Format Buku Badan Penerbit UNM - HMJ Pendidikan … · Web viewUntuk memahami hal ini, pandanglah...

Bab I. Tinjauan Ulang Konsep Dasar Mekanika


Pembahasan topik pada mekanika lanjut difokuskan pada pengembangan mekanika yang ada pada tingkat dasar. Untuk memahami dengan baik konsep-konsep yang dibahas, perlu dilakukan tinjauan ulang secara singkat mengenai konsep dasar mekanika yang melandasi pembahasan-pembahasan selanjutnya. Hal ini telah dibahas pada kuliah kuliah sebelumnya, baik di Fisika Dasar, Fisika Lanjut, maupun Mekanika Dasar itu sendiri. Disamping pemahaman yang baik tentang konsep dasar tersebut, dituntut pula penguasaan yang baik tentang kalkulus (diferensial dan integral) sebagai alat untuk menyelesaikan persamaan-persamaan yang digunakan.

A. HUKUM HUKUM DASAR MEKANIKA

Hukum mekanika yang sangat mendasar adalah Hukum Newton yang sangat populer sebagai berikut:

1. Sebuah partikel cenderung akan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap, kecuali jika ada gaya yang bekerja padanya (hukum I Newton). Hukum ini juga disebut dengan hukum inersia, yakni kecenderungan benda untuk mempertahankan keadaannya (diam atau bergerak dengan kecepatan tetap).

2. Percepatan a yang ditimbulkan oleh sebuah benda sebanding dengan gaya F yang bekerja padanya.

1

F a (1)

Kesebandingan di atas dihubungkan oleh besaran lain yang menyatakan sifat inersia benda yakni massa m, sehingga

F = ma (2)

Ini adalah ungkapan hukum II Newton dalam bentuk matematis

(3)

atau

(4)Ini adalah bentuk lain pernyataan hukum II Newton dalam bentuk matematis.

3. Jika sebuah benda, katakanlah benda A melakukan gaya (aksi) pada benda B yang besarnya sama dengan FA, maka dalam keadaan setimbang benda B juga memberikan gaya yang sama besarnya (FB) yang disebut gaya reaksi tetapi arahnya berlawanan (FA = - FB, yang bearti pula bahwa FA + FB = 0).

2


B. PRINSIP KEKEKALAN

Dalam dinamika sering dijumpai bahwa pada kondisi tertentu, suatu besaran fisis merupakan tetapan gerak. Sebagai contoh, jika momentum ditulis sebagai

(5)

Atau ini dapat diartikan bahwa gaya yang bekerja pada sebuah benda besarnya sama dengan laju perubahan momentum. Apabila gaya yang bekerja sama dengan nol, ini berarti bahwa momentum linier benda tidak berubah (kekal, merupakan tetapan gerak). Jadi kaidah kekekalan momentum linier menyatakan bahwa: Apabila gaya total yang bekerja pada sebuah benda sama dengan nol, maka momentum linier benda tersebut adalah konstan atau kekal (tak berubah) Prinsip yang sama juga dapat diterapkan untuk momentum sudut. Pandanglah sebuah benda yang massanya m yang bergerak melingkar pada sebuah lintasan berjejari r. Momentum sudut L = r p dan arahnya ditunjukkan seperti dalam gambar (1.1). Jika momentum sudut didiferensialkan terhadap waktu t,

(6)

3

Oleh karena v v = 0. r F adalah momen gaya yang bekerja pada benda. Jadi

(7)

Jika momen gaya yang bekerja sama dengan nol, hal ini berarti bahwa momentum sudut tak berubah dengan waktu (tetap). Uraian di atas memberikan prinsip kekekalan momentum sudut : Jika momen gaya total yang bekerja pada sebuah benda sama dengan nol, maka momentum sudut benda tersebut adalah kekal (tidak berubah dengan waktu)

Gambar 1.1

Hubungan antara arah r, p dan L

pr

4

L = r p


Hal yang akan banyak digunakan dalam pembahasan mekanika lanjut, terutama pada penggunaan prinsip Lagrange dan Hamilton dalam menyelesaikan persamaan gerak adalah beberapa prinsip kekekalan jika sistem yang ditinjau dipengaruhi oleh gaya dalam medan konservatif. Suatu medan dikatakan konservatif

apabila harga integral yang tak lain adalah

usaha yang dilakukan oleh gaya F yang tidak bergantung pada lintasan yang ditempuh, tetapi hanya bergantung pada posisi awal (titik 1) dan posisi akhir (titik 2). Untuk memahami hal ini, pandanglah dua titik yang masing-masing merupakan kedudukan awal benda (titik 1) dengan kedudukan akhir (titik 2).

Gambar 1.2Lintasan benda dalam medan konservatif

5

Fds

I

II

1

2

F

ds

Jika medannya konservatif, maka integral melalui

lintasan I yakni I sama besarnya dengan integral

melalui lintasan II, yakni II

Jadi : I = II

. Dalam hal ini II = - II

,

sehingga :

I + II = I - II

= 0, yang menyatakan

lintasan tertutup yang dilalui oleh benda. Secara matematis ditulis

(8)

dinamakan integral tertutup. Apabila lintasan tertutup tersebut membentuk permukaan dengan luas A, maka menurut teorema Stokes :

6


(9)

Gambar 1.3Teorema Stokes

Untuk medan yang konservatif, . Karena dipilih lintasan yang

tertutup, maka hal ini berarti bahwa

F = 0 (10)

Dari analisis vector, untuk sembarang fungsi skalar f(r) berlaku:

f(r) = 0 (11)

Demikian juga halnya dengan fungsi potensial V(r), berlaku:

ndA

(F)

7

V(r) = 0 (12)

Ini berarti bahwa :

F = - V(r) (13)

Fungsi V(r) yang memenuhi hubungan di atas dinamakan energi potensial atau potensial medan konservatif.

Sekarang akan ditunjukkan bagaimana konsep ini digunakan untuk menurunkan prinsip kekekalan energi jika medannya konservatif. Kerja yang dilakukan oleh gaya F adalah

(14)

C. PERSAMAAN LAGRANGE UNTUK SISTEM BANYAK PARTIKEL

Salah satu metode yang umum dipakai untuk menyelesaikan persamaan gerak disamping dengan menggunakan hukum Newton adalah dengan formalisme Lagrange. Metode ini cocok dipakai untuk persoalan-persoalan yang lebih kompleks, terutama untuk sistim partikel banyak. Formalisme Lagrange dan Hamilton akan dibahas lebih detail pada Bab II, namun untuk keperluan praktis terutama aplikasinya pada sistim dengan banyak partikel akan diuraikan secara sekilas di sini.8


Sekarang kita akan tinjau penggunaan persamaan Lagrange untuk sistem yang mengandung N partikel. Energi kinetik sistem adalah :

(15)

Secara umum setiap partikel memiliki 3 derajat kebebasan; jika xi dipakai untuk menyatakan koordinat maka penjumlahan yang dipakai adalah 3N. Jadi :

(16)

Dalam hal ini xi merupakan fungsi koordinat rampatan qi dan fungsi waktu secara eksplisit.

xi = xi (q1, q2, ....q1, t) = xi (qi, t) (17)

Persamaan (17) diferensialkan terhadap t, diperoleh :

(18)

Secara singkat dapat ditulis :

9

(19)

Tampak bahwa energi kinetik T merupakan fungsi koordinat posisi rampatan qk, kecepatan rampatan dan waktu t.

(20)

Diferensiasi T terhadap , diperoleh :

(21)

Jika digunakan hubungan :

(22)

Diperoleh

10


(23)

Persamaan (23) diferensialkan persamaan di atas terhadap t, diperoleh:

(24)

Ungkapan gaya rampatan adalah:

(25)

Untuk sistem banyak partikel

(26)

(27)

11

Penggabungan persamaan-persamaan sebelumnya (21 – 27) menghasilkan:

(28)

Indeks k menyatakan bilangan n yang menunjukkan derajat kebebasan sistem.

Jika sistemnya konservatif, maka fungsi potensialnya memenuhi hubungan

(29)

Berdasarkan definisi fungsi Lagrangian L = T – V, maka persamaan Lagrange untuk sistem dengan partikel banyak dapat ditulis :

k = 1, 2, …n,

(30)

Jika dalam sistem terdapat gaya non-konservatif yang tidak dapat diturunkan dari fungsi potensial V dan selebihnya adalah gaya konservatif, maka gaya rampatannya ditulis:

(31)12


sehingga persamaan Lagrangenya menjadi

k = 1, 2, …n

(32)

Sebagai rangkuman, dibawah ini diberikan langkah-langkah penyelesaian persamaan gerak benda dengan menggunakan formalisme Lagrange sebagai berikut:

a. Pilih koordinat rampatan yang cocok dengan sistem yang ditinjau.

b. Nyatakan energi kinetik sistem sebagai fungsi koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu (kecepatan).

c. Jika medannya konservatif, nyatakan energi potensial V sebagai fungsi koordinat rampatan.

d. Selanjutnya gunakan perangkat persamaan Lagrange untuk menyelesaikan persamaan gerak sistem.

D. PERLUASAN HUKUM NEWTON UNTUK SISTEM BANYAK PARTIKEL

Sekarang dapat ditinjau apakah kaidah-kaidah kekekalan itu juga berlaku untuk suatu sistem zarah.Ada dua macam gaya yang bekerja pada zarah yang menjadi anggota sistem zarah, yaitu:

13

a. Gaya luar, yang berasal dari luar sistem zarah, .

b. Gaya dalam, yang berasal dari zarah-zarah lain dalam sistem.

Jadi hukum II Newton untuk zarah ke-i dalam sistem zarah itu akan berbentuk:

(33)

Dalam ungkapan di atas:

merepresentasikan momentum linier zarah ke-i

adalah gaya luar total pada zarah ke-i adalah gaya pada zarah ke-i oleh zarah ke-j

Apabila dibuat sumasi terhadap semua zarah dalam sistem, maka akan diperoleh :

(34)

Tanda sumasi ke-j, diberi super script untuk menyatakan bahwa dalam penjumlahan itu tidak mengikat suku j = i.Menurut Hukum III Newton, . Sehingga berlaku bahwa . Dengan demikian:

14


(35)

Sehingga hubungan dengan perubahan momentum linier menjadi: (36)

Perhatikanlah ungkapan :

(37)

Koordinat pusat massa sistem seperti telah dibahas dalam mekanika benda tegar, yang dinyatakan dengan vektor R dapat dinyatakan dengan:

(38)

Jadi :

15

(39)

Oleh karena itu momentum linier sistem dapat ditulis

(40)

maka

(41)

Berdasarkan kenyataan di atas, dapat dilihat bahwa pada sistem dengan banyak partikelpun berlaku kaidah kekekalan momentum linier yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

Apabila gaya luar yang bekerja pada sistem dengan partikel banyak sama dengan nol, maka momentum linier sistem tersebut adalah kekal (tidak berubah terhadap waktu)

Jika hal di atas diperluas pada sistem banyak partikel untuk momentum sudut maka kaidah tersebut juga berlaku. Untuk membahas hal ini, pikirkanlah sebuah sistem yang terdiri dari sejumlah partikel i dengan posisi bergerak dengan momentum . Momentum sudut sistem adalah :

16


(42)

Diferensiasi persamaan (42) terhadap waktu akan diperoleh:

(43)

Dengan menggunakan aturan aljabar untuk vektor, maka

(44)

Jika diasumsikan bahwa disamping gaya internal, juga bekerja gaya eksternal pada sistem maka:

17

(45)

Andaikanlah sistem zarah berada dibawah pengaruh suatu medan gaya yang konservatif, maka usaha yang dilakukan oleh semua gaya dalam memindahkan sistem dari konfigurasi awal (1) ke konfigurasi akhir (2), adalah:

(46)Ungkapan di atas dapat dinyatakan dalam beda energi kinetik sistem, sebagai berikut:

(47)

atau :

(48)

Patut dicatat bahwa dalam pernyataan diatas merupakan kecepatan zarah ke-i terhadap suatu rujukan umum, dan bahkan terhadap titik pusat massa.Jika adalah kecepatan titik pusat massa, dan kecepatan zarah ke-i terhadap titik itu, maka kecepatan zarah ke-i adalah:

18


(49)

Dengan demikian energi kinetik sistem menjadi :

(50)

Suku ketiga di ruas kanan sama dengan nol karena adalah jarak dari zarah-i ke titik pusat massa, sehingga persamaan (50) menjadi:

(51)

Suku kedua di ruas kanan merepresentasikan energi kinetik terhadap titik pusat massa sistem zarah. Ini dapat berupa translasi maupun rotasi.Diandaikan bahwa semua gaya luar dapat diturunkan dari satu fungsi potensial (konservatif), maka :

(52)

19

Tinjaulah kemudian gaya-gaya dalam. Karena harus memenuhi Hukum III Newton, maka potensial yang berkaitan dengan gaya harus berbentuk :

(53)

Dengan demikian maka :

, (54)

Sebagaimana dituturkan oleh Hukum III Newton.Secara umum kemudian dapat dinyatakan bahwa :

; f adalah fungsi skalar (55)

Apabila demikian, maka :

dapat ditulis sebagai pasangan-pasangan

(56)

Dalam pernyataan di atas:

;

20


maka : dapat

dituliskan sebagai :

(57)sehingga :

(58)

Dengan demikian maka energi potensial total :

(59)

Dengan batasan-batasan seperti itu akan berlaku :

atau

T + V tetap untuk sistem zarah yang berada dalam medan gaya luar yang konservatif.

Kaidah kekekalan energi mekanik berlaku juga untuk suatu sistem zarah.Dari uraian di atas, dapat dikatakan beberapa hal penting seperti di bawah ini:

21

Telah dibahas kaidah-kaidah kekekalan untuk gerak zarah tunggal maupun bagi suatu sistem zarah. Kekekalan besaran-besaran fisika itu berlaku apabila memenuhi persyaratan-persyaratan khusus.

Momentum linier kekal apabila gaya luar yang bekerja pada zarah sama dengan nol ; momentum angular kekal apabila momen gaya luar yang bekerja pada sistem sama dengan nol.

Jika zarah atau sistem zarah bergerak dibawah pengaruh medan gaya yang konservatif, maka energi mekanik totalnya merupakan tetapan gerak.

Apabila dilihat secara mendasar maka sesungguhnya , , dan E dibataskan sebagai besaran mekanika karena adanya unsur kekekalan.

E. KALKULUS VARIASI UNTUK PERSAMAAN EULER LAGRANGE

Salah satu tujuan utama dari kuliah tentang materi berikutnya adalah memahami formalisme Lagrange untuk mekanika dan mampu mempergunakannya dalam memecahkan soal-soal mekanika tingkat madya.

Sebelum membahas formalisme itu perlu terlebih dahulu dipahami hal penting tentang kalkulus variasi, dan persamaan Euler-Lagrange yang berkaitan dengan membuat optimum harga suatu bentuk integral tertentu.22


Salah satu persoalan yang dihadapi dalam mekanika, adalah menyangkut meminimalkan atau memaksimalkan suatu besaran yang dinyatakan dalam bentuk integral. Konsep yang digunakan adalah kalkulus variasi.Misalkan :

(60)

J adalah besaran fisis yang ingin dicari nilai ekstrimnya. f merupakan fungsi dari variabel y(x), yx(x) = dy(x)/dx dan x, akan tetapi ketergantungan y terhadap x tidak diketahui.

Kita akan memilih lintasan integral melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) untuk meminimalkan nilai J. Dalam beberapa kasus khususnya dalam mekanika kita tertarik untuk mencari nilai minimum.

Gambar 1.423

x1,y1

x2,y2

x

y

Lintasan dengan lengkungan sembarang

Dalam gambar di atas, terdapat dua lintasan alternatif, satu dinyatakan dengan garis utuh dan lainnya dengan garis putus-putus. Tentu saja terdapat berbagai alternatif lintasan dengan jumlah tak berhingga. Perbedaan dua harga y pada nilai x yang sama disebut variasi y disimbolkan . Oleh karena itu kita perlu memperkenalkan sebuah fungsi yang mendefinisikan perubahan bentuk lintasan dengan faktor skala untuk memperoleh besarnya nilai variasi y. Fungsi dapat saja berbentuk sembarang dengan pembatasan sebagai berikut:

a. yang berarti bahwa kedudukan kedua ujung lintasan tak berubah.

b. Menyatakan lintasan dalam bentuk dan sebagai :

(61)

dan (62)

Sekarang mari kita memilih sebagai sebuah lintasan yang tak diketahui yang membuat J minimum. Jadi J dapat dinyatakan sebagai fungsi parameter

(63)

Syarat yang harus dipenuhi untuk memperoleh nilai ekstrim adalah :24


(64)

Kebergantungan terhadap integral J terkandung dalam fungsi y(x) dan yx(x, ) = . Oleh karena itu:

(65)

Dari persamaan 61:

(66)

(67)

Persamaan 65 menjadi :

(68)

Gunakan integral parsil untuk suku kedua ruas kanan persamaan di atas :

25

(69)

Kedua suku saling meniadakan sehingga persamaan 68 menjadi :

(70)

yang berarti bahwa :

(71)

Ini adalah bentuk persamaan Euler.

Persamaan Euler dapat juga dinyatakan dalam bentuk lain yang lebih mudah digunakan :

(72)

Dalam hal f = f(x,yx) dan x tidak muncul secara eksplisit, maka persamaan di atas, direduksi menjadi :

(73)Atau :

26


C = tetapan (74)

Sebagai salah satu aplikasi, marilah kita menentukan jarak terdekat antara dua titik pada sebuah bidang xy.

Elemen panjang garis adalah

(75)

Jarak J dapat ditulis dalam bentuk integral

(76)

Substitusi ke persamaan (72) diperoleh :

C = tetapan pertama

(77) Hal ini terpenuhi jika : , a = tetapan kedua. Dari definisi sebelumnya :

(78)

Jika diintegralkan akan diperoleh persamaan garis y = ax + b yang tak lain adalah persamaan garis lurus

27

yang menghubungkan dua titik (x1, y1) dan (x2, y2). Hal ini suatu bukti kebenaran persamaan Euler.

Contoh 2 :

Ilustrasi kedua penggunakan persamaan Euler adalah sebuah permukaan yang dibentuk oleh kurva y(x) di sekitar sumbu x. Kurva tersebut harus melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2). Persoalan yang ingin dipecahkan adalah merumuskan bentuk kurva y(x) sedemikian sehingga diperoleh luas permukaan yang minimum

Gambar 1.528

ds

y

x1,y1

x2,y2

y

x


Permukaan yang dibentuk oleh rotasi suatu kurva

Jawab : Elemen luas permukaan dalam gambar adalah :

Persamaan variasi yang dihasilkan adalah :

Abaikan suku 2 , diperoleh :

Karena , kita dapat menggunakan langsung persamaan 74 dan diperoleh :

atau

Kuadratkan dimana

Dan

Solusinya adalah

29

Jadi

Nilai c1 dan c2 ditentukan dengan melihat bahwa hiperbola harus melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2).

Soal Soal dan Penyelesaiannya :

1. Suatu gaya konstan F bekerja pada sebuah partikel bermassa m, mengubah kecepatan partikel dari v1 menjadi v2 dalam selang waktu t.

a. Tunjukkan bahwa F = m (v2-v1)/tb. Apakah hasil yang diperoleh pada pertanyaan a

juga berlaku apabila gayanya berubah.

Jawab :

a. Dengan menggunakan hukum II Newton untuk gerak

atau

Jika diintegrasikan :30


Jika pada saat t = 0, v = v1 sehingga C1 = v1, maka

Jika pada saat t’ = t, v = v2 sehingga

Sehingga : F = m (v2-v1)/t

b. Jika gaya berubah, hasil yang diperoleh pada soal a tidak berlaku.

2. Tunjukkan bahwa kerja yang dilakukan oleh sebuah partikel sepanjang lintasan C dari titik P1 menuju titik P2 adalah

Jawab :

31

3. Tunjukkan bahwa impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum yang dilakukan oleh gaya tersebut :

Jawab :

Definisi impuls :

Jadi :

4. Partikel bermassa m bergerak sepanjang sumbu x dibawah pengaruh sebuah gaya konservatif yang memiliki potensial V(x). Jika partikel berada pada posisi masing masing x1 dan x2 pada saat t1 dan t2, tunjukkan bahwa :

Jawab :

Dari Hukum Kekekalan Energi Mekanik :

32


Ek + Ep = E

Agar akar-akar persamaan di atas bersifat nyata, maka E > V(x), sehingga:

dan setelah diintegralkan:

5. Jika partikel yang dinyatakan dalam soal nomor 3 memiliki energi potensial V(x) = dan bergerak mula-mula dari keadaan diam pada x = a, tunjukkan bahwa x = dan jelaskan gerak benda tersebut.

Jawab :

Dari jawaban soal no. 3 diperoleh bahwa

33

Oleh karena dx/dt = 0 pada posisi x = a, maka diperoleh

Sehingga

atau dt

Setelah diintegralkan diperoleh t + C1. Oleh karena x = a pada saat t = 0, maka C1 = /2, maka

t + /2 ataux =

Partikel melakukan gerak bolak balik sepanjang sumbu x dari x = a menuju x = -a dengan periode .

6. Menurut teori relativitas, massa partikel m dapat dinyatakan sebagai :

Dimana v adalah kelajuan partikel, m0 adalah massa diam dan c adalah kelajuan cahaya.

34


a. Tunjukkan bahwa laju perubahan kerja partikel adalah .

b. Dari jawaban yang diperoleh pada bagian a tunjukkan bahwa energi kinetik partikel

c. Jika v jauh lebih kecil daripada c (non-relativistik) tunjukkan bahwa energi kinetik .

Jawab :

a. Dengan menggunakan hukum II Newton :

Kemudian jika W adalah gaya yang dilakukan, maka

(b). Karena kerja yang dilakukan sama dengan laju perubahan energi kinetik terhadap waktu, maka

35

Setelah diintegralkan :

Untuk menentukan harga c1 ingat bahwa sesuai dengan definisi T = 0 pada saat v = 0 atau = 0, sehingga c1 = -moc2, sehingga diperoleh

(c) Untuk < 1, menurut teorema binomial

Kemudian selanjutnya

(dengan pendekatan yakni hanya melibatkan sampai suku kedua saja).

7. Tunjukkan bahwa untuk koordinat polar (r,) berlaku

Jawab :36


Misalkan Dimana G dan H akan ditentukan kemudian. Oleh karena dan x = r cos serta y = r sin , maka diperoleh :

atau

Selanjutnya :

Sekarang kombinasikan persamaan-persamaan di atas :

sehingga

Jadi

SOAL SOAL

37

1. Sebuah partikel yang bergerak di bawah pengaruh gaya F memiliki momentum yang besarnya adalah

= 3e-t - 2 cos t - 3 sin t Berapa besar gaya F ?

Solusi : = -3e-t + 2 sin t - 3 cos t

2. Partikel dengan massa 3 satuan bergerak dalam bidang xy yang memiliki potensial V = 12x (3y – 4x). Partikel berangkat dari keadaan diam pada saat t = 0 dengan vektor posisi 10 – 10 .

a. Carilah sebuah persamaan diferensial dan persyaratan yang harus dipenuhi oleh gerak partikel tersebut.

b. Selesaikan persamaan diferensial tersebut.c. Tentukan posisinya untuk waktu sembarang.d. Tentukan kecepatannya untuk waktu sembarang.

Solusi : a. dimana x = 10, , y = -10 dan = 0 pada saat t = 0.

b. x = (-6 cos 2t – 4 cosh 6t) +(-2 cos 2t – 4 cosh 6t) . v = (-12 sin 2t – 24 sinh 6t) +(4 sin 2t + 72 sinh 6t) . c. Kecepatan sesaat diberikan oleh

3. Partikel dengan massa m bergerak sepanjang sumbu x dibawah pengaruh sebuah gaya tarik yang arahnya menuju pusat O yang besarnya F = - (k/x2) . Jika 38


partikel berangkat dari keadaan diam pada posisi x = a, buktikan bahwa waktu yang dibutuhkan partikel tersebut untuk tiba di O adalah .

39

Format Buku Badan Penerbit UNM - HMJ Pendidikan … · Web viewUntuk memahami hal ini, pandanglah...

Documents

Transcript of Format Buku Badan Penerbit UNM - HMJ Pendidikan … · Web viewUntuk memahami hal ini, pandanglah...