Física para Prepolitécnico - Escuela Politécnica Nacional

8/10/2019 Fsica para Prepolitcnico - Escuela Politcnica Nacional

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FSICA paraPREPOLITCNICOTEORA Y

PROBLEMAS RESUELTOS

CUARTA EDICIN

M. ALMEIDA C. CRDOVA M. TASIGUANOM. ARIAS F. CUSTODE A. ULLOAF. BARBA H. FLORES S. YASELGAP. CASTILLO K. MORENO J. ZAMBRANO

PROFESORES DEL CURSO PROPEDUTICO DE LAESCUELA POLITCNICA NACIONAL

Prepo is

PUBLICACIONES

FEBRERO 2011


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Foto de la portada

Levitacin magntica. Un pequeo imn cilndrico flota por encima de unsuperconductor. El vapor es nitrgeno lquido en ebullicin que mantiene al

superconductor en un estado de resistencia nula. Cuando el imn desciende hacia elsuperconductor, induce una corriente elctrica, que a su vez crea un campo magnticoopuesto al del imn. Como el superconductor no tiene resistencia elctrica, la corrienteinducida sigue fluyendo y mantiene el imn suspendido indefinidamente.

Foto de la contraportada

Sistemas tolomeico y copernicano. La fsica y la astronoma nacieron juntas. La fsicaaristotlica consideraba a la Tierra como el centro de un universo de esferas concntricasen rotacin; este modelo no serva para los clculos astronmicos. En el siglo II, Tolomeopropuso un modelo en el cual los planetas se movan alrededor del sol en rbitasllamadas epiciclos. El modelo de Tolomeo no describa con exactitud el movimiento

planetario pero funcionaba bien matemticamente, aunque de manera intrincada. En elsiglo XVI, Coprnico desarroll el modelo heliocntrico del sistema solar que dio unaexplicacin simple del movimiento de los planetas. Basado en l, Kepler encontr susfamosas leyes que describen con precisin el movimiento de los planetas. Sin embargo,el golpe decisivo al mtodo intuitivo de hacer fsica, iniciado por Aristteles, lo dio Galileoal desarrollar el sistema heliocntrico e inaugurar el mtodo de razonamiento cientfico:ste fue el verdadero inicio de la fsica como ciencia.

Copyright 1988, 1999, 2002, 2005, 2011 porPUBLICACIONESPrepoFis

Todos los derechos reservados: Primera Edicin 1998, Segunda Edicin 1999,Tercera Edicin 2002, Tercera Edicin 2005 (Reimpresin), Cuarta Edicin 2011.

Ninguna porcin de esta publicacin puede ser reproducida en manera alguna sinel permiso escrito de Publicaciones PrepoFis.

(Sern reprimidos con prisin de tres meses a tres aos y multa de quinientas a cinco milunidades de valor constante (UVCs), tomando en consideracin el valor de los perjuiciosocasionados, quienes en violacin de los derechos de autor o derechos conexosb) Inscriban, publiquen, distribuyan, comuniquen o reproduzcan, total o parcialmente, unaobra ajena como si fuera propia; c) Reproduzcan una obra. De la Ley de PropiedadIntelectual)

Publicado en Ecuador por PUBLICACIONES Prepo is

Nmero de inscripcin conferido por elRegistro Nacional de Derechos de Autor: 011679

ISBN 9978-40-440-6


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PRESENTACIN

En la Ctedra de Fsica del Curso Propedutico de la Escuela Politcnica Nacional se

tiene como eje central el ensear la fsica como una ciencia, poniendo nfasis en los

fundamentos: en las ideas, los conceptos, las leyes y los principios fsicos; en definitiva, en

la teora que es la esencia de la fsica y su arma ms poderosa para conocer la realidad y

resolver problemas tecnolgicos.

As, quedaron atrs veinte aos de un programa antiguo que vea a la fsica, en la partecorrespondiente a la teora, como una coleccin de frmulas y recetarios cuya nica

funcin era la de servir para resolver problemas, por lo general matemticamente

complicados.

El presente libro, FSICA PARA PREPOLITCNICO (Teora y ProblemasResueltos), Cuarta Edicin, es una versin mejorada de las tres anteriores. En l estincorporada la Teora, que corresponde al actual programa de estudios, con la importancia

y desarrollo debidos. Esta Teora es puesta a prueba en los Problemas Resueltos

incorporados, y en su complemento, las tres ediciones del CUADERNO DE TRABAJOque contiene Preguntas y Problemas Propuestos cuya solucin exige al estudiante la

aplicacin de los conceptos, leyes y principios asimilados.

Los profesores de la Ctedra de Fsica del Curso Propedutico, ingenieros y fsicos,

siguen un proceso riguroso y sistemtico para la elaboracin de preguntas y problemas

para las pruebas y exmenes. Los Problemas Resueltos de la FSICA PARAPREPOLITCNICO y las Preguntas y Problemas Propuestos del CUADERNO DETRABAJOhan sido seleccionados de una base de datos de ms de 1000 preguntas y 800

problemas.

El presente libro, FSICA PARA PREPOLITCNICO, y su complemento, elCUADERNO DE TRABAJO en sus tres ediciones, estn destinados para su uso en lamateria de fsica que se dicta en el curso propedutico de la Escuela Politcnica Nacional.Recomendamos su uso para otros cursos similares en otras universidades y politcnicas, y

como material de consulta para los profesores de fsica de la enseanza media.

Los autores

Quito, febrero de 2011


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NDICE

PRESENTACIN......................................................... iii

1. LA CIENCIA........................................................1

1.1 INTRODUCCIN................................................. 3

1.2 CLASES DE CONOCIMIENTO............................ 3

1.3 DEFINICIN DE CIENCIA.................................. 4

1.4 CARACTERSTICAS GENERALES..................... 6

1.5 LA CIENCIA FSICA........................................... 6

1.6 CANTIDADES.................................................... 11

BIBLIOGRAFA....................................................... 13

2. CINEMTICA........................................................... 15

2.1 EL MOVIMIENTO............................................. 17

2.2 VECTORES........................................................ 19

2.3 VECTOR VELOCIDAD...................................... 30

2.4 ACELERACIN................................................. 34

2.5 MOVIMIENTO RECTILNEO............................ 37

2.6 MOVIMIENTO PARABLICO.......................... 46

2.7 MOVIMIENTOS ANGULAR Y CIRCULAR....... 47

PROBLEMAS RESUELTOS..................................... 53

2.1 Vectores................................................... 532.2 Velocidad................................................. 562.3 Aceleracin............................................... 59

2.4 Movimiento rectilneo................................ 62

2.5 Movimiento parablico............................... 662.6 Movimientos angular y circular.................... 70


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3. DINMICA................................................................. 75

3.1 INTRODUCCIN............................................... 77

3.2 INTERACCIONES............................................. 78

3.3 LEYES DE NEWTON......................................... 78

3.4 ECUACIN IMPULSO-CANTIDAD DEMOVIMIENTO LINEAL, PRINCIPIODE CONSERVACIN DE LA CML.................... 92

3.5 SISTEMAS DE PARTCULAS............................ 94

3.6 TORQUE Y DINMICA ROTACIONAL............ 96

PROBLEMAS RESUELTOS................................... 107

3.1 Leyes de Newton..................................... 1073.2 Impulso - cantidad de movimiento lineal..... 112

3.3 Torque. Equilibrio del slido..................... 117

3.4 Dinmica rotacional................................. 122

4. F. GRAVITACIONAL Y ELCTRICA.......... 129

4.1 FUERZA GRAVITACIONAL........................... 131

4.2 FUERZA ELCTRICA..................................... 139


4.1 Fuerza gravitacional................................. 1514.2 Fuerza elctrica....................................... 156

5. TRABAJO Y ENERGA..................................... 161

5.1 INTRODUCCIN............................................. 163

5.2 TRABAJO MECNICO YENERGA CINTICA...................................... 164

5.3 TRABAJO MECNICO Y

ENERGA POTENCIAL................................... 171

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5.4 FUERZAS CONSERVATIVAS

Y NO CONSERVATIVAS................................. 176

5.5 RELACIN GENERAL

TRABAJO ENERGA..................................... 180

5.6 FUERZAS CENTRALES................................... 183

5.7 APLICACIONES DEL PCE.............................. 187

5.8 POTENCIAL Y DIFERENCIADE POTENCIAL.............................................. 197


5.1 Trabajo................................................... 1995.2 Energa mecnica..................................... 202

5.3 Ecuacin trabajo energa........................ 208

5.4 Fuerzas centrales..................................... 216

5.5 Potencial y diferencia de potencial.............. 219

6. COLISIONES......................................................... 221

6.1 DESCRIPCIN................................................ 223

6.2 CONSERVACIN DE LA CML........................ 227

6.3 CONSERVACIN DE LA MASA...................... 236

6.4 SISTEMA CENTRO DE MASA......................... 237

6.5 COLISIONES EN EL CM................................. 242

6.6 CONSERVACIN DE LA CMA........................ 244


6.1 Colisiones............................................... 249

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CAPTULO 1

LA CIENCIA

1.1 INTRODUCCIN 31.2 CLASES DE CONOCIMIENTO 3

1.3 DEFINICIN DE CIENCIA 4

1.4 CARACTERSTICAS GENERALES 6

1.5 LA CIENCIA FSICA 6

1.6 CANTIDADES 11

BIBLIOGRAFA 13


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CAPTULO 1

LA CIENCIA

1.1 INTRODUCCIN

Desde la antigedad el ser humano tuvo curiosidad por conocer y entender lo que sucedaen su entorno natural, lo que le permiti, a su vez, descubrir una serie de conocimientosrudimentarios, si se quiere; pero que, contribuyeron a aliviar gran parte de sus tareas oactividades habituales. Esta curiosidad natural, a travs del tiempo y con ayuda del

pensamiento, se transform en una actividad sistemtica de la especie humana, concaractersticas bien definidas y a la cual se la conoce en la actualidad con el nombre deciencia.

Se podra decir, entonces, que el conocimiento tiene su origen en la interaccin delhombre con la realidad y que esta interaccin se puede dar fundamentalmente de dos formas:emprica, a travs de los sentidos, y racional, por medio del pensamiento.

1.2 CLASES DE CONOCIMIENTO

Existen bsicamente dos tipos de conocimiento: el emprico y el cientfico.

El emprico, se caracteriza porque se da por medio de los sentidos y se limita a unasimple constatacin de hechos, de eventos que suceden.

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1 LA CIENCIA. Teora_______________________________________________________________________________________________________________

El cientfico, en cambio, si bien tambin se vale de los sentidos, se caracteriza porque elreflejo de la realidad en el cerebro del hombre se da por medio de conceptos, que sonabstracciones y generalizaciones de esa realidad.

1.3 DEFINICIN DE CIENCIA

Es muy difcil dar una definicin de ciencia, sin embargo una que parece bastantecompleta es la de Kdrov: "es un sistema de conceptos acerca de los fenmenos del mundoexterior y de la actividad espiritual de los individuos, que permite conocer, prever ytransformar la realidad en beneficio de la sociedad; es una forma de actividad humana,histricamente determinada, cuyo contenido y resultado es la reunin de hechos orientados enun determinado sentido, de hiptesis y teoras elaboradas y de leyes que constituyen sufundamento, as como de procedimientos y mtodos de investigacin".

El concepto de ciencia se aplica tanto al proceso de elaboracin de los conocimientoscomo al sistema de conocimientos comprobados por la prctica y que constituyen una verdadobjetiva, en el sentido de que este sistema de conocimientos al ser verificado se cumpleindependientemente del sujeto, de su ideologa y de su conciencia.

Elementos de la ciencia

En esta definicin de ciencia se encuentran cuatro elementos importantes:a) objeto: reunin de hechos orientados en un determinado sentido.

b) mtodo: procedimientos de investigacinc) investigacin: proceso de elaboracin de los conocimientos.d) teora: sistema de conceptos.

Toda ciencia tiene una teoray en toda ciencia se hace investigacin, por lo tanto lo quediferencia una ciencia de otra es el objetoy el mtodo.

Toda ciencia al constituirse se plantea quva a investigar y cmolo va a hacer. El quconstituye el objeto y el cmo, el mtodo.

El objeto de la ciencia, lo constituye toda la realidad que existe, o sea la materia en

movimiento (transformacin, evolucin), as como las formas de su reflejo en la concienciadel hombre.

Las formas que adopta la materia son muchas, as por ejemplo: los astros, los minerales,los vegetales, los animales, los seres humanos, la sociedad, etc.

Segn que su objeto sea la naturaleza (el mundo, el universo) se tienen las cienciasnaturales; o, la sociedad, se tienen las ciencias sociales. Tambin hay las ciencias filosficascuyo objeto son las leyes ms generales de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento. Esdecir, cada forma de manifestacin de la materia es estudiada por una ciencia particular comola Fsica, la Qumica, la Biologa, la Historia, la Sociologa, etc.

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1.3 Definicin de ciencia_______________________________________________________________________________________________________________

Existen mtodos generales que se utilizan en todas las ciencias como son: el terico(trabajo con ideas, pensamientos, conceptos); el experimental(reproduccin de fenmenos y

procesos en condiciones controladas); el inductivo (proceso que va de lo particular a logeneral), el deductivo (proceso que va de lo general a lo particular), el de anlisis y el desntesis (descomposicin y recomposicin de las partes de un objeto de estudio, para

encontrar las regularidades); el de analoga (comparacin de hechos); el de matematizacin(expresin de hechos reales mediante modelos matemticos); etc.

A ms de estos mtodos generales, cada ciencia tiene mtodos particulares; por ejemplopara conocer la estructura de determinado compuesto, la Fsica recurrir a los rayos X y laQumica a las reacciones qumicas.

La investigacintiene que ver con el conjunto de actividades que se desarrollan duranteel proceso de elaboracin de los conocimientos, se caracteriza por ser sistemtica y siempredirigida hacia un fin. Todo problema cientfico se formula conscientemente como un fin quedebe ser alcanzado en el transcurso de la investigacin. Del problema depende, en gran

medida, el carcter de las actividades a desarrollarse.

La formulacin del problema es, por lo tanto, una actividad muy importante delinvestigador. La toma de conciencia y la formulacin correcta de cualquier problema nuevo,es una demostracin del progreso de la ciencia y se convierte en un gran estmulo para nuevasinvestigaciones.

Con frecuencia la solucin de los problemas en la ciencia exigen grandes esfuerzos devarias generaciones de cientficos. Actualmente muchos problemas, tales como la produccinde armas atmicas, la conquista del cosmos, el uso pacfico de las energas atmica y nuclear,la preservacin del medio ambiente, etc. exigen ingentes recursos econmicos y el concursode verdaderos equipos de investigadores de carcter multidisciplinario. Especialmentecomplejos resultan ser los problemas cientficos que tienen relacin con las transformacionessociales.

En dependencia del carcter de los problemas cientficos a solucionar, se puedendistinguir tres formas fundamentales de investigacin:

a) investigaciones tericas fundamentales, dirigidas a la bsqueda de nuevas ideas, caminosy mtodos de conocimientos y explicaciones;

b) investigaciones tericas dirigidas a un fin, que tienen que ver con problemas tericos ya

formulados, con el estudio crtico de soluciones antes propuestas o con la modificacin,precisin o comprobacin emprica de las leyes, teoras e hiptesis aceptadas en lasciencias. Esta forma de investigacin desempea un papel muy importante en eldesarrollo de cualquier ciencia; y

c) investigaciones aplicadas, dirigidas fundamentalmente a la utilizacin prctica de lasleyes y teoras formuladas.

La teoraviene a ser el conjunto de los resultados obtenidos en el proceso de elaboracinde los conocimientos; est constituida por las generalizaciones o abstracciones de la realidad,

por las leyes, teoras y principios descubiertos en ella, gracias a la investigacin concreta delobjeto del conocimiento, mediante la aplicacin de ciertos mtodos especficos.

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1 LA CIENCIA. Teora_______________________________________________________________________________________________________________

1.4 CARACTERSTICAS GENERALES DE LA CIENCIA

Entre las caractersticas ms importantes de la ciencia se pueden anotar las siguientes:

a) Su desarrollo no es lineal, no es secuencial. Esto quiere decir que los nuevos

conocimientos no son consecuencia, no se desprenden de los anteriores, sino que msbien se originan de contradicciones, de rupturas con aquellos, pero sin invalidarlos; poresto el desarrollo cientfico no ha sido fcil, incluso en ocasiones ha pasado por crisis quehan hecho historia.

b) Su desarrollo no es ahistrico; lo que significa que est condicionado por lascircunstancias histricas de la poca en que se produce.

c) Su desarrollo no es neutro; est determinado tambin por las condiciones e interesessocio-econmicos y polticos.

d)

No es dogmtica; los conocimientos cientficos no son actos de fe, puesto que no sonproposiciones aceptadas como verdades por ser enunciadas por alguna personareconocida como autoridad cientfica, sino que provienen del estudio sistemtico de larealidad y por lo tanto de su verificacin prctica. Los conocimientos cientficos no sonverdades absolutas, puesto que estn en permanente evolucin, en funcin de las nuevasrealidades a las que el hombre tiene acceso, las mismas que permiten llegar aconcepciones cada vez ms generales de la realidad. Se puede decir que losconocimientos cientficos son vlidos en la medida en que responden a la explicacin delmodelo para el que fueron desarrollados.

e)

El conocimiento es verificable; el criterio de verdad es la prctica, es decir el experimentoy la industria.

f) No solo explica sino que permite predecir.

1.5 LA CIENCIA FSICA

Elementos

Objeto

La ciencia Fsica estudia las interacciones de la naturaleza de una manera formal, lo quepermite entender las diferentes formas en que se manifiesta la materia: sustancia, campo,energa y onda, as como los movimientos ms generales de la misma, tales como elmovimiento mecnico, electromagntico, atmico, el nuclear, etc.

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1.5 La ciencia fsica______________________________________________________________________________________________________________

Mtodo

El mtodo utilizado en la ciencia Fsica se puede sintetizar en el siguiente esquema,tomado de la Estructura y Didctica de las Ciencias de Elas Fernndez Ura.

Leyes, Modelos Deduccionesgeneralizaciones y yy principios Teoras Predicciones

Inferencia o Induccin Verificacin

mbito de lasTeoras y leyes

mbito de los hechos Datos y observaciones

De acuerdo con este esquema, la ciencia Fsica construye modelos y teorasinterpretativas, a partir de leyes y generalizaciones inferidas o inducidas de observaciones dedeterminados hechos experimentales o naturales. Estos modelos permiten realizardeductivamente una serie de predicciones, las cuales debern ser verificadas con el propsitode poner a prueba la bondad y calidad de los mismos. Se recogen aqu, por consiguiente, dosaspectos fundamentales: el emprico (observacin de sucesos naturales y de procesosexperimentales) y el lgico terico (inferencia de leyes y construccin de teoras).

Desarrollo de las teoras fsicas

En la historia del desarrollo de las ciencias naturales se pueden distinguir dos etapas, quesi bien no estn perfectamente definidas en el tiempo, al menos tienen caractersticasdiferentes.

La primera etapa, que va aproximadamente desde el siglo V a.n.e. hasta el siglo XVIId.n.e., se caracteriz porque en las ciencias naturales experimentales se us, como forma deobtencin de los conocimientos, fundamentalmente la observacin, la relacin causa efecto yel sentido comn, lo que le llev al hombre en muchos de los fenmenos observados a unaserie de generalizaciones especulativas, ilusorias y por lo tanto equvocas, Al respecto se

podra mencionar a manera de ejemplos, la Teora Geocntrica y la conocida tesis errnea deAristteles acerca de que no puede haber movimiento sin fuerza.

La razn principal de la inconsistencia de estas generalizaciones radicaba precisamenteen la limitacin de la observacin. Aristteles y sus seguidores trataban de explicar las causasde los fenmenos por medio de observaciones fragmentarias con menosprecio de la prctica.

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1 LA CIENCIA. Teora_______________________________________________________________________________________________________________

La segunda etapa, que va desde el siglo XVII hasta nuestros das, se caracteriza, encambio, por la implementacin del mtodo cientfico por parte de Galileo, cuyo mayor aportefue la unificacin de las investigaciones tericas y experimentales en un todo nico. Galileono deja de lado la teora, sino que la involucra en el enfoque terico del planteamiento delexperimento y en la interpretacin de los resultados experimentales. Segn Galileo, el

experimento solo tiene un valor cientfico cuando se convierte en objeto de interpretacinterica. El mismo experimento, afirm Galileo, que a primera vista engendra una opinin,si se le analiza mejor nos ensea lo contrario.

Por lo expuesto se considera que la Fsica como ciencia empieza con Galileo y Newton.Newton, en su obra ms importante llamada Principios matemticos de la Filosofa Natural,comienza con un grupo de definiciones y axiomas, interconectados de tal forma queconstituyen lo que se conoce como un sistema cerrado de conceptos, que consta bsicamentede las tres Leyes de Newton ms la Ley de la Gravitacin Universal, que en conjunto dan lateora del movimiento de las partculas, de donde se puede pasar a la Mecnica de los cuerposslidos, a los movimientos rotacionales, a los movimientos continuos de los fluidos, a los

movimientos vibracionales de los cuerpos elsticos y a la Astronoma.

Cuando se descubrieron los fenmenos elctricos y magnticos y se los compar con losgravitacionales, se vio que el movimiento de los electrones tambin se podra estudiar a basede la Mecnica Newtoniana.

Finalmente, en el siglo XIX, incluso la teora del calor se poda reducir a la Mecnica. Laprimera dificultad surgi en las discusiones sobre el campo electromagntico, en los trabajosde Faraday y Maxwell, en los que el campo de fuerzas se convirti en objeto de investigacin.

Newton haba introducido una hiptesis nueva y extraa a lo que se pensaba, al asumiruna fuerza que actuaba a distancia. Ahora con la teora de los campos de fuerza se podaregresar a la vieja idea de que la accin es transferida de un punto al punto vecino solamentecon la descripcin del comportamiento de este nuevo concepto del campo de fuerza.

Los axiomas y definiciones de Newton se referan a los cuerpos y su movimiento, perocon Maxwell los campos de fuerzas haban adquirido el mismo grado de realidad que loscuerpos en la teora de Newton.

Este punto de vista no fue aceptado fcilmente y, para evitar un cambio radical en laconcepcin de la realidad, muchos fsicos sostenan que las ecuaciones de Maxwell se referan

a las deformaciones de un medio elstico al que le llamaron ter.Posteriormente, la teora de la relatividad mostr que el concepto de ter, como una

sustancia, deba ser abandonada y que los campos deban ser considerados como una realidadindependiente. Esta misma teora descubri nuevas propiedades del espacio y del tiempo, queno se conocan y no existan en la Mecnica Newtoniana, razn por la cual deba serremplazada por otra diferente, o sea por un nuevo sistema cerrado de conceptos, que se adaptea las nuevas realidades observadas. As es como avanza o se desarrolla la ciencia, esto es,

pone a prueba las teoras existentes o vigentes a las nuevas realidades observadas, para que,en caso de que se produzcan inconsistencias, se desarrollen nuevas teoras que expliquen lasnuevas realidades, a las que ya ha tenido acceso el hombre.

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1.5 La ciencia fsica______________________________________________________________________________________________________________

Segn Heisenberg, hasta 1958, son cuatro los sistemas cerrados de conceptos que hanalcanzado su forma final:

1. La Mecnica Newtoniana, que explica todos los sistemas mecnicos.

2.

La Teora del Calor, que al ir desde una descripcin puramente fenomenolgica hacia unainterpretacin estadstica, se gan el derecho a constituirse en un sistema aparte de laMecnica.

3. El Electromagnetismo, que incluye la electrodinmica, la relatividad especial, la ptica yel magnetismo.

4. La Teora Cuntica, que comprende la mecnica cuntica y la ondulatoria, la teora de losespectros atmicos, la qumica y la teora de otras propiedades de la materia, como laconductividad y el ferromagnetismo.

Las relaciones entre estos cuatro sistemas cerrados se dan de la siguiente forma:a) 1 est contenido en el 3, cuando la velocidad de la luz se considera infinitamente grande.

b) 1 est contenido en el 4, cuando la constante de Planck se considera infinitamentepequea.

c) 1 y parte del 3 pertenecen al 4.

d) 2 puede conectarse con cualquiera de los otros sistemas, sin dificultad, y es especialmenteimportante su relacin con el 4.

El hecho de que el 3 y el 4 sean independientes sugiere la existencia de un quintoconjunto, del cual el 1, el 3 y el 4 sean casos lmite, este nuevo sistema de conceptos serencontrado en relacin con la teora de las partculas elementales.

En la actualidad existe ya un quinto sistema cerrado de conceptos que es la Teora Generalde la Relatividad, en la cual se basan la Cosmologa y la Astrofsica, que en este siglo hantenido un gran desarrollo.

Caractersticas particulares

1. Es la ms fundamental y general de las ciencias naturales, por ello se dice que es unaciencia bsica. Dos argumentos que demuestran esta afirmacin son:

a) la durabilidad y permanencia de sus conceptos e ideas. Las leyes de Newton, lasecuaciones de Maxwell siguen vigentes.

b) Los conceptos y teoras de la Fsica se utilizan en las otras ciencias.

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1 LA CIENCIA. Teora_______________________________________________________________________________________________________________

2. La Fsica es inherentemente simple. Si se toman en cuenta sus efectos de gran alcance enla ciencia y en la sociedad, el nmero de ideas subyacentes en esta disciplina esextraordinariamente pequeo. Las mismas ideas fundamentales son usadas una y otra vez.

Los conceptos fundamentales son muy pocos: fuerza, energa y campo. Las leyes

fundamentales son pocas: las 3 leyes de Newton en la Mecnica, las 3 leyes de laTermodinmica, las 4 leyes de Maxwell en el electromagnetismo.

Los mismos principios se aplican en toda la Fsica: el de conservacin de la masa, el deconservacin de la energa, el de conservacin de la cantidad de movimiento lineal, el deconservacin de la cantidad de movimiento angular, el de conservacin de la carga, el

principio de relatividad, el de cuantizacin, el de simetra.

La Fsica y su relacin con otras ciencias

Es indudable que la Fsica, dado su carcter de ciencia bsica, est estrechamenterelacionada con todas las ciencias, como se ilustra a continuacin.

La Fsica y la Qumica

En sus inicios la Qumica estudiaba los elementos y la formacin de compuestos a partirde aquellos (reacciones qumicas). La interaccin de la Qumica con la Fsica permiticomprender la teora atmica por medio de experimentos qumicos. A partir de la tabla

peridica de Mendeleiev y con una serie de mtodos y reglas empricas se describa qu

sustancias y cmo podan combinarse, pero no haba una teora coherente que explicara laQumica. Esta situacin se mantuvo hasta que apareci, en la Fsica, la Teora Cuntica quepermiti explicar las reacciones qumicas. Debido a que las reglas empricas de la Qumicapueden ser explicadas con leyes tericas generales de la Teora Cuntica, la Qumica Tericaes, en realidad, Fsica. Los qumicos tericos no son ms que fsicos que estudian procesosqumicos.

La Fsica y la Biologa

La Biologa estudia los seres vivos. Como los seres vivos constituyen la materia ms

compleja que existe es natural que, inicialmente, la Biologa fuera descriptiva y estudiara qucosas vivas haban y cmo funcionaban, pero desde un punto de vista muy global.

Con el tiempo se descubri que muchos procesos biolgicos son procesos fsicos(circulacin de la sangre, el funcionamiento del corazn, la transmisin de estmulosnerviosos, etc.) y que, incluso las molculas del ADN, que se pensaba eran el secreto de lavida, se someten a las leyes fsicas.

Todos los objetos, inertes y vivos, estn hechos de los mismos tomos y por tanto losfenmenos y procesos biolgicos a escala atmica y molecular se rigen por las mismas leyesfsicas.

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1.6 Cantidades_______________________________________________________________________________________________________________

La Fsica y la Astronoma.

La Astronoma es ms antigua que la Fsica y su estudio del movimiento de los astros dioinicio a la Fsica. Las estrellas estn compuestas de los mismos tomos que la Tierra. Sucomportamiento est determinado por las mismas leyes bsicas de la Fsica.

La Fsica y la Matemtica

La Matemtica no es una ciencia natural, es una ciencia formal. Tiene su objeto y sumtodo propios.

Una de las caractersticas ms importantes de la Fsica moderna es que todas lasconclusiones que se han obtenido tienen un doble carcter: cualitativo y cuantitativo. Para

poder llegar a conclusiones cuantitativas es necesario el lenguaje de la Matemtica.

La Matemtica como instrumento de razonamiento es indispensable si se quiere obtenerresultados que puedan someterse a pruebas experimentales.

Adems, se vio anteriormente que la Fsica trabaja con conceptos, que son tiles si se losexpresa matemticamente.

1.6 CANTIDADES

Cantidades Fsicas

La Fsica trabaja con conceptos que se pueden definir operacionalmente, en funcin decantidades que pueden ser medidas. Desde este punto de vista las cantidades pueden ser

fundamentales, que se miden directamente y que no se pueden definir en funcin de otras mssimples; y, derivadas, aquellas que se pueden definir en funcin de las anteriores.

Como las cantidades fundamentales no se pueden definir en funcin de otras mssimples, para su medida es necesario definir estndares o patrones seleccionadosarbitrariamente, los mismos que luego debern ser aceptados universalmente.

En el Sistema Internacional (S. I.) las cantidades fundamentales son: longitud (metro),masa (kilogramo), tiempo (segundo), intensidad de corriente (amperio), intensidad luminosa(candela), cantidad de sustancia (mol) y temperatura (Kelvin).

Como resultado de la medicin de una cantidad se tiene la magnitudde esa cantidad queconsta de un nmero positivo y una unidad de medida.

Cuando se define una cantidad en funcin de las cantidades fundamentales se habla de ladimensin de la cantidad. En el siguiente cuadro se ponen algunos ejemplos ilustrativos.

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1 LA CIENCIA. Teora_______________________________________________________________________________________________________________

Cantidad Unidad Magnitud DimensinLongitud m 10 m L

Masa kg 2 kg MTiempo s 30 s T

Velocidad m/s 20 m/s LT-1Aceleracin m/s2 5 m/s2 LT-2

Fuerza N 40 N MLT-2

Mediciones

Los conceptos son susceptibles de cuantificacin, es decir de medicin. Se entiende pormedicin la comparacin de una cantidad con otra de la misma especie, que arbitrariamente setoma como patrn de medida.

En una medicin se puede hablar de exactitudyprecisin.

Laexactitudtiene que ver con la correspondencia del patrn utilizado para la medicincon el patrn universalmente reconocido.

Laprecisinse relaciona con la menor divisin de la escala del aparato de medicin. Porejemplo, si se realiza una medida con una regla cuya menor divisin es 1 mm, la precisin esde 1 mm; entonces, si al hacer una medicin con esta regla da 13.72 cm, quiere decir que el

primer decimal es correcto, puesto que se puede leer hasta los milmetros y que el segundodecimal constituye la primera cifra aproximada.

Toda medicin se expresa con las llamadas cifras significativas, las mismas que estn

formadas por todas las cifras correctas mas la primera cifra aproximada; por lo tanto, unamedida hecha con una regla graduada en centmetros no da lo mismo expresarla como 35 cmque como 35.0 cm, ya que, en el primer caso se entendera que el 3 es la nica cifra correcta yel 5 la primera cifra aproximada; en cambio, en el segundo caso se entendera que el 3 y el 5son cifras correctas y el cero, la primera cifra aproximada.

Cuando se hacen clculos con cantidades medidas, el nmero de cifras significativas delresultado debe ser igual al nmero de cifras significativas de la cantidad conocida con lamenor precisin en el clculo. Por ejemplo, suponga que se ha medido la masa de tres cuerpos

A, B yC, pero con precisiones diferentes, de tal manera que sus valores son:

mA= 14.0 kg mB= 3.12 kg ymC= 7.125 kg.

Si se quiere encontrar la masa total, se tendra que sumar:

(14.0 + 3.12 + 7.125) kg = 24.2 kg.

La respuesta correcta sera 24.2 kg, puesto que la cantidad que se conoce con la menorprecisin es la masa deA, que tiene solamente tres cifras significativas.

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Bibliografa_______________________________________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFA

1. Academia de Ciencias de Cuba, Academia de Ciencias de la URSS, Metodologa delConocimiento Cientfico, Imprenta de la ciudad de Guayaquil, Guayaquil, Ecuador,1985.

2. Ximena Nez, El Pensamiento Filosfico de Coprnico a Marx, EditorialUniversitaria, Quito, Ecuador, 1984.

3. Gaspar Jorge Garca Gall, Glosas sobre el libro de Lenin Materialismo yEmpiriocriticismo, Editorial Academia, La Habana, Cuba, 1979.

4. Alexander Kitaigorodski, La Fsica en casi todas las esferas de la vida, EditorialAxioma, Buenos Aires, Argentina, 1976.

5.

Elas Fernndez Ura, Estructura y Didctica de las Ciencias, Ministerio de Educacin,Instituto Nacional de Ciencias de la Educacin, Madrid, Espaa, 1979.

6. Borowitz and Bornstein, A Contemporary View of Elementary Physics, Mc Graw Hill,USA,1968.

7. Albert Einstein, Leopold Infeld, La Evolucin de la Fsica, Biblioteca Cientfica Salvat,Barcelona, Espaa, 1986.

8. George Gamow, Biografa de la Fsica, Biblioteca Cientfica Salvat, Barcelona, Espaa,1986.

9. Werner Heisenberg, Physics and Philosophy, Harper y Row Publishers, New York,USA, 1962.

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CAPTULO 2

CINEMTICA

2.1 EL MOVIMIENTO 17

2.2 VECTORES 19

2.3 VECTOR VELOCIDAD 302.4 ACELERACIN 34

2.5 MOVIMIENTO RECTILNEO 37

2.6 MOVIMIENTO PARABLICO 46

2.7 MOVIMIENTOS ANGULAR Y CIRCULAR 47

PROBLEMAS RESUELTOS 53


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CAPTULO 2

CINEMTICA

El movimiento mecnico de los cuerpos es el movimiento ms simple. Para entendercmo se produce y mantiene un cuerpo en movimiento, se debe describirlo en formamatemtica. A la descripcin matemtica del movimiento se denomina Cinemtica.

La Cinemtica estudia el movimiento de los cuerpos desde un punto de vista geomtrico,sin considerar las causas que lo modifican. En un principio, los cuerposse van a considerarcomopartculas.

2.1 EL MOVIMIENTO

El movimientode unapartculaes el cambio deposicinde la misma, con respecto a unsistema de referenciay en el transcurso del tiempo. Si no hay cambio de posicin se dice quela partcula est en reposocon respecto al sistema de referencia.

Cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables, en comparacin con lasdimensiones en las cuales se produce el movimiento, el cuerpo puede ser tratado como una

partcula; es decir, como un punto geomtrico. Por ejemplo, la Tierra en su movimiento

alrededor del Sol puede ser considerada como partcula, no as en su movimiento de rotacinalrededor de su eje.

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

La descripcin del movimiento de una partcula se realiza con respecto a un sistema dereferencia.

En matemtica, un sistema de coordenadas est constituido por uno, dos o tres ejesorientados segn se quiera trabajar en una dimensin (la recta), en dos dimensiones (el plano)

o en tres dimensiones (el espacio), como se indica en la Fig. 2-1.

En fsica, un sistema de referencia(SR) est constituido por un sistema de coordenadasunidoaun cuerpo. El cuerpo del SR generalmente es el laboratorio, pero tambin puede seruna carretera, o un automvil estacionado o en movimiento. Si el cuerpo del SR est enreposo, el SR est en reposo, y si el cuerpo del SR est en movimiento, el SR se mueveconjuntamente con l.

Figura 2-1. Sistemas de coordenadas

En un SR se hacen las mediciones de las cantidades fsicas que interesen; en el caso de lacinemtica se medirn directamente distancias y tiempos, e indirectamente velocidades yaceleraciones. En general, una misma cantidad fsica, la velocidad por ejemplo, referente a unmismo cuerpo pero medido en distintos SR va a dar valores diferentes. Las medidas de lascantidades fsicas son, entonces, relativasa un SR.

La cinemtica se desarrolla fundamentalmente a partir de las mediciones de la posicindel cuerpo estudiado en funcin del tiempo.

La posicin de una partcula se determina bsicamente al medir distancias en un SR. Estacantidad informa donde est la partcula a un instante dado. Si la posicin de una partcula semide en un SR dado, entonces el movimiento de la partcula es relativo a ese SR.

Si se une con una lnea continua las distintas posiciones que va ocupando la partcula enel transcurso del tiempo se obtiene la trayectoria

de la partcula. Si la lnea es recta se dirque el movimiento es rectilneo (MR) y si es curva, curvilneo; si la curva es una parbola ouna circunferencia, se hablar de un movimiento parablico (MP) o circular (MC),respectivamente. Si se conoce cmo cambia la posicin con el tiempo es muy fcil encontrarla ecuacin de la trayectoria.

Considere la siguiente situacin fsica: un automvil viaja por una carretera curva, comola indicada en la Fig. 2-2, de modo que durante el primer da viaja desde la ciudad A hasta laB y en el segundo, desde la ciudad B hasta la C. El efecto neto del viaje durante los dos dases que parti desde la ciudad A y lleg a la ciudad C. A los efectos de los viajes se

denominarn desplazamientos del automvil y se representarn con los segmentos dirigidosde recta AB, BCy AC.

x

O x xO

z

z

A(x, y, z)

y

x

O x x

y

y

y

A A(x, y)

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2.2 Vectores_________________________________________________________________________________________________________________

Figura 2-2. La suma de los desplazamientos no se comporta como la sumade las longitudes: AB+ BC= AC, pero AB + BC AC

Parece natural afirmar que el efecto neto del viaje durante los dos das es igual al efectodel viaje durante el primer da ms el efecto del viaje durante el segundo da. Este resultado serepresenta grficamente con el tringulo de segmentos dirigidos de recta de la Fig. 2-2, yanalticamente con la expresin:

AB+ BC= AC.

Es evidente que si se suman las longitudes de los segmentos dirigidos de recta se obtienela siguiente relacin:

AB+BCAC

Por lo tanto, la suma de los desplazamientos no se comporta como la suma de laslongitudes, porque influye la direccin de los desplazamientos. Esto lleva a la necesidad dedefinir unas nuevas cantidades.

En la fsica existen las cantidades escalares y las vectoriales. Las cantidades escalaresestn determinadas por su magnitud y se suman como los nmeros ordinarios; ejemplos de

ellas son la longitud, la masa y el tiempo. Las cantidades vectoriales, a ms de la magnitud,requieren de una direccin para su determinacin, y se suman como los desplazamientos;ejemplos de ellas son la posicin, el desplazamiento ya visto, la velocidad, la aceleracin, lafuerza, etc.

2.2 VECTORES

Para estudiar los vectores se los va a representar con un segmento dirigido de recta. Lamagnitud y la direccin del vector estn representadas por la longitud y la direccin,respectivamente, del segmento dirigido de recta.

x

C

B

A

O

ytrayectoria

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

Formas de indicar la direccin de un vector

Un segmento dirigido de recta forma un ngulo con cualquier recta de referencia. Coneste fin, es ms cmodo escoger la direccin positiva del eje x (o simplemente, el eje x+).Entonces, la direccin del vector viene dado por el ngulo que forma el vector con el eje

x+. El ngulo puede ser positivo o negativo segn que el sentido de medicin del mismosea contrario o igual al avance de las manecillas de un reloj, respectivamente. Vea la Fig. 2-3.

Figura 2-3Representacin de un vector como segmento dirigido de recta

Al vector se lo designa por A, a su magnitud,A |A|, con lo cual se puede representar alvector en forma polar de la siguiente manera:

A = (A; A) (1-1)

Dos vectores son iguales si tienen igual magnitud y direccin. Esto implica que un vectorpuede ser trasladado siempre que se conserve su magnitud y direccin.

EjercicioExprese en la forma A = (A; A)los vectores de la Fig. 2-4 (a).

Figura 2-4

A

D 150 u

O

C

A

30

100 u40 x

y

C

100 u

160

150 u

B

(a)

xO

C

A

B

D

yB

D

(b)

> 0

< 0 x

A

O

A

y

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2.2 Vectores_________________________________________________________________________________________________________________

Si se trasladan los vectores de la Fig. 2-4 (a) al origen, como se indica en la Fig. 2-4 (b),fcilmente se encuentra que A= 40, B= 110, C= 330y D= 180. La respuesta es:

)40;u100( == AA , )110u;(150 B == B )330;u100( == CC y )180;u150( == DD

Si los vectores se encuentran en un plano horizontal se pueden utilizar los puntoscardinales para indicar su direccin geogrfica, como se indica en la Fig. 2-5.

Figura 2-5

A los vectores de la Fig. 2-5 se los escribe as: A = (A;E), B = (B;N 50E), C = (C;N),

D = (D; NO), F = (F; O), G = (G; S 60O), H = (H; S) y I = (I;S 70E).

La direccin de un vector tambin se puede indicar con su unitario, un vectoradimensional de magnitud igual a la unidad.

Operaciones con vectores

Entre las operaciones vectoriales se tienen las siguientes:

a) suma de vectores Ay Bque da como resultado otro vector; y,b) producto de un escalar mpor un vector A, que es otro vector.

La suma y el producto tienen varias propiedades entre las cuales se tienen:

1. Propiedad conmutativa: A + B = B + A2. Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)3. Propiedad distributiva:m(A + B) = mA + mB; (m + n)A = mA + nA4. Propiedad asociativa mixta: (m n)A = m(nA)

N

O30

S

O E

y

x

A

GI

F

D CB

H

4045

70

21


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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

Suma de vectores

Para sumar vectores en forma grfica, se van colocando los vectores uno a continuacinde otro de modo que el origen del segundo vector sumando coincida con el extremo del

primer vector, el origen del tercero, con el extremo del segundo, y as sucesivamente. El

vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el origen del primer vector y cuyoextremo coincide con el extremo del ltimo vector, como se indica en la Fig. 2-6.

Figura 2-6Suma de vectores. R= A+ B+ C

Este procedimiento, conocido como el mtodo del polgono, permite encontrar lasolucin de manera grfica. La longitud Rdel vector resultante, medida con una regla, y elnguloR, medido con un graduador, definen al vector Ren forma polar:

R= (R; R)

El vector negativo de A, notado A, es un vector tal que:

A + (A) = 0 (1-2)

donde 0 es el vector nulo.

Figura 2-7Resta de vectores: A B= A + (B)

C

O

R

B

C

B

A

A

x

y

x

y

O(a) (b)

B

A B

B

AA

x

y

O x

y

O

(a) (b)

22


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2.2 Vectores_________________________________________________________________________________________________________________

El vector Aes un vector de igual magnitud que el vector Apero de direccin contraria.La diferencia de los vectores A yB, notada A B,se define como:

A B= A + (B) (1-3)

En la Fig. 2-7 se muestra la resta de vectores.

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar mpor un vector Aes otro vector cuya magnitud es |m|A, donde|m|es el valor absoluto de m, y cuya direccin es igual a la de A si m>0y contraria si m0

mAsi m


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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

Los vectores B, Cy D; E, Fy G; He I; X y Yson las componentes vectoriales de Aencada uno de los casos representados en la Fig. 2-9.

Componentes vectoriales de un vector

Existe un nmero infinito de formas de descomponer un vector en dos, tres, etc. vectorescualesquiera. Sin embargo, solo existe una forma de descomponer un vector A en dosvectores de modo que el uno sea paralelo al eje xy el otro, al eje y. A estos vectores se losllamarn componentes vectoriales rectangulares del vector A o, simplemente, componentesvectoriales, que se denotarn como AXy AYy seobtendrn al proyectar el vector sobre losejesxyy. Vea la Fig. 2-10.

Figura 2-10Componentes vectoriales AXy AY, y componentesAxyAy, enxy enydel vector A, respectivamente

Como se puede observar en la Fig. 2-10; se tiene que

A = AX + AY (1-4)

Componentes de un vector

Las componentes rectangulares o, simplemente, componentes del vector A = (A; A) sonAx yAy,que se muestran en la Fig. 2-10 y que se determinan as:

Ax = A cosA (1-5a)

Ay = A senA (1-5b)

A partir de la forma polar del vector A = (A; A) se obtiene un par ordenado (Ax, Ay)nico, que define al vector A. Si del vector Ase conocen sus componentesAx yAy, se puedeencontrar su magnitud y direccin con las expresiones:

22yx AAA += (1-6a)

A = arctan (Ay/ Ax) (1-6b)

A

AX x

Ay

Ax

y

O

A

AY

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2.2 Vectores_________________________________________________________________________________________________________________

La magnitud de un vector es siempre positiva, pero sus componentesAx yAypueden serpositivas, negativas o cero.

Vector unitario de un vector

Sea el vector A = (A; A). Se define el vector unitario del vector A, notado uA, como elvector:

uA= (1/A) A (1-7)

De la expresin anterior se obtiene A=AuAque dice que el vector unitario de un vectores su direccin.

La magnitud de cualquier vector unitario, calculada con las expresiones ya definidas,siempre vale 1 (adimensional).

Expresin de un vector A en trminos de los vectores unitarios i y j

Las direcciones positivas de los ejesx yy, estn definidas por los vectores unitarios iyj,respectivamente, como se puede ver en la Fig. 2-11.

Figura 2-11Vectores unitarios iyjen las direcciones x+ y y+, respectivamente

Anteriormente se dijo que el vector A es A = AX + AY. Entonces las componentesvectoriales de Asern AX=Axi yAY=Ayj. Con lo cual se tiene que:

A =Axi +Ayj (1-8)

que es la expresin del vector A en funcin de sus componentes Ax y Ay o, lo que es lomismo, en trminos de los unitarios iyj.

Dados los vectores A =Axi +Ayjy B =Bxi +Byj, el vector S = A + B estar dado por:

S = (Ax+Bx) i + (Ay+By)j (1-9)

y

j

i xO

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

La operacin anterior est representada en la Fig. 2-12.

Figura 2-12Suma de vectores: S= A+ B= (Ax+Bx) i + (Ay+By)j

Adems, el vector unitario de un vector A estar dado por

uA= (Ax/ A)i + (Ay/ A)j (1-7)

Vector posicin de un punto con respecto a otro

La posicin de un puntoArespecto a otro puntoB(AyBpodran ser dos ciudades o dospuntos en una ciudad) es una cantidad vectorial porque tiene una magnitud (la distancia entrelos dos puntos) y una direccin (que puede especificarse por medio de un ngulo). Dicha

posicin puede representarse grficamente como se indica en la Fig. 2-13 (a). Un mismopunto puede tener tantas posiciones como puntos de referencia se escojan; en la misma figurase indica la posicin deArespectoBy la posicin deArespecto a C.

Figura 2-13Vector posicin de un punto con respecto a otro y radio vector de un punto

Un punto de referencia especial es el punto de coordenadas O (0, 0), en cuyo caso elvector posicin del puntoA(x, y)con respecto a O(0, 0) toma el nombre de radio vector del

puntoA, notado rAy ser:

rA=x i +yj (1-10)

B(x2, y2)

xx

y

C

rB/A

rA/C

O

B

A

rBrA

rA/B

y

O

A(x1, y1)

(a) (b)

Sx

SSy

Ay

By

BxAx

B

A

x

y

O

26


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2.2 Vectores_________________________________________________________________________________________________________________

Las coordenadas del punto A son las componentes del vector.

De acuerdo con la Fig. 2-13 (b), se tiene rB+ rA/B= rA, de donde se deduce que:

rA/B= rA rB (1-11a)

A partir de la Fig. 2-13 (a) demuestre que

rA/B= rA/C rB/C (1-11b)

Vectores en el espacio

En el espacio son vlidos todos los conceptos vistos para vectores en el plano. Cambia laforma de indicar la direccin, se aumenta una componente y se aade el vector unitario que dala direccin positiva del ejez.

La direccin del vector Aen el espacio se puede indicar con los ngulos y indicadosen la Fig. 2-14, donde OQ es la proyeccin del vector Aen el planoxy.

Figura 2-14Vector A en el espacio definido por su magnitud y los ngulos y

Dado A= (A, , ), se pueden calcular sus componentes con las siguientes expresiones:

sensensen AOQAx ==

coscos AOPAy ==

cossencos AOQAz ==

Si se llama kal vector unitario en la direccinz+, el vector A puede escribirse as:

A= Ax i +Ayj + Azk (1-8)

1800

L Q

y

z

x

AxAz

Ay A

O

P 3600

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

Conocidas las componentesAx,Ayy Azdel vector A, se pueden calcular su magnitud ysu direccin ( y ) con las siguientes expresiones:

222

zyx AAAA ++= (1-6a)

= arctan(Ax / Az)

= arccos(Ay/ A)

Tambin se puede indicar la direccin de un vector en el espacio con los ngulos ,y ,que forma el vector con los ejes x+, y+ y z+, respectivamente, como se muestra en laFig. 2-15. A estos ngulos se denomina ngulos directores y a sus cosenos, cosenosdirectores.

Figura 2-15Vector Aen el espacio definido por su magnitud y los ngulos directores, y

Dado el vector A = (A; ,,), se pueden calcular sus componentes con las siguientesexpresiones:

Ax= A cos, Ay= A cos, Az= A cos

Conocidas las componentes Ax,Ay y Az, los ngulos directores estn definidos por lassiguientes expresiones:

= arccos(Ax/A), = arccos(Ay/A), = arccos(Az/A)

Fcilmente se pueden encontrar las siguientes expresiones para el vector unitario de unvector A:

uA= (Ax/ A) i +(Ay/A)j + (Az/A)k (1-7)

uA= cos i + cosj + cos k

El vector A ser:

A= A (cos i + cosj+ cos k).

y

z

xAxAz

A

Ay

O

180,,0

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2.2 Vectores_________________________________________________________________________________________________________________

Como ejercicio, el lector puede demostrar que:

1 = cos2+ cos2+cos2

Esta ecuacin permite calcular un ngulo director, cuando se conocen los otros dos.

La suma de los vectores y el producto de un escalar por un vector en el espacio sonidnticas a las operaciones vistas con los vectores en el plano.

Producto de vectores

Hay dos formas de realizar el producto de vectores, el producto escalar o punto y elproducto vectorialo cruz.

Producto escalar o punto

El producto escalar o punto de dos vectores Ay B, que forman entre s un ngulo ,notado porAB, da como resultado una cantidad escalar que es igual a:

A B cos

Es decir, AB=ABcos , donde 0 180.

El producto escalar tiene las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: A B= BA2. Distributiva: A(B+ C) = AB+ AC3. Asociativa mixta: m (AB) = (m A) B= A(m B), donde m es un escalar

El lector puede demostrar fcilmente las siguientes propiedades:

ii=jj= kk= 1 ij=jk= ki= 0 Si A= Axi+ Ayj+ Azky B= Bxi+ Byj+ Bzk, entonces AB=AxBx+AyBy+

AzBz AA=A2=Ax2+Ay

2+Az2

Si Ay Bson distintos de cero y si AB= 0, entonces Ay Bson perpendiculares.

El producto punto permite encontrar el ngulo entre dos vectores con la siguienteexpresin:

cos = (AB) / (A B) (1-12)

La proyeccin de un vector Asobre otro vector B, notadaAB, viene dada por

AB= AB/B= AuB (1-13)

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

El vector proyeccin de un vector A sobre un vector B, notado AB, se calcula con laexpresin:

AB= (AB/B)uB= (AB/B2) B (1-14)

Producto vectorial o cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores da como resultado un tercer vector.

El producto cruz de los vectores A=Axi+Ayj+Azk yB=Bxi+Byj+Bzk vienedado por:

AB= C, C = A Bsen ,

donde: 0 180. El vector Ces perpendicular tanto al vector Acomo al vector By sudireccin se define con la regla de la mano derecha, segn la cual los dedos recogidos siguenla direccin desde Ahacia B, y el pulgar apuntar en la direccin de AB.

El producto cruz de dos vectores cumple con las siguientes propiedades:

1. Anticonmutativa: AB= BA2. Distributiva: A(B+ C) = AB+ AC3. Distributiva mixta: m(AB) = (mA)B = A(mB), donde mes un escalar

El lector puede demostrar fcilmente las siguientes propiedades:

ii=jj= kk= 0 ij= k, jk= i, ki=j Si A=Axi+Ayj+Azky B=Bxi+Byj+Bzk, entonces:

AB= (AyBz AzBy) i+ (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx) k =

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

2.3 VECTOR VELOCIDAD

Una partcula describe una trayectoria curva como la mostrada en la Fig. 2-16. Al instantet1 la partculase encuentra en P1y a t2, en P2. Sus posiciones son r1y r2, respectivamente.Como se ve, la posicin de la partcula cambia en el transcurso del tiempo por lo cual se diceque la partcula est en movimiento. La funcin vectorial r= f(t) indica cmo cambia la

posicin de la partcula con el tiempo. El cambio de posicin se conoce como desplazamientode la partcula, que es una cantidad vectorial.

En la Fig. 2-16 puede verse que para el intervalo de tiempo t = t2 t1 corresponde uncambio de posicin medido por r= r2 r1, que es el desplazamiento de la partcula entre t1y t2. Si se quiere encontrar la posicin de la partcula al instante t2, se tendr que: r2= r1 + r;

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2.3 Vector velocidad_________________________________________________________________________________________

esto quiere decir que a la posicin inicial se suma el desplazamiento, para obtener la posicinfinal.

En general, se cumple que la magnitud del desplazamiento es menor que la longitud de latrayectoria y a lo sumo ser igual cuando la trayectoria sea una recta y no haya cambio en la

direccin del movimiento.

Velocidad media

Es la relacin entre el cambio en la posicin de una partcula (desplazamiento) y elintervalo de tiempo utilizado en realizar dicho cambio.

tm

= r

v (1-15)

La unidad de la velocidad en el SI es m/s y su dimensin es LT1.

La cantidad 1/tes un escalar positivo por lo que el vector vmtendr la misma direccinque el vector desplazamiento, como se puede ver en la Fig. 2-16.

Figura 2-16 Vector desplazamiento r y vector velocidad media vm =r/tde una partcula para el intervalo t = t2 t1

Cuando la partcula experimenta desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales,la velocidad media es constante y se escribe v= r/t. En caso contrario, la velocidad cambia

con el tiempo.

Si la partcula de la Fig. 2-16 parte al instante t1del punto P1y se mueve en lnea rectacon velocidad constante igual a vm= r/t, entonces al instante t2llegar a P2, igual que en larealidad, cuando a t1 parte del punto P1avanza por el arco P1P2,con una velocidad variabley llega a P2, a t2.

Velocidad instantnea

La velocidad media indica cmo cambia la posicin para un intervalo de tiempo t.Senecesita una cantidad que mida el cambio de posicin con el tiempo a un instante dado, es

x

y

vm

rr1

r2

O

P1, t1

P2, t2

trayectoria

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

decir una cantidad instantnea. Esta cantidad es la velocidad instantnea, que en adelante sellamar solo velocidad.

Una partcula se mueve a lo largo de la trayectoria curvilnea mostrada en la Fig.2-17.Al instante t, se encuentra en el punto P. Se quiere calcular la velocidad instantnea al

tiempo t.

Figura 2-17 (a) El vector velocidad v al instante t se encuentra como ellmite de r/tcuando ttiende a cero (b) El vector velocidad val instante tes tangente a la trayectoria en dicho instante

A un instante t1 = t + t1, la partcula se encuentra en el punto P1; para el intervalo

t1= t1tsu desplazamiento es r1y su velocidad media, vm1 = r1/t1, Vea la Fig. 2-17(a). Si se disminuye el intervalo, de modo que t2 < t1, y a t2 = t + t2 la partcula seencuentra en P2; para el intervalo t2 = t2 t su desplazamiento es r2 y su velocidadmedia, vm2 = r2/t2. Se continuar con el proceso hasta que tsea tan pequeo, como se

pueda imaginar. En el lmite, cuando t tiende a 0, la cantidad media vm (para el intervalot) tiende a una cantidad instantnea v (para el tiempo t). Adems, las cuerdas PP1, PP2, etc.tienden a la tangente a la trayectoria en el punto P (al tiempo t). En otras palabras, en ellmite, cuando t tiende a 0, el vector vm tiende al vector v tangente a la trayectoria en el

punto P (al tiempo t) como se muestra en la Fig. 2-17 (b).

La velocidad instantnea, denotada con v, que tiene la partcula en un instante dado o enun punto de la trayectoria, es un vector tangente a la misma en el punto de anlisis ymatemticamente, es el lmite cuando t0 de la relacin r/t, as:

tlimt

=

rv

0 (1-16)

A la magnitud de la velocidad se denomina rapidez, y cuando la partcula se mueve en elplanoxy, est dada por:

22

yx vvv += (1-6a)

trayectoria

xx

P1, t1

P2, t2

y

trayectoria

P, t

vm1r2

r1

vm2

O

(a)

y

b

P, t

v

O

32


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La velocidad es relativa a un SR, es decir una partcula puede tener tantas velocidadescomo SRs sean usados para su medicin. As por ejemplo, la vA/B representa la velocidad deuna partculaA, medida o "vista" desde el cuerpoB, que se ha tomado como SR.Si el cuerpoBest en reposo respecto a tierra, se dice que la velocidad vA/Best definida conrespecto a tierra y se puede representar por vA/T o simplemente por vA. En este caso se dice

que vA es la velocidad "absoluta" deA.

Ley de composicin de las velocidades

Sean las partculasAyBque se mueven con las velocidadesvAy vB, respectivamente,por las trayectorias mostradas en la Fig. 2-18 (a). Al instante tlas partculas se encuentran enlos puntosAy B mostrados en la misma figura Cul es la velocidad de A con respecto a B?

Figura 2-18Ley de composicin de las velocidades

Sea el SRxy (unido al cuerpo B), en el cual se miden las posiciones y las velocidadesde A con respecto a B.

A t2:2222 / BABA

rrr =

A t1:1111 / BABA

rrr =

Para 12 ttt = : BABA rrr = /

Multiplicando port

1 :ttt

=

BAA/B rrr

En el lmite, cuando 0t :

vA/B= vAvB (1-17a)

En esta expresin vA/Bes la velocidad de la partcula Amedida en un sistema de referenciaunido al cuerpoB;y, vAyvBson las velocidades deA yBmedidas en el sistemaxy, unido atierra.

A esta ecuacin se conoce con el nombre de ley de composicin de las velocidades o,tambin, de las velocidades relativas. Vea la Fig. 2-18 (b)

vA

A2,t2

x

x

rA2/B2

vB

vA

(a)

B1, t1

y

vB

B2, t2

A1,t1

rA1/B1

y

O

vA/B

(b)

33


37/246

2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

La Ec. (1-17a) se puede expresar de una manera ms general para tres partculas enmovimiento:

vA/B= vA/CvB/C (1-17b)

donde vA/C y vB/Cson las velocidades deAyBmedidas en un sistema de referencia unido alcuerpo C. Si la partcula Cest fija con respecto a tierra se tendr que vA/C= vA/T=vA y quevB/C= vB/T=vB, donde Tes tierra.

La ecuacin de las velocidades relativas, Ec. (1-17b), es vlida para velocidadesconstantes o variables, siempre que las velocidades estn definidas para el mismo instante.

2.4 ACELERACIN

Anteriormente se analiz el cambio de la posicin con el tiempo y se defini la velocidad.En esta seccin se analizar el cambio de la velocidad con el tiempo y se definir laaceleracin.

La velocidad es un vector tangente a la trayectoria. En general, cuando la trayectoria esrectilnea la velocidad puede cambiar solo en magnitud. Cuando la trayectoria es curvilnea, lavelocidad cambia continuamente de direccin y, adems, puede cambiar tambin enmagnitud. Por lo tanto, en el caso ms general, la velocidad puede cambiar en magnitud ydireccin.

Sea una partcula que se mueve por la trayectoria curvilnea de la Fig. 2-19 (a), tal que alinstante t1 tiene una velocidad v1y al instante t2, una velocidad v2.

Figura 2-19Vector de cambio de velocidad vy vector aceleracinmedia am= v/tde una partcula, para el intervalo t = t2 t1

Para el intervalo de tiempo t = t2 t1, la partcula tiene un cambio de velocidad dadopor

x

v

am

v1

v2

trayectoria

v2

P1, t1P2, t2

r1

y

O

r2 v1

(a) (b)

34


38/246


v= v2 v1

Aceleracin media

Es la relacin entre el cambio de la velocidad de la partcula y el intervalo de tiempoempleado en dicho cambio.

am= v/ t (1-18)

La unidad de la aceleracin en el SI es m/s2.La dimensin de la aceleracin es LT2.

Como t es siempre positivo, la direccin de am ser la misma que la del cambio develocidad, v. Vea la Fig. 2-19 (b).

Aceleracin instantnea

La aceleracin media informa cmo cambia la velocidad en un intervalo de tiempo t, encambio la aceleracin instantnea a, que de aqu en adelante se llamar solo aceleracin,indica cmo cambia la velocidad en cada instante. Esta cantidad se obtiene al considerar quettiende a cero, con lo cual se define as:

tlimt

=

va

0 (1-19)

Figura 2-20Los vectores posicin r, velocidad vy aceleracin adescribenel movimiento de una partcula

En la Fig. 2-20 se representan las tres cantidades fsicas r, v y apara los instantes t1, t2yt para un movimiento general de una partcula.

x

P2, t2

r

r2r1

a

a2

a1P, t

P1, t1

v1

v

y

O

v2

trayectoria

35


39/246

2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

Componentes tangencial y normal de la aceleracin

El vector aceleracin se puede descomponer en la direccin de la velocidad (direccintangencial) y en la direccin perpendicular a la velocidad (direccin normal). La partcula dela Fig. 2-21, que sigue la trayectoria curvilnea sealada, al instante t1tiene una velocidad v1

y al instante t2, una velocidad v2. Como se ve, la velocidad ha cambiado simultneamentetanto en magnitud como en direccin.

Figura 2-21La velocidad vpuede cambiar en magnitud y/o en direccin

Para analizar de manera ms simple el movimiento general de la partcula indicada en laFig. 2-22, en el punto P, al instante t, se dibujan los ejes orientados tangencial y normal,notados T yN, de modo que la direccin positiva del eje Tsea igual a la de la velocidad vy ladireccin positiva del eje N sea hacia la parte cncava de la trayectoria; los ejes T yN son

perpendiculares.

Figura 2-22Componentes tangencial y normal de la aceleracin a

Si se aplica el concepto de componentes de un vector, se escriben directamente las

siguientes relaciones:

P2, t2

v v1

v1

v2

v2

P1, t1

x

y

O

trayectoria

aT

x

uN

N

uT

trayectoriaP, t

a

aN

v

y

O

T

36


40/246

2.4 Aceleracin_________________________________________________________________________________________________________________

v= vT = vuT (1-20a)

a= aT+ aN= aTuT+ aNuN (1-20b)

donde las letras TyN, en los subndices, sealan las componentes tangencial y normal de la

velocidad y la aceleracin. Los vectores uT y uN son los vectores unitarios tangencial ynormal, respectivamente, que cambian con el tiempo. La aceleracin tangencial es laresponsable del cambio de la magnitud de la velocidad (rapidez) en el tiempo. La aceleracinnormal, por su parte, es responsable del cambio de la direccin de la velocidad en el tiempo.

La velocidad v, por ser tangencial a la trayectoria, tiene solamente una componente, latangencial; adems, se tiene que uT = uv. Si es el ngulo entre la velocidad v y laaceleracin ase tiene que

aT= acos (1-21a)

aN= asen (1-21b)

Clasificacin del movimiento

En el movimiento rectilneo, la direccin de la velocidad no cambia por lo que lacomponente normal de la aceleracin es cero. Cuando esta componente es diferente de cero,la trayectoria es curvilnea.

Para cualquier tipo de trayectoria, si la rapidez de la partcula permanece constante

(aT= 0) el movimiento es uniforme; cuando la rapidez cambia uniformemente con el tiempo,(aT= constante 0) el movimiento es uniformemente variado; si el cambio no es uniformecon el tiempo (aT constante) el movimiento es variado.

Un movimiento uniformemente variado o variado puede ser acelerado si su rapidezaumenta y retardado, si su rapidez disminuye; o, lo que es lo mismo, es acelerado cuando losvectores velocidad y aceleracin tangencial estn en la misma direccin y es retardado, siestn en direccin contraria.

Se deja como ejercicio para el lector que indique las condiciones que deben cumplir laaceleracin, la aceleracin tangencial o la aceleracin normal de una partcula que se mueve

con movimiento rectilneo uniforme (MRU), movimiento rectilneo uniformemente variado(MRUV), movimiento parablico (MP), movimiento circular uniforme (MCU) y movimientocircular uniformemente variado (MCUV).

2.5 MOVIMIENTO RECTILNEO

El movimiento general de una partcula se describe por medio de las siguientesecuaciones de la posicin r, la velocidad vy la aceleracin aen funcin del tiempo:

r= f(t) (1-22a)

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

v= g(t) (1-22b)

a= h(t) (1-22c)En el caso general, en el cual el movimiento es a lo largo de una trayectoria en el espacio,

a las ecuaciones vectoriales anteriores les corresponden las siguientes ecuaciones:

x = f1 (t); y = f2 (t); z = f3 (t) (1-23a)

vx = g1 (t); vy = g2(t); vz= g3 (t) (1-23b)

ax = h1 (t); ay = h2 (t); az= h3 (t) (1-23c)

Los grficos de las ltimas ecuaciones tambin son muy tiles para la descripcin delmovimiento.

Si la partcula se mueve a lo largo del ejexlas ecuaciones que describen su movimientoson:

x = f (t) (1-23a)

vx = g (t) (1-23b)

ax = h (t) (1-23c)

A continuacin se analizan los grficosxcontra t, vxcontra ty axcontra t.

Grfico posicin contra tiempo

Para analizar el movimiento de un cuerpo, que se mueve en lnea recta, se midendistancias y tiempos. Primero se necesita elegir un sistema de referencia: un eje ligado a latrayectoria rectilnea, por ejemplo el ejex y el origen Ode este eje. Si se miden las distanciasdesde el origen O hasta la posicin en la que se encuentra la partcula, en los diferentesinstantes, se puede elaborar una tabla de posiciones en funcin del tiempo. Estos puntosrepresentados en un grfico posicin contra tiempo permiten obtener el grfico x contra t,como el de la Fig. 2-23.

La pendiente mde la cuerda de la Fig. 2-23 es (x3 x1)/ (t3 t1)= x/t y representa lavelocidad media en ese intervalo de tiempo. La pendiente de la tangente a la curva en el puntosealado para el instante t1 es m1 y su valor representa la velocidad en ese instante, queequivale al lmite cuando t tiende a cero.

En forma general, la pendiente de la cuerda que une dos puntos del grfico x contra trepresenta la velocidad media de la partcula, en el intervalo de tiempo analizado. La

pendiente de la tangente a esta curva, en cualquier punto, representa la velocidad instantneade la partcula en el instante analizado.

38


42/246

2.5 Movimiento rectilneo_________________________________________________________________________________________________________________

Al observar la Fig. 2-23, se puede ver que la pendiente de la cuerda es mayor a la de latangente a la curva; es decir m > m1, lo que significa que la velocidad media en el intervaloconsiderado es mayor que la velocidad en el instante inicial de ese intervalo.

Las pendientes de las tangentes a la curva en los instantes t2y t3 dan los valores de las

velocidades vx2 y vx3 de la partcula en esos instantes. Como se ve en el grfico, la pendienteaumenta con el transcurso del tiempo, en consecuencia la velocidad aumenta.

Figura 2-23La velocidad media vmxcomo pendiente de la cuerda para unintervalo ty la velocidad instantnea vxcomo pendiente de la tangente alinstante ten el grficoxcontra t

En el intervalo de t1 a t3la pendiente de la tangente y, por lo tanto, la velocidad vxcambiacon el tiempo. Sin embargo, la velocidad media vmx para el mismo intervalo es nica, yrepresenta justamente un valor medio. Obsrvese que en algn instante entre t1 y t3 va aexistir una recta tangente paralela a la cuerda y, en consecuencia, solo en ese instante lavelocidad vxcoincide con la velocidad media vmx.

Cuando el grfico xcontra tes una lnea recta, la pendiente de la cuerda para cualquierintervalo de tiempo sera la misma, como tambin lo es la pendiente de la tangente a la curva

para cualquier instante; esto significa que la velocidad vxes igual a la velocidad media vmx, esdecir, que la velocidad vxes constante.

Grfico velocidad contra tiempo

Con las pendientes de las tangentes trazadas a diferentes instantes en un grficox contrat, se puede hacer una tabla de la velocidad en funcin del tiempo. Estos puntos representadosen un grfico vxcontra t, permiten obtener una curva como la indicada en la Fig. 2-24.

La pendiente mde la cuerda de la Fig. 2-24 es vx/ty representa la aceleracin mediade la partcula para el intervalo de tiempo t = t3 t1. La pendiente de la tangente a la curvaen el instante t1es m1, y su valor es el lmite cuando ttiende a cero en la relacin vx/t;

dicho valor es la aceleracin axque tiene el cuerpo al instante t1.

x2

t2

m

m1

t3t1

x1

x3

t

x

O

39


43/246

2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

Al observar la Fig. 2-24, se ve que la pendiente de la tangente a la curva es mayor que lapendiente de la cuerda; es decir m1> m, lo que significa que la aceleracin al instante inicialdel intervalo es mayor que la aceleracin media en el intervalo considerado.

Figura 2-24 La aceleracin media amxcomo pendiente de la cuerda para unintervalo ty la aceleracin instantnea vxcomo pendiente de la tangente alinstante t, en el grficoxcontra t

Las pendientes de las tangentes a la curva en los instantes t2 y t3, definen lasaceleraciones de la partcula, en esos instantes. Como se ve en el grfico la pendientedisminuye con el transcurso del tiempo, en consecuencia la aceleracin disminuye.

En el intervalo de t1 a t3 la pendiente de la tangente y, por lo tanto, la aceleracin a x

cambia con el tiempo. Sin embargo la aceleracin media amxpara el mismo intervalo es nicay representa justamente un valor medio. Obsrvese que en algn instante entre t1y t3va aexistir una recta tangente paralela a la cuerda y en consecuencia, solo en ese instante laaceleracin axcoincide con la aceleracin amx.

En el caso en el cual el grfico vxcontra t es una lnea recta, la pendiente de la cuerdapara cualquier intervalo de tiempo sera la misma como tambin lo es la pendiente de latangente a la curva para cualquier instante; esto significa que la aceleracin axes igual a laaceleracin media amx, es decir, que la aceleracin axes constante.

Adems, en este grfico el rea comprendida entre la curva, el eje del tiempo y las rectast = t1y t = t2representa el desplazamiento que realiza la partcula en el intervalo de tiempoconsiderado. Las reas que estn sobre el eje del tiempo representan desplazamientos

positivos y las que estn bajo el eje, desplazamientos negativos.

Para encontrar la distancia recorrida por la partcula sobre la trayectoria en un t, sedeben sumar las magnitudes de los desplazamientos parciales.

Cuando el grfico vx contra t es una lnea recta, el rea bajo la recta se calcula con elempleo de frmulas geomtricas; pero si el grfico es una curva como la de la Fig. 2-25, elrea deber ser dividida en varios rectngulos, cuyas bases sean iguales a t. Mientras el rea

se divida en un mayor nmero de rectngulos, el clculo del rea tendr menos error.

vx2

t2

mm1

t3t1

vx1

vx3

t

vx

O

40


44/246


Para calcular el rea exacta con este procedimiento, el nmero de rectngulos deber serinfinito. Esto se lograra cuando ttiende a cero, con lo que se tendra que sumar un infinitonmero de reas. Mediante el clculo integral se podr encontrar el rea en un solo paso, sinestos inconvenientes.

Figura 2-25El rea bajo la curva vxcontra tpara un intervalo tes igual aldesplazamiento xpara el intervalo

Grfico aceleracin contra tiempo

Con las pendientes de las tangentes trazadas a diferentes instantes en un grfico vxcontrat, se puede hacer una tabla de la aceleracin en funcin del tiempo. Estos puntosrepresentados en un grfico axcontra t, permiten obtener una curva como la indicada en laFig. 2-26.

Figura 2-26El rea bajo la curva axcontra tpara un intervalo tes igual alcambio de velocidad vxpara el intervalo

La pendiente de la tangente a la curva en este grfico no tiene un significado fsico. Pero

el rea comprendida entre la curva axcontra tel eje del tiempo y las rectas t= t1y t= t2

t

vx

O t1 t2t

t2

vx

t1 t

ax

O

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representa el cambio de la velocidad vx que experimenta la partcula en el intervalo detiempo t= t2 t1.

A partir del grfico x contra t del movimiento de una partcula, siguiendo elprocedimiento de calcular pendientes de rectas tangentes, se pueden hacer los grficos vx

contra ty axcontra t que en conjunto describen completamente el movimiento.

De manera similar, si se conoce el grfico axcontra ty los valores de la velocidad vxy laposicinxa cierto instante y siguiendo el procedimiento de calcular reas bajo las curvas sepueden hacer los otros dos grficos vxcontra t y x contra t.

Si a la trayectoria rectilnea de la partcula se ligan los ejes yzse tendran los grficosycontra t z contra t, los grficos vycontra t vzcontra t, y tambin los grficos aycontra t azcontra t.

Si la partcula se mueve en un plano, por ejemplo el plano xy, por una trayectoria

rectilnea o curvilnea, entonces se tienen dos grficos para la posicin (xcontra tyycontra t),dos para la velocidad (vxcontra t y vycontra t), y dos para la aceleracin (axcontra t y aycontra t).

Movimiento rectilneo uniformemente variado

Es un movimiento de las siguientes caractersticas:

a) trayectoria rectilnea uv = cteaN = 0

vcte, a= cteb) la magnitud de la velocidad cambia aT = cte 0uniformemente

Ahora se estudiar el caso de una partcula que se mueve a lo largo del eje x conaceleracin ax= cte, y que al tiempo inicial t0 tiene una posicin inicial x0 y una velocidadinicial vx0. El tiempo inicial t0puede ser cualquiera, pero generalmente es cero.

El grfico axcontra tser uno como el mostrado en la Fig. 2-27.

Figura 2-27El rea bajo la curva axcontra ten el MRUV (ax= cte) es igual a vx= axt

tt0 t

ax

0

vx

42


46/246


El rea bajo la curva axcontra t, desde el tiempo inicial t0hasta un tiempo cualquiera t,viene dada por

vx= axt

De donde:

vxt vx0= ax(t t0)donde vxtes la velocidad al tiempo t. Finalmente se tiene:

vxt = vx0+ ax(t t0) (1-23b)

que es la ecuacin de la velocidad vxen funcin del tiempo tpara el MRUV.

El grfico de vxcontra tes una recta como la de la Fig. 2-28.

Figura 2-28 El rea bajo la curva vxcontra ten el MRUV (ax= cte) es iguala la suma de las reas de un rectngulo y un tringulo: x= vx0(t t0) + (vxt vx0) (t t0)

El rea bajo la curva para el intervalo t= t t0corresponde, en este caso, al rea de un

trapecio que se lo puede descomponer en un rectngulo de reavx0(

t

t0) y un tringulo derea (1/2) (vxt vx0) (t t0). Por otro lado, el rea bajo la curva es igual al desplazamiento

x=xtx0. As pues, se puede escribir:

x=xtx0= vx0(t t0) + (vxt vx0) (t t0)

Adems, si se reemplaza

)( 00 ttavv xxxt =

en la ecuacin anterior y, despus de despejar xt, se obtiene la ecuacin de la posicin xen

funcin del tiempo t:

t0 t

vxt- vx0

t

vx

O

vxt

vx0

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

2

021

000 )()( ttattvxx xxt ++= (1-23a)

Como ejercicio, el lector puede demostrar que para una partcula con aceleracin axconstante la ecuacin que se obtiene de despejar (t t0) de la ecuacin de la posicin yreemplazar en la ecuacin de la velocidad es:

vx2= vx0

2+ 2 ax(xx0) (1-23d)Si el tiempo inicial t0vale cero las ecuaciones del MRUV son:

x= f (t): xt =x0 + vx0t+ axt2 (1-23a)

vx= g (t): vxt= vx0 + axt (1-23b)

ax= h (t): ax= cte (1-23c)

vx= l (x): )(2 02

0

2

xxavv xxx +=

(1-23d)

Las ecuaciones vectoriales del MRUV son:

r= f (t): rt = r0+ v0t+ at2 (1-22a)

v= g (t): vt= v0+ a t (1-22b)

a= h (t): a= cte (1-22c)

Un ejemplo de grficosx, vxy axcontra tpara el MRUV se indica en la Fig. 2-29.

t1 t2 t1 t2 t1 t2

Figura 2-29Un ejemplo de los grficosx, vxy axcontra tpara el MRUV

Movimiento rectilneo uniforme

Es un movimiento de las siguientes caractersticas:

(a) trayectoria rectilnea uv = cteaN = 0

t

x

0 t

vx

0 t

ax

0

44


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v= cte, a= 0(b) la magnitud de la velocidad constante aT= 0

En el caso de una partcula que se mueve a lo largo del eje xcon velocidad vx= cte, yque al tiempo inicial t0tiene una posicin inicial x0sus ecuaciones se las obtiene como caso

particular del MRUV cuando ax= 0, y son:x= f (t): xt =x0 + vx t (1-23a)

vx= g (t): vxt= cte (1-23b)

ax= h (t): ax= 0 (1-23c)

Las ecuaciones vectoriales del MRU son:

r= f (t): rt = r0+ v t (1-22a)

v= g (t): v= cte (1-22b)

a= h (t): a= 0 (1-22c)

Un ejemplo de los grficosx, vxy axcontra tdel MRU se muestra en la Fig. 2-30

Figura 2-30 Un ejemplo de los grficosx, vxy axcontra tpara el MRU

Cada libre

Es el movimiento que describe un cuerpo, cuando est sometido exclusivamente a laaceleracin de la gravedad (es decir la resistencia del aire es despreciable), la misma que,cuando se trabaja con alturas relativamente pequeas comparadas con el radio de la tierra, se

puede considerar aproximadamente constante e igual a 9,8 m/s.

Cuando se trata de un movimiento vertical (a lo largo del eje y) y la aceleracinconstante, se pueden utilizar exactamente las mismas ecuaciones que se desarrollaronanteriormente para movimientos con aceleracin constante, o sea:

y = f (t): yt =y0 + vy0t+ ayt (1-23a)

vy= g(t): vyt= vy0 + ayt (1-23b)

t

x

0 t

vx

0 t

ax

0

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2 CINEMTICA. Teora_________________________________________________________________________________________________________________

ay= h (t): ay = 9,8 m/s 10 m/s (1-23c)

vy= l (y): vy = vy0 +2 ayy (1-23d) En este tipo de movimiento se acostumbra definir algunas otras variables especficas queson:

Tiempo de subida (ts): es el tiempo que demora un cuerpo que se lanza verticalmentehacia arriba, en llegar al punto ms alto. Para calcular este tiempo no es necesariodesarrollar otra frmula, basta considerar que para que el cuerpo llegue al punto ms altovy = 0.

Altura mxima (ym): es la mxima altura hasta la que puede llegar un cuerpo que eslanzado verticalmente hacia arriba. Para calcular esta altura basta considerar tambin que

para que llegue al punto ms alto es necesario que su vy= 0. Tiempo de vuelo(tv): es el tiempo que permanece el cuerpo en movimiento. Desde que es

lanzado, hasta cuando regresa al nivel del lanzamiento. Este tiempo no siempre es igual aldoble del tiempo de subida

2.6 MOVIMIENTO PARABLICO

Para que una partcula describa un movimiento parablico se deben cumplir las siguientescondiciones:

1. Que la partcula se mueva en una regin donde el vector aceleracin sea constante, y2. Que la partcula tenga una velocidad inicial diferente de cero y que no forme ni 0 ni

180 con la aceleracin antes menciona

Física para Prepolitécnico - Escuela Politécnica Nacional

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