Tugas Matematika Elektronika

Nama Kelompok :

Ach Maulana Habibi Y ( 14/364061/PA/15884)

Azman Latif ( 14/364105/PA/15892 )

Nur Ida Anggari (14/364053/PA/15882)

PROGRAM STUDI ELEKTRONIKA DAN INSTRUMENTASI

DEPARTEMEN ILMU KOMPUTER DAN ELEKTRONIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2016

PEMODELAN MATEMATIKA dari APLIKASI PENDULUM TERBALIK

Tujuan : Untuk mengetahui bagaimana cara memodelkan suatu aplikasi pada pendulum terbalik secara matematis

Batasan pemodelan : Batas pemodelan matematis pada pendulum terbalik hanya pada penentuan model persamaan state space dan transfer function pada aplikasi pendulum terbalik.

Deskripsi pendulum terbalik

1. Pendulum terbalik adalah sebuah bandul dimana massa dari bandul tersebut berada di atas ditik tumpunya. Kondisi ini mengakibatkan bandul tidak stabil jika titik tumpunya diletakkan pada benda yang dapat bergerak. Dalam hal ini, kami memodelkan pendulum tersebut berada pada benda yang bergerak, sehingga akan dihasilkan persamaan yang dapat membuat pendulum tersebut tetap dalam kondisis yang seimbang. Aplikasi dari pendulum terbalik sendiri salah satunya adalah robot yang menggunakan roda 2 ataupun beroda satu sehingga beban yang diangkutnya tetap dalam kondisi yang stabil.

Gambar 1.0 model dari pendulum terbalik

Asumsi :

1. Tidak ada gaya gesek dengan lantai serta gaya gesek antara pendulum dengan kereta2. Untuk menghasilkan keadaan yang stabil maka Teta dan turunan pertamanya harus

kecil3. Pendulum berbentuk bola pejal4. Pendulum homogen 5. Rasio antara massa dan panjang pendulum adalah konstan

Pembahasan :

Daftar lambang dan istilah :

(0,0)

(XG,YG)

Terdapat 4 gaya yang bekerja pada system tersbut, yaitu gaya horizontal kereta, gaya rotasi pendulum, gaya vertical dan horizontal pendulum.

Dari gambar diatas (1.0) diperoleh koordinat pendulum yaitu

xG=x+l sinθ

yG=lcosθ

Terdapat 4 gaya yang bekerja pada system tersbut, yaitu gaya horizontal kereta, gaya rotasi pendulum, gaya vertical dan horizontal pendulum.

Untuk memperoleh persamaan dari gerakan kereta pendulum tersebut , kita dapat meninjau dari rotasi pergerakan sumbu tersebut terhadap sumbu dan sudut atau biasa disebut torsi pendulum.

(1)

I adalah momen inersia dari Pendulum , persamaan 1 dipengaruhi oleh gaya reaksi vertikal yang bekerja pada pendulum sedangkan lsinθadalah jarak pendulum terhadap sumbu putar yang tegak lurus dengan gaya V tersebut dan gaya reaksi horisontal yang bekerja pada pendulum adalah H sedangkan jarak terhadap sumbu putarnya adalah lcosθ

Gaya yang bekerja pada pendulum dalam sumbu x dapat ditulis sebagai berikut :

(2)

Dimana H adalah gaya yang bekerja pada arah horizontal pendulum. Persamaan tersebut adalah persamaan gaya newton yang mempunyai persamaan umum f=ma . Massa dari pendulum m dan panjang lengannya adalah . Panjang lengan ini diperoleh dari koordinat pendulum terhadap sumbu x.

Gaya yang bekerja pada pendulum dalam sumbu y dapat dituliskan sebagai berikut :

(3)

Dimana V adalah gaya reaksi yang mengarah keatas maka besar V akan dikurangi dengan besar gaya berat yang berlawanan dengan arah V . Panjang lengannya diperoleh dari koordinat pendulum terhadap sumbu y.

Gaya yang bekerja pada kereta adalah gaya horizontal karena kereta tidak bergerak kearah vertikal :

(4)

u adalah gaya yang diberikan oleh kereta yang mempunyai persamaan dasar u=massa x percepatan, dan M adalah massa dari kereta dan percepatan adalah turunan kedua

dari jarak maka dapat dituliskan atau . H adalah gaya reaksi yang berlawanan arah dengan u makan H menjadi minus dalam persamaan tersebut.

Karena kita harus menjaga posisi pendulum agar tetap vertikal maka dapat diasumsikan bahwa sudut θ sangat kecil maka θ dapat dianggap 0 . Jadi pada persamaan 1 dan 3 dapat dilinearisasikan menjadi sebagai berikut : (θdan turunan pertamanyaadalah 0)

(5)

(6)

(7)

Dari persamaan 4 dan 6 maka diperoleh persamaan sebagai berikut :

(8)

Persamaan tersebut didapatkan dari subtitusi persamaan 6 kedalam persamaan 4 , persamaan 4 merupakan persamaan H , maka didapatkan persamaan tersebut.

Sedangkan jika dari persamaan 5 , 6 ,7 diperoleh persamaan sebagai berikut :

(9)

Persamaan tersebut diperoleh dari subtitusi persamaan V dan persamaan H yang ada pada persamaan 6 dan 7 , maka didapatkan persamaan tersebut.

Persamaan 8 dan 9 menggambarkan persamaan kereta dengan pendulum terbalik .

Selanjutnya dengan mengasumsikan bahwa momen inersia pendulum yang berada ditengah pusat gravitasinya adalah kecil, maka I sama dengan nol sehingga model matematika dari persamaan 8 dan persamaan 9 menjadi seperti berikut:

(M+m ) x+ml θ=u ………… ( 10 )

ml2 θ+ml x=mglθ …….. ( 11 )

Persamaan 11 didapatkan dengan mensubtitusikan I dengan nol pada persamaan 9.

Kemudian mengeleminasi x pada persamaan 10 dan persamaan 11 dengan langkah sebagai berikut

(M+m ) x+ml θ=u …………..( a )

ml2 θ+ml x=mglθ ….…......( b )

Pada persamaan ( b ) ml bisa dihilangkan pada kedua sisinnya, sehingga sekarang persamaannya menjadi

(M+m ) x+ml θ=u …………..( a )

l θ+ x=gθ ……….….….....( b )

Selanjutnya persamaan ( b ) dikalikan dengan (M+m) sehingga menjadi

(M+m ) x+ml θ=u

(M+m ) x+(M+m ) l θ=gθ (M+m)

ml θ−Ml θ−ml θ=u−gθ(M+m)

−Ml θ=u−gθ(M+m)

Ml θ=gθ (M+m )−u

θ=gθ (M+m )−uMl

…………(12)

Berikutnya mengeleminasi θ pada persamaan 10 dan 11 dengan langkah sebagai berikut

(M+m ) x+ml θ=u …………..( a )

ml2 θ+ml x=mglθ ….…......( b )

Pada persamaan ( a ) di kalikan dengan l sehingga menjadi

(M+m ) x l+ml2 θ=ul …………..( a )

ml2 θ+ml x=mglθ ….…......( b )

Kemudian persamaan ( a ) dan persamaan ( b ) dikalikan dengan l agar lebih mudah dalam proses eliminasi

(M+m ) x l2+ml3 θ=u l2 …………..( a )

ml2 x+ml3 θ=mg l2θ ….…......( b )

M l2 x+ml2 x−ml2 x=u l2−ml2gθ

M x=u−mgθ

x=u−mgθM

…………… ..(13)

Langkah selanjutnya adalah menentukan state space yang didefinisikan oleh x1 , x2 , x3 , x4 sebagai berikut

x1=θ

x2=θ

x3=x

x4= x

Output sistem tersebut adalah θ sebagai sudut putar pendulum dengan titik pusatnya dan x sebagai posisi kart pada sistem diatas.

y= y1

y2=θx=

x1

x3

Berdasarkan definisi state variable diatas dan persamaan 12 serta persamaan 13 maka dapat ditentukan .

State Space

x1=θ

x2=θ˙=g(M+m)Ml

x1−1Mlu

x3=x4

x4= x=−mgM

x1+1Mu

Bentuk persamaan output dan persamaan state space diatas bias direpresentasikan dalam bentuk matriks menjadi

Transfer Function dari sistem diatas dapat ditentukan melalui persamaan ( 10 ) dan persamaan ( 11 ) yang diubah menjadi bentuk seperti dibawah ini

(M +m ) ∂2 x∂t 2

+ml ∂2θ∂ t2

=U

ml ∂2 x∂t 2

+ml2 ∂2θ∂ t2

=mglθ

Persamaan diatas dapat diubah kedalam bentuk persamaan aljabar dengan menggunakan metode laplace transformation. Transformasi laplace dari persamaan tersebut terhadap x,u dan θ adalah

(M+m ) s2 X (s )+ml s2θ (s )=U ( s)

ml2 s2θ ( s )+mls2 X ( s )−mglθ(s)=0

Jika diubah bentuk menjadi matriks maka akan menjadi

[ (M+m) s2 mls2

ml s2 ml2 s2−mgl] [X ( s)θ ( s ) ]=[U ( s)

0 ]

Misalkan [X (s )θ (s ) ] = b, [ (M+m) s2 mls2

ml s2 ml2 s2−mgl]=a ,dan[U (s )0 ]=c, jadi untuk mencari b, maka

b=a−1 . c

Misalkan y= (M+m ) s2 (ml2 s2−mgl )−m2l2 s4

Maka [X (s )θ (s ) ]= 1

y [ml2 s2−mgl −ml s2

−ml s2 (M+m) s2][U (s )0 ]= 1

y [ml2 s2−mgl−ml s2 ]U (s )

Sehingga Transfer Function untuk kereta adalah

[X ( s )U (s ) ]=ml

2 s2−mgly dan

Transfer Function untuk pendulum

[ θ ( s)U (s )]=−ml s2

y

DAFTAR PUSTAKA

1. Ogata, Katsuhiko. Modern Control Engineering five edition2. http://ejournal.unsrat.ac.id/index.php/elekdankom/article/viewFile/4494/4023 3. http://repository.ipb.ac.id/bitstream/handle/123456789/16011/

G09phu.pdf;jsessionid=E9BA76699607465BCDFB71B03D75A692?sequence=14. http://ieeexplore.ieee.org.ezproxy.ugm.ac.id/xpl/articleDetails.jsp?

arnumber=6023822&queryText=pendulum&newsearch=true5.