Fisica III Practicas

8/7/2019 Fisica III Practicas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, ARQUITECTURA

Y URBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS FISICO MATEMATICAS

Segunda Practica-Preprofesional

Informe

Responsable:

Est. Arturo Flores Condori

Asesor:

Lic. Maximo Roberto Pari Coila

PUNO PERU

2010


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UniversidadNacionaldel Altiplano

FacultaddeIngenieraCivily Arquitectura

EscuelaProfesionaldeCienciasFsicoMatemticas

AL : Lic. Juan Carlos Benavides HuancaDirector de Estudios de la Escuela ProfesionalCs. Fsico Matematicas

DE : Lic. Maximo Roberto Pari CoilaASUNTO : Informe de las Practicas Pre ProfesionalesFECHA : 25 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las practicas re-alizadas por el Estudiante ARTURO FLORES CONDORI, el cual detallo a continuacion:

1. Mediante MEMORANDO N-034-2009-DE-EPCFMFICA-UNA. Se designa Al es-tudiante ARTURO FLORES CONDORI, para que realice practicas pre-profesionalesen la escuela profesional de Ingeniera Mecanica Electrica en la asignatura de FISI-CA III la misma que realizo ba jo mi asesora.

2. El estudiante realizo la practica a partir de la fecha 04 de Mayo del 2009 y culmi-nando el 17 de Agosto del 2009, acumulando un total de 30 horas academicas, queconsiste en desarrollar la parte practica de la asignatura de FISICA III, correspon-diente al II semestre de la E.P. de Ingeniera Mecanica Electrica.

3. Durante la realizacion de la practica pre-profesional del estudiante en mencion de-mostro, responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparaci on de sussesiones, como en su desenvolvimiento ante los estudiantes y demas tareas asig-nadas.

4. Concluida la practica pre-profesional el estudiante alcanzo los objetivos establecidos,siendo as; solicito a Ud. senor Director ha realizar los tramites necesarios para laexpedicion de la respectiva Resolucion.

Es cuanto informo a Ud. para los fines que el interesado tenga por

conveniente.

Atentamente,

Lic. MAXIMO ROBERTO PARI COILAAsesor


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UniversidadNacionaldel Altiplano

FacultaddeIngenieraCivily Arquitectura

EscuelaProfesionaldeCienciasFsicoMatemticas

INFORME N001 2010EPFMAL : Lic. Maximo Roberto Pari Coila

Asesor de PracticasDE : Est. Arturo Flores CondoriASUNTO : Informe de las Practicas Pre ProfesionalesFECHA : 25 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. sobre las practicas que realice el cualdetallo a continuacion:

1. Mediante el MEMORANDO N-034-2009-DE-EPCFMFICA-UNA.de fecha, PunoC.U, Abril 27 del 2009, se me designa a su persona como asesor, para que real-ice las practicas pre-profesionales en la Escuela Profesional de Ingeniera MecanicaElectrica en la asignatura de Fsica III.

2. Inicie la practica el da 04 de Mayo del 2009, terminando el 17 de Agosto del 2009,acumulando satisfactoriamente las 30 horas academicas pedidas.

3. Los detalles de la practica pre-profesional se encuentran en la documentacion ad-junta en este informe.

En cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente,

Est. ARTURO FLORES CONDORIUNA-Puno


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PRESENTACION

Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del 04 de Abril del

2009, terminando el 17 de Agosto del 2009 en la asignatura de FISICA III en la EscuelaProfesional de Ingeniera Mecanica Electrica de la Universidad Nacional del Altiplano-Puno.

En el Primer capitulo contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizolas practicas pre-profesionales y los datos de la asignatura. En el Segundo capitulo justi-fica la realizacion de las practicas pre-profesionales. Y en el Tercer capitulo menciona losobjetivos de la practica pre-profesional.

Como una segunda parte de estas notas menciono el contenido de la asignatura de

Fsica III estos lo conforman del Cuarto capitulo al Decimo captulo, donde en su primeraparte del contenido (Electrostatica), se estudia los fenomenos relacionados con la cargaen reposo (es decir; Fuerza, Campo potencial, Potencial electrico y condensadores).

En su segunda parte del contenido de la asignatura (Magnetismo), se estudia los efec-tos que produce la carga en movimiento (es decir, comprende los captulos: Corrienteelectrica, Campo magnetico y Induccion electromagnetica).

Finalmente, en el Onceavo capitulo senalo la metodologa usada para el curso de FsicaIII, en el Doceavo capitulo presento un cronograma de actividades de acuerdo a los temasrealizados y en Treceavo capitulo presento la relacion de Estudiantes y sus asistencias ala asignatura de Fsica III. Al final se especifica la bibliografa usada para el desarrollo deestas notas.

Espero que este informe sirva como referencia para futuras practicas pre-profesionalesque se realicen referentes a la Asignatura.

. ARTURO FLORES CONDORI


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Indice general

Presentacion III

Indice General IV

1. Datos Informativos 2

2. Justificacion 3

3. Objetivos 6

4. Electrostatica 74.1. Carga Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3. Campo Electrico ( E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Ley de Gauss 155.1. Flujo Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2.1. Aplicaciones de la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Potencial Electrico 236.1. Energa potencial electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2. Potencial electrico y Diferencia de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.2.1. Potencial electrico debido a una carga puntual . . . . . . . . . . . . 266.2.2. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales . . . . . . . . . . 276.2.3. potencial debido a una distribucion continua de carga . . . . . . . . 28

6.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7. Capacitancia y Capacitores 347.1. Capacitores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.1.1. Capacitores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.1.2. Capacitores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2. Energa Almacenada en un Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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INDICE GENERAL 1

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua 438.1. Corriente Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2. Resistividad y la Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.2.1. Resistividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.4. Resistores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.4.1. Resistores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.4.2. Resistores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.5. Reglas de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.6. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.6.1. Carga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.6.2. Descarga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8.7. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519. Campo Magnetico y Fuentes de Campo Magnetico 59

9.1. Campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.2. Flujo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.3. Movimiento de partcula con carga en un campo magnetico . . . . . . . . . 619.4. Fuerza magnetica sobre un conductor que transporta corriente . . . . . . . 629.5. Fuerza y momento de torsion en una espira de corriente . . . . . . . . . . . 639.6. La Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.7. Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.8. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.Induccion Electromagnetica 7310.1. F EM Inducida y la ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.2. Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.3. Fuerza electromotriz de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.4. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.5. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.Metodologa 8011.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.2. Tecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.3. Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12.Temas y Cronograma de Actividades 81

13.Relacion de Estudiantes y Asistencia 8313.1. Relacion de Estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8313.2. Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Bibliografa 85

A r t u r o F l o r e s C o n d o r i


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Captulo 1

Datos Informativos

Responsable : Arturo Flores Condori

DNI : 42221680Codigo : 040706Nivel : QuintoSemestre : DecimoDuracion : Del 04 de Mayo del 2009 al 17 de Agosto del 2009

Asesor : Lic. Maximo Roberto Pari CoilaCondicion : NombradoCategora : Asociado a D.E.

Institucion : Universidad Nacional del AltiplanoLugar : PunoFacultad : Ingeniera ..Escuela Profesional : Ing. Mecanica Electrica

Asignatura : Fsica IIINaturaleza de la Asignatura : Obligatorio

Numero de Horas : 3T.(Teora)+2P.(Practicas)=5 Hrs.Creditos : 5Prerrequisito : Fsica IIAno Academico : 2008Semestre : 2008-II

Area : Formacion GeneralCondicion : Flexible

Grupo : Unico

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Captulo 2

Justificacion

Las practicas pre-profesionales en la escuela profesional de Ciencias Fsico Matematicas,

son de mucha importancia para poner en practica los conocimientos y experiencias adquiri-das durante nuestra permanencia como estudiante, en la dinamica del proceso ensenanza-aprendizaje y la experimentacion teorica; as mismo construimos una solida base adquirien-do destreza y habilidad para nuestro buen desempeno como profesionales.

Por otro lado, las practicas pre-profesionales es para dar cumplimiento a uno de los req-uisitos exigidos dentro del Programa Academico de la Facultad de Ingeniera Civil yArquitectura de Nuestra Universidad Nacional del Altiplano para la obtencion del gradoacademico de Bachiller, el cual tiene sustento legal en:

1. Constitucion Poltica del Peru

La Constitucion Poltica del Peru de 1993, es la actual constitucion del Peru. Esta esconsiderada como la norma jurdica suprema y vertice de todo el ordenamiento jurdicoque regula la vida dentro del pas.

Art. 14 La educacion promueve el conocimiento, el aprendizaje y la practica de las hu-manidades, la ciencia, la tecnica, las artes, la educacion fsica y el deporte; preparapara la vida, el trabajo y fomenta la solidaridad.

Art. 18 La educacion universitaria tiene como fines la formacion profesional, la difusion

cultural, la creacion intelectual y artstica y la investigacion cientfica y tecnologica.El estado garantiza la libertad de catedra y rechaza la intolerancia.

Las universidades son promovidas por entidades privadas o publicas. La ley fijalas condiciones para autorizar su funcionamiento.La universidad es la comunidad de profesores, alumnos y graduados. Participan enel ella los representantes de los promotores, de acuerdo a ley.Cada universidad es autonoma en su regimen normativo, de gobierno, academico,administrativo y economico. Las universidades se rigen por sus propios estatutos enel marco de la Constitucion y de las leyes.

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2. Justificacion 4

2. Ley Universitaria No 23733

Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve das del mes de diciembre de milnovecientos ochenta y tres. En el gobierno de: FERNANDO BELAUNDE TERRY, ysiendo PATRICIO REY DE CASTRO, Ministro de Educacion.

Art. 9 Cada universidad organiza y establece su regimen academico por facultades a susnecesidades y caractersticas.

Art. 18 Cada universidad senala los requisitos para la obtencion de los grados academicosy de los ttulos profesionales correspondientes y las carreras que ofrece.

Art. 23 Los ttulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estudiosde una duracion no menor de diez semestres academicos o la aprobacion de losanos o creditos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden.

Ademas son requisitos la obtencion previa del Bachillerato respectivo y, cuando seaaplicable, el haber efectuado practica profesional calificada. Para obtener el ttulode licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional.

La segunda especialidad requiere la licenciatura u otro ttulo profesional equiva-lente previo. Da acceso al ttulo, o a la certificacion o mencion correspondientes.

3. Estatuto de la Universidad Nacional del Altiplano

Aprobado en asamblea universitaria del 06 al 19 de enero de 2005.

Art. 19 La universidad se integra por unidades academicas fundamentales denominadasfacultades estos organizan y desarrollan actividades de investigacion, proyeccionsocial y presentacion de servicios.

Art. 122 La actividad academica en una escuela profesional comprende:

- Formacion general.

- Formacion basica profesional.

- Formacion profesional.

- Investigacion.- Orientacion profesional.

- Proyeccion y extension universitaria.

Su diseno involucra la programacion curricular teorico-practica de cada asignatura;proyectos de investigacion sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan deactividades de proyeccion y extension universitaria; y un plan de practicas pre-profesionales.



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2. Justificacion 5

4. Curricula de la Escuela Profesional Ciencias Fsico Matematicas

Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla larealizacion de practicas pre profesionales en la formacion de todos los estudiantesde la universidad.

Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Fsico Matematicas estan obli-gados a realizar practicas pre profesionales pudiendo efectuarse despues de haberlogrado un mnimo de 170 creditos.

Art. 42 Las practicas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Fsico Matematicasseran practicas productivas y practicas de investigacion.

Art. 43 Las practicas productivas comprenderan practicas pedagogicas en centros deensenanza de nivel medio superior y universidades; practicas en centros productivos,convenio, proyectos y otros que requieran la participacion de Fsicos Matematicos.

Art. 44 Las practicas de investigacion se realizan en la U.N.A. bajo la direccion de unprofesor designado especficamente con este fin.

Art. 45 Las practicas productivas de investigacion tendran una duracion de un semestreacademico.

Art. 46 Los estudiantes, despues de haber cumplido con sus practicas productivas y/o

de investigacion presentaran el informe a la institucion donde se realizo y esta asu vez informara de su desarrollo a la Direccion de Carrera quien lo remitira a lacomision de practicas pre profesionales para su aprobacion o desaprobacion.

Art. 47 En el caso de que la practica productiva y/o practicas de investigacion se realiceen la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentara el informe aldocente a cargo, este a su vez informara su desarrollo a la Direccion de la Carrerapara el visto bueno de la comision de practicas Pre profesionales.

Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento seran absueltos por laComision de practicas pre profesionales.



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Captulo 3

Objetivos

Objetivos GeneralesAl concluir la practica pre profesional, el estudiante de la Escuela Profesional de Cien-

cias Fsico Matematicas, sera capaz de:

Desarrollar, aplicar y facilitar el uso de las relaciones cuantitativas y cualitativas delas diversas disciplinas de la ciencia, la tecnologa, la gestion y la produccion.

Complementar nuestra formacion profesional, a traves del contacto con el mundolaboral, antes de terminar nuestros estudios.

Objetivos Especficos

Los objetivos especficos que se tiene para la practica desarrollada en la respectivaasignatura designada son:

Poner en practica los conocimientos adquiridos previamente en las aulas, en laensenanza de la Fsica.

Realizar labores participativas que nos coadyuven al perfeccionamiento profesionaly a la formacion cientfica y del conocimiento de la Fsica, adecuandonos a los re-querimientos de la region y del pas para contribuir a su desarrollo y transformacionsocio-economica.

Identificar y aplicar los casos, tecnicas y procedimientos de ensenanza que se empleenen la asignatura de Fsica III.

Promover el intercambio academico con las escuelas profesionales, experimentado ymostrandoles que la Fsica es la ciencia mas basica para la descripcion de fenomenosnaturales, y as mismo adquiriendo destreza y habilidad en la dinamica de ensenanza-aprendizaje.

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Captulo 4

Electrostatica

4.1. Carga ElectricaLa carga electrica es una propiedad fundamental independiente propia de la materia

y su unidad de medida es el coulomb(C) y se denota con la letra(q, Q).

4.2. Ley de Coulomb

La ley de Coulomb a que se subordina la fuerza de interaccion de las cargas puntuales.Se llama carga puntual un cuerpo cargado cuyas dimensiones son despreciables en com-paracion con la distancia de este cuerpo a otros tambien portadores de carga electrica. La

fuerza con que interaccionan dos cargas puntuales en reposo es proporcional a la magnitudde cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entreellas. la ley de Coulomb se puede expresar con la formula:

F = k|q1q2|

r2(4.1)

Donde:

k es una coeficiente de proporcionalidad (constante de Coulomb).

q1 y q2 son las magnitudes de las cargas que interaccionan.

r es la distancia entre las cargas.

k = 8,9875 109 N m2C2 en la practica k 9 109 N m2C2Para un sistema de cargas puntuales, supongamos que hay una carga qa y, ademas,

Ncargas q1, q2,...,qw. De lo dicho anteriormente se refiere que la fuerza resultante F conque actuan sobre qa las Ncargas qi se determina por la formula:

F =Ni=1

Fai (4.2)


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4. Electrostatica 8

en la que Fai es la fuerza con que actua sobre qa la carga qi en ausencia de las demasN 1 cargas.

Nota: El coeficiente de proporcionalidad de la ley de Coulomb se supone igual 140

. En-tonces la expresion de la ley para las cargas que se encuentran en el vaco toma la forma:

F =1

40

|q1q2|r2

(4.3)

donde:

k=8,9875 109 N m2/C2

0: recibe el nombre de permitividad en el vacio, 0=8,8542 1012 N1 m2C2

Distribucion de Cargas Continuas

Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribucion continua decarga. La distribucion de carga esta caracterizada por una funcion de la posicion (x,y,z)llamada densidad de carga volumetrica y tiene dimensiones de [carga/volumen]. Segunlas dimensiones del cuerpo que se considera, la carga electrica puede distribuirse,como setiene:

+ dFr

q+

erdV

dq

Q

d F = kqdq

r2

er

recordando que, = dqdV

, entonces,

d F = kqdV

r2er

la fuerza total es:

F = kq

(r)dV

r2

er (4.4)

F = kq dVr2 er (4.5)



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4. Electrostatica 9

las ecuaciones anteriores son para cuerpos con densidades de carga no uniformes y uni-forme respectivamente.

4.3. Campo Electrico ( E)

La intensidad de las cargas en reposo se efectua por medio del campo electrico. Todocarga hace que varen las propiedades del espacio que la rodea: Crea en el un campo electri-co. Este campo se manifiesta en que una carga electrica, situada en un punto cualquierade el, se encuentra bajo a accion de una fuerza. Por consiguiente, para saber si en unlugar dado existe campo hay que colocar en el un cuerpo cargado y determinar si esteexperimenta la accion de una fuerza electrica o no.

Estudiaremos con la ayuda de una carga puntual de ensayo qens el campo creado poruna carga puntual q en reposo. Situando la carga de ensayo en el punto cuya posesion

respecto a la carga q esta determinada por el radio vector r (Fig.), descubriremos quesobre la carga de ensayo actua la fuerza:

F = qens

1

40

q

r2er (4.6)

F

r

q

e r

ens

q

Si se toman cargas de ensayos de distintos magnitudes q

ens, q

ens y as sucesivamente,

las fuerzas F

, F

,.., que ellas experimentan en el punto dado del campo seran distintas.

Pero en (4.6)se ve que la relacionF

qensen la misma para todas las cargas de ensayo y solo

depende de las magnitudes q y r que definen el campo en el punto dado.Por eso es natural tomar esta relacion como magnitud caracterstica del campo electrico:

E =F

qens(4.7)

Esta magnitud vectorial se llama Intensidad del campo electrico en el punto dado (es

decir, en el punto en que la carga de ensayo qens experimenta la accion de la fuerza F).De las formulas (4.6)(4.7) se deduce que la intensidad del campo de una carga puntual esproporcional a la magnitud de la carga q e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia r desde dicha carga hasta el punto dado del campo:

E =1

40

q

r2er (4.8)

Segun (4.7), la fuerza que actua sobre la carga de ensayo es: F = qens E, y es evidente

que sobre toda carga puntual q, en un punto del campo de intensidad E, actuara la fuerza:



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4. Electrostatica 10

F = q E (4.9)

El campo electrico se puede describir conociendo la magnitud la magnitud y la direccion

del vector E para cada punto. El conjunto de estos vectores forma el campo del vectorintensidad de campo electrico. El campo de vector velocidad se puede representar muyintuitivamente por medio de las lineas de intensidad. Analogamente, el campo electricose puede describir valiendose de las lineas de intensidad, que abreviadamente llamaremoslneas E(tambien se le denomina lneas de fuerza). Las lneas de intensidad se trazan de

tal modo que la tangente a ella en cada punto coincida con la direcci on del vector E.

Las lneas E del campo de una carga puntual son un conjunto de rectas radiales queparten de la carga, si esta es positiva, y que inciden en ella si es negativa, as en la figura.

-q+q

+ - + +

4.4. Problemas ResueltosProblema 4.1Halle el campo electrico E debido a un anillo cuyo radio es a tiene una carga total Q dis-tribuida uniformemente en toda su circunferencia en el punto P, (Fig.)la cual esta situadosobre el eje del anillo a una distancia R de su centro.

Solucion:

Y

X

Z

Q

R

dq

q

q

ds

q

o p

dE

dEcos jq

dE

sen

iq

r=R +

a

22



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las componentes en la direccioni y k se anulan, luego;d E = dEsin

k + dEcos

j

d E = dEcos j= k

dq

r2cos j

E = k1

r2cos

dqj

E = k1

r2cos Qj (4.10)

pero cos = Rr

, ademas r =

R2 + a2, entonces

E =

k

r2R

r Qj= kQ

R

r3j

E = kQ R(R2 + a2)

3

2

jentonces el campo electrico E debido a un anillo es: E = kQ R

(R2+a2)32

jProblema 4.2

El disco mostrado en la figura, esta cargado con una densidad de carga superficial s elcual esta en funcion de la distancia s, de acuerdo a la relacion s = As donde A es unaconstante. Determine la intensidad de campo electrico en un punto M del eje del discotal como se muestra en la fig.

s

zr

M

dso

dE

a

qdq

a

X

Y

Z

Solucion:

El campo creado por el diferencial de carga dQ = ssdds; es decir,



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s =QA

= dQdA

= ddsd

, entonces el E es:

d E =dQ

40r2

=ssdds

40(Z2

+ s2

)

Por simetra solo la componente Zk de la intensidad del campo electrico va a contribuira la intensidad total del campo en M, luego,

d Ez = dEcos =sZsdds

40(Z2 + s2)3

2

kcomo, s = As, ademas si cos =

ZZ2+s2

dEz =

As2Zdds

40(Z2 + s2)32k

Para hallar Ez hay que sumar todas las contribuciones diferenciales, entonces:

Ez =AZ

40

20

a0

s2dds

(Z2 + s2)3

2

=As

20

a0

s2ds

(Z2 + s2)3

2

(4.11)

integrando por partes, obtenemos:sea, u = s; dv = sds

(z2+s2)32

, luego:

udv = a0

s2

ds(Z2 + s2)

3

2

= uv vdu= s

(Z2 + s2)1

2

a

0

+ ln

s + (Z2 + s2)1

2

a0

entonces; la intensidad de campo electrico en un punto M del eje del disco es:

Ez =AZ

20ln

a + (Z2 + a2)

1

2

Z

a

(Z2 + a2)1

2

Problema 4.3Un hemisferio hueco de radio a esta cargado uniformemente sobre su superficie con unacarga total Q. Determine la intensidad del campo electrico en el centro de la esfera a lacual pertenece el hemisferio.



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Solucion:Q

oa

dQ

a

acos a

asen

a

dEZ

da

dE

Si tomamos un anillo de carga diferencial dQ, genera un campo electrico en el eje z, lascomponentes en el eje x y y se anulan, por el se obtiene a partir del resultado del problema

anterior(prob. del anillo), tenemos:

d Ez = dEcos kd Ez =

dQ(a cos )

40a3k

=(dQ)cos

40a2k (4.12)

sabiendo que;dQ = dS ; dl = ad;

luego calculando dQ: Si la carga por unidad de superficie =Q

2a2 ;Ahora;

dQ =

Q

2a2

(2a sen )(ad) = Q sen d (4.13)

luego; la ec.4.13 en la ec.4.12, se tiene:

d Ez =(Q sen d)cos

40a2k

=Q

40a2

2

0

sen (cos d)k=

Q

40a2

sen2

2

20

=Q

80a2k

por lo tanto, la intensidad del campo electrico en el centro de la esfera es: Ez =Q

80a2k

Problema 4.4La carga positiva Q esta distribuida uniformemente alrededor de un semicrculo de radio

a (Figura). Halle el campo electrico (magnitud y direccion) en el centro de curvatura P.



20/91


Solucion:

X

Y

q

dq

dqQ

aPq

dE

las componentes en la direccion

i se anula, luego se tiene:

d E = dEsen (j)= k

dq

r2sen (j) (4.14)

sabiendo que; = Qa

y ademas dE = k dla2

=k da

; ahora en la ec.4.14, tenemos:

dEy = dEsen

=k sen

ad

Ey =2k

a 2

0 sen d

=2k

a( cos )|

2

0

=2k

a

cos(

2) + cos(0)

=

2k

a

=2kQ

a2

por consiguiente el campo electrico en el centro de curvatura P es:

Ey =2kQ

a2j



21/91

Captulo 5

Ley de Gauss

5.1. Flujo ElectricoConsideremos cierto campo vectorial E(r) en el espacio, y en ese espacio cierta su-

perficie cerrada S arbitraria. Podemos definir el flujo de E a traves de esa superficiecomo:

E =

S

E dS =

Ecos dS (5.1)

Se define el flujo electrico de un campo electrico uniforme como el producto de la magnituddel campo E por la superficie S; es decir:

E = ES (5.2)

La unidad SI de flujo electrico es 1 N m2/C

Observaciones:

1. superficie de frente al campo electrico E y S el angulo entre E y S es = 0, entoncesel flujo E = E S = ES.

2. superficie inclinada respecto a la orientacion de cara en un angulo , el angulo entreE y S es ,entonces E = E S = EScos .

3. la superficie presenta su borde al campo electrico E y S perpendiculares, el angulo

entre E y S es = 90o, entonces el flujo E = E S = EScos90o = 0.4. podemos representar la direccion de un vector area S, mediante un vector unitarion perpendicular al area; S perpendicular n significa normal, entonces: S = Sn.

Si sucede, si el E no es uniforme, sino que varia de un punto a otro en el area S, o si S esparte de una superficie curva; En tales casos se divide S en muchos elementos pequenosdS, cada una de los cuales tiene un vector unitario n perpendicular a el y un vectorarea dS = ndS, se calcula el flujo electrico a traves de cada elemento y se integran losresultados para obtener el flujo total, as:

E = S E dS definicion de flujo electrico (5.3)15


22/91

5. Ley de Gauss 16

A esto se le llama la integral de superficie de E dS.

5.2. Ley de GaussLa ley de Gauss establece que el flujo electrico total de cualquier superficie cerra-

da(una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga electricatotal(neta)dentro de la superficie.

E =

E dS = q

o(5.4)

La ecuacion 5.4 es valida para una superficie de cualquier forma o tamano, con la condi-cion de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q.

Supongase que la superficie encierra no solo una carga puntual q, sino varias cargasq1, q2,... El campo electrico total(resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial

de los campos E de las cargas individuales. Sea Qenc la carga total encerrada por lasuperficie:Qenc = q1 + q2 + q3..., sea ademas E el campo total en la posesion del elementode area superficial dS, y sea E su componente perpendicular al plano de ese elemento(esdecir, paralelo a dS). En estas condiciones se puede escribir una ecuacion como la ecuacion(5.4) con respecto a cada carga y su campo correspondiente y sumar los resultados. Alhacerlo, se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:

E = E dS =Qenc

oley de Gauss (5.5)

El flujo total a traves de una superficie cerrada es igual a la carga electrica total(neta)presente en el interior de la superficie, dividida entre o.

Observaciones: Hemos visto que hay una relacion entre la cantidad de carga neta enel interior de una superficie cerrada y el flujo electrico a traves de una superficie, hemoshallado que:

1. El hecho de que haya o no un flujo electrico saliente o entrante neto a traves de unasuperficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.

2. Las cargas que estan afuera de la superficie no proporcionan un flujo electrico netoa traves de la superficie.



23/91

5. Ley de Gauss 17

5.2.1. Aplicaciones de la ley de Gauss

Sea q una carga puntual situada en el centro de una esfera; el flujo del campoelectrico a traves de esta superficie, es:

q r

ds

E

E =

E dS

=

Ecos dS

=

EdS = ES

sabiendo que S = 4r2, superficie de la esfera, ademas E = kq/r2, entonces se tiene:

= kq

r2 4r

2

= q4or2

4r2 E = q

o(Nm2/C)

Para una carga q, que esta en superficie cerrada arbitraria, el flujo, es:

q

r

ds

E

q

ds ds

ds

dsq

ds =dsCos q

dW

E =

E dS =

Ecos dS

=

k

q

r2cos dS

= kq cos r2 dSA r t u r o F l o r e s C o n d o r i


24/91

5. Ley de Gauss 18

sabiendo que: d = cos r2

dS, entonces se tiene:

= kq d= kq (4) E = q

o(N m2/C).

Para una carga q, que esta fuera de una superficie cerrada, el flujo, es:

r1 r2

ds1

ds2

q2

q1

E2

q

s1 s

2

E =

E dS

=

S1

E1 dS1 +S2

E2 dS2

= S1 E1 cos dS1 + S2 E2 cos 2dS2si, = 1, entonces:

E =

S1

E1 cos( 1)dS1 +S2

E2 cos 2dS2

= S1

E1 cos 1dS1 +

S2

E2 cos 2dS2

= S1

kq

r12cos 1dS1 +

S2

kq

r22cos 2dS2

=

kq S1

cos 1dS1

r12

+ kq S2cos 2dS2

r22

= kqS1

d1 + kq

S2

d2

E = 0

5.3. Problemas ResueltosProblema 5.1Una varilla de longitud 2L, tiene una densidad de carga uniforme . Determine el campoelectrico(por el metodo de Gauss) en el punto P a una distancia R a lo largo de la

mediatriz.



25/91

5. Ley de Gauss 19

Solucion:

R

s2

ds1

ds2

E1

E2

ds1=-

dsz

ds3

E3

Rl

La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.Calculo del campo electrico:

Suponemos el campo electrico con la siguiente formaE(r) = E(R)R con R el radio delas coordenadas cilndricas. La Ley de Gauss nos dice:

E =

E dS

=

S1

E1 dS1 +S2

E2 dS2 +S3

E3 dS3

por simetra, laS1

E1 dS1 yS2

E2 dS2 se anulan, entonces se tiene:

= S3 E3 dS3 = E3 dS3= E3S3 = E3(2R)(2L)

E = 4RLE3 = Qo

E3 =Q

4RLo= 2k

Q

2RL=

2k

R

E =2k

RR

Problema 5.2Determinar el campo electrico de una lamina plana infinita cargada con una densidadsuperficial uniforme.



26/91

5. Ley de Gauss 20

Q

dds

3

ds1 E1

s1

s2

ds2E2

s3

A

Solucion:La figura muestra la seccion del plano que define el cilindro al atravesarlo.Calculo del campo electrico.

Suponemos el campo electrico con la siguiente forma:

E(r) =

E+z ; Z > 0Ez ; Z < 0 (5.6)

La Ley de Gauss nos dice:

E =

E dS = Qenc

o

La carga encerrada, en este caso, corresponde a A, luego

E = E dS=

S1

E1 dS1 +S2

E2 dS2 +S3

E3 dS3

= 2

tapas

Ez (z) dS+ manto

Ez RdS= 2SE =

Q

o

E = Q2So

E =

2o

Problema 5.3Un carga de10,0C localizado en el origen de las coordenadas de un sistema cartesianoesta rodeado de una esfera del nicho de poco condctor de radio 10,0cm. Un taladro conun radio de1,00mm es alineado a lo largo del eje z , y un hueco es taladrado en la esfera.Calcule el flujo electrico a traves del hueco.

Solucion:

E,hueco = E Ahueco



27/91

5. Ley de Gauss 21

luego se obtiene:

E,hueco = kQ

R2r

2

=

(8,99 109 N m2/C2)(10,0 106C)

(0,100m)2

1,00 1032= 28,2 N m2/C.

entonces, el flujo electrico a traves del hueco es: E,hueco = 28,2 N m2/C.

Problema 5.4Un cargaQ esta ubicado en el eje de un disco de radio R en una distanciab del plano deldisco (en la figura). Demostrar que si un cuarto del flujo electrico del carga atraviesa el

disco, cuando R = 3b.

b

Q

R

Solucion:

s

b

R

ds

q

q

El flujo total a traves de una superficie incluyendo la carga Q es Q/o. El flujo a travesdel disco es:

disco =

E dS



28/91

5. Ley de Gauss 22

Donde la integracion cubre el area del disco. Debemos evaluar este integral y debemoscolocar eso igual a 1

4Q/o para encontrar como se relacionan la b y R. En la figura, tomar

dS el area de un anillo anular de s del radio y los ds de ancho. El flujo a traves de dS es:

E dS = EdScos = E(2sds)cos

La magnitud del campo electrico tiene el mismo valor en todos los puntos dentro del anilloanular, entonces

E =1

4o

Q

r2=

1

4o

Q

s2 + b2y cos =

b

r=

b

(s2 + b2)1/2

Integrando de s = 0 para s = R para hacer el que flujo pase a traves del disco entero.

E,disco = Qb2oR0

sds(s2 + b2)3/2

=Qb

2o

s2 + b21/2R

0

=Qb

2o

1 b

(R2 + b2)1/2

El flujo a traves del disco es igual a Q/4o provisto queb

(R2+b2)1/2= 1

2.

Esto queda satisfecho si R =

3b.



29/91

Captulo 6

Potencial Electrico

Al desplazarse las cargas por un campo electrostatico, las fuerzas aplicadas a las cargas

realizan un trabajo. Las fuerzas del campo electrostatico poseen la propiedad de queel trabajo realizado por ellas al trasladar una carga no depende de la trayectoria dedesplazamiento de la carga, sino que depende solo de la magnitud de la carga y de lasposesiones inicial y final de a misma. Esta propiedad del campo permite caracterizarcualquier punto del mismo por medio de una funcion especial denominada potencial enun punto del campo.En otras palabras, cuando una partcula con carga se desplaza en un campo electrico, elcampo ejerce una fuerza que puede realizar trabajo sobre la partcula.

6.1. Energa potencial electricaPara determinar energa potencial de una carga de un campo electrico arbitrario,

iniciemos con un repaso de algunos puntos fundamentales.

Primero, cuando una fuerza F actua sobre una partcula que se desplaza del punto aal punto b, el trabajo Wab realizado por la fuerza esta dado por una integral de linea:

Wab =ba

F dl =ba

Fcos dl (trabajo realizado por una fuerza) (6.1)

Donde:

dl es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la partcula y

es el angulo entre F y dl en cada punto a lo largo de la trayectoria.

Segundo, si la fuerza F es conservativa, el trabajo realizado por F siempre se puedeexpresar en terminos de una energa potencial U. Cuando la partcula se desplaza deun punto donde la energa potencial es Ua a un punto donde es Ub, el cambio de energa

23


30/91

6. Potencial Electrico 24

potencial es U = Ub Ua y el trabajo Wab realizado por la fuerza es:

Wab =

b

a

F

dl

=

ba

qo E dl si F = qo E= Ua Ub = (Ub Ua) = U (6.2)

dl

q0

EE

b

Es decir,

Ub Ua = qoba

E dl

U = qoba

E dl (6.3)

Energa potencial para dos cargas puntualesConsideremos en primer termino un desplazamiento a lo largo de la linea radial de la

figura, del punto a al punto b.

+ qq q0

rqr

rb

bE

La fuerza sobre q0 esta dada por la ley de Coulomb y su componente radial es:

Fr =1

4o

qq0r2

(6.4)

Si q y q0 tienen el mismo signo(+ o -), la fuerza de repulsion y Fr es positiva; si las doscargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atraccion y Fr es negativa. La fuerza no esconstante durante el desplazamiento y es necesario integrar para calcular el trabajo Wabrealizado sobre q0 por esta fuerza conforme q0 se desplaza de a a b. Resulta que:

Wab =

rb

ra

Frdr = rb

ra

1

4o

qq0

r2

dr =qq0

4o 1

ra

1

rb (6.5)



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El trabajo realizado por la fuerza electrica en el caso de esta trayectoria en particulardepende solo de los puntos extremos.De hecho, el trabajo es el mismo en todas las trayectorias posibles de a a b. Para probarlo,

consideremos un desplazamiento mas general en la figura,

+ q

q0

a

b

E

F

f

r

rb

dr

ra

dl

i{ds

en el que a y b no se encuentran sobre la misma linea radial. De la ecuaci on (6.1), eltrabajo realizado sobre q0 durante este desplazamiento esta dado por:

Wab =rbra

Fcos dl =

rbra

1

4o

qq0r2

cos dl

Pero la figura muestra que cos dl = dr. Es decir, el trabajo realizado durante un de-

splazamiento pequeno dl depende unicamente del cambio dr de la distancia r entre lascargas, que es la componente radial del desplazamiento.Vemos que las ecuaciones (6.2) y (6.5) son consistentes si definimos qq0/4ora como laenerga potencial Ua cuando q0 esta en el punto a, a una distancia ra de q, y definimosqq0/4orb como la energa potencial Ub cuando q0 esta en el punto b, a una distancia rbdesde q. Por tanto, la energa potencial U cuando la carga de prueba q0 esta a cualquierdistancia r de la carga q es:

U =1

4o

qq0r

(energa potencial electrica de dos cargas q y q0) (6.6)

6.2. Potencial electrico y Diferencia de potenciales

Un potencial es energa potencial por unidad de carga. Se define el potencial V encualquier punto de un campo electrico como la energa potencial U por unidad de cargaasociada con una carga de prueba q0 en ese punto:

V =U

qoo U = q0V (6.7)

La energa potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una cantidadescalar. Sus unidades se hallan, con base en la ecuacion(6.7), dividiendo las unidades de



32/91


energa entre las de carga. La unidad SI de potencial, llamada un volt(1V), es igual a 1joule por coulomb:

1V = 1volt = 1J/C = 1loule/coulomb

Expresemos la expresion (6.2), que iguala el trabajo realizado por la fuerza electricadurante un desplazamiento de a a b con la cantidad U = (Ub Ua), sobre una basede trabajo por unidad de carga. Al dividir esta ecuacion entre q0 se obtiene:

Wabq0

= Uq0

=

Ubq0

Uaq0

= (Vb Va) = Va Vb (6.8)

Donde:

Va = Ua/q0 es la energa potencial por unidad de carga en el punto a.

Va y Vb llamamos el potencial en el punto a y potencial en el punto b, respecti-vamente.

A la diferencia Va Vb se le llama el potencial de a con respecto a b; a veces seabrevia esta diferencia como Vab = Va Vb. A esto se le suele llamar la diferenciade potencial entre a y b.

La ecuacion (6.8) establece, por tanto, que Vab, el potencial de a con respecto a b,es igual al trabajo realizado por la fuerza electrica cuando una UNIDAD decarga se desplaza de a a b.

6.2.1. Potencial electrico debido a una carga puntual

Considerando una carga puntual positiva aislada q,esta carga produce un campoelectrico E que apunta radialmente hacia afuera de la carga. Para determinar el potencialelectrico V en un punto del campo localizado a una distancia r de la carga, empezamoscon la expresion general de la diferencia de potenciales.

dr

a

bq

rdl

V

E



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Vb Va = ba

E dl

= b

a Ecos dl ; E =

kq

r2

= kqba

cos dl

r2

= kqba

dr

r2; dr = cos dl

= kq1

r

rbra

Vb Va = kqrb

kqra

Si el punto a esta en el infinito; entonces

Vb = kq

rb;(potencial en el punto b)

Si b es un punto arbitrario, en general el potencial debido a una carga puntual, a unadistancia r es:

V = kq

r=

1

4o

q

r(6.9)

Donde:

r es la distancia desde la carga puntual q al punto en el que se evalua el potencial.

6.2.2. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales

Supongase que el campo E en el que se desplaza la carga q0 se debe a varias cargaspuntuales q1, q2, q3,... a distancias r1, r2, r3,... de q0, como en la figura.

q1

q2

qn

r1

r2

rn

q0

a

El campo electrico total en cada punto es la suma vectorial de los campos debidosa las cargas individuales, y el trabajo total que se realiza sobre q0 durante cualquierdesplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas individuales. De la ecuaci on(6.6) se concluye que la energa potencial asociada con la carga de prueba q0 en el puntoa de la figura, es la suma algebraica (no la suma vectorial)

U =q0

40 q1

r1+

q2

r2+ ... = q040 i

qi

ri(6.10)



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Para hallar el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales, se divide la ecuaci onanterior entre q0:

V =U

q0=

1

40 iqi

ri(6.11)

En esta expresion. donde:

ri es la distancia de la iesima carga, qi, al punto que se evalua V.

6.2.3. potencial debido a una distribucion continua de carga

Cuando se tiene una distribucion continua de carga a lo largo de una linea, en unasuperficie o en todo un volumen, se divide la carga en elementos dq, y la suma de laecuacion (6.11) se transforma en una integral:

V =1

40

dqr

(6.12)

Donde:

r es la distancia del elemento de carga dq al punto del campo donde se evalua V.

6.3. Problemas ResueltosProblema 6.1

Una varilla delgada de longitud L, colocada en el ejex, tiene una cargaQ y esta distribuidauniformemente. Calcule el potencial a una distancia R en los puntos A,B,C.

R R

oQ

RX

C

A B

Solucion:

i) En el punto A:

R

oQ

X

A

r

dV

x

dx



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Sabiendo que:

dV = kdQ

r

(6.13)

Si, = dQ/dx de aqu dQ = dx a demas r =

x2 + R2, luego

dV = kdx

x2 + R2

integrando se tiene:

V = k

L0

dxx2 + R2

= k

ln

x +

x2 + R2

L

0

= k lnL + L2 + R2 ln R V = k ln L +

L2 + R2

R

ii) En el punto B:

rR

Q

dVB

xdx

Analogamente, se obtiene:

Si dV = kdQ

r, entonces :

dV = kdx

x2 + R2

V = 2k L/2

0

dx

x2 + R2= 2k

ln

x +

x2 + R2L/2

0

= 2k

ln

L

2+

L2

4+ R2

ln R

V = 2k ln L +

L2 + 4R2

2R



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iii) En el punto C

X

r

dx

L dV

C

R

x

dV = kdQ

r(6.14)

sabiendo que: dQ = dx ademas, de la figura: r = L+Rx. Reemplazando en la ecuacion(6.14) se obtiene:

dV = kdx

L + R

x

V = kL0

dxL + R x

sea u = L + R x entonces du = dx, luego se tiene:

= kRL+R

du

u

= k [ln u]RL+R= k [ln R ln (L + R)]

V = k lnL + R

R

Problema 6.2Se tiene una placa de espesor despreciable, la cual posee una distribuci on continua decarga , de radio a y que tiene un angulo central como se indica en la figura. Determineel potencial en el punto 0.

Q

a

O

q

Solucion:

dr

dr

dQda

a

rdV

o



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Sabiendo que, dV = kdQ

r(6.15)

Luego, si dQ = ds, de la figura se tiene: ds = rddr, entonces

dV = krddr

r

V = k

0

d

a0

dr

V = ka

por lo tanto, el potencial en el punto 0 es: V = ka

Problema 6.3

Una esfera pequena con una masa de1,50g cuelga de un cordel entre dos placas verticalesparalelas separadas por una distancia de5,0cm. Las placas son aisladoras y tienen densi-dades de carga superficiales uniformes y+. La carga de la esfera esq = 8,90106C.Que diferencia de potencial entre las placas hara que el cordel adopte un angulo de 30o

con respecto a la vertical (figura)?.

Solucion:

5.00cm

30

q

La fuerza de equilibrio en las direcciones x y y es:

Fe = mg tan

= 1,50 103kg 9,8m/s

2

tan30o

= 0,0085N.

Sabiendo que:

Fe = Eq =V q

d

Si V = Ed, de aqu: E = V /d.

V = F dq

=(0,0085N) (0,050m)

8,90 106CV = 47,8V



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Problema 6.4Una hoja infinita con una densidad de carga superficie de 25,0 nC/m2 esta en el planoyz, atraviesa por el origen, y esta en un potencial de 1,00 kV en el punto y = 0, z = 0.

Un alambre largo con una densidad lineal de carga de 80,0 nC/m paralelo al eje y eintersecta el eje de las abscisas en x = 3,00 m. (A) Determine, en funcion de x, elpotencial a lo largo del eje de las abscisas entre alambre y hoja. (B) Cual es la energapotencial de un 2,00 nC carga colocado en x = 0,800 m?.

Solucion:La hoja crea un campo E1 =

20i para x > 0. A lo largo del eje de las abscisas, la lnea

de cargo crea un campo:

E2 =

2r0=

20 (3,00 x)

i

para x3.00m

El campo total a lo largo del eje x en la region 0 < x < 3,00m, es entonces:

E = E1 + E2 =

20

20 (3,00 x)i

(a)El potencial en el punto x, luego

V V0 = x0

E idx = x0

20

20 (3,00 x)

dx

V = V0 x20

20

ln

1 x

3,00

= 1,00kV (25,0 109C/m2) x

2 (8,85 1012C2/N m2) 80,0 109C/m

2 (8,85 1012C2/N m2) ln1 x

3,00

V = 1,00kV

1,41kV

m

x (1,44kV) ln

1,00 x

3,00m

(b) En x = 0,800m, V = 316V, si tiene:

U = QV =

2,00 109C (316J/C) = 633 107J U = 633 nJ

Problema 6.5Un alambre de longitud finita que tiene una densidad lineal uniforme de la cargo le sondoblado en la forma mostrado en la figura. Encuentre el potencial electrico en el puntoO.

o

R

2R 2R

Solucion:

V = k cargatotal dqr (6.16)A r t u r o F l o r e s C o n d o r i


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De la figura se tiene:

V = k R

3R

dx

x+ k semicirculo

ds

R

+ k 3R

R

dx

x

= k ln (x)|R3R +k

RR + k ln x|3R R

= k ln 3RR

+ k + k ln 3

V = k ( + 2 ln 3)

por consiguiente, el potencial electrico en el punto O, es: V = k ( + 2 ln 3).



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Captulo 7

Capacitancia y Capacitores

Dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vaco) forman un capac-

itor o condensador (Figura). Cada conductor tiene inicialmente una carga neta de cero yse transfieren electrones de un conductor al otro; a esto se le denomina cargar el capacitor.La experiencia nos dice que diferentes conductores, habiendo sido cargados de la mismacantidad de electricidad, adquieren distintos potenciales. Esto indica que se diferencianunos de otros por la propiedad fsica que caracteriza una magnitud denominada capacidad.

+Q

-Q

Conductora

Conductorb

El campo electrico en cualquier punto de la region entre los conductores es proporcional ala magnitud Q de la carga de cada conductor. Se sigue que la diferencia de potencial Vabentre los conductores tambien es proporcional a Q. Sin embargo, la relacion de carga re-specto a la diferencia de potencial no cambia. Esta relacion se conoce como capacitanciaC del capacitor:

C =Q

Vab(definicion de capacitancia) (7.1)

La unidad SI de la capacitancia es un farad (1F). De acuerdo con la ecuacion (7.1), unfarad es igual a un coulomb por volt (1 C/V):

1F = 1farad = 1C/V = 1coulomb/volt

Cuando mayor es la capacitancia C de un capacitor, tanto mas grande es la magnitud Q de

la carga en cualquiera de los conductores con una diferencia de potencial determinada Vab

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7. Capacitancia y Capacitores 35

y, en consecuencia, es mayor la cantidad de energa almacenada. As que, la capacitanciaes una medida del alcance de un capacitor para almacenar energa.

7.1. Capacitores en serie y en paralelo

Para obtener los valores necesarios se combinan capacitores. Son muchas las combina-ciones posibles, pero las mas sencillas son la conexion en serie y la conexion en paralelo.

7.1.1. Capacitores en serie

Se asocia los capacitores (usaremos n-capacitores), como se indica en la figura. Seaplica una diferencial de potencial entre los puntos a y b. Se carga los capacitores, porestar en serie la carga es la misma en todo ellos.

C1

V1

C2

V2

C3

V3

Cn

Vn

V- +

-Q +Q

V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn

=Q

C1+

Q

C2+

Q

C3+ ... +

Q

Cn

=

1

C1+

1

C2+

1

C3+ ... +

1

Cn

Q

V =

1

Ceq

Q ; Ceq =

Q

V(7.2)

La capacitancia equivalente Ceq de la combinacion en serie se define como la capaci-

tancia de un solo capacitor cuya carga Q es la misma que la de la combinacion, cuandola diferencia de potencial V es la misma, entonces se tiene:

1

Ceq=

1

C1+

1

C2+

1

C3+ ... +

1

Cn(capacitores en serie) (7.3)

El recproco de la capacitancia equivalente de una combinacion en serie es igual a la sumade los recprocos de las capacitancias individuales.



42/91


7.1.2. Capacitores en paralelo

El arreglo que se muestra en la figura, se conoce como una conexion en paralelo.

C1V-

+

Q1

C2Q2

C3Q3

Cn

Nuevamente, se aplica una diferencial de potencial V para cargar los capacitores. Porestar en paralelo, la diferencial de potencial de todos los capacitores individuales es lamisma V.

Q = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn

= C1V + C2V + C3V + ... + CnV

= (C1 + C2 + C3 + ... + Cn) V

Q = CeqV (7.4)

De igual modo se demuestra que, con respecto a cualquier numero de capacitores enparalelo, es:

Ceq = C1 + C2 + C3 + ... + Cn (capacitores en paralelo) (7.5)

La capacitancia equivalente de una combinacion en paralelo es igual a la suma de lascapacitancias individuales.

7.2. Energa Almacenada en un Capacitor

Las aplicaciones mas importantes de los capacitores dependen de su alcance paraalmacenar energa. La energa potencial electrica almacenada en un capacitor cargado essimplemente igual a la cantidad de trabajo que se necesit o para cargarlo, es decir, paraseparar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes. Cuando se descarga el

capacitor, esta energa almacenada se recupera en forma de trabajo realizado por fuerzaselectricas.La energa potencial U de un capacitor cargado se halla calculando el trabajo W que senecesito para cargarlo. Supongase que al terminar de cargar el capacitor la carga final es Qy la diferencia de potencial final es V. De acuerdo con la ecuacion (7.1), estas cantidadesse relacionan como sigue:

V =Q

C

Sean q y v la carga y la diferencia de potencial, respectivamente, en una etapa intermedia

del proceso de carga; entonces v = q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se requiere



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para transferir un elemento de carga adicional dq es:

dW = vdq =qdq

CEl trabajo total W que se necesita para aumentar la carga q del capacitor de cero a unvalor final Q es:

W =

W0

dW =1

C

Q0

qdq =Q2

2C(7.6)

Si se define como cero la energa potencial de un capacitor sin carga, entonces W de laecuacion (7.6) es igual a la energa potencial U del capacitor cargado. La carga almacenadafinal es Q = CV; por tanto, se puede expresar U (que es igual a W) como:

U =Q2

2C=

1

2CV2 =

1

2QV (7.7)

La forma final de la ecuacion (7.7) U = 12

QV, muestra que el trabajo total que se requierepara cargar el capacitor es igual a la carga total multiplicada por la diferencia de potencialpromrdio 1

2V durante el proceso de carga.

7.3. Problemas ResueltosProblema 7.1Cierto capacitor consiste en dos cilindros coaxiales huecos de hierro, uno dentro del otro.

El cilindro interior tiene una carga negativa, y el exterior, carga positiva; la magnitudde la carga en cada uno es de 10P c. El radio del cilindro interior es de 0,50mm, el delcilindro exterior, de 5,00mm, y la longitud de cada cilindro es de 18cm. a)Cual es lacapacitancia? b)Que diferencia de potencial es necesario aplicar para tener estas cargasen los cilindros?

Solucion:ds

L

rb

r

ra

-Q

+Q '0

Tomemos una superficie Gaussiana de radio r y de longitud L, para hallar el campoelectrico en la region: ra < r < rb, se tiene:

E dS =Qenc

0

(7.8)



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De la figura, se tiene:

E(2rL) =

Q

0E =

Q

20Lr

Luego,

Vab = rbra

E dr = rbra

Qdr

20Lr

= Q20L

ln

rbra

Vba =

Q

20L ln rbraPor definicion de capacitancia, se tiene:a)

C =Q

Vba=

20L

lnba

C = (0,18m) 20

ln5,000,05

= 4,35 10

12

F

b)

V =Q

C=

10,0 1012C4,35 1012F

= 2,30V

Problema 7.2Un capacitor esferico consta de dos corazas conductoras esfericas concentricas separadaspor un vacio. La esfera interior tiene un radio de 15,0cm y la capacitancia es de 116pF.

a)Cual es el radio de la esfera exterior? b)si la diferencia de potencial entre las dos esferases de 220V, Cual es la magnitud de la carga de cada esfera?



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Solucion:

rb

ra

r

ds

E

'0

Q

+Q

--- -

+ ++

+

+

+

Hallemos primero el campo entre las placas, luego el potencial entre las placas, tenemos:

E dS = Qenc0

E4r2 = Q0

E = Q40r2

Ahora, de la figura:

Vab = rbra

E dr = rbra

Edr cos

= rbra

Q40

drr2

=Q (rb ra)

40rarb.

Luego, aplicando la definicion de capacitancia, se tiene:a)

C =Q

Vab=

40rarb(rb ra) ; Si k =

1

40 kC rb kC ra = rarb

rb = kC rakC ra

Reemplazando los valores, se tiene:

rb =k (116 1012F) (0,15m)k (116 1012F) 0,15m

= 0,175m

b) Si V = 220V,entonces:

Q = CV

Q = 116 1012F (220V) = 2,55 108C.A r t u r o F l o r e s C o n d o r i


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Problema 7.3En la figura, cada capacitor tiene C = 4,0F y V = +28V. Calcule a)la carga de cadacapacitor, b)la diferencia de potencial entre los bornes de cada capacitor; c)la diferencia

de potencial entre los puntos a y d.

a

b

d

C1

C2

C3

C4

Solucion:a) Sabiendo que la capacitancia equivalente de la combinacion de capacitores es:

1

Ceq=

11C1

+ 1C2

+ C3

+1

C4

=1

(2,00F + 4,0F)+

1

4,0F= 240F.

Luego,

Q12 + Q3 = Q4 = Qtotal = CeqQ

CeqQ = 2,40 106F (28,0V) = 6,72 105CY ademas:

2Q12 = Q3 Q12 = Qtotal3

=6,72 105C

3= 2,24 105C

y Q3 = 4,48 105C ; pero tambien,Q1 = Q2 = Q12 = 2,24 105C.

b)

V1 =Q1C1

=2,24 105C4,00 106F = 5,60V = V2

V3 =Q3Q3

=4,48 105C4,00 106F = 11,2V

V4 =Q4Q4

=6,72 105

4,00 106F = 16,8V

c)

Vad = Vab V4 = 248V 16,8V = 11,2 V.



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Problema 7.4Un capacitor de 4F y otro de 6F se conectan en paralelo entre los bornes de una tomade corriente de 600V. a)halle la carga de cada capacitor y el voltaje entre los bornes de

cada uno. b)Los capacitores cargados se desconectan de toma de corriente y uno de otro, y luego se conectan de nuevo uno con el otro con los bornes de signo diferente justos.Halle la carga final y el voltaje entre los bornes de cada uno.

Solucion:a) Si,

Ceq = 4,00F + 6,00F = 10,00F

y Qtotal = CeqV = (10,00F)(660V) = 6,6 103C

El voltaje sobre cada uno es 660, desde que estan dentro paralelamente. As:

Q1 = C1V1 = (4,00F)(660V) = 2,64 103CQ2 = C2V2 = (6,00F)(660V) = 3,96 103C

b)

Qtotal = 3,96 103C 2,64 103C= 1,32 103C y ademas

Ceq = 10,00F, As es que el voltaje es:

V =Q

Ceq

=1,32 103C

10,00F= 132V

Ahora, los nuevos cambios, se tiene:

Q1 = C1V1 = (4,00F)(132V) = 5,28 104CQ2 = C2V2 = (6,00F)(132V) = 7,92

104C

Problema 7.5Considere dos longitudes, paralelos, y opuestamente cargados alambres de radiod consus centros separados por una distancia D. Asumiendo la carga que es distribuido uni-formemente en la superficie de cada alambre, muestre que la capacitancia por unidad delongitud de este par de alambres es:

C

=

0

ln Ddd



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Captulo 8

Corriente, Resistencia y Circuitos deCorriente Continua

8.1. Corriente Electrica

Una corriente es todo movimiento de carga de una region a otra. Si a traves de unasuperficie imaginaria se traslada una carga total distinta de cero, se dice que a traves deesta superficie pasa corriente electrica. La corriente se produce a condicion de que dentrodel cuerpo exista un campo electrico.

Definimos la corriente a traves del area de seccion transversal A como la carga netaque fluye a traves del area por unidad de tiempo.Esta magnitud se llama intensidad de lacorriente. Por consiguiente, si una carga neta dQ fluye a traves de un area en un tiempodt, la intensidad de la corriente I a traves del area es:

I =dQ

dt(definicion de corriente) (8.1)

++

+

+

++

+

+

+

+

+

++

A

vdt

dl

L

E

VA

VB

Sea L la longitud de una porcion conductor metalico, en el cual esta presente un campoelectrico E, gracias a la diferencia de potencial (VBA = VB VA) los electrones se muevende izquierda a derecha con una velocidad v.En un tiempo dt cada electron avanza una distancia dl = vdt en este tiempo, el numero

de electrones que cruzan el area A, es el numero contenido es, una porcion del conductor

43


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8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua 44

de longitud dl, es decir de volumen dV = vAdt.Si n es el numero de electrones por unidad de volumen (concentracion), entonces el numerode electrones en el elemento de volumen dV o el numero de electrones que cruzan el area

en el tiempo dt es:

N = ndV = nvAdt

Si e es la carga de cada electron, entonces la carga presente en el elemento de volumen dedV es dQ; es decir,

dQ = Ne = nevAdt.

Y la corriente es

I =dQ

dt = n|q|vA (expresion general de la corriente) (8.2)Donde q es la carga de la partcula.

La corriente por unidad de area de seccion transversal se denomina la densidad decorriente J:

J =I

A= nev (densidad de corriente) (8.3)

La densidad de corriente es en general una magnitud vectorial J que incluye la direccion

de la velocidad de deriva:

J = nev (densidad de corriente vectorial) (8.4)

Para una partcula:

J = nev (8.5)

8.2. Resistividad y la Ley de Ohm

8.2.1. ResistividadDefinimos la resistividad de un material como la relacion de las magnitudes del

campo electrico y de la densidad de corriente:

=E

J(definicion de resistividad) (8.6)

De acuerdo con la ecuacion (8.6), las unidades de son (V /m)/(A/m2) = V m/A.



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8.2.2. Ley de Ohm

Para mantener corriente en un conductor debe existir un campo electrico E o ungradiente de potencial V dentro del conductor; es decir,

E = gradV (En una direccion)E = dV

dx

Sabiendo, que:

J = E

Donde, es la conductividad del conductor, luego:

J = dVdxI

A=

dV

dx

I = A dV

dx

I

L0

dx = AVBVA

dV

IL = A (VA VB)

I = AL V (8.7)Donde:

AL

se llama conductancia del conductor.

La inversa de la conductancia se denomina Resistencia del conductor se denotageneralmente con la letra R

R =L

A(Resistencia del conductor) (8.8)

Se ve que la resistencia R de un conductor en particular esta relacionada con la resistividad

de un material como sigue:

R =L

Arelacion entre resistencia y resistividad (8.9)

Si es constante, como en el caso de los materiales ohmicos, entonces tambien lo es R.

La ecuacionV = IR (8.10)

suele identificarse con la ley de Ohm, pero es importante que el verdadero contenido dela ley de Ohm es la proporcionalidad directa de V con respecto a I o de J con respecto

a E. Cuando R es constante es correcto llamar ley de Ohm a esta relaci on.



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8.3. Fuerza electromotriz

Las fuentes de energa electrica que hacen que las cargas se muevan en los circuitos

electricos, historicamente, se han llamado fuentes de Fuerza Electromotriz en realidadson fuentes de energa y no de fuerza y para evitar el empleo de la palabra fuerza, confrecuencia se usan la palabra de F EM o f em. Cuando pensamos en las fuentes de f em,por lo general tenemos en mente a acumuladores, pero hay una variedades de fuentes deenerga electrica, tales como:

Un acumulador o una Batera que convierte energa electrica a una F EM.

Una celda solar convierte la energa solar en una F EM.

Un termopar produce un F EM, etc.

En general una fuente de F EM es cualquier dispositivo (una batera o generador) queproduce un campo electrico y por lo tanto puede originar el movimiento de las cargas enun circuito.

8.4. Resistores en serie y en paralelo

8.4.1. Resistores en serie

R1

V3

R R2 3

V V3 3

Rn

Vn

V+

-

I

Si los resistores estan en serie, como en la figura, la corriente I debe ser la misma en todoellos. Aplicando V = IR a cada resistor. La diferencia de potencial V entre los extremosde la combinacion en su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales,se tiene:

V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn

= IR1 + IR2 + IR3 + ... + IRn

= I(R1 + R2 + R3 + ... + Rn)

V = IReq (8.11)

Req = R1 + R2 + R3 + ... + Rn (resistores en serie) (8.12)

La resistencia equivalente de cualquier numero de resistores en serie es igual a la suma

de sus resistencias individuales.



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8.4.2. Resistores en paralelo

V+

-

I

R1

R2

R3

Rn

Si los resistores estan en paralelo, como en la figura, la corriente a traves de cada resistorno es necesariamente la misma. Pero la diferencia de potencial entre los bornes de cadaresistor debe ser la misma e igual a Vab. Sean las n-corrientes I1, I2I,3 .... Entonces dadoque I = V /R.

I = I1 + I2 + I3 + ... + In

=V

R1+

V

R2+

V

R3+ ... +

V

Rn

= V

1

R1+

1

R2+

1

R3+ ... +

1

Rn

I = V

1

Req

(8.13)

1

Req=

1

R1+

1

R2+

1

R3+ ... +

1

Rn(resistores en paralelo) (8.14)

En el caso de cualquier numero de resistores en paralelo, el recproco de la resistenciaequivalente es igual a la suma de los recprocos de sus resistencias individuales.

8.5. Reglas de Kirchoff

El calculo de los circuitos derivados se simplifica mucho si se utilizan las reglas oLeyes enunciados por Kirchoff. Estas reglas son dos. La primera de ellas se refiere a losnudos de un circuito. Se llama nudo el punto en el cual concurren mas de dos conductores.

La primera Regla de Kirchoff de las uniones dice que la suma algebraica de lascorrientes en cualquier union es cero:

i

Ii = 0 (8.15)

La segunda Regla de Kirchoff de las espiras dice que la suma algebraica de lasdiferencias de potenciales en cualquier espira o en una malla debe ser igual a cero. Esdecir:

i Vi = 0 (8.16)



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8.6. Circuito RC

En los circuitos que hemos analizado hasta aqu, hemos supuesto que todas las f em y

resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que todos los potenciales,corrientes y potencias tambien son independientes de tiempo. Pero en el simple acto decargar o descargar un capacitor nos topamos con una situacion en la que las corrientes,voltajes y potencias cambian con el tiempo.

8.6.1. Carga de un capacitor

i=0 q=0

a b c

+ -e S

R C

+ -

eS

i -q

a b cR C

+q

i

(a)Capacitorinicialmentesincarga

(b)Cargadelcapacitor

La figura muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como este, conun resistor y un capacitor en serie, se denomina circuito RC.

Inicialmente, el capacitor esta descargado (Fig.a); despues, la diferencia de potencialvbc entre los extremos es cero en cierto tiempo inicial t = 0 se cierra el interruptor paracompletar el circuito y permitir que la corriente alrededor de la malla comience a cargarel capacitor (Fig.b). La corriente inicial (t = 0) a traves del resistor, a la que llamaremosI0, esta dada por la ley de Ohm: I0 = vab/R = /R.

Sea q la carga del capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo tdespues de cerrar el interruptor. Asignaremos el sentido positivo a la corriente en corre-spondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor, como en lafigurab. Las diferencias de potencial instantaneas vab y vbc son:

vab = iR vbc =q

C

Utilizando estas en la regla de Kirchoff de las mallas, se obtiene:

iR qC

= 0 (8.17)

Pero,i = dq/dt, entonces

dq

dt+

1

RCq =

R(8.18)



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Teorema 8.6.1Supongamos que

dY

dx

+ p (x) Y = q (x) (8.19)

Esta definido en un intervalo I, entonces la solucion general de esta ecuacion es:

Y (x) =

C +

q (x) e

p(x)dxdx

e

p(x)dx (8.20)

DondeC es constante arbitraria.

Comparando: p(x) 1/RC q(x) /R Y (x) q(t), luego se tiene:

q (t) = C + R

e 1RC dtdt e 1RC dt

=

C +

R

e

tRC

dt

e

tRC

=C +

RRCe

tRC

e

tRC

q (t) = Ce tRC + C (8.21)

Analizando: En t = 0, q(t) = q(0) = 0 C = C, entonces

q (t) = CetRC

+ C= C

1 et/RC

Donde C = Q (carga total)

q (t) = Qf

1 et/RC (capacitor en carga) (8.22)Ahora, sabiendo que i = dq/dt, ademas de la ecuacion (8.22) se tiene:

i = Qet/RC

1RC

= Q

RCet/RC ; = Q/C

=

Ret/RC

i = I0et/RC (capacitor en carga) (8.23)



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8.6.2. Descarga de un capacitor

i=0

a b c

S

R C

S

i +q

a b cR C

-q

i

(a)Capacitorinicialmentecargado

(b)Descargadelcapacitor

-Q+Q00

Supongase ahora que, cuando el capacitor de la figuracb ya ha adquirido una carga Q0,

quitamos la batera del circuito RC y conectamos los puntos a y c a un interruptor abierto(Figda). En seguida cerramos el interruptor y en el mismo instante reajustamos nuestrocronometro a t = 0; en ese momento, q = Q0. Por lo que el capacitor se descarga a travesdel resistor, y su carga disminuye finalmente a cero.

Sean una vez mas i y q la corriente y la carga que varan con el tiempo, en ciertoinstante despues de efectuar la conexion. En la figuradb se asigna el mismo sentido positivoa la corriente. En estas condiciones la regla de Kirchoff de las mallas, se tiene, aunque con = 0; es decir,

q

C iR = 0 (8.24)En el tiempo t = 0, cuando q = Q0, la corriente inicial es I0 = Q/RC y ademasi = dq/dt ; () porque desminuye la corriente, tenemos:

q

C+

dr

dtR = 0

dq

dt+

1

RCq = 0

dq

q= 1

RCdt

qQ

dqq = 1RCt0 dtln q|qQ =

t

RC

q (t) = Q0et/RC (capacitor en descarga) (8.25)La corriente instantanea i es la derivada de esto con respecto al tiempo:

i = dqdt

= Q0et/RC

1RC

=

Q0RCe

t/RC

=

V

R et/RC



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i = I0et/RC (capacitor en descarga) (8.26)

8.7. Problemas ResueltosProblema 8.1Un alambre metalico de 12, se corta en tres pedazos iguales y luego se conectan losextremos para formar un nuevo alambre, cuya longitud igual a la tercera parte de lalongitud original. cual es la resistencia de este nuevo alambre?.

Solucion:Del problema, sabiendo que la resistencia del alambre es: R = L/A = 12.Luego la resistencia del nuevo alambre formado, cuando L = L/3 se tiene:

R = L/3

A=

1

3

L

ADe aqu, sea que R = 13

R; es decir,

A BA B

R

R

R

De la figura, tenemos la resistencia equivalente:

1

Req=

3

R

Req = 13

R =1

3

1

3R

=

1

9R

=12

9.

Problema 8.2Un alambre con resistencia de R se alarga hasta 1,25 veces su longitud original jalandolaa traves de pequeno agujero. Encuentre la resistencia del alambre despues de alargado.

Solucion:En primer lugar, el volumen del alambre es: V = AL, luego de alargar 1,25L del alambreoriginal, el volumen del alambre sera: V = A (1,25L), entonces la resistencia despues delalargado se tiene:

R = 1,25L

A(8.27)

Por la conservacion de la masa, se tiene:

V = V

AL = A (1,25L)

A =A

1,25



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Ahora, reemplazando en la ecuacion (8.27), se tiene:

R = (1,25)2 L

A R = 1,56R.

Problema 8.3Un alambre de oro que transporta corriente que tiene un diametro de 0,84mm. El campoelectrico en el alambre es de0,49 V /m. Cual es a) la corriente que el alambre transporta?b) la diferencia de potencial entre dos puntos del alambre a 6,4m de diferencia uno delotro? c) la resistencia de un tramo de 6,4m de largo de este alambre?.

Solucion:a) Recordando la densidad de corriente: J = I/A, entonces se tiene:

I = JA =EA

=(0,49V /m)

4

(0,84 103m)2

(2,44 108 m)2I = 11,1A.

b) Si, V = IR, ademas R = L/A, luego se tiene:

V =IL

A

=(11,1A) (2,44 108 m) (6,4m)

4

(0,84 103m)2 = 3,13V

c)

R =V

I=

3,13V

11,1A= 0,28.

Problema 8.4

A un material de resistividad se le da la forma de un cono truncado solido de alturah y de radio r1 y r2 en los extremos (Fig.) a) Calcule la resistencia del cono entre lasdos caras planas. (Sugerencia: suponga que rebana el cono en muchos discos delgados ycalcule la resistencia de uno de esos discos) b) Demuestre que su resultado concuerda con



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la ecuacion: R = L/A; cuando r1 = r2.

h

r1

r2

Solucion:a)

h

r2

r1

x=h

x=0

r

dx

r

dR =L

A=

dx

r2(8.28)

De la figura, por semejanza de triangulos, se tiene:

r r2x

=r1 r2

h; donde

r = r2 +

r1 r2

h

x (8.29)

Luego reemplazando la ecuacion (8.28) en (8.29):

dR =dx

r2 +r1r2

h

x2

Integrando tenemos:

R =

h0

dx

r2 +r1r2

h

x2

Haciendo el cambio de variable,

sea u = r2 +

(r1

r2)

h x du =r1 + r2

h dx



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Y luego para x = 0, u = r2, x = h y u = r1 entonces tenemos:

R =

r1

r2

hr1r2 du

u2

=h

(r1 r2) r1

r2

du

u2

= h (r1 r2)

1

u

r1r2

= h (r1 r2)

1

r1 1

r2

= h

(r1 r2)

r2 r1r1r2

R =

h

(r1r2)

b) Donde r1 = r2 = r; entonces:

R = hr2

= hA

.

Problema 8.5En el circuito de la figura. a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b.b) Encuentre i1, i2 y i3.

+ -

-

+

i1

i3

i2

i2

i1

a b10V

5V

5W 7WI1 I2

Solucion:Para la malla I:

+5 3I1 5 (I1 + I2) = 05 3I1 5I1 5I2 = 08I1 5I2 = 5 (8.30)

Y luego para la malla II:

10 5 (I1 + I2) 7I2 = 05I1 12I2 = 10 (8.31)

De las ecuaciones (8.30) y (8.31), se tiene: I1 = 0,14A y I2 = 0,77A.a) Vab = V1 + 10, si

V1 = I1 (3) = 0,14(3) = 0,42V



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Vab = 0,42V + 10V = 10,42V

b) De la figura, se tiene:

i1 = I1 = 0,14A

i2 = I1 + I2 = 0,14A + 0,77A = 0,91A

i3 = I2 = 0,77A.

Problema 8.6Hallar las resistencias equivalentes en los puntos a y b.

a

b

R/2R/2

R/2R/2

R/2R/2

R/2R/2

R R R R

Solucion:

a

b

R Req

R/2

R/2

De la figura, sea que,

R =RReq

R + Req(8.32)

y luego entre los puntos a y b se tiene:

Req =R

2+ R +

R

2= R + R (8.33)



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Ahora reemplazando R en la ecuacion anterior, tenemos:

Req = R +RReq

R + Req

Req R = RReqR + Req

(Req R) (R + Req) = RReqR2eq R2 = RReq

R2eq RReq R2 = 0

Req =+R

R2 4 (R2)

2

Req = 1 5

R

2

.

Problema 8.7En el circuito de la figura, halle a) la corriente en el resistor de3, b) lasf em desconocidas1 y 2 y c) la resistencia R. Advierta que se dan tres corrientes.

I II

III

e1

e2

4W 3W 6W

R2A

5A3A

+ - +-

Solucion:a) La suma de las corrientes que entran en el resistor de 3 es igual a 3 A + 5A = 8A. b)Usando la segunda regla de Kirchoff para la malla I:

1 (4) (3A) (3) (8) = 01 = 36V.

Igual manera para la malla II:

2 (6)(5A) (3) (8A) = 02 = 54V.

c) Usando la segunda regla de Kirchoff para malla III, se tiene:

2 R (2A) 1 = 0 54V R (2A) 36V = 0

R =18V

2A= 9.



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Problema 8.8a) Determinar el voltaje a traves del condensador de la figura. b) Si la batera se desconec-ta, expresar la corriente en funcion del tiempo. c) Cuando tiempo tardara en descargarse

el condensador, hasta que la diferencia de potencial en sus terminales sean 1volteo.

Solucion:

+

-A B

80W 20W

10W 40W

I1

I2

V1

V2

}}

36V10 Fm

Aplicando la segunda regla de Kirchoff para las mallas I y II, tenemos:Para la malla I:

36 10I1 80I1 = 0; I1 = 410

A

Para la malla II:

36 40I2 20I2 = 0 I2 = 610

A

a) VC =?, si:

V1 = I1R = (4/10) (80) = 32V

V2 = I2R = (6/10) (20) = 12V

VC = V1 V2 = 32 12 = 20V.

b)

A B

80W 20W

10W 40W

10 Fm

10 Fm

R =100

3W

Vc=20V

Aplicando la formula de la corriente instantanea es decir,

i (t) = I0etRC

=V

Ret/RC



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Si RC = 1003

(10 106) = 1/3000

i (t) =3

5

e3000t.

c) Utilizando la ecuacion (8.25), se tiene:

q (t) = Q0et/RC

q

Q= et/RC

lnq

Q= t

RC

t = RCln qQ

(8.34)

Si Q = CV = C20 ademas q = C1 = C1 entonces q/Q = 1/20, luego reemplazando enla ecuacion anterior, se tiene:

t = 103

3ln

1

20

= 9,985 104.



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Captulo 9

Campo Magnetico y Fuentes deCampo Magnetico

9.1. Campo magnetico

Un iman o una corriente electrica establece campo magnetico en el espacio. Podemosdescribir las interacciones magneticas de manera similar a las interacciones electricas:

1. Una carga en movimiento o una corriente genera un campo magnetico en el espaciocircundante (ademas de su campo electrico).

2. El campo magnetico ejerce una fuerza F sobre cualquier otra carga en movimiento

o corriente presente en el campo.

Al igual que el campo electrico, el campo magnetico es un campo vectorial, esto es,una cantidad vectorial asociada con cada punto del espacio. Utilizaremos el smbolo Bpara representar el campo magnetico. En cualquier posicion se define la direccion de Bcomo aquella en la que tiende a apuntar el polo norte de una brujula.

Tambien la fuerza magnetica depende de la velocidad de la partcula. En esto sedistingue claramente de la fuerza de campo electrico, que es la misma ya sea que lacarga se mueva o no. Una partcula con carga en reposo no experimenta fuerza magneticaalguna. Ademas, se encuentra que la fuerza magnetica F no tiene la misma direccion que

el campo B, sino que es siempre es perpendicular tanto a B como a la velocidad v. Sumagnitud se proporciona por:

F = |q|vB = |q|vB sen (9.1)

Donde |q| es la magnitud de la carga y es el angulo medido de la direccion de v a ladireccion de B, como se muestra en la figura.

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9. Campo Magnetico y Fuentes de Campo Magnetico 60

+

q q

B

v+

q

v

B

Lo antes expuesto muestra que la fuerza sobre una carga q que se desplaza con veloci-dad v en un campo magnetico B se proporciona, tanto en terminos de magnitud como dedireccion, por:

F = qv B (9.2)

(fuerza magnetica sobre una partcula con carga en movimiento)

La unidad SI de B es equivalente a 1N s/C m, o bien, puesto que un ampere es u

Fisica III Practicas

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