RESUME MATEMATIKA LANJUTAN

FUNGSI BETA

Di Susun Oleh :

Kelompok 5

Nama : 1. Yulianti 2007 121 166

2. Titin Marlinda 2007 121 301

3. Bala Putra 2007 121 463

4. Wiwin Karnata 2007 121 290

Mata Kuliah : Matematika Lanjutan

Dosen Pengasuh : Fadli, S. Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2010

FUNGSI BETA

Fungsi beta, dinyatakan dengan B(m,n) di defenisikan sebagai B(m,n) =

dxxx nm 11

0)1( −−∞

−∫ yang konvergen untuk m>0, n < 0.

Fungsi beta ini dihubungkan dengan gungsi gamma oleh relasi

)(

)()(),(

nmr

nrmrnmB

+=

Akan kita tunjukkan kebenaran dari hubungan ini. Dengan misalkan z =

x 2 dapat di tulis:

)(m ∫ ∫∞

−−∞

−− ==0

12

0

1 2

2 dxexdzez xmzm

Sesuai ini dapat ditulis )(n dyey yn 212

0

2 −−∞

∫=

Maka )(m )(n ))((422 12

0

12

0

dyeydxex ynxm −−∞

−−∞

∫∫=

= dxeyx yxnm )(1212

00

22

4 +−−−∞∞

∫∫ dy

Mentransformasikan ke koordinat polar,

px = cos py =,θ θsin diperoleh:

)(m )(n21)(2

0

2/

0

4 pnm

p

ep −−+∞

=∫∫=

π

θθ 1212 sincos −− nm dp θd

= )sincos)((4 12122/

0

1)(2

0

2

θθθπ

ddpep nmpnm −−−−+∞

∫∫

= 2 )(m )(n ∫2/

0

π

θθθ dnm 1212 sincos −−

= )(m + )(n . β(m,n)

Maka β (m,n) = )(

)()(

nm

nm

+ (terbukti)

Hubungan berikut ini perlu anda ketahui pula :

β (m,n) = β (n,m)

kita buktikan pula kebenasan hubungan ini :

β (m,n) = dxxx nm 11

1

0)1( −− −∫ substitusi = 1 – y

= )()1( 1

1

0dxyx ynm −−∫ −−

= 1

0∫ yn1 (1-y)m-1 dy = β (n,m)

Maka β (m,n) = β (n,m)

Hubungan berikutnya yang perlu anda ketahui adalah :

β (m,n) = 2 θθθπ

dnm 1212

2/

0cossin −−∫

Kebenaran hubungan ini akan kami tunjukkan dengan uraian berikut !

β (m,n) = 1

0∫ xm-1 (1-x)n-1 dx

Substitusi = sin2θ menghasilkan

β (m,n) = θθθθπ

dnm cossin2)(cos)(sin 1212

2/

0

−−∫

= 2 θθθπ

dnm 1212

2/

0cossin −−∫

Soal-soal dan pembahasannya :

1. Hitunglah nilai β (3, 5)

Jawab :

)(

)()(),(

nm

nmnm

+=β

)53(

)5()3()5,3(

+=β

= )!7(

)!4!.(2

= 1.2.3.4.5.6.7

1.2.3.4!.2

= 2520

3.4.2

= 105

1

2520

24 =

2. Hitunglah nilai β (6, 2)

Jawab :

)(

)()(),(

nm

nmnm

+=β

β (6, 2) = !7

!1!.5

1)26(

12.6=

−+−

= 42

1

1.5.6.7

1!.5 =

3. Hitunglah dxxx 821

0

)1( −∫

Jawab :

β (m,n) = dxxx nm 11

1

0)1( −− −∫

β (m,n) = 1

0∫ x

2 (1-x)8 dx

= 1

0∫ x

3-1 (1-x)9-1 dx

β (3,9) = 12

)9()3(

= !11

!8.!2

= 8.9.10.11

8.1.2

= 990

2

= 495

1

4. Hitunglah 1

0∫ x

6 (1-x)3 dx

Jawab :

= 1

0∫ x

6 (1-x)3 dx

= 1

0∫ x

7-1 (1-x)4-1 dx

β (7,4) = 11(

)4()7(

= !6.7.8.9.10

2.3!.6

!10

!3!.6 =

= 840

1

5040

6 =

5. Hitunglah 1

0∫ x

4 (1-x)3 dx

Jawab : 1

0∫ x

4 (1-x)3 dx

= 1

0∫ x

5-1 (1-x)4-1 dx

= β (5, 4) = )9(

)4()5(

= 280

1

!8

!3!4 =

6. Hitunglah : 2

0∫

x

dxx

−2

2

Jawab = Substitusi x = 2 v dx = 2 dv

= 2

0∫

x

dxx

−2

2

= 1

0∫

0

212

124

22

)2(4

v

v

v

dvv dv

−∫=

−

= 4 21

0∫ v2 (1-v)-1/2 dv

= 4 2 v3-1 (1-v) ½-1 dv

= 4 2 = β (3, )2

1 =

)2/13(

)2/1()3(24

+

= 4 2 15

264

)21()2

3()25(

21(!2(

=

7. Hitunglah : ∫a

0

4y dyya 22 −

Jawab : Substitusi y2 = a2 atau y = a x

a

0∫ y4 )(.)( 2222

0

122 xadxaaxadyya −∫=−

= a6 1

0∫ x2.(1-x) 2

1

. dxx 2

1

2

1 −

= dxxxa 2

1

2

31

0

6

)1.(2

−∫

= )4(

)2/3()2/5(

2)

3

3,

2

5(

2

66 aa =β

= !3

)2/1()2/1)2/1()2/1()2/3(

2

6a

= 2

6a. π

ππ

326

)()(8

3( 6a=

8. Hitunglah θθπ

d6

2/

0sin∫

Jawab : Ambillah 2m – 1 = 6 dan 2n-1 = 0

Maka, m = 7/2 dan n = ½

θθπ

d6

2/

0sin∫ =

2/

0

π

∫ sin 12 −m θθ d

= )2

1,

2

7(

2

1),(

2

1 ββ =nm

= )!3.(2

)()()(2/1)(2/3)(2/5(

)4(

)2/1()2/7(

2

1 ππ=

= 32

5

)6(16

15 ππ =

9. Hitung θθπ

d4

0

cos∫

Jawab : Substitusi 2 m – 1 = 0 dan 2n – 1 = 4

Memberikan m = 2

1dan n =

2

5

θθπ

d4

0

cos∫ = 2 θθπ

d4

0

2/

cos∫

= 2 θθθπ

dnm 1212

2/

0cossin −−∫

= )3(

)2/5(2/1(

)

)()(),( =

+=

nm

nmnmβ

= 2

))(43(

!22

1)23()2

1( ππ=

= 8

3π

10. Hitunglah θθπ

d4

0

2/

sin∫

Jawab : Substitusi 2m – 1 = 4 dan 2n -1 = 5

Diperoleh m = 5/2 dan n = 3

θθθθθππ

dd nm 12142

0

2/54

0

2/

cossincossin −−∫∫ =

= )2/11(

)3()25(

2

1)3,2

5(2

1 =β

= )2

1()21)(2

3)(25)(2

7)(29(2

)!2).(21(2

1()23(

= 315

8

)32945(2

)2(43(

=