RESUMEN

El objetivo de este experimento es determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.

Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles; marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A4, separados unos 10 cm entre sí; mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles; fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de rodadura pura; coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente comience a medir los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4 respectivamente; mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4; modifique la inclinación de los rieles y mida 3 veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4; mida los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell de su borde inferior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría.

Los materiales para este experimento son: Un par de rieles paralelos, una rueda de Maxwell, un cronometro digital, un pie de rey, una regla milimetrada, una balanza, un nivel.

Los valores calculados son:

El momento de inercia de la rueda de Maxwell: I=

Concluimos que a pesar de que los resortes son del mismo material y similar forma no tienen la misma constante elástica

-Momento de inercia

-Conservación de energía

-Energía de rotación

-Segunda ley de Newton

ANTECEDENTE EXPERIMENTAL

DINAMICA DE ROTACIÓN

OBJETIVO

Observar el movimiento de rodadura de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.

MATERIALES

Un par de rieles paralelos Una rueda de Maxwell Un cronometro digital Un pie de rey Una regla milimetrada Una balanza Un nivel

PROCEDIMIENTO

Obteniendo una trayectoria bidimensional del disco

1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles.2. Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A4, separados unos 10 cm entre sí.3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles.4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un

movimiento de rodadura pura.5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente

comience a medir los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4 respectivamente.

6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4.

7. Modifique la inclinación de los rieles y mida 3 veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4

8. Mida los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell de su borde inferior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría.

CÁLCULOS Y RESULTADOS

1.- Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4, grafique los puntos (0,0), (t1,

A0A1),… (t4, A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?

PRIMER CASO:

α1 = 6.65°

SEGUNDO CASO:

α2 = 12.133 °

t promedio (s)

X (m.)

4,838 0,17,148 0,28,911 0,310,434 0,4

5 7 9 11 13 15 17 190

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

X vs t

Series2

t(s.)

X(m

.)

4 5 6 7 8 9 10 110

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45X vs t

Series2

t(s.)

X(m

.)t promedio

(s)X

(m.)8,561 0,112,45 0,215,344 0,317,82 0,4

¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?

Como sabemos la distancia en un movimiento rectilíneo uniformemente variado se obtiene a partir de una ecuación cuadrática que involucra al tiempo como variable independiente, y como sabemos su grafica seria una parábola, haciendo la grafica x vs. t vemos que esboza una parábola, por lo tanto la aceleración será constante, por lo tanto llegamos a la conclusión que es uh movimiento uniformemente acelerado sobre el plano inclinado.

2.- Grafique también d vs t2

PRIMER CASO:

α1 = 6.65°

X (m.) t2 (s)0,1 73,2910,2 155,0030,3 235,4380,4 317,552

SEGUNDO CASO:

α2 = 12.133 °

X (m.) t2(s)0,1 23,4060,2 51,0940,3 79,4060,4 108,868

3.- Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación estándar y propagación de errores, calcular.

50 100 150 200 250 300 3500

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45

f(x) = 0.0012296587937849 x + 0.00982242956853621R² = 0.999985583599345

X vs t2

Series2Linear (Series2)

t2 (s2)

X (m

)

0 20 40 60 80 100 1200

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45

f(x) = 0.00351179864503855 x + 0.0192994116114824R² = 0.999802050645186

X vs t2

Series2Linear (Series2)

t2 (s2)

X (m

)

a. La aceleración de centro de masa aG.

PRIMER CASO:

α1 = 6.65°

Por la fórmula: a i=2 xt 2

Dónde:

x: Distanciat : Tiempoa: Aceleración

Hallando la desviación estándar según la aceleración obtenida en la gráfica y conforme a la fórmula.

√σ2=√∑i=1

n

(ai−a)2

n

Aceleración: 0.0012 m/s² Desviacion estándar: 1.377x10-3

Por lo tanto la aceleración del centro de masa será: (1.20 ± 1.377) x 10-3

SEGUNDO CASO:

α2 = 12.133 °

Por la fórmula: a=2xt2

aceleración (m/s2)a1 0,0027a2 0,0026a3 0,0025a4 0,0025

Dónde:

x: distanciat : tiempoa: aceleración

Hallando la desviación estándar según la aceleración obtenida en la gráfica y conforme a la fórmula.

√σ2=√∑i=1

n

(ai−a)2

n

Aceleración: 0.0035 m/s² Desviación estándar: 4.32 x 103

Por lo tanto la aceleración del centro de masa será: (3.5 ± 4.32) x 10-3

b. La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4.

PRIMER CASO:

α1 = 6.65°

Por la fórmula: V 4=2xt

V 4=2x 0.417.82

=4.49 x 10−2m /s

SEGUNDO CASO:

α2 = 12.133 °

aceleración (m/s2)

a1 0,0085a2 0,0078a3 0,0076a4 0,0073

Por la fórmula: V 4=2xt

V 4=2 x 0.410.434

=7.67 x10−2m /s

c. La velocidad angular de la rueda en el instante t4.

PRIMER CASO:

α1 = 6.65°

Por la fórmula: V=wxR

Teniendo como radio del eje 0.0032 m

Hallando w4:

4.49 x 10-2 = 3.2 x 10-3 x w4

W4 = 14.031 rad/s

SEGUNDO CASO:

α2 = 12.133 °

Por la fórmula: V=wxR

Teniendo como radio del eje 0.0032 m

Hallando w4:

7.67 x 10-2 = 3.2 x 10-3 x w4

W4 = 23.968 rad/s

d. El momento de inercia de la volante, usando la ecuación

Mgh0=Mgh4+12MV G

2 + 12IGV G

2 /r2

PRIMER CASO:

α1 = 6.65°

Según la fórmula:

Mgh0=Mgh4+12MV G

2 + 12IGV G

2 /r2

Despejando IG:

IG=r2

V G2 (2Mg (ho−h4 )−MV G

2)

Reemplazando datos para t4:

IG4=

(3.2 x10−3 )2

( 4.49 x 10−2 )2(2x 349.2x 9.81 ( 3.41 x10−2 )−349.2 x ( 4.49 x 10−2 )2 ) /1000

IG4=1.18 x 10−3

SEGUNDO CASO:

α2 = 12.133 °

Según la fórmula:

Mgh0=Mgh4+12MV G

2 + 12IGV G

2 /r2

Despejando IG:

IG=r2

V G2 (2Mg (ho−h4 )−MV G

2)

Reemplazando datos para t4:

IG4= (3.2 x10−3 )2

(7.67 x10−2 )2(2 x349.2 x 9.81 (7.44 x 10−2 )−349.2x ( 7.67 x 10−2 )2 ) /1000

IG4=0.883 x 10−3

e. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia?

La medición que introduce mayor incertidumbre es el tiempo, ya que la medida de este depende de la rapidez con la que se presiona el botón del cronometro, es por ello que tenemos que hacer muchos intentos y hallar un tiempo promedio.

Al operar con este tiempo promedio introducimos el error, y el tiempo se relaciona con la velocidad, aceleración, velocidad angular instantánea, esto hace que la incertidumbre y error aumente en mayor proporción al calcular el momento de inercia.

Otra variable es la altura que es indispensable para el cálculo de la energía potencial, pero este error es mínimo con relación al tiempo, ya que puede ser mas preciso si lo medimos con cuidado y con una regla metálica, también tenemos la masa de la ruedita pero también es mínimo con relación al tiempo.

f. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?

PARA = 9.5°

Obtenemos I x con la siguiente formula:

IG=r2

V G2 (2Mg (ho−h4 )−MV G

2)

Para ello, necesitamos contar con los siguientes datos:

M (kg) g(m/ s2) R(m) vi(m /s) ho hi

G1 0.349 9.81 0.0032 2.4x10-2 0.065 0.061

G2 0.349 9.81 0.0032 3.2x10-2 0.065 0.049

G3 0.349 9.81 0.0032 3.9x10-2 0.065 0.041

G4 0.349 9.81 0.0032 6.52x10-2 0.065 0.031

Utilizando estos datos y reemplazándolos en la formula antes dada, obtendremos los momentos de inercia y veremos qué es lo que sucede:

I 1(kg .m2) 1.09 x10-2

I 2(kg .m2) 1.12 x10-2

I 3(kg .m2) 1.16 x10-2

I 4(kg .m2) 1.18 x10-2

Comentario: Al hallar una relación de proporción entre el momento de inercia y la

longitud recorrida haremos lo siguiente I x∆ x

, analizando la grafica esta relación

vendría a ser la tangente de la línea de tendencia, y esta es constante, por lo cual llegamos a la conclusión que el momento de inercia es constante pues gira en torno a un mismo eje.

La grafica muestra imprecisiones debido a la propagación de errores, como lo indicamos antes un gran factor determinante es el error del tiempo promedio (no olvidar que también hay error en la medida y peso, pero es mínimo en comparación con el tiempo).

g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?

Su valor de influencia es mínimo, diríamos casi despreciable, pues recurriendo a la teoría veríamos que el momento de inercia depende solo de la masa y de la posición geométrica del centro de masa respecto al eje de giro, mas no de las fuerzas externas que le podamos generar al cuerpo a analizar.

h. Calcule el momento de inercia a partir de la definición: I = ∫ dmr2 y las mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico. Compare con (d)

Calculamos en volumen total:

Hallando el volumen de la varilla:

V 1=π4ф2h

V 1=π4

(6.4mm )2 (144.7mm )

V 1=4.65499×10−6m3

Hallando el volumen del cilindro hueco menor:

V 2=π4 (ф1

2−ф22 )h

V 2=π4

(21.42−6.42) 14.9

V 2=4.87993×10−6m3

Hallando el volumen de las barras rectas:V 3=6V

V 3=6 (5 ) (38.3 ) (9.6 )V 3=1.10304×10−5m3

Hallando el volumen del cilindro hueco mayor:

V 4=π4 (ф1

2−ф22 )h

V 4=π4

(1242−1012 )(24.5)

V 4=9.95789×10−5m3

V T=V 1+V 2+V 3+V 4

V T=1.20066×10−4m3

Sabemos que: (DENSIDAD)=(MASA)/ (VOLUMEN )

ρ=0.435kg/1.20066×10−4m3

ρ=3623.0073 kg/m3

Calculo de los momentos de inercia de cada componente del disco:

Momento de inercia de la varilla:

I 1=12ρV 1R

2

I 1=12

(3623.0073 ) ( 4.65499×10−6 ) (6.32

)2

I 1=8.634912×10−8 kg .m2

Momento de inercia del cilindro hueco menor:

I 2=12ρV 2(R1

2+R22)

I 2=12

(3623.0073 ) ( 4.87993×10−6 )[ (0.0107 )2+(0.0032 )2 ]

I 2=1.102614×10−6 kgm2

Momento de inercia para la barra recta:I 3=ρV 3d

2+ ICM

I 3=(3623.0073 )(1.10304×10−5)(26.65×10−3 )2+ (3623.0073 )(1.10304 ×10−5)12

(21.42+6.42)

I 3=3.357483×10−5 kg .mm2

Momento de inercia para el cilindro hueco mayor:

I 4=12ρV 4 (R1

2+R22)

I 4=12

(3623.0073 )(9.95789×10−5)[( 1242 )

2

+(1012 )

2

]

I 4=1.153443×10−3m2

El momento total de inercia será igual a la suma de los momentos de inercia de cada parte del disco.

I T=I 1+ I2+ I 3+ I 4

I T=1.18 kg .m2

COMENTARIOS: Como vemos el momento de inercia hallado por la definición es muy parecido al hallado usando la ecuación, muestra cierto error debido a los diversos factores antes mencionados, ya que debemos recordar que no importa la fuerza que se ejerza sobre el cuerpo, lo único que importa es la masa y la posición respecto al eje de rotación. Podemos concluir que nuestro error a sido del 12,07% aproximadamente.

FUNDAMENTO TEORICO

CONSERVACION DE LA ENERGIA

La ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado  permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.

MOMENTO DE INERCIA:

Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

I=mr2

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

I=∑mi ri2

Para un cuerpo de masa continua se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de

Newton: a = Fm tiene como equivalente para la rotación:

τ = IαDónde:

“τ” es el momento aplicado al cuerpo.

“I”es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

α=d2θd t 2 es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es12mv2, mientras que la

energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es12I ω2, donde I es el

momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

L⃗=I ❑⃗

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

I eje=I eje(CM)+M h2

Dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;

I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de

masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Tenemos que calcular la cantidad

I=∑ x i2mi

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mí al eje de rotación. 

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

I=∫ x2dm

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.

TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓNEn otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdt en el tiempo dt es

F·senθ es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es:

En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=I , y la definición de velocidad angular y aceleración angular.

Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.

DESCOMOPOSICON DE LA ENERGIA CINETICA EN ENERGIA DE TRASLACION Y ENERGIA DE ROTACIONLa rueda de maxwell consta de un aro de radio R y de un eje cilíndrico concéntrico de radio r(r<R). Al dejar al eje sobre los rieles el sistema experimentara un movimiento de rodadura. En la figura 1 se muestra un rueda de maxwell en dos posiciones de su movimiento. G0 y G4 son la posiciones del centro de gravedad de la rueda en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria.

Figura 1

Por el principio de conservación de la energía:

EP0 +EC0 =EP4 +EC4 +WFRICCION

Si en G0 la rueda parte del reposo

Mgh0=mgh4 +Fricción

Las pérdidas de fricción, se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies de contacto).

Las pérdidas por rodadura son despreciables en el caso de los cuerpos rígidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes.

El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de rotaciones sucesivas con velocidad angular wA alrededor de un eje de giro móvil que pasa por los puntos de contacto entre el eje cilíndrico y los rieles (Ai). Se cumple que la relación VG=wA.r , donde VG es la velocidad del centro de gravedad, wA es la velocidad angular alrededor de Ai y r es la distancia de G a Ai (radio del eje cilíndrico).

Otra manera de visualizar el movimiento de rodadura, quizás más natural, es considerando que la composición de una traslación de del centro de masa G, más una rotación simultánea, con velocidad angular wG alrededor de G.

Se debe demostrar que wA =wG (verifíquelo)

Tomando un segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:

EC=ECT+ECR

Donde ECT significa que la energía cinética de traslación y ECR energía cinética de rotación

EC=1/2 MV2G+ ½ IG

w2

Donde VG es la velocidad del centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría).per VG=VA=wr, entonces:

Mgh0=Mgh4 + ½ MV2G + ½ IG.V2G/r2

De esta expresión podemos calcular IG si conociéramos VG. Se observara en este experimento que el movimiento de traslación tanto del centro de gravedad como del eje instantáneo de rotación es uniformemente acelerado. Tendremos por lo tanto:

X=1/2 at2 , V=at:

Es decir:

V=2x/t