MEKANIKA – 02

Tinjau sebuah benda (yang bisa dianggap sebagai benda titik) bermasa m = 8 [kg]. Pada benda bekerja

gaya – gaya seperti pada gambar di bawah ini.

F1

F2F3

F4

F5

F6

Nilai – nilai vektor gaya :

F1 = F1 = 32 [N]

F2 = F2 = 40 [N]

tan = ¾

F3 = F3 = 50 [N]

tan = 7/24

F4 = F4 = 6 [N]

F5 = F5 = 48 [N]

F6 = F6 = 80 [N]

Syarat awal (pada t = 0 [s])

r (0) = ( 5 i – 10 j) [m]

v (0) = ( – 10 i + 20 j) [m/s]

Kita pilih sistem kordinat yang akan memudahkan pekerjaan kita, yaitu :

X

Y

Pindahkan gaya – gaya yang bekerja pada benda ke sistem kordinat yang telah kita pilih

X

Y

F1

F2

F3

F4

F5

F6

Kita tuliskan notasi vektor untuk gaya – gaya di atas berdasarkan sistem kordinat yang telah kita pilih, dan

kita peroleh :

F1 = 32 i

F2 = 32 i + 24 j

F3 = 14 i – 48 j

F4 = – 6 i

F5 = 48 j

F6 = – 80 j

G = ( 72 i – 56 j ) [N]

+

Dengan menggunakan hukum Newton, kita cari vektor percepatan, yaitu

a(t) = ( G / m) = ( G / 8)

a(t) = {(9) i – (7) j} [m/s2]

ax (t) = (9) [m/s2]

ay (t) = (– 7) [m/s2]

Kita cari vektor kecepatan, yaitu :

v(t) = [a(t)] dt

v(t) = { ((9) t + Cx) i + ((– 7) t + Cy) j }

konstanta – konstanta integrasi, Cx dan Cx , dicari dengan memasukkan syarat awal

untuk kecepatan, yaitu :

v (0) = ( – 10 i + 20 j ) [m]

Sehingga

(Cx) i + (Cy) j = v (0) = ( – 10 i + 20 j )

Maka

Cx = – 10 ; Cx = 20

Jadi kita peroleh vektor kecepatan benda, yaitu :

v(t) = { (9 t – 10) i + ((– 7) t + 20) j } [m/s]

vx(t) = (9 t – 10) [m/s]

vx(t) = ((– 7) t + 20) [m/s]

Kita cari vektor posisi, yaitu :

r(t) = [v(t)] dt

r(t) = { ((9/2) t2 – 10 t + Kx) i

+ ((– 7/2) t2 + 20 t + Ky) j }

konstanta – konstanta integrasi, Kx dan Kx , dicari dengan memasukkan syarat awal

untuk posisi, yaitu :

r (0) = ( 5 i – 10 j) [m]

Sehingga

(Kx) i + (Ky) j = r (0) = ( 5 i – 10 j)

Maka

Kx = 5 ; Kx = – 10

Jadi kita peroleh vektor posisi benda, yaitu :

r(t) = { ((9/2) t2 – 10 t + 5) i

+ ((– 7/2) t2 + 20 t – 10) j } [m]

x(t) = ((9/2) t2 – 10 t + 5) [m]

y(t) = ((– 7/2) t2 + 20 t – 10) [m]

Menggambar kurva

Kita mulai dengan menggambar kurva :

x(t) = ((9/2) t2 – 10 t + 5)

Bentuk kurva

(+) (9/2) bentuk kurva

Nilai diskriminan, D

D = ( – 10 )2 – 4 (9/2) (5) = + 10

Karena D > 0 , maka kurva memotong sumbu t di dua titik

titik potong dengan sumbu x(t) (0,5)

titik potong dengan sumbu t

titik puncak

x(t) = ((9/2) t2 – 10 t + 5)

x(t) = (9/2) [t2 – (20/9) t + (10/9)]

x(t) = (9/2) [ (t – (10/9))2 – (100/81) + (10/9)]

x(t) = (9/2) [ (t – (10/9))2 – (10/81)]

x(t) = (9/2) (t – (10/9))2 – (5/9)

maka titik puncak kurva P ((10/9), – (5/9))

menggambar kurva :

y(t) = ((– 7/2) t2 + 20 t – 10)

Bentuk kurva

(–) (7/2) bentuk kurva

Nilai diskriminan, D

D = ( 20 )2 – 4 (–7/2) (– 10) = + 260

Karena D > 0 , maka kurva memotong sumbu t di dua titik

titik potong dengan sumbu x(t) (0, – 10)

titik potong dengan sumbu t

titik puncak

y(t) = ((– 7/2) t2 + 20 t – 10)

y(t) = (– 7/2) [ t2 – (40/7) t + (20/7)]

y(t) = (– 7/2) [ (t – (20/7))2 – (400/49) + (20/7)]

x(t) = (– 7/2) [ (t – (20/7))2 – (260/49)]

x(t) = (– 7/2) (t – (20/7))2 + (130/7)

maka titik puncak kurva P ((20/7),(130/7))

menggambar kurva :

vx(t) = (9 t – 10)

Bentuk kurva

(+) (9) bentuk kurva

titik potong dengan sumbu vx(t) (0, – 10)

titik potong dengan sumbu t ((10/9),0)

menggambar kurva :

vy(t) = ((– 7) t + 20)

Bentuk kurva

(–) (7) bentuk kurva

titik potong dengan sumbu vy(t) (0,20)

titik potong dengan sumbu t ((20/7),0)

menggambar kurva :

ax(t) = 9 = (0) t + 9

Bentuk kurva

(0) bentuk kurva

titik potong dengan sumbu ax(t) (0,9)

titik potong dengan sumbu t tidak memotong sumbu t

menggambar kurva :

ay(t) = – 7 = (0) t – 7

Bentuk kurva

(0) bentuk kurva

titik potong dengan sumbu ay(t) (0,(– 7))

titik potong dengan sumbu t tidak memotong sumbu t

x(t)

t 0

10/9 5

y(t)

0

130/7

– 10

0,76

1,46 5,16

Menggambar kurva lintasan benda, yaitu kurva Y terhadap X

– 5/9

t 20/7 0,55

vx(t)

t 0

– 10

10/9

Vy(t)

t 0 20/7

20

ax(t)

t 0

9

ax(t)

t 0

– 7

Untuk mendapatkan fungsi analitik yang menghubungkan fungsi y(t) dan x(t) kita

harus mengeliminasi waktu, t , dari kedua fungsi. Tetapi ini sulit dilakukan. Tetapi

kita bisa mendapatkan sketsa lintasan benda dengan mengetahui titik – titik penting,

(x,y) , dengan cara memasukkan nilai t pada saat – saat penting tersebut

Titik – titik penting :

Pada t = 0 [s] , benda berada pada posisi

x(0) = ((9/2) (0)2 – 10 (0) + 5) = 5 [m]

y(0) = ((– 7/2) (0)2 + 20 (0) – 10) = – 10 [m]

yaitu di kordinat (5, – 10) [m]

Posisi ini adalah saat benda mulai diukur pergerakannya ( t = 0 [s])

Pada t 0,55 [s] , saat benda berada di sumbu X , yaitu pada posisi

x(0,55) = ((9/2) (0,55)2 – 10 (0,55) + 5)

= 0,86 [m]

y(0,55) = ((– 7/2) (0,55)2 + 20 (0,55) – 10)

= 0 [m]

yaitu di kordinat ((0,86) , 0) [m]

Posisi ini adalah saat benda berada di sumbu X

Pada t 0,76 [s] , saat benda berada di sumbu Y , yaitu pada posisi

x(0,76) = ((9/2) (0,76)2 – 10 (0,76) + 5)

= 0 [m]

y(0,76) = ((– 7/2) (0,76)2 + 20 (0,76) – 10)

= 3,2 [m]

yaitu di kordinat (0, (3,2)) [m]

Posisi ini adalah saat benda berada di sumbu Y

Pada t = 10/9 [s] , saat benda berada di sumbu Y , yaitu pada posisi

x(10/9) = ((9/2) (10/9)2 – 10 (10/9) + 5)

= – 5/9 [m]

y(10/9) = ((– 7/2) (10/9)2 + 20 (10/9) – 10)

= 7,9 [m]

yaitu di kordinat (– 5/9, (7,9)) [m]

Posisi ini adalah saat benda berada di titik terjauh di sebelah kiri. Pada saat itu (t =

10/9 [s]) , kecepatan benda hanya dalam arah sumbu Y positif

Pada t = 1,46 [s] , saat benda berada di sumbu Y , yaitu pada posisi

x(1,46) = ((9/2) (1,46)2 – 10 (1,46) + 5)

= 0 [m]

y(1,46) = ((– 7/2) (1,46)2 + 20 (1,46) – 10)

= 11,7 [m]

yaitu di kordinat (0, (11,7)) [m]

Posisi ini adalah saat benda berada di di sumbu Y

Pada t = 20/7 [s] , saat benda berada di titik tertinggi pada sumbu Y , yaitu pada

posisi

x(20/7) = ((9/2) (20/7)2 – 10 (20/7) + 5)

13,2 [m]

y(20/7) = ((– 7/2) (20/7)2 + 20 (20/7) – 10)

= 130/7 [m]

yaitu di kordinat ((13,2) , (130/7)) [m]

Posisi ini adalah saat benda berada di di titik tertinggi pada sumbu Y. Pada saat itu

kecepatan benda hanya dalam arah sumbu X positif

Pada t 5,16 [s] , saat benda berada di titik tertinggi pada sumbu Y , yaitu pada

posisi

x(5,16) = ((9/2) (5,16)2 – 10 (5,16) + 5)

73,2 [m]

y(5,16) = ((– 7/2) (5,16)2 + 20 (5,16) – 10)

0 [m]

yaitu di kordinat ((73,2) , 0) [m]

Posisi ini adalah saat benda berada di sumbu X positif

Y [m]

130/7

t = 1,46 [s] ; y(1,46) = 11,7 [m]

v(20/7)

t = 20/7 [s] ; x(20/7) = 13,2 [m]y(20/7) = 130/7 [m]

– 10

5

X [m]

7,9

– 5/9

t = 0 [s]

0

t = 0,55 [s] ; x(0,55) = 0,86 [m]

t = 10/9 [s] ; x(10/9) = – 5/9 [m]y(10/9) = 7,9 [m]

v(10/9)

13,2

t = 0,76 [s] ; y(0,76) = 3,2 [m]

v(0)

73,2

v(5,16)

t = 5,16 [s] ; x(5,16) = 73,2 [m]