bilangan dapat digambarkan :

Dengan x = 1 atau x = 5

++++ - - - - - - - - - - - - - - - ++++

1 5

6

Jika dan , maka

Jika dan , maka

Daerah hasil

Sehingga hp =

3.

Karena persamaan eksponen diatas sudah sama paka tinggal diambil pangkatnya dan sama-sama di kalikan dengan 2 untuk merubahan bentuk pecahan :

sama-sama dikalikan dengan -1, sehingga persamaannya menjadi positif dan tandanya pertidaksamaanya menjadi berubah :

Grafik Fungsi Eksponen y = dengan 0 < < 1

Gambar Grafik, dengan y = , Dengan x

Jawab :

Terlebih dahulu dubuatkan tabel sebagai berikut:

X … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

7

1,5

y … 8 4 2 1 …

Gambar grafiknya dapat dibuat :

y =

Y

4

3

2 1 X

-2 -1 1 2

Dari gambar dapat disimpulkan :

Dalam bentuk yang lebih umum dalam pertidaksamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Contoh Soal :

8

Y= dengan 0 < adalah fungsi monoton turun, sebab jika

maka <

Jika dan maka

jika dan maka

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan berikut :

a)

b)

Penyelesaian :

a.

Untuk merubah pertidaksamaan menjadi positif maka kalikan kedua ruas dengan -1 sehingga tanda pertidaksamaan menjadi :

Karena pertidaksamaan masih berupa pertidaksamaan negatif maka, kembali kita rubah tanda pertidaksamaan dengan mengalikannya dengan -1 sehingga menjadi :

b.

karena persamaannya masih berupa persamaan negatif maka kalikan juga dengan -1, sehingga tanda pertidaksamaannya juga berubah menjadi :

9

Dapat dibuat garis bilangannya :

++++ - - - - - - - - - - - - - - - ++++

Daerah hasil -1 daerah hasil

Daerah hasil harus menunjukan himpunan sebagai berikut :

x < -1 atau x > - karena sesuai ketentuan, dimana nilai x harus lebih besar dari pada 0.

2.4 Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat

didefinisikan. Fungsi

yang terdefinisikan untuk , dan semua bilangan real , disebut juga fungsi eksponensial

dengan basis .

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula :

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan

pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:

10

Rumus-rumus diatas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan

real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat

disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

2.6 Turunan dan Persamaan Diferensial

Turunan oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling

berkebalikan maka fungsi exp x = terdefinisi. Untuk menentukan sebuah rumus

untuk Dx dengan menggunakan teorema sebagai ````

x = ln y

Sekarang turunkan kedua ruas terhadap x. Dengan menggunakan aturan rantai kita

memperoleh :

1= Dx y

Dx y = y =

Dari rumus di atas kita dapat tarik kesimpulan bahwa :

adalah turunannya sendiri, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut :

=

Jadi y = adalah penyelesaian persamaan diferensial yˈ= y

Apabila u = terdefisiansi, maka menurut aturan rantai :

Contoh Soal :

Tentukan Dx 11

=

Penyelesaian :

sesuai dengan rumus adalah :

=

=

misalkan : uv =

u =

v =

sehingga :

untuk mengerjakan soal diatas ada ketentuan untuk penulunan dari dua suku yaitu :

maka jawaban dari pertanyaan diatas adalah :

uv =

Jadi : =

=

=

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat

turunannya.

12

Uv =u

Dengan kata lain, fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat

"ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang

mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi

pada titik tersebut.

Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x

Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial yˈ= y.

Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi

eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk

gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dapat dirumuskan ;

jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

2.6 Pengintegralan Fungsi Eksponen Asli

Rumus Dx secara otomatis menghasilakan integral = + C atau dengan u mengganti : x

Contoh Soal Pengintegralan :

Tentukan :

Penyelesaian : Andaikan u= -4x, sehingga du = -4x dx. Maka

13

= + C

- (-4 dx) = - = -

- + C

2.7 Evaluasi Soal- Soal :

1. Tentukan Batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan exsponen berikut :

a.

b.

c.

d.

2. Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan exsponen berikut :

a)

b)

c)

3. Carilah dari persamaan berikut :

a) y =

b) y =

c) y=

4. Carilah Integral- integral berikut ini :

a)

b)

c)

14

JAWABAN EVALUASI SOAL- SOAL :

1. a) x =

b) x =

c) x =

d) x = -1 x = 3

+++ - - - +++

-1 3

HP = { -1 , 3 }

2. a) x =

b) x = -4 x = 1

+++ - - - +++

-4 1

HP {-4 , 1 }

d) x = x =

+++ --- +++

HP = { , }

15

3 . a)

b)

c) 2x

4. a)

b)

c) -

16

BAB III

PENUTUP

3.1Kesimpulan

Dari penjelasan yang telah dijabarkan dapat disimpulakan, bahwa Fungsi Eksponen

Asli merupakan, balikan dari ln yang dinyatakan dalam bentuk exp dan dilambangkan

dengan huruf e yang nilainya sebesar = 2,71828……….dalam penerapannya fungsi

eksponen ini memiliki sifat-sifat seperti :

em x en = em+n

(em)n = (e)mn

em/en = em-n

(e x b )n = en x bn

(e/b)n = en/bn

Dalam penerapannya fungsi eksponen asli dapat berupa turunan dan persamaan

diferensial dan juga berupa pengintegralan yang telah dijelaskan. Selain itu fungsi eksponen

juga sangat memegang peranan penting dalam kehidupan manusia setiap harinya, baik yang

dilakukan secara sadar maupun tidak sadar salah satunya, penerapannya adalah pada

penerapan konsep alat musik yang menggunakan dawai atau dibentuk dari kolom udara,

merefleksikan bentuk dari sebuah kurva ekspnen dalam struknya, demikian juga pada konsep

pertumbuhan dan peluruhan dalam ilmu Fisika, Biologi, kimia maupun ekonomi. pada Hal

itulah yang menyebabkan fungsi eksponen ini sangatlah istimewa.

3.2 Saran

Dengan banyaknya fakta-fakta membuktikan betapa bermanfaatnya fungsi eksponen

bagi kehidupan manusia setiap harinya, sangat diharapkan kita sebagai pelajar dalam

tingkatan mahasiswa, wajib memahami betul rumus-rumus dan juga mampu mengerjakan

persoalan-persoalan seputaran fungsi eksponen ini, sehinga nantinya kita mampu

17

menularkannya kepada calon peserta didik. Terlebih mampu menerapkannya dalam

kehidupan sehari-hari, serta mampu menemukan inovasi-inovasi baru, untuk mempermudah

kehidupan manusia.

DAFTAR PUSTAKA

Purcell Edwin J, Dale Parbeg, Sreven E. Rigdon. Kalkulus jilid I . Jakarta: Erlangga

Mandra ketut, Drs. Matematika kurikulum 2004:UD Laksamana

hppt://www.nrel.com.

18

Nama-nama yang berpatisipasi dalam presentasi :

1. Ni Nyoman diantari (17)

Membantu Menambahkan garis bilangan dan menjawab evaluasi soal no : 1. C

2. Dwi Ayuni (15)

Pertanyaan :

Bagaimana penurunan rumus dari

3. Wijaya (09)

Menambahkan tentang pengintegralan

4. Nidayanti (49)

Pertanyaan :

Gambarlah garis bilangan pada contoh soal pertidaksamaan dan menjawab soal no 3a

19