2012-31.Konfigurasi proxy debian menggunakan squid 2.6 stable
ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA DISTRIBUSI …lib.unnes.ac.id/19102/1/4111409016.pdf · 4.2 Contoh...
Transcript of ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA DISTRIBUSI …lib.unnes.ac.id/19102/1/4111409016.pdf · 4.2 Contoh...
i
ESTIMATOR PARAMETER TERBAIK PADA
DISTRIBUSI -STABLE
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh
Putut Mitasarhi
4111409016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2013
ii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian
hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya akan bersedia menerima
sanksi sesuai ketentuan perundang-undangan.
Semarang, 22 Juli 2013
Putut Mitasarhi
NIM 4111409016
iii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul
Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable
disusun oleh
Putut Mitasarhi
4111409016
telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada
tanggal 22 Juli 2013.
Panitia:
Ketua Sekretaris
Prof. Dr. Wiyanto, M. Si. Drs. Arief Agoestanto, M. Si.
NIP 19631012 198803 1001 NIP 19680722 199303 1005
Ketua Penguji
Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.
NIP 19820818 200604 2001
Anggota Penguji/ Anggota Penguji/
Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping
Dr. Scolastika Mariani, M.Si. Drs. Wuryanto, M.Si.
NIP 19650210 199102 2001 NIP 19530205 198303 1003
iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto:
Peluang berhasil tercipta dari mencoba.
Persembahan:
Orang tua terhebat dalam hidupku Subandi dan
Sujiati, terima kasih atas segalanya.
Wiwik, Santoso, Agus, Ana, kakak-kakak terbaik
yang Allah SWT kirimkan untukku, terima kasih
seluruh dukungannya.
Frestika, Ratnaningtyas, sahabat terbaik yang Allah
SWT perkenalkan padaku.
Kyuhyun, yang telah mengajarkan arti perjuangan
untukku.
Anak-anak kos Alif, teman-teman seperjuangan
MIRC.
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobil’alamin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang
telah melimpahkan berkah serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi ini
dapat terselesaikan. Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada suri
teladan yang mulia, Nabi Muhammad SAW yang telah memberikan tuntunan
yang bijaksana untuk umat manusia umumnya dan pada penulis khususnya.
Terselesaikannya skripsi ini, merupakan sebuah usaha dan perjuangan
yang berlandaskan keteguhan, kesabaran, dan keikhlasan. Terima kasih atas
kemurahan dari kekuasaan-Nya yang tidak tertandingi oleh apapun dan siapapun.
Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari berbagai pihak yang dari awal
hingga akhir memberikan segenap dukungan, baik moral dan spiritual. Hanya
ucapan terima kasih yang bisa penulis haturkan kepada pihak-pihak yang selalu
memberikan dukungan tenaga, pikiran, dan semangat.
1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang.
2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri
Semarang.
3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA
Universitas Negeri Semarang.
4. Dra. Kristina Wijayanti, M.S., Ketua Program Studi Matematika Fakultas
MIPA Universitas Negeri Semarang.
5. Dr. Scolastika Mariani, M.Si serta Drs. Wuryanto, M.Si, dosen pembimbing
yang telah mencurahkan segenap bimbingan, kesabaran, dan pengertian
vi
kepada penulis dari awal penyusunan sampai akhir selesainya skripsi ini.
Mohon maaf jika selama ini banyak sikap yang kurang berkenan di hati Ibu
dan Bapak.
6. Iqbal Kharisudin, S.Pd., M.Sc. Terimakasih atas bimbingan, inspirasi dan
semangat yang telah Bapak bagikan kepada penulis, sehingga semua ini bisa
tercapai dengan maksimal.
7. Seluruh Dosen di Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang yang telah
membagikan banyak ilmu tentang berbagai hal kepada penulis.
8. Bapakku Subandi dan Ibuku Sujiati yang selalu memberikan kekuatan dan
inspirasi untuk tetap berjuang.
Berbagai saran maupun kritik demi penyempurna lebih lanjut atas
penelitian pengembangan skripsi ini sangat diharapkan oleh penulis. Semoga
memberi manfaat bagi penulis dan bagi pembaca.
Semarang, 22 Juli 2013
Penulis
vii
ABSTRAK
Mitasarhi, Putut. 2013. Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable.
Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr. Scolastika Mariani, M.Si.,
Pembimbing II: Drs. Wuryanto, M.Si.
Kata Kunci: estimasi parameter distribusi stable, mean squared error, estimator
Hint, estimator Hill, estimator McCulloch
Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu masalah yaitu
kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan konsekuensi yang
cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial dan khususnya untuk
penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut adalah dengan
mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable. Sebagai awal
dalam mengasumsikan bahwa sekumpulan data tersebut merupakan salah satu
wujud dari keluarga distribusi -stable, maka perlu diketahui nilai indeks
stabilitas dari sekumpulan data, selain untuk mengetahui ketebalan suatu ekor,
dapat digunakan untuk mengindikasikan kemungkinan dari kenjadian-kejadian
ekstrem, menunjukkan keberadaan momen yang paling maksimal dari suatu data
dan membantu memilih pengujian statistik yang tepat untuk sekumpulan data
tersebut.
Pembahasan kali ini berpusat pada bagaimana menentukan estimator
parameter terbaik pada distribusi stable dengan kriteria MSE minimum dan
banyaknya sampel optimum. Tiga estimator yang dipakai adalah estimator Hill,
estimator Hint, dan estimator McCulloch, melalui simulasi data random hasil
pembangkitan dengan dengan masing-masing ukuran sampel
, ditentukan nilai MSE minimum untuk masing-masing
estimator. Diperoleh hasil bahwa, MSE minimal dengan ukuran sampel ( )
optimal terjadi pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap
yang diperiksa yaitu .
viii
DAFTAR ISI Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................................. i
PERNYATAAN .......................................................................................... ii
PENGESAHAN .......................................................................................... iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN .............................................................. iv
KATA PENGANTAR ................................................................................ v
ABSTRAK .................................................................................................. vii
DAFTAR ISI ............................................................................................... viii
DAFTAR TABEL ....................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... xiv
BAB
1. PENDAHULUAN ............................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 8
1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................... 8
1.4 Manfaat Penelitian ......................................................................... 8
1.5 Sistematika Penulisan .................................................................... 8
2. LANDASAN TEORI .......................................................................... 10
2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang ......................... 10
2.1.1 Fungsi Distribusi ..................................................................... 10
2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang ..................................................... 11
2.2 Fungsi Karakteristik ....................................................................... 15
2.3 Distribusi Kontinu .......................................................................... 18
ix
2.3.1 Distribusi Normal .................................................................... 18
2.3.2 Distribusi Normal Standar ....................................................... 23
2.3.3 Distribusi Cauchy Standar ....................................................... 26
2.3.4 Distribusi Cauchy ..................................................................... 29
2.4 Distribusi Stable ............................................................................ 30
2.5 Estimator ........................................................................................ 57
2.5.1 Estimator Parameter ............................................................. 57
2.5.1.1 Estimator Hill ....................................................................... 57
2.5.1.2 Estimator McCulloch ........................................................... 58
2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan .................................................. 58
2.5.1.3 Estimator Hint ...................................................................... 60
2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3 ........................ 63
2.6.1 Interface R Studio .................................................................... 63
2.6.2 Perintah dalam R Studio .......................................................... 67
3. METODE PENELITIAN ..................................................................... 71
3.1 Perumusan Masalah ........................................................................ 71
3.2 Studi Pustaka .................................................................................. 71
3.3 Pengumpulan Data .......................................................................... 71
3.4 Pemecahan Masalah ........................................................................ 71
3.5 Prosedur Penelitian ......................................................................... 72
3.6 Penarikan Kesimpulan .................................................................... 73
4. HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 74
4.1 Simulasi dan Hasil Analisis............................................................. 74
4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di Rstudio ................................... 74
4.1.2 Pembangkit Data ..................................................................... 74
4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan ................................................ 77
4.1.3.1 Simulasi untuk Estimator McCulloch .................................... 77
4.1.3.2 Simulasi untuk Estimator Hill ................................................ 77
4.1.3.3 Simulasi untuk Estimator Hint ............................................... 79
4.1.4 Analisis Hasil Simulasi ............................................................ 80
4.2 Contoh ............................................................................................ 82
x
5. PENUTUP ........................................................................................... 84
5.1 Simpulan ......................................................................................... 84
5.2 Saran ............................................................................................... 84
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 86
LAMPIRAN ................................................................................................ 90
xi
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1 MSE minimum untuk setiap ............................................................... 80
4.2 MSE minimum untuk setiap ............................................................... 81
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1 Koefisien ( ) untuk Perpotongan ( )....................... 61
2.2 Interface R Studio ................................................................................. 63
2.3 Bagian Menu Utama .............................................................................. 64
2.4 Jendela Dokumen .................................................................................. 64
2.5 Jendela Console ..................................................................................... 65
2.6 Jendela Workspace dan History ............................................................. 65
2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help .............................................. 66
4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist ............................. ............ 75
4.2 Script generating.R ................................................................................ 75
4.3 Jendela Workspace R studio .................................................................. 76
4.4 Plot Garis dan Histogram ............................................................ 76
4.5 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator
McCulloch ............................................................................................ 77
4.6 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator
Hill .......................................................................................... 78
4.7 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator
Hill ....................................................................................... 79
4.8 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator
Hint ....................................................................................................... 79
4.9 Scatter plot dan Histogram Data TLKMRETURN2 ............................. 82
xiii
4.10 Hasil Estimasi data TLKMRETURN2 ............................................... 82
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1. Tabel McCulloch................................................................................... 90
2. Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable
Hasil Bangkitan..................................................................................... 93
3. Daftar Nilai , MSE untuk Data Random
Berditribusi Stable................................................................................ 115
4. MSE Parameter untuk Masing-masing Estimator ............................ 126
5. Script Membangkitkan Data Random
Berdistribusi Stable .............................................................................. 128
6. Script Fungsi Estimator untuk Simulasi .............................................. 129
7. Script Fungsi Estimator ........................................................................ 136
8. Data Saham TLKM ................................................................... ........... 143
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu topik terpenting dalam statistika adalah masalah distribusi.
Permasalahan distribusi telah diajarkan namun hanya terbatas untuk beberapa
model distribusi seperti distribusi binomial, poisson, gamma, chi-kuadrat, cauchy,
dan normal. Dalam kehidupan nyata, distribusi normal adalah salah satu distribusi
yang popular digunakan.
Kenyataannya ada kalanya terdapat data-data yang berfluktuasi tinggi.
Grafik data tersebut berupa grafik heavy-tail dan sering dijumpai dalam
permasalahan finansial, pemrosesan signal, telekomunikasi, kimia, fisika, dan
biologi (misal dalam Zolotarev (1986)).
Data dengan karakteristik, grafiknya berupa grafik heavy-tail dengan
puncaknya berada di sekitar pusat dikatakan berdistribusi Leptokurtik. Kelas
distribusi yang penting dalam konteks ini adalah distribusi stable, yang
merupakan kelas yang fleksibel untuk memodelkan data.
Sekitar tahun 1920 sampai 1930, teori distribusi stable univariat mulai
dikembangkan oleh Paul Levy dan Aleksander Yakovlevich Khinchine, disusul
oleh Gnedenko & Kolmogorov (1954), Feller (1971), Zolotarev (1986), dan Sato
(1999).
Banyak aplikasi statistik dari distribusi stable yang digunakan untuk
memodelkan fenomena fat-tail dalam observasi finansial ekonomi maupun dalam
2
lingkup lain statistika. Lebih lengkapnya dapat dilihat dalam Mandelbrot (1963),
Paulson et al., (1975), Nolan (2001), tidak hanya sebatas itu masalah kekinian
tentang penggunaan distribusi stable dapat diperiksa dalam Burnecki et al., (2008)
yang berhasil menunjukkan bahwa proses FARIMA dengan -stable noise dapat
menyediakan suatu alat stokastik baru untuk mempelajari fenomena letupan
matahari dalam kerangka kerja dari pemecahan persamaan Langevin, dalam
bidang finansial Burnecki et al., (2011) membicarakan tentang logaritma return
dari index Hang Seng mulai 2 Januari 1987 sampai 14 November 2005, secara
statistik menyerupai suatu barisan independen yang identik dengan variabel
random berdistribusi Levy stable.
Pengembangan secara teoritis dari distribusi stable dapat dilihat dalam
Magdziarz (2009), Taqqu & Levy (2008) yang melakukan pengujian terhadap
proses log-fractional stable motion (log-FSM), yang merupakan suatu proses -
stable dengan ( ). Rosadi & Deistler (2009) fokus pada kodifferen dan
fungsi kodifferen yang dinormalisasi sebagai ukuran ketergantungan untuk proses
stasioner. Selain itu Rosadi (2009) mempertimbangkan suatu tes tipe Portmanteau
dari keacakan untuk variabel random -stable dengan eksponen ,
menggunakan suatu tes statistik yang berbeda namun memiliki bentuk umum
yang sama dengan Box-Pierce Q-statistik, yang didefinisikan menggunakan
fungsi Kodifferen. Dalam Wylomanska (2011) menyelidiki struktur dependen
untuk proses Ornstein-Uhlenbeck dengan sifat distribusi stable, yang biasanya
perluasan dari proses Ornstein-Uhlenbeck klasik dengan Gaussian dan perilaku -
stable.
3
Penelitian aplikasi distribusi stable dalam permasalah finansial dibahas
dalam Frain (2009). Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu
masalah yaitu kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan
konsekuensi yang cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial
dan khususnya untuk penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut
adalah dengan mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable.
Dalam penelitiannya diungkapkan bahwa distribusi -stable memiliki beberapa
keistimewaan yang mengakibatkan distribusi -stable menjadi model yang
menarik untuk permasalahan keuntungan, yaitu:
1. memungkinkan seseorang untuk memperhitungkan frekuensi garis besar
nilai-nilai ekstrim,
2. memungkinkan seseorang untuk memodelkan kemiringan dalam data.
Apakah nilai-nilai negatif yang ekstrim lebih mungkin dibandingkan positif
ekstrim?,
3. jika kita bisa menjelaskan kemungkinan waktu dalam sehari, sehari dalam
seminggu, efek musiman dan ketidakstasioneran lainnya yang melekat dalam
proses menghasilkan keuntungan, kita mungkin mengasumsikan bahwa
kumpulan keuntungan dari waktu ke waktu memiliki distribusi yang sama,
hingga faktor skala dan faktor lokasi, sebagai data frekuensi tinggi asli. Data
tersebut kemudian harus memiliki suatu distribusi -stable. Distribusi normal
adalah salah satu anggota dari distribusi -stable. Distribusi -stable
memungkinkan seseorang untuk mempertahankan sifat ini ketika data
dimodelkan dengan cara yang lebih fleksibel,
4
4. distribusi -stable menggantikan distribusi normal seperti yang diketahui
sebagai generalisasi teorema limit pusat, dan
5. dalam beberapa kasus seseorang bisa memodelkan keuntungan sebagai suatu
distribusi -stable dengan memeriksa nilai ekstrim atau mengurai nilai
ekstrim melalui beberapa proses.
Wang et al., (2008) membahas pengembangan Constant False Alarm Rate
(CFAR) algoritma deteksi kapal pada citra radar apertur sintetik pesawat ruang
angkasa (SAR) berdasarkan model distribusi -stabel. Algoritma CFAR
menggunakan model distribusi normal untuk menggambarkan karakteristik
statistik dari suatu gejolak citra SAR. Seperti gelombang air laut dalam citra SAR
menunjukkan karakteristik runcing atau heavy-tail, distribusi normal sering gagal
untuk menggambarkan gelombang air laut. Distribusi -stable digunakan untuk
menggantikan distribusi normal yang banyak digunakan dalam pemrosesan sinyal
impulsif untuk menggambarkan gelombang air laut dalam pencitraan SAR.
Model distribusi stable merupakan generalisasi dari beberapa model
distribusi yang telah dikenal, selain distribusi normal, distribusi cauchy juga
merupakan anggota dari distribusi stable. Distribusi normal yang merupakan salah
satu kasus khusus dalam distribusi stable terjadi ketika nilai parameter dan
sehingga dapat dituliskan ( ) ( ). Sedangkan untuk
distribusi cauchy terjadi ketika nilai parameter dan , dapat dituliskan
( ). Selain distribusi normal dan cauchy, ada dua model distribusi lain
yang merupakan kejadian khusus dalam distribusi stable yaitu distribusi levy yang
5
terjadi ketika nilai parameter
dan , kemudian distribusi menurun yang
berbentuk ( ) untuk suatu .
Distribusi suatu variabel random biasanya digambarkan dengan
menggunakan bentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan
fungsi pembangkit momennya. Namun dalam distribusi stable bentuk fungsi
kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan momen ke-2 nya tidak
diketahui dengan pasti. Jadi untuk dapat mengenali distribusi stable diberikan
suatu fungsi yang disebut fungsi karakteristik. Oleh sebab itu fungsi karakteristik
dapat dijadikan jalan untuk menggambarkan suatu variabel random karena
eksistensi dari fungsi karakteristik selalu ada.
Meskipun bentuk fungsi kepadatan peluang dari distribusi stable tidak
diketahui secara pasti kecuali untuk kasus khusus, Zolotarev (1964) berusaha
menyajikan perhitungan tentang distribusi stable dan fungsi kepadatannya dengan
menggunakan gambaran integral yang baik. Kemudian DuMouchel (1971)
menyajikan tabulasi fungsi distribusi untuk dengan
. Sebelumnya Fama and Roll (1968) telah mampu
menyajikan tabulasi untuk dengan . Tabulasi dan
grafik dari fungsi kepadatan untuk dan
disajikan oleh Holt dan Crow (1973).
Distribusi stable memiliki empat parameter yaitu indeks stabilitas (index of
stability) ( - yang menyatakan ketebalan ekor dari distribusi (dimana nilai
yang lebih kecil menerangkan ekor yang lebih tebal pada distribusi), parameter
kemiringan (skewness parameter) , - menyatakan ukuran dari asimetri,
6
parameter skala (scale parameter) , dan parameter lokasi (location
parameter) ( ).
Paolella (2001) dalam penelitiannya menyebutkan bahwa dengan
mengetahui nilai indeks stabilitas dari sekumpulan data, dapat memberikan
keuntungan yaitu dapat menjadi suatu alasan penting untuk mengasumsikan
bahwa sekumpulan data tersebut merupakan wujud dari salah satu keluarga
distribusi yang memiliki domain of attraction dalam ekor yang sama. Seperti
dalam data finansial, Stable Paretian, Pareto, dan, untuk tingkat kebebasan yang
cukup kecil, Student’t dan generalisasi t (dalam McDonald & Newey (1988),
Bollerslev et al., (1994)) yang menunjukkan tipe ekor Pareto. Selain untuk
mengetahui ketebalan suatu ekor, dapat digunakan untuk mengindikasikan
kemungkinan dari kenjadian-kejadian ekstrem, menunjukkan keberadaan momen
yang paling maksimal dari suatu data dan membantu memilih pengujian statistik
yang tepat untuk sekumpulan data tersebut. Jadi, untuk dapat melakukan hal
tersebut dibutuhkan suatu estimator ekor.
Beberapa metode estimasi untuk parameter kunci distribusi stable telah
diusulkan. Penyelidikan penggunaan metode maksimum likelihood untuk
mengestimasi parameter telah dilakukan oleh DuMouchel (1971) dan Nolan
(1997) telah memperluas algoritma numerik dari penaksiran likelihood. Fama dan
Roll (1968, 1971) mengusulkan metode lain yaitu metode estimasi praktis
berdasarkan distribusi empiris persentil dan kemudian metode tersebut
dikembangkan oleh McCulloch (1986). Kemudian Press (1972) mengusulkan
metode estimasi fungsi karakteristik empiris, studi lain yang berhubungan
7
dilakukan oleh Paulson et al., (1975), Koutrouvelis (1980), Kogon & Williams
(1998), Feuerverger & McDunnough (1981). Ada pula yang mengusulkan metode
likelihood empiris. Metode ini awalnya diperkenalkan oleh Owen (1988, 1990)
untuk membangun konstruksi interval kepercayaan nonparametrik dan kemudian
dikembangkan untuk estimasi masalah persamaan dilakukan oleh Qin & Lawless
(1994). Hill (1975) mengusulkan estimator grafik untuk indeks yang dikenal
sebagai estimator Hill ( ). Mittnik dan Paolella (1999) memperbaiki
kekurangan-kekurangan yang ada dalam estimator Hill ( ) dan estimator
McCulloch ( ) sehingga tercipta estimator baru yang disebut estimator Hint
( ).
Nilai estimasi dari suatu parameter untuk setiap estimator berbeda-beda,
namun untuk menentukan nilai estimasi parameter terbaik dari beberapa estimator
dapat menggunakan beberapa kriteria yang telah diperkenalkan misal Unbias,
Efisiensi, Mean Squared Error, dan Best Linear Unbiased Estimator.
Mittnik dan Paolella (1999), menunjukkan bahwa untuk
dengan ukuran sampel dan pada kasus distribusi
Stable yang simetris yaitu dan , hampir sempurna simetris bias
untuk seluruh rentang yang dipertimbangkan, dengan pengecualian .
Dibandingkan , unggul dalam hal bias dan varian.
Dalam penelitian kali ini, dipusatkan untuk mencari estimator terbaik
untuk parameter dalam distribusi Stable dengan banyaknya sampel optimum
menggunakan data random hasil bangkitan dengan dengan
variasi menggunakan kriteria Mean Squared
8
Error (MSE). Estimator yang digunakan adalah estimator McCulloch, estimator
Hill, dan estimator Hint.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE
minimum dan banyaknya sampel optimum?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE
minimum dan banyaknya sampel optimum.
1.4 Manfaat Penelitian
Melalui tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam
pengenalan dan pemahaman tentang model distribusi stable, karena model
distribusi stable sendiri memberikan ruang yang lebih luas dalam penggunaannya
sehingga mampu memberikan solusi lain dalam penyelesaian suatu masalah
statistika dalam kehidupan nyata.
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini terbagi atas lima bab. Bab 1 berisi pendahuluan. Bab 2 landasan
teori yang berisi teori konsep-konsep dasar probabilitas dan statistika serta
karakteristik distribusi stable yang digunakan dalam pembahasan bab selanjutnya.
Bab 3 berisi metodologi penelitian. Bab 4 berisi pembahasan menentukan
estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya
9
sampel optimum. Bab 5 berisi simpulan yang diperoleh dari pembahasan dalam
bab 4 disertai saran.
10
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini dipaparkan berbagai teori pendukung berkaitan dengan
fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi, fungsi karakteristik, distribusi normal,
distribusi cauchy dan distribusi stable.
2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang
2.1.1 Fungsi Distribusi
Untuk suatu variabel random , didefinisikan himpunan fungsi ( )
( ). Maka adalah fungsi peluang karena ( ) untuk setiap ,
( ) ( ) , dan jika dengan ( ) .
Jelas ( ) , yang juga setiap pasangannya disjoin dan (⋃ )
⋃ . Oleh karena itu
(⋃
) * (⋃
)+
*⋃( )
+
∑ ( )
∑ ( )
11
disebut sebagai distribusi peluang dari variabel random . Dengan
memilih menjadi ( - , dipunyai ( ) ( ( -)
( ). Dari sini didefinisikan fungsi yang disebut sebagai fungsi distribusi
dari . Jadi bila diketahui maka dapat ditentukan nya dan berlaku
sebaliknya (Roussas, 2003:33-34).
Fungsi distribusi dari variabel random memiliki beberapa sifat dasar,
yaitu:
Sifat 2.1.1. (Roussas, 2003:34)
(i) ( ) untuk setiap ;
(ii) fungsi tak turun;
(iii) kontinu dari kanan; dan
(iv) ( ) ( ) .
2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang
Dipunyai variabel random diskrit dan ambil nilai . Pilih
{ } dan pada himpunan definisikan fungsi dengan ( )
({ }). Selanjutnya, perpanjang atas seluruh dengan menetapkan ( )
untuk . Kemudian ( ) untuk setiap , jelas bahwa
( ) ∑ ( ) untuk . Khususnya, ∑ ( )
∑ ( ) ( ) . Dalam Roussas (2003), fungsi yang telah
didefinisikan tersebut disebut sebagai fungsi kepadatan peluang dari variabel
random .
12
Dengan memilih ( - untuk suatu , dipunyai ( )
∑ ( ) . Misalkan dipunyai titik .
( ) ( ) ( )
(2.1)
dengan ( ) ( ).
Dipunyai variabel random kontinu, pilih semua nilai dalam interval
(berhingga ataupun tidak berhingga) dalam , sehingga ( ) dengan
. Dipunyai sifat ( ) ∫ ( )
. Khususnya,
∫ ( )
( ) ( ) ( )
(2.2)
Jika tidak semuanya elemen , perpanjang dari dengan mengatur
( ) untuk . Jadi untuk semua , ( ) dan ( )
∫ ( )
. Berakibat ( ) ( ) ∫ ( )
dan khususnya,
∫ ( )
∫ ( )
( )
(2.3)
Fungsi dengan sifat: ( ) untuk semua dan ( )
∫ ( ) , merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel random
(Roussas, 2003:34-36).
Dalam Hogg & Craig (1978:23) fungsi kepadatan peluang didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 2.1.2. Dipunyai dinotasikan sebagai suatu variabel random dengan
ruang berdimensi satu yaitu . Misalkan ruang adalah suatu himpunan titik-
13
titik yang berhingga dalam setiap interval berhingga. Misalkan himpunan
disebut himpunan titik-titik diskrit. Dipunyai fungsi ( ) dengan ( )
, dan
∑ ( )
Bagaimanapun peluang ( ) dengan , dapat dinyatakan dalam bentuk
( ) sebagai berikut.
( ) ( ) ∑ ( )
Dipunyai himpunan berdimensi satu yaitu sehingga integral Riemann
∫ ( )
dengan ( ) , dan ( ) memiliki paling banyak suatu bilangan
berhingga kontinu dalam setiap interval berhingga yang merupakan subset dari
. Jika merupakan ruang variabel random dan jika peluang ( ) ,
dapat dinyatakan dalam bentuk ( ) sebagai berikut.
( ) ( ) ∫ ( )
Maka ( ) disebut fungsi kepadatan dari variabel random .
Dalam Aunon & Chandrasekar (1997), fungsi kepadatan peluang
didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi untuk ( ) kontinu.
( ) ( )
(2.4)
14
Jika variabel random diskrit maka fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai
( ) { ( )
(2.5)
Jadi dapat dituliskan, untuk setiap
( ) ( )
{
∑ ( )
∫ ( )
(2.6)
atau, lebih umum
( ) ( )
{
∑ ( )
∫ ( )
(2.7)
Teorema 2.1.3. (Stone, 1996:62) Dipunyai , dimana .
Maka fungsi distribusi dari dinyatakan sebagai
( ) .
/
Fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai
( )
.
/
dan ( ) untuk yang lain, dan kuantil ke- dinyatakan sebagai
.
Bukti.
Dipunyai , ,
.
15
Jadi
( ) ( ) ( ) .
/ .
/
berakibat ( ) merupakan fungsi kontinu dari .
Jelas ( )
.
/
.
/
Kuantil ke- dari yaitu adalah penyelesaian yang unik untuk ( )
.
/. Karena terdapat secara unik yang memenuhi persamaan ( )
, berakibat
. Jadi
2.2 Fungsi Karakteristik
Berawal dari suatu tranformasi integral yang dijelaskan dalam Lukacs
(1970) yaitu Integral Lebesgue-Stieltjes yang didefiniskan dengan
∫ ( )
( )
(2.8)
Kondisi untuk menentukan adanya integral ini tentu sangat penting. Ada beberapa
kemungkinan pilihan untuk ( ).
1. ( ) .
2. ( ) | | .
3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
4. ( ) .
5. ( ) .
6. ( ) ( ) √ .
16
Dalam kasus 4, 5, dan 6 parameter adalah suatu nilai real dan variabel
kontinu.
Transfomasi 1, 2, dan 3 mentransformasikan fungsi distribusi ( )
kedalam suatu barisan (dengan syarat integralnya ada).
∫
( )
(2.9)
disebut sebagai aljabar momen ke- dari ( ) atau lebih singkatnya momen ke-
dari ( ).
∫| |
( )
(2.10)
disebut momen mutlak ke- dari ( ).
Momen faktorial
∫ ( )
( )
(2.11)
jarang digunakan.
Kernel 4, 5, dan 6 mentransformasikan fungsi distribusi ( ) kedalam
fungsi variabel real . Fungsinya adalah
( ) ∫ ( )
( )
(2.12)
dan ini merupakan asal usul dari fungsi pembangkit momen. Kernel 5 hanya
digunakan ketika ( ) murni distribusi tak kontinu yang semua nilai variabel
17
memiliki lompatan pada bilangan bulat tak negatif. Dari kasus ini diperoleh fungsi
pembangkit peluang
( ) ∫
( ) ∑
(2.13)
dengan
∑
Disini adalah saltus (lompatan) dari ( ) pada titik ( bilangan
bulat tak negatif). Fungsi pembangkit peluang diperkenalkan oleh Laplace, fungsi
ini jarang digunakan.
Substitusi 6 dalam persamaan 2.8. Diperoleh
( ) ∫ ( )
( )
(2.14)
Transformasi ini yang disebut sebagai fungsi karakteristik fungsi distribusi ( ).
Dalam Uchaikin dan Zolotarev (1999:69), didefinisikan fungsi
karakteristik sebagai berikut:
Definisi 2.2.1. Fungsi bernilai kompleks
( ) , ( )- (2.15)
disebut sebagai fungsi karakteristik dari variabel real .
Dengan suatu variabel bernilai real. Jika fungsi kepadatan peluang ( ) ada,
2.15 transformasi fouriernya berbentuk
18
( ) ∫ ( ) ( )
(2.16)
Invers transformasi fouriernya adalah
( )
∫ ( ) ( )
(2.17)
2.3 Distribusi Kontinu
2.3.1 Distribusi Normal
Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random
( ) dengan parameter dalam hal ini merupakan mean (rataan) dan
parameter merupakan standard deviasi dinyatakan sebagai berikut.
( ) 4
5
Stone (1996:148) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random
( )
( )
√ 4
( )
5
Bukti.
Dipunyai integral
∫ 4
5
Integral ini ada karena integrand nya merupakan suatu fungsi kontinu
positif yang dibatasi oleh suatu fungsi integrable; yaitu,
19
4
5 ( | | )
dan
∫ ( | | )
Untuk menilai integral , perhatikan dan bahwa dituliskan sebagai:
∫ ∫ 4
5
Misal dan , diperoleh
∫ ∫ 4
5
∫
Berakibat √ dan
∫ 4
5
√ ∫ 4
5
20
∫
√ 4
5
Diperkenalkan variabel integrasi , dengan
sehingga
∫
√ 4
5
∫
√ 4
( )
5
Oleh sebab , berakibat
( )
√ .
( )
/
memenuhi syarat untuk menjadi fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel
random bertipe kontinu. Variabel random bertipe kontinu yang memiliki fungsi
kepadatan peluang ( ) disebut berdistribusi normal (dalam Hogg dan Craig
(1978)).
Selanjutnya menentukan fungsi pembangkit momen untuk distribusi
normal.
( ) , ( )- ∫ ( ) ( )
21
∫ ( )
√ 4
( )
5
√ ∫ 4
( )
5
√ ∫ 4
5
√ ∫ 4
5
√ ∫ 4
( )
5
√ ∫ 4
( ( ) )
5
√ ∫ 4
( ( ) ( ) ( ) )
5
√ ∫ (
( ( ))
) 4
( )
5
4( )
5 ∫
√ (
( ( ))
)
4( )
5
4
5
4
5
22
4
5
Jelas
( ) [ (
)]
[ (
)]
(
)
(
)
4
5 ( )
Jadi
( ) .
Jelas
( ) [ (
) ( )]
[ (
)]
(
)
(
)
( )
( )
4
5
4
5 ( ) 4
5
4
5 ,( ) -
Jadi
( )
( ) ( ( ))
23
Jadi dapat dituliskan ( ) dengan merupakan mean dan merupakan
varian.
2.3.2 Distribusi Normal Standar
Stone (1996:146) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random
berdistribusi normal standar.
( )
√ 4
5
Dinotasikan sebagai ( )
Bukti.
Dipunyai variabel random ( ).
Jelas variabel random ( ) mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai
berikut.
( )
√ 4
( )
5
√ 4
5
Fungsi pembangkit momen dari variabel random ( ) dapat
dinyatakan sebagai:
( ) , ( )- ∫ ( ) ( )
∫ ( )
√ 4
5
√ ∫ 4
5
24
√ ∫ 4
5
√ ∫ 4
( )
5
√ ∫ 4
( )
5
√ ∫ 4
( )
5
√ 4
5 ∫ 4
( )
5
4
5 ∫
√ 4
( )
5
4
5
Jelas
( ) [ (
)]
[ (
)]
(
)
(
)
4
5
Jadi ( )
Jadi mean dari variabel random ( ) adalah .
25
Jelas
( ) [ (
)]
[ (
)]
, - (
)
4
5 4
5
( ) 4
5
Jadi
( )
Jadi varian dari variabel random ( ) adalah sebagai berikut.
( ) ( ( ))
Kelebihan distribusi normal didukung dengan keberadaan teorema limit pusat,
dalam Roussas (2003:210) dinyatakan sebagai berikut.
Teorema 2.3.1. Dipunyai variabel random yang saling bebas stokastik
dengan berhingga dan positif berhingga, dan dipunyai rataan sampel
dari . Maka:
, -
√ , -
√
√ ( )
⇒ ( )
selama
atau
4√ ( )
5
→ ( ) ∫
√ 4
5
26
2.3.3 Distribusi Cauchy Standar
Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika ( ) dan
( ) saling independen, maka distribusi dari
memiliki fungsi
kepadatan peluang
( )
( )
disebut sebagai distribusi cauchy standar dinyatakan sebagai ( )
Bukti.
Dipunyai ( ) dan ( ) saling independen.
Misal
Jelas variabel random ( ) memiliki fungsi kepadatan peluang
( )
√ 4
5
Jelas variabel random ( ) memiliki fungsi kepadatan peluang
( )
√ 4
5
Jelas fungsi kepadatan peluang bersama dari dan adalah
( )
√
√ 4
5 4
5
4
5 4
5
Berdasarkan transformasi
, dengan invers transformasi
. Jacobiannya adalah , berakibat
27
( ) | |
4
( )
5 4
5
Jelas
( ) ∫ ( )
∫| |
4
( )
5 4
5
kasus
( ) ∫
4
( )
5 4
5
∫
4
( )
5
∫ (
( ))
∫
( )
4 (
( ))5
( )∫ 4 (
( ))5
( )( (
( ))|
)
( )( ( ) ( ))
( )( )
28
( )
kasus
( ) ∫( )
4
( )
5 4
5
∫ (
( ))
∫
( )
4 (
( ))5
( )∫ 4 (
( ))5
( )( (
( ))|
)
( )( ( ) ( ))
( )( )
( )
berakibat
( ) ∫| |
4
( )
5 4
5
∫( )
4
( )
5 4
5
29
∫
4
( )
5 4
5
( )
( )
( )
( )
2.3.4 Distribusi Cauchy
Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random
( ) dengan merupakan parameter lokasi dan parameter skala
dinyatakatan sebagai:
( ) | |
Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika ( ),
maka distribusi dari variabel random memiliki fungsi
kepadatan peluang
( )
( . /
)
disebut sebagai distribusi cauchy dan dinyatakan sebagai ( ).
Bukti.
Dipunyai ( ), .
Misal .
Jelas variabel random ( ) memiliki fungsi kepadatan peluang
( )
( )
Berdasarkan Teorema 3.2.3 diperoleh
( )
.
/
30
( . /
)
( . /
)
untuk
Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957), distribusi cauchy tidak memiliki fungsi
pembangkit momen, mean, maupun varian.
2.4 Distribusi Stable
Ada beberapa definisi yang memberikan gambaran tentang distribusi
stable, yaitu:
Definisi 2.4.1. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:1) Variabel random dikatakan
berdistribusi Stable jika untuk setiap bilangan positif dan , terdapat bilangan
positif dan bilangan real sehingga
(2.18)
Dimana dan independent copies dari , dan menyatakan persamaan
dalam distribusi.
Terdapat beberapa macam distribusi stable seperti stable mutlak (strictly
stable) dan stable simetri (symmetric stable). Variable random dikatakan strictly
stable jika pada Definisi 2.4.1 terjadi dengan nilai . Variable random stable
dikatakan symmetric stable jika distribusinya simetris yaitu dengan dan
31
memiliki distribusi yang sama. Variable random stable simetris dipastikan dia
stable mutlak.
Teorema 2.4.2 (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:2) Untuk setiap variable random
stable , terdapat suatu bilangan ( - sehingga bilangan dalam Definisi
2.4.1 memenuhi
(2.19)
Bukti di Feller (1971), Section V1.1.
Dalam Teorema 2.4.2 muncul suatu nilai yang kemudian disebut
sebagai index stabilitas atau eksponen karakteristik. Suatu variable random stable
dengan index selanjutnya disebut -stable.
Definisi 2.4.3. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:3) Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika untuk setiap , terdapat bilangan positif
dan bilangan real sehingga
(2.20)
dengan independent copies dari .
Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3 saling ekivalen. Untuk menunjukkannya
dari Definisi 2.4.1 ke Definisi 2.4.3, dilakukan induksi. Untuk bukti sebaliknya
ada di Feller (1971), SectionV1.1.
Definisi 2.4.4. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika memiliki suatu domain of attraction, atau bisa
dikatakan jika terdapat suatu deret variable random yang saling
32
bebas stokastik dan suatu deret bilangan positif * + dan bilangan real * +,
sehingga
⇒
(2.21)
⇒ menunjukkan kekonvergenan dalam distribusi.
Definisi 2.4.3, dan Definisi 2.4.4 saling ekivalen.
Definisi 2.4.5. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika terdapat parameter
, dan real sehingga fungsi karakteristik mengikuti bentuk:
, ( )- { 0 | | . ( )
/ 1
[ | | (
( ) | |) ]
(2.22)
{
Parameter bersifat unik ( menyimpang ketika ).
Fungsi karakteristik Definisi 2.4.5 dapat dituliskan
, ( ) - [ ( | | ( )) ]
(2.23)
dengan
( ) { | |
| |
33
Fungsi ( ) tak kontinu pada dan .
Fungsi karakteristik yang berbentuk
, ( ) - [ ( | | ( )) ]
(2.24)
dengan
( ) { (| | )
| |
{
adalah suatu fungsi yang kontinu bersamaan di dan (Samorodnitsky dan
Taqqu, 1994:7).
Fungsi Karakteristik di atas merupakan salah satu alat yang digunakan
untuk mengidentifikasi bahwa suatu variabel random berdistribusi stable.
Distribusi stable dengan varian berhingga merupakan distribusi normal.
Kepadatan peluang variabel random -stable ada dan kontinu dengan
beberapa pengecualian, mereka tidak diketahui bentuk terdekatnya (Zolotarev,
1986). Distribusi yang telah dipelajari dan merupakan kasus khusus distribusi
stable yaitu:
1. distribusi normal ( ) ( ), dengan kepadatan peluangnya
berbentuk
( ) ( √ ) ( )
34
Bukti.
Fungsi karakteristiknya
, ( )- , | | ( ) -
( ) ( )
Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi ( ( )) dapat dicari melalui
fungsi karakteristiknya.
( )
∫ ( )
∫ (
)
∫ (
)
∫
∫
∫
( )
∫ [
( ) ]
∫
6( ) ( )
.
/
.
/
7
∫
6( ) ( )
.
/
7 .
/
35
.
/
∫ 6( )
( )
.
/
7
.
/
∫ .
/
misal
dan
. Maka
( )
.
/
∫ .
/
.
/
∫
.
/
∫
misal maka √ dan
. Berakibat
( )
.
/
∫
.
/
∫
.
/
∫
.
/
√
√
.
/
√ .
/
√ ( )
√ ( )
merupakan fungsi kepadatan peluang dari ( ).
2. distribusi cauchy ( ), dengan kepadatan peluangnya berbentuk
( )
(( ) )
Bukti.
Fungsi Karakteristiknya
, ( )- , | |( ) -
36
( ) ( | | )
Fungsi kepadatan peluang dari suatu distribusi ( ( )) dapat dicari melalui
fungsi karakteristiknya.
( )
∫ ( )
∫ ( | | )
∫ ( | | )
∫ | |
* ∫
∫
+
* ∫ ( )
∫ ( )
+
[
[ ( )]
[ ( )]
]
[
( )
( )]
[
( )
( )]
[
]
[
( )( )
( )( )]
37
6 ( )
( )( )7
[
]
[
]
[
]
[
( ) ]
,( ) -
merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi cauchy dengan parameter
dan .
Selain dua distribusi di atas, ada distribusi lain yang merupakan kasus
khusus dari distribusi stable, yaitu sebagai berikut.
1. Distribusi levy
( ), dimana kepadatan peluangnya berbentuk
( ) .
/
( )
(
( ))
2. Konstant yang mempunyai distribusi menurun ( ) untuk suatu
.
Sifat 2.4.6. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:10) Dipunyai dan variabel
random independen dengan ( ) . Maka
( ), dengan
38
(
)
Bukti.
Kasus
( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)
(
)| | | | ( ) .
/ (
)
( )
(
)| | 6
( ) .
/7
( )
Kasus
( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)
( )| | | |( )
( ) (| |)
( )
( )| | [
( ) (| |)]
( )
39
disebut parameter geseran (shift parameter).
Sifat 2.4.7. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai ( ) dan
suatu konstanta real. Maka ( ).
Bukti.
Kasus
( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)
| | 4 ( ) .
/5
, ( )-
| | 4 ( ) .
/5
| | 4 ( ) .
/5 ( )
Kasus
( [ ( ( ))]) ( , ( )-) ( , ( )-)
| | (
( ) (| |))
, ( )-
| | (
( ) (| |))
| | (
( ) (| |)) ( )
40
Sifat 2.4.8. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai ( ) dan
suatu konstanta real tak nol. Maka
(| | ( ) )
(| | ( )
( (| |)) )
(2.25)
Bukti.
Kasus
( [ ( ( ))]) | | 4 ( ) .
/5 ( )
(| | ) | | 4 ( )( ) .
/5
( )
Kasus
( [ ( ( ))]) | | (
( ) (| |)) ( )
( | |)| | ( ( )
( ) (| || |)) ( )
disebut parameter skala (scale parameter).
Sifat 2.4.9. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Untuk suatu ,
( ) ( )
(2.26)
41
Bukti.
Kasus
(i) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
Dipunyai ( ).
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
(| | ( ( )) ( ) )
( ( ) )
( )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
Dipunyai ( ).
Jelas ( ).
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
( ) (| | ( ( ))( ) ( ) )
( ( )( ) )
( )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ( )”,
benar.
Kasus
(i) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
42
Dipunyai ( ).
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
(| | ( ( )) ( )
( )( (| |)) )
( ( )
( )( ( )) )
( )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
Dipunyai ( ).
Jelas ( ).
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
( ) 4| | ( ( ))( ) ( )
( )( (| |)) ( )5
4 ( )( ) ( )
( )( ( )) ( )5
( )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ⇒ ( )”, benar.
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ( ) ( )”, benar.
disebut parameter kemiringan (skewness parameter).
Sifat 2.4.10. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) ( ) simetri jika dan
hanya jika dan . simetri terhadap jika dan hanya jika .
Bukti.
43
Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ”, benar
dan “ simetris terhadap ”, benar.
(i) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ”,
benar.
a) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) ⇒ ”,
benar.
Dipunyai ( ) .
Jelas simetris jika dan berdistribusi sama atau .
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
kasus
(| | ( ( )) ( ) )
( )
kasus
(| | ( ( )) ( )
( )( (| |)) )
( ( )
( )( ( )) )
( )
Jadi terjadi ketika dan .
Jadi terbukti pernyataan “ ( ) simetris ⇒ ”, benar.
b) Ditunjukkan pernyataan “ dan ⇒ ( ) simetris”, benar.
Dipunyai ( ), .
Jelas ( ).
Jelas
44
( )
( )
Jadi diperoleh atau dengan kata lain ( ) simetris.
Jadi terbukti pernyataan“ dan ⇒ ( ) simetris”, benar.
Jadi terbukti pernyataan “ ( ) ”, benar.
(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) simetri terhadap ”, benar.
a) Ditunjukkan pernyataan “ ( ) simetri terhadap ⇒ ”, benar.
Dipunyai .
Jelas ( ), jadi .
Jadi terbukti pernyataan “ ( ) simetri terhadap ⇒ ”, benar.
b) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ( ) simetri terhadap ”, benar.
Dipunyai ( ), jelas .
Jelas
( ) ( )
dan
( ) ( )
( ) ( )
Berakibat , jadi ( ) simetri terhadap .
Jadi terbukti pernyataan “ ⇒ ( ) simetri terhadap ”, benar.
Jadi terbukti pernyataan “ ( ) simetri terhadap ”, benar.
45
Suatu variabel random stable simetri (symmetric stable) adalah stable
sempurna (strictly stable) tetapi variabel random stable sempurna (strictly stable)
tak perlu simetri.
Sifat 2.4.11. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12) Dipunyai ( ) dengan
. Maka stable sempurna (strictly stable) jika dan hanya jika .
Bukti.
Dipunyai independent copies dari dan dipunyai dan secara berturut-
turut konstanta positif. Dari Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.8 diperoleh
4 ( )
( )5
Dengan mengatur ( )
dalam Definisi 2.4.1. Dari Sifat 2.4.7 dan
Sifat 2.4.8 diperoleh
( ( )
( )
)
dan, dipunyai dengan jika dan hanya jika .
Akibat 2.4.12. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Akibat 1.2.7) Dipunyai
( ) dengan . Maka stable sempurna (strictly stable).
Bukti.
Berdasarkan Sifat 2.4.7 diperoleh ( ). Oleh sebab parameter
untuk variabel random , menurut Sifat 2.4.11 maka variabel random
stable mutlak.
Sifat 2.4.13. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Sifat 1.2.8) ( )
berdistribusi stable mutlak (strictly stable) jika dan hanya jika .
46
Bukti.
Dipunyai dan berdistribusi sama dengan dan dipunyai .
Maka, dari Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.6,
4 ( ) ( )
( )5
mengingat
( ) ( ( ) ( )
( ) ( ))
Oleh sebab itu dalam Definisi 2.4.1 jika dan hanya jika
( ) atau dengan kata lain jika dan hanya jika
( ) ( ) ( )
untuk suatu . Jadi cukup bahwa .
Akibat 2.4.14. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13) Jika bebas
stokastik ( ), maka
(
)
(2.27)
jika , dan
( )
(2.28)
jika .
Bukti.
Dipunyai bebas stokastik ( ).
47
Ditunjukkan
(i) kasus ditunjukkan
.
/.
ditunjukkan generalisasi Sifat 2.4.6 yaitu
( )
dengan
4 ⏟
5
( )
⏟
⏟
untuk
( ) sesuai dengan yang didefinisikan.
Andaikan pernyataan , benar.
( )
dibuktikan , benar.
.( )
( ) /
( ) ( )
48
dengan
(( )
)
( ) ( ( ))
( )
( )
jadi .
/, benar untuk bebas
stokastik ( ), .
Berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
(
) (|
| 4 (
)5
(
))
(
) (
)
(
) (
)
jadi untuk ,
.
/; dan
(ii) kasus , ditunjukkan
( ). Berdasarkan
generalisasi Sifat 2.4.6 diperoleh
( )
dengan
⏟
⏟
49
⏟
berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
( ) (| | ( ( ))
( )
( ))
( ) (
( )
( ))
( ) ( )
jadi ,
( ).
Akibat 2.4.15. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13)
1. Tidak ada variabel random -stable yang tidak mutlak bisa dibuat menjadi
stable mutlak dengan menggunakan geseran.
2. Setiap variabel random -stable mutlak bisa dibuat simetri melalui
penggeseran.
Bukti.
1. Ambil sembarang ( ), , dengan melakukan geseran
( )
( )
berdasarkan Sifat 2.4.13 maka variabel random tidak dapat dinyatakan
stable mutlak.
2. Ambil sembarang ( ), dengan menggunakan Akibat 2.4.12 maka
( )
( ).
Menurut Sifat 2.4.10 maka dinyatakan simetris.
50
Karena parameter hanya memperngaruhi pada lokasi maka biasanya
dianggap . Distribusi ( ) dikatakan miring ke kanan jika dan
miring ke kiri jika . Kemudian dikatakan miring seluruhnya ke kanan jika
dan miring seluruhnya ke kiri jika .
Sifat 2.4.16. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:16) Dipunyai berdistribusi
( ) dengan . Maka terdapat dua variabel yang bebas stokastik yaitu
dan dengan distribusi lazim ( ) sehingga
(
)
(
)
(2.29)
dan
(
) (
) (
(
)
(
))
(2.30)
Bukti.
Dipunyai ( ) dengan , ( ) ( ).
Kasus , ditunjukkan .
/
.
/
. Berdasarkan Sifat 2.4.8
diperoleh
(
)
(|(
)
| ( *(
)
+) )
51
(
)
((
)
)
(
)
((
)
)
(
)
(|(
)
| ( *(
)
+) )
(
)
((
)
)
(
)
((
)
)
Berdasarkan Sifat 2.4.9 diperoleh
(
)
((
)
)
Berdasarkan Sifat 2.4.6 diperoleh
(
)
* (
)
+ (
)
(
)
( )
dengan
*((
)
)
((
)
)
+
(
)
52
(
)
(
)
(( )
)
( ) (( )
)
(( )
)
(( )
)
(
)
(
)
( )
Jadi .
/
.
/
.
Kasus , ditunjukkan
(
) (
) (
(
)
(
))
Berdasarkan Sifat 2.4.8
(
) (|(
)| ( [(
)])
(
) (|
|) )
(
) (
(
) (
) )
(
) (| (
)| ( [ (
)])
(
) (|
|) )
(
) (
(
) (
) )
Berdasarkan Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
53
(
) [ (
) ] (
(
)
(
)) ( )
dengan
(
)
(
) ( )
. /
(
) (
)
(
) (
)
(
(
)
(
))
[
(
)
(
)]
(
(
)
(
))
Jadi
(
) (
) (
(
)
(
))
Sifat 2.4.17. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:19) Ketika , parameter
geseran sama dengan rataannya.
54
Bukti.
Dipunyai ( ) . Variabel random mempunyai mean
berhingga (melalui Sifat 2.4.19 dalam kasus , dan karena normal
ketika ). Selain itu, stable mutlak berdasarkan Akibat 2.4.12.
Dipunyai dan masing-masing berdistribusi sama dengan . Berdasarkan
Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3, hubungan
( ) ( ) ( )
( )
Untuk suatu dan positif. Ekspektasi yang diberikan untuk kedua sisi adalah
( , - ) ( , -) ( ) ( , - )
dan dengan begitu , -.
Dalam Bilik (2008) dijelaskan bahwa dari Definisi 2.4.4. menghantarkan pada
satu versi dari teorema limit pusat heavy-tail.
Teorema 2.4.18. (Breiman, 1968) Suatu fungsi distribusi F berada dalam domain
of attraction suatu hukum stable dengan jika dan hanya jika terdapat
konstanta , sehingga :
( )
( )
dan untuk setiap ,
⇒ ( )
( )
55
⇒ ( )
( )
Versi lain dari teorema dengan penyajian yang lebih kongkret. Pertama,
diperkenalkan definisi baru:
Definisi 2.4.19. (Whitt, 2002) Suatu fungsi terdefinisi pada ( ) disebut
regularly varying dengan indeks jika
( )
( )
Suatu fungsi terdefinisi pada ( ) disebut slowly varying jika
( )
( )
Misalkan adalah variabel random dengan fungsi distribusi . Dipunyai
menyatakan komplemen fungsi distribusi dan menyatakan komplemen
fungsi distribusi dari | | yang dinyakatan sebagai berikut.
(| | ) ( ) ( )
Dalam versi teorema selanjutnya digunakan notasi
( )
( )
dengan , suatu deret variable random yang
saling bebas stokastik.
Diperoleh versi selanjutnya untuk teorema limit pusat heavy-tale distribusi Stable:
56
Teorema 2.4.20. (Whitt, 2002) Dipunyai * + bariasan dari nilai nyata
variabel random yang i.i.d dengan fungsi distribusi . Fungsi distribusi
termasuk dalam domain of attraction dari ( ) untuk jika dan
hanya jika
( ) ( )
dengan adalah slowly varying, dan
( )
( )
Ruang skala konstanta harus memenuhi
( )
untuk
(∫
)
Dan konstanta yang dipilih memenuhi
{
∫ (
) ( )
∫ ( )
Dalam kasus ini,
( ), dengan adalah slowly varying (secara umum
berbeda dengan ).
57
2.5 Estimator
2.5.1 Estimator Parameter
Untuk menemukan estimasi dari parameter-parameter di dalam distribusi
Stable diperkenalkan beberapa macam estimator yang digunakan.
2.5.1.1 Estimator Hill
Estimator Hill yang diperkenalkan Hill (1975), merupakan salah satu
estimator grafik yang popular untuk indeks , yang berdasarkan urutan statistik,
dalam kelas heavy-tailed yang tidak hanya distribusi stable. Diberikan urutan
statistik dari sampel , estimator Hill dapat
didefinisikan sebagai
∑ ( ) ( )
(2.31)
dengan
( ) ( ) ( )
(2.32)
Akurasi dari nilai estimasi bergantung pada parameter ( ) yang
mengindikasi dimana ekor distribusi berawal. Nilai lebih mudah ditentukan jika
kita mengetahui distribusi samplingnya.
Estimator ini hanya digunakan untuk nilai-nilai ekstrim terbesar. Jika
, distribusi Pareto berada di dalam domain distribusi stable maka
estimator Hill dapat digunakan untuk mengestimasi indeks stable.
58
2.5.1.2 Estimator McCulloch
Estimator lain yang dapat digunakan untuk melakukan estimasi terhadap
parameter dalam distribusi stable adalah estimator yang diperkenalkan oleh
McCulloch (1986). Metode yang dikembangkan oleh McCulloch (1986)
merupakan generalisasi dari pendekatan Fama and Roll (1968, 1971) yang
mengembangkan metode yang lebih sederhana, menggunakan fungsi sederhana
dari satistik yang telah ditentukan, mereka bisa mengestimasi secara konsisten
begitu juga untuk dan yang hampir konsisten. Namun metode yang telah
mereka kembangkan terbatas pada kasus simetris , dan pada nilai , -.
Generalisasi ini dimaksudkan untuk menyediakan estimator yang konsisten untuk
keempat parameter, dengan yang berada pada range , -, dan pada range
, -. Seperti pada estimator Fama/Roll, estimator ini menggunakan fungsi
sederhana dari lima sampel quantil yang telah ditentukan, normal asimtotik dapat
dihitung dengan error standart asimtotik. Metode ini menghilangkan bias
asimtotik yang kecil dalam estimator Fama/Roll dari parameter dan ; pada
waktu yang sama ini mengurangi keterbatasan pada dan .
2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan
Misalkan dipunyai independen dari distribusi stable ( ),
parameter tersebut akan diestimasi. Dipunyai merupakan quantil populasi ke- ,
sehingga ( ) . Dipunyai merupakan quantil sampel, yang
sesuai tepat untuk kekontinuan. Jika urutannya tersusun naik, merupakan
estimator konsisten untuk .
59
Didefinisikan
(2.33)
Indeks ini independen terhadap dan . Tabulasi nilai sebagai suatu
fungsi ( ) ada pada Lampiran 1 Tabel 1. Dipunyai menjadi nilai sampel
yang bersesuai yaitu
(2.34)
merupakan estimator konsisten dari indeks .
Didefinisikan
(2.35)
Dipunyai menjadi nilai sampel yang bersesuaian, yaitu
(2.36)
Sama seperti , juga tidak bergantung pada salah satu atau .
Tabulasi fungsi ( ) ada pada Lampiran 1 Tabel 2. merupakan estimator
konsisten dari indeks
Hubungan
( )
( )
60
dapat dibalik untuk menghasilkan hubungan
( ),
( )
Parameter dan dapat diestimasi oleh
( ),
( )
Tabel 3 dan Tabel 4 (lihat Lampiran 1) menunjukan dan sebagai fungsi
dan .
Dengan sampel berhingga, dapat terjadi bahwa mungkin kurang dari
nilai terkecil yang diizinkan yaitu 2.439, dan oleh karena itu akan keluar dari
skala pada Table 3 (lihat Lampiran 1). Pada kasus ini harusnya diatur sama
dengan 2.0 dan mungkin diatur secara paksa ke signum ( ).
Standart Error (SE) dari estimator McCulloch dinyatakan sebagai
( )
√
(2.37)
dengan
merupakan Normalized Asymptotic Standart Deviations of Parameter
Estimates, dan merupakan ukuran sampel. Lebih lengkap lihat Lampiran 1
Tabel 5.
2.5.1.3 Estimator Hint
Estimator yang baru dikembangkan oleh Mittnik dan Paolella (1999)
dimana seperti McCulloch, didesain untuk memperjelas data berdistribusi stable,
61
akan tetapi berdasarkan fungsi estimasi Hill untuk suatu nilai (dalam estimator
ini, dinyatakan sebagai Hill-intercept atau . Telah ditemukan bahwa
keduanya perpotongan dan kemiringan penaksir linear ini bisa digunakan untuk
memperoleh ketepatan estimasi tertinggi. Bentuk dari estimatornya adalah
(2.38)
dimana merupakan perpotongan dalam regresi linear sederhana dari ( )
pada
, dimana elemen dari sedemikian sehingga dalam
langkah maksimum 2⌊
⌋ 3.
( )
(2.39)
melalui grafik koefisien ( ) untuk perpotongan ( ), dalam
Mittnik dan Paolella (1999, Gambar 2) seperti disajikan pada Gambar 2.1
diperoleh
62
Gambar 2.1 Koefisien ( ) untuk Perpotongan ( )
( ) ( ) ( )
diperoleh
(2.40)
Tidak seperti estimator McCulloh, baru diaplikasikan untuk simetri,
stable Paretian dengan lokasi sama dengan nol, dengan dan rataan sama
dengan nol, tetapi skalanya invarians.
( )
(2.41)
dengan
.
Untuk menentukan bahwa suatu estimator merupakan estimator yang baik,
dapat digunakan beberapa kriteria salah satunya kriteria Mean Squared Error
(MSE).
Dalam Dekking et al. (2005), definisi dari MSE dinyatakan sebagai
berikut.
63
Definisi 2.5.1. Dipunyai suatu estimator dari suatu parameter . Mean Squared
Error dari adalah bilangan ( ) ,( ) -.
Berdasarkan kriteria Mean Squared Error (MSE), estimator lebih baik
daripada estimator jika ( ) ( ).
2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3
R Studio merupakan semacam alat pendukung dalam penggunaaan
program R yang masing-masing secara bebas beredar di internet, dengan
menggunakan R Studio beberapa pekerjaan yang belum bisa dilakukan di R dapat
dilakukan di R Studio misal mendefinisikan fungsi sendiri melaui R script,
menyimpan fungsi tersebut dan menggunakannya kembali. Menggunakan R
Studio dengan interface yang lebih baik dapat mempermudah penggunanya
daripada menggunakan R secara langsung.
2.6.1 Interface R Studio
Gambar 2.2 merupakan interface dalam program R Studio yang masing-
masing bagian dapat dilihat pada Gambar 2.3, Gambar 2.4, Gambar 2.5, Gambar
2.6, dan Gambar 2.7.
Gambar 2.2 Interface R Studio
1 2
3
4
5
64
1. Menu Utama
Terdiri dari File, Edit, Code, View, Plot, Session, Project, Build, Tools,
dan Help. Ditambah pula shortcut seperti (6) New, (7) Open an existing file, (8)
Save current document, (9) Save all open documents, (10) Print the current
document, dan (11) Go to file/function.
Gambar 2.3 Bagian Menu Utama
2. Jendela Dokumen
Tempat untuk melakukan editing dokumen yang dibuat maupun membuat
R script, dan tempat untuk menjalankan script yang telah dibuat. Dilengkapi
dengan shortcut seperti (12) Go back/forward to the previous/next source
location, (13) Save current document, (14) Source on Save, (15) Find/Replace,
(16) Code Tools, (17) Run the current line or selection, (18) Re-run the previous
code region, (19) Source the active document, dan (20) Compile an HTML
notebook from the current R script.
Gambar 2.4 Jendela Dokumen
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20
65
3. Jendela Console
Jendela console berisi suatu keinstanan dari R, dengan kata lain tidak perlu
menjalankan program R secara terpisah.
Gambar 2.5 Jendela Console
4. Jendela Workspace dan History
Jendela workspace menampilkan hasil dari perintah yang dijalan di R
Studio, sedangkan jendela history menampilkan perintah apa saja yang telah
dijalankan di R Studio. Terdapat shorcut (21) Load Workspace, (22) Save
Workspace, (23) Import Dataset (import data yang telah tersimpan), (24) Clear all
objects from workspace, (25) Send the selected commands to the R console, (26)
Insert the selected commands into the current document, (27) Remove the selected
history entries.
Gambar 2.6 Jendela Workspace dan History
21 22 23 24 25 26 27
66
5. Jendela Files, Plots, Packages, dan Help
Jendela Files menampilkan bermacam-macam file yang tersimpan, jendela
Plots menampilkan gambar hasil dari berbagai perintah yang berhubungan dengan
plot gambar misal histogram, scatterplot, dan grafik-grafik yang lain, jendela
Packages menampilkan berbagai packages yang telah ada di R Studio selain bisa
menggunakan packages yang sudah ada dapat pula menambah package dengan
cara melakukan download package, jendela Help menampilkan berbagai
informasi yang berhubungan dengan packages yang telah ada di R Studio.
Tambahan shortcut yang cukup penting adalah (28) New Folder, (29) Delete, (30)
Rename, (31) More (berisi perintah Copy, Move, dll), (32) Zoom, (33) Export
(menyimpan plot dalam bentuk gambar atau pdf), (34) Install Packages (untuk
melakukan download packages yang diperlukan), dan (35) Check for Updates.
Gambar 2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help
28 29 30 31 32 33
67
2.6.2 Perintah dalam R Studio.
Disajikan beberapa macam perintah yang digunakan dalam R Studio.
1. Aritmatika
(Enter)
, -
(Enter)
, -
Operator matematika yang sering digunakan seperti +, -, ^, *, /, ==(sama
dengan), >= (lebih dari atau sama dengan), dan <= (kurang dari atau sama
dengan).
2. Objek
(Enter)
, -
Dapat pula menuliskan objek lain misal temp, seperti contoh berikut.
(Enter)
(Enter)
, -
3. Vektor
( ) (Enter) #Vektor dengan tiga elemen.
(Enter)
, -
, - (Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dari vektor x.
[1] 2
68
, ( )- (Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dan ke-3 dari vektor x.
, -
4. Matriks
( ( ) ) (Enter)
#Dua perintah terakhir dari fungsi matrix tersebut adalah ukuran baris dan kolom
dari matriks yang dibuat.
(Enter)
, - , -, - , -
( ) (Enter) #Menampilkan elemen baris pertama dari matriks y.
, -
5. Mode
( ) (Enter) #Menyatakan panjang total dari vektor x.
, -
Fungsi lain yang mendukung selain length, dim, mode, names adalah sebagai
berikut.
(a) sin, cos, tan, asin, acos, atan: fungsi trigonometri.
(b) log*, log10, exp: fungsi log dan eksponensial.
(c) min, median, max, quantile*: urutan statistik untuk suatu vektor.
(d) sum, prod: jumlah, produk dari elemen-elemen suatu vektor.
(e) var, sd, cov, cor: varian, standar deviasi, covarian, korelasi.
(f) union, intersect: gabungan, irisan dari himpunan.
(g) t: transpose matriks.
69
(h) %*%: perkalian matriks.
(i) solve*: inverse jika hanya satu matrik, penyelesaian untuk x dalam a%*%x=b
jika dua matriks.
(j) diag: diagonal matriks.
Selain menggunakan fungsi yang ada, fungsi baru dapat dibuat dalam R
script dengan perintah dasar fungsi sebagai berikut.
function ( )
{
}
6. Plot
(a) Scatterplots
Membuat matriks yang dinamakan regdata, seperti berikut.
( ( ( )) )
, - , -
, -
, -
, -
, -
, -
, -
# plot titik dari data:
( , - , -) #sumbu x merupakan argumen pertama.
# plot titik dari data dan dihubungkan dengan garis:
70
( , - , - )
# plot garis:
( , - , - )
# menambahkan label sumbu dan judul pada scatterplot:
( , - , -
)
# mengatur pembatasan dari sumbu y:
( , - , - ( ))
(b) Histograms
# plot histogram data random uniform(0,1):
> hist(runif(1000, min=0, max=1))
> hist(rnorm(1000, mean=0, sd=1))
#fungsi hist diijinkan untuk beberapa pilihan, lebih lengkapnya ketikan
`help(hist)'.
Untuk lebih lengkapnya, tutorial tentang R dapat dilihat di
http://research.pomona.edu/johardin/[email protected].
71
BAB 3
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini langkah-langkah yang dilakukan adalah merumuskan
masalah, studi pustaka, penyelesaian masalah dan penarikan kesimpulan.
3.1 Perumusan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga
mempermudah pambahasan selanjutnya.
3.2 Studi Pustaka
Dalam studi pustaka ini digunakan sumber pustaka yang relevan yang
digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian.
Studi pustaka dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa buku,
jurnal, makalah dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan
dengan pengkajian dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka
itu dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.
3.3 Pengumpulan Data
Data yang digunakan adalah data hasil pembangkitan melalui R studio,
berupa data random berdistribusi stable dengan dan .
Ukuran sampel
3.4 Pemecahan Masalah
3.4.1 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter beserta
MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan
estimator Hint dengan menggunakan program R studio.
72
3.4.2 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data
berdistribusi Stable dengan dan . Ukuran sampel
3.4.3 Melakukan simulasi dengan data yang telah disediakan dan fungsi
penghitung estimasi serta MSE yang telah dibuat, diperoleh MSE untuk
masing-masing nilai dengan ukuran sampel
3.4.4 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.
3.4.5 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.
3.4.6 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator.
3.5 Prosedur Penelitian
3.5.1 Mencari jurnal ataupun buku-buku yang berhubungan dengan teori
distribusi stable, distribusi normal, distribusi cauchy, teori estimator Hill,
estimator McCulloch, dan estimator Hint.
3.5.2 Mengkaji informasi tentang distribusi stable, distribusi normal, distribusi
cauchy, estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint.
3.5.3 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter beserta
MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan
estimator Hint dengan menggunakan program R studio.
3.5.4 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data
berdistribusi Stable dengan dan . Ukuran sampel
3.5.5 Melakukan simulasi dengan data dan fungsi yang telah dibuat.
73
3.5.6 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.
3.5.7 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator.
3.5.8 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator.
3.6 Penarikan Kesimpulan
Langkah ini merupakan langkah terakhir dari penelitan. Penarikan
kesimpulan didasarkan pada studi pustaka dan pembahasan permasalahan.
Simpulan yang diperoleh merupakan hasil analisis dari penelitian.
74
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini dijelaskan tentang penentuan estimator parameter terbaik
dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum untuk distribusi
stable.
4.1 Simulasi dan Hasil Analisis
4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di R Studio
Fungsi dibuat dalam dua bentuk yaitu fungsi untuk melakukan simulasi
dan fungsi untuk diterapkan dalam contoh menggunakan program R Studio. Pada
dasarnya landasan teori yang digunakan untuk kedua fungsi itu sama meliputi
estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint, perbedaannya terletak
pada tambahan perhitungan untuk MSE (Mean Squared Error). Perhitungan MSE
dibutuhkan dalam simulasi karena dalam pembahasan kali ini kriteria untuk
menentukan estimator parameter terbaik menggunakan kriteria MSE.
Sedangkan fungsi yang digunakan dalam perhitungan contoh, dibatasi hingga
perhitungan SE (Standart Error). Script lengkapnya lihat Lampiran 6 dan
Lampiran 7.
4.1.2 Pembangkitan Data
Pembangkitan data random berdistribusi Stable yang dibutuhkan dalam
simulasi menggunakan program Rstudio, melalui langkah-langkah berikut.
(i) Aktifkan package stabledist di Rstudio, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 4.1.
75
Gambar 4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist
(ii) Aktifkan script untuk membangkitkan data, dalam pembahasan ini script
dinamakan generating.R.
Gambar 4.2 Script generating.R
Pada baris pertama script yang ditunjukkan pada Gambar 4.2 gantikan
T dengan nama yang diinginkan dan isikan nilai n, alpha, beta dengan nilai
yang diinginkan, untuk script selanjutnya sesuaikan nilai variabel yang
76
dibutuhkan dengan nilai variabel yang telah diisikan pada script baris
pertama. Seperti yang telah dicontohkan pada gambar. Script lengkapnya lihat
Lampiran 5. Untuk menggunakan script generating.R, tekan tombol
Ctrl+Shift+Enter.
Pembahasan kali ini data yang dibangkitkan menggunakan batas
dan , dengan ukuran sampel .
Plot data hasil bangkitan dapat dilihat di Lampiran 2. Data yang telah
dibangkitkan muncul pada jendela Workspace di R studio, lihat Gambar 4.3.
Secara otomatis grafik plot data dan histogram data muncul di jendela Plots,
lihat Gambar 4.4. Contoh digunakan data random hasil bangkitan yaitu
dengan .
Gambar 4.3 Jendela Workspace Rstudio
Gambar 4.4 Plot Garis dan Histogram
77
4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan
Fungsi simulasi yang telah dibuat dinamakan functionhill.R,
functionhill.R, dan functionmccnew.R.
4.1.3.1 Simulasi untuk Estimator McCulloch
Aktifkan script functionmccnew.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela
Console ketikkan mcc( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan)
diikuti – Enter, maka muncul hasil yang ditunjukkan pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator McCulloch
Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
4.1.3.2 Simulasi untuk Estimator Hill
Untuk estimator Hill, setiap data dilakukan dua kali simulasi, alasannya
hasil dari estimasi dengan menggunakan estimator Hill selanjutnya akan
digunakan untuk estimasi dengan menggunakan estimator Hint.
78
Untuk estimator Hill, dipilih menggunakan seperti
dalam Paolella (2001), sebelumnya Mittnik & Paolella (1999) menggunakan
interval , kemudian Paolella (2001) mengungkapkan interval
dianjurkan untuk dengan ukuran sampel
. Walaupun dalam simulasi menggunakan
dengan ukuran sampel kurang dari , karena interval simulasi yang dilakukan
lebih mendekati dengan syarat-syarat tersebut, maka interval dari Paolella
(2001) yang dipilih untuk digunakan, dengan interval demikian memberikan
MSE yang cenderung bernilai kecil.
Aktifkan script functionhill.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console
ketikkan hill( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan,
adalah nilai yang dipilih dimana ) – Enter, hasil dapat dilihat pada
Gambar 4.6.
Gambar 4.6 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill
Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
79
Untuk simulasi kedua, dipilih nilai . Hasil ditunjukkan pada gambar 4.7.
Gambar 4.7 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill
Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
4.1.3.3 Simulasi untuk Estimator Hint
Aktifkan script functionhint.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console
ketikkan hint( ) ( merupakan nama data
yang dibangkitkan, dan secara berturut-turut menyatakan nilai dengan
dan yang digunakan pada estimasi data dengan
menggunakan estimator Hill, dan berturut-turut merupakan
nilai dari data dengan dan ) – Enter, hasilnya
seperti pada Gambar 4.8.
Gambar 4.8 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hint
80
Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
Hasil dari estimasi setiap data hasil bangkitan untuk setiap estimator lihat
Lampiran 3, MSE masing-masing estimator untuk setiap dan dapat dilihat di
Lampiran 4.
4.1.4 Analisis Hasil Simulasi
Berikut ini disajikan Tabel 4.1 yang memuat MSE minimum untuk ketiga
estimator yang digunakan untuk setiap nilai .
Tabel 4.1 MSE minimum untuk setiap
Hill Hint McCulloch
MSE MSE MSE
1.0 100 0.020979 40 0.006147 90 0.02704
1.1 100 0.034533 40 0.006147 90 0.02704
1.2 90 0.024085 40 0.006147 90 0.02704
1.3 90 0.026161 40 0.006147 90 0.02704
1.4 90 0.049709 40 0.006147 90 0.04761
1.5 100 0.052967 40 0.006147 100 0.042849
1.6 80 0.077512 40 0.006147 80 0.053561
1.7 70 0.106858 40 0.006147 90 0.095388
1.8 100 0.061001 40 0.006147 70 0.055441
1.9 100 0.069422 40 0.006147 80 0.067861
2.0 90 0.061999 40 0.006147 60 0.0081451
Dari nilai-nilai MSE minimal untuk masing-masing nilai
untuk setiap estimator yang digunakan, MSE terkecil di antara
untuk estimator Hill terjadi pada dengan . MSE terkecil di antara
81
untuk estimator Hint terjadi pada semua yang diperiksa dengan ,
kemudian untuk estimator McCulloch MSE terkecil di antara terjadi pada
dengan .
Disajikan pula Tabel 4.2 yang memuat MSE minimum untuk ketiga
estimator yang digunakan untuk setiap nilai .
Tabel 4.2 MSE minimum untuk setiap
Hill Hint McCulloch
MSE MSE MSE
30 1.1 0.072458 [1.0,2.0] 0.019099 1.2 0.07803
40 1.1 0.048717 [1.0,2.0] 0.006147 1.1 0.05041
50 1.3 0.052828 [1.0,2.0] 0.023287 1.3 0.040323
60 1.0 0.031827 [1.0,2.0] 0.032005 2.0 0.008145
70 1.2 0.025223 [1.0,2.0] 0.034715 1.2 0.028806
80 1.0 0.042932 [1.0,2.0] 0.03447 1.0 0.034031
90 1.2 0.024085 [1.0,2.0] 0.032928 [1.0,1.3] 0.02704
100 1.0 0.020979 [1.0,2.0] 0.030899 1.1 0.032041
Nilai MSE minimal untuk masing-masing nilai yang
telah disajikan, terlihat bahwa nilai MSE terkecil di antara untuk estimator Hill
terjadi pada dengan nilai . MSE terkecil di antara untuk
estimator Hint terjadi ketika yaitu pada semua yang diperiksa, dan
untuk estimator McCulloch, MSE terkecil di antara terjadi saat dengan
nilai .
Dari hasil pengamatan tabel nilai MSE masing-masing estimator,
diperoleh hasil bahwa MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimum terjadi
82
pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap yang diperiksa
yaitu .
4.2 Contoh
Menggunakan data return harian dari saham TLKM dengan nama
TLKMRETURN2, sebanyak 50 buah sampel yang mulai pada 20 Oktober 2011
sampai 30 Desember 2011. Hasil scatter plot dan histogram data
TLKMRETURN2 disajikan pada Gambar 4.9.
Gambar 4.9 Scatter plot dan Histogram Data TLKMRETURN2
Diperoleh hasil sebagai berikut.
Gambar 4.10 Hasil Estimasi data TLKMRETURN2
Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
83
Disebutkan bahwa estimator dengan standart error terkecil adalah estimator Hint
dengan dan .
84
BAB 5
PENUTUP
5.1 Simpulan
Berdasarkan hasil pembahasan pada Bab 4, diperoleh simpulan bahwa
berdasarkan estimator yang dipilih untuk digunakan yaitu estimator Hill, estimator
Hint, dan estimator McCulloch, dengan kriteria Mean Squared Error (MSE)
diperoleh hasil bahwa MSE minimal dengan ukuran sampel ( ) optimum terjadi
pada estimator Hint dengan yang berlaku untuk setiap yang diperiksa
yaitu .
5.2 Saran
1. Ukuran sampel yang relatif kecil seperti hasil simulasi lebih
disarankan menggunakan estimator Hint karena mampu menghasilkan MSE
minimal.
2. Pendekatan distribusi stable pada permasalahan finansial seperti pengambilan
keputusan menjual atau membeli saham tertentu dilihat dari plot histogram
histori return data saham tersebut. Bila puncak plot dari return saham tersebut
runcing(leptokurtik) simetris pada daerah positif atau condong ke daerah
positif artinya peluang saham tersebut mampu memberikan keuntungan lebih
besar sehingga investor lebih baik memutuskan untuk membeli saham
tersebut dan pemilik saham lebih baik memutuskan untuk menjual saham.
Tapi bila sebaliknya, artinya peluang saham akan menimbulkan kerugian
85
lebih besar sehingga tidak akan menguntungkan bila investor membeli saham
tersebut. Pemilik saham lebih baik tetap mempertahankan sahamnya.
86
DAFTAR PUSTAKA
Aunon, J. I., & Chandrasekar, V. 1997. Introduction to Probability and Random
Processes. McGraw-Hill Companies, Inc.
Bilik, A. 2008. Heavy-Tail Central Limit Theorem. Preprint diperoleh dari
http://www.math.ucsd.edu/~williams/courses/.../bilikHeavy_Tail_Notes.
pdf.
Bollerslev, T., Engle, R. F., & Nelson, D. B. 1994. ARCH models, In Handbook
of Econometrics. (Edited by R. Engle & D. McFadden). Elsiver Science,
Amsterdam.
Breiman, L. 1968. Probability. Boston: Addison-Wesley Publishing Company
Inc.
Burnecki, K., Gajda, J., & Sikora, G. 2011. Stability and lack of memory of the
returns of the Hang Seng index. Elsevier, 390:3136-3146.
Burnecki, K., Klafter, J., Magdziarz, M., & Wero, A. 2008. From solar flare time
series to fractional dynamics. Elsevier, 387:1077-1087.
Dekking, F. M., Kraaikamp, C., Lopuhaa, H. P., & Meester, L. E. 2005.
Introduction to Probability dan Statistics Understdaning Why dan How.
Springer.
DuMouchel, W. H. 1971. Stable Distributions in Statistical Inference. PhD
thesis, Yale University.
Fama, E. F., & Roll, R. 1968. Some properties of symmetric Stable distributions.
Journal of the American Statistical Association, 63:817–836.
Fama, E. F., & Roll, R. 1971. Parameters estimates for symmetric Stable
distribution. Journal of the American Statistical Association,
66(334):331–338.
Feller, W. 1971. An Introduction to Probability Theory dan Its Applications.
John Wiley, New York, 2nd edition.
Feuerverger, A., & McDunnough, P. 1981. On the efficiency of empirical
characteristic function procedures. Journal of the Royal Statistical
Society, 43:20–27.
Frain, J. C. 2009. Studies on the applications of the alpha-Stable distribution in
economics. Master’s thesis, University of Dublin.
Gnedenko, B. V., & Kolmogorov, A. N. 1954. Limit Distributions for Sums of
Independent Random Variables. Addison-Wesley Publishing Company.
87
Hill, B. M. 1975. A simple general approach to inference about the tail of a
distribution. The Annals of Statistics, 3(5):1163–1174.
Hogg, R. V., & Craig, A. T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics.
Macmillan Publishing Co., Inc., New York.
Holt, D. R., & Crow, E. L. 1973. Tables and Graphs of the Stable Probability
Density Functions. Journal of Research of the National Bureau of
Standards B, 77:143-198.
Kogon, S. M., & Williams, D. B. 1998. Characteristic function based estimation
of Stable distribution parameters. In Adler, R. J., Feldman, R. E., dan
Taqqu, M. S., editors, A Practical Guide to Heavy Tailed Data, pages
311–335. Birkhauser, Boston.
Koutrouvelis, I. A. 1980. Regression-type estimation of the parameters of Stable
laws. Journal of the American Statistical Association, 75:918–928.
Lukacs, E. 1970. Characteristic Functions. Charles Griffin & Company Limited
42 Drury Lane, London.
Magdziarz, M. 2009. Correlation cascades, ergodic properties and long memory
of infinitely divisible processe. Elsevier, 119:3416-3434.
Mandelbrot, B. 1963. The variation of certain speculative prices. Journal of
Business, 36:394–419.
McCulloch, J. H. 1986. Simple consistent estimators of Stable distribution
parameters. Communications in Statistics - Simulation dan Computation,
15(4):1109–1136.
McDonald, J. B., & Newey, W. K. 1988. Partially adaptive estimation of
regression models via the generalized t distribution, Econometric Theory,
4:428-457.
Mittnik, S., & Paolella, S. 1999. A Simple Estimator for the Characteristic
Exponent of the Stable Paretian Distribution. Mathematical and
Computer Modelling, 29:161-176.
Nolan, J. P. 1997. Numerical calculation of Stable densities and distribution
functions. Communications in Statistics : Stochastic Models, 13:759–
774.
Nolan, J. P. 2001. Maximum likelihood estimation dan diagnostics for Stable
distributions. In Barndorff-Nielsen, O. E., Mikosch, T., dan Resnick, S.
I., editors, Lévy Processes: Theory dan Applications, pages 379–400.
Birkhauser, Boston.
Owen, A. B. 1988. Empirical likelihood ratio confidence intervals for a single
functional. Biometrika, 75:237–249.
88
Owen, A. B. 1990. Empirical likelihood ratio confidence regions. The Annals of
Statistics, 18:90–120.
Paolella, M. S. 2001. Testing the Stable paretian assumption. Mathematical dan
Computer Modelling, 34:1095–1112.
Paulson, A. S., Holcomb, E. W., & Leitch, R. A. 1975. The estimation of the
parameters of the Stable laws. Biometrika, 62:163–170.
Press, S. J. 1972. Estimation in univariate dan multivariate Stable distributions.
Journal of the American Statistical Association, 67:842–846.
Qin, J., & Lawless, J. 1994. Empirical likelihood dan general estimating
equations. The Annals of Statistics, 22:300–325.
Rosadi, D. 2009. Testing for independence in heavy-tailed time series using
codifference function. Elsevier, 53:4516-4529.
Rosadi, D., & Deistler, M. 2009. Estimating the codifference function of linear
time series models with infinite variance. Metrik, 73:395-429.
Roussas, G. 2003. An Introduction to Probability dan Statistical Inference.
Academic Press.
Sato, K. 1999. L’evy Processes dan Infinitely Divisible Distributions. Cambridge
University Press.
Stone, C. J. 1996. A Course in Probability dan Statistics. China Machine Press.
Taqqu, M. S., & Levy, J. B. 2008. The dependence structure of log-fractiona
stable noise with analogy to fractional Gaussian noise. Rendiconti di
Matematica, 28:97-115.
Samorodnitsky, G., & Taqqu, M. S. 1994. Stable Non-Gaussian Random
Processes. Chapman and Hall.
Uchaikin, V. V., & Zolotarev, V. M. 1999. Chance and Stability Stable
Distributions dan their Applications. VSP.
Wang, C., Liao, M., & Li, X. 2008. Ship Detection in SAR Image based on the
Alpha-Stable Distribution. Sensors, 8:4948–4960.
Whitt, W. 2002. Stochastic-Process Limit: An Introduction to Stochastic-
Process Limits and Their Application to Queues. Springer.
Wylomanska, A. 2011. Measures of dependence for Ornstein-Uhlenbeck
processes with tempered stable distribution. Acta Physica Polonica B,
42:2049-2062.
89
Zolotarev, V. M. 1964. The First Passage Time of a Level and the Behavior at
Infinity for a Class of Processes with Independent Increments. Theory
Probability & Its Application, 9(4):653-662.
Zolotarev, V. M. 1986. One-Dimensional Stable Distributions. American
Mathematical Society, Providence.
Zwillinger, D., and Kokoska, S. 1957. Standard Probability and Statistics
Tables and Formulae. Chapman and Hall, Florida.
LAMPIRAN-LAMPIRAN
90
LAMPIRAN 1
Tabel 1 ( )
(McCulloch (1986), Tabel I)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
2.00 2.439 2.439 2.439 2.439 2.439
1.90 2.512 2.512 2.513 2.513 2.515
1.80 2.608 2.609 2.610 2.613 2.617
1.70 2.737 2.738 2.739 2.742 2.746
1.60 2.912 2.909 2.904 2.900 2.902
1.50 3.148 3.136 3.112 3.092 3.089
1.40 3.464 3.436 3.378 3.331 3.316
1.30 3.882 3.834 3.720 3.626 3.600
1.20 4.447 4.365 4.171 4.005 3.963
1.10 5.217 5.084 4.778 4.512 4.451
1.00 6.314 6.098 5.624 5.220 5.126
0.90 7.910 7.590 6.861 6.260 6.124
0.80 10.448 9.934 8.779 7.900 7.687
0.70 14.838 13.954 12.042 10.722 10.370
0.60 23.483 21.768 18.332 16.216 15.584
0.50 44.281 40.137 33.002 29.140 27.782
Catatan: ( ) ( )
Tabel 2 ( )
(McCulloch (1986), Tabel II)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
2.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.90 0.0 0.018 0.036 0.053 0.071
1.80 0.0 0.039 0.077 0.113 0.148
1.70 0.0 0.063 0.123 0.178 0.228
1.60 0.0 0.089 0.174 0.248 0.309
1.50 0.0 0.118 0.228 0.320 0.390
1.40 0.0 0.148 0.285 0.394 0.469
1.30 0.0 0.177 0.342 0.470 0.546
1.20 0.0 0.206 0.399 0.547 0.621
1.10 0.0 0.236 0.456 0.624 0.693
1.00 0.0 0.268 0.513 0.699 0.762
0.90 0.0 0.303 0.573 0.770 0.825
0.80 0.0 0.341 0.634 0.834 0.881
0.70 0.0 0.387 0.699 0.890 0.927
0.60 0.0 0.441 0.768 0.936 0.962
0.50 0.0 0.510 0.838 0.970 0.985
Catatan: ( ) ( )
91
Tabel 3 ( )
(McCulloch (1986), Tabel III)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
2.439 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2.5 1.916 1.924 1.924 1.924 1.924 1.924 1.924
2.6 1.808 1.813 1.829 1.829 1.829 1.829 1.829
2.7 1.729 1.730 1.737 1.745 1.745 1.745 1.745
2.8 1.664 1.663 1.663 1.668 1.676 1.676 1.676
3.0 1.563 1.560 1.553 1.548 1.547 1.547 1.547
3.2 1.484 1.480 1,471 1,460 1.448 1.438 1.438
3.5 1.391 1.386 1.378 1.364 1.337 1.318 1.318
4.0 1.279 1.273 1.266 1.250 1.210 1.184 1.150
5.0 1.128 1.121 1.114 1.101 1.067 1.027 0.973
6.0 1.029 1.021 1.014 1.004 0.974 0.935 0.874
8.0 0.896 0.892 0.887 0.883 0.855 0.823 0.769
10.0 0.818 0.812 0.806 0.801 0.780 0.756 0.691
15.0 0.698 0.695 0.692 0.689 0.676 0.656 0.595
25.0 0.593 0.590 0.588 0.586 0.579 0.563 0.513
Catatan: ( ) ( )
Tabel 4 ( )
(McCulloch (1986), Tabel IV)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
2.439 0.0 2.160 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 0.0 1.592 3.390 1.0 1.0 1.0 1.0
2.6 0.0 0.759 1.800 1.0 1.0 1.0 1.0
2.7 0.0 0.482 1.048 1.694 1.0 1.0 1.0
2.8 0.0 0.360 0.760 1.232 2.229 1.0 1.0
3.0 0.0 0.253 0.518 0.823 1.575 1.0 1.0
3.2 0.0 0.203 0.410 0.632 1.244 1.906 1.0
3.5 0.0 0.165 0.332 0.499 0.943 1.560 1.0
4.0 0.0 0.136 0.271 0.404 0.689 1.230 2.195
5.0 0.0 0.109 0.216 0.323 0.539 0.827 1.917
6.0 0.0 0.096 0.190 0.284 0.472 0.693 1.759
8.0 0.0 0.082 0.163 0.243 0.412 0.601 1.596
10.0 0.0 0.074 0.147 0.220 0.377 0.546 1.482
15.0 0.0 0.064 0.128 0.191 0.330 0.478 1.362
25.0 0.0 0.056 0.112 0.167 0.285 0.428 1.274
Catatan: ( ) ( )
92
Tabel 5
untuk parameter (McCulloch (1986), Table VIII a)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
2.00 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02
1.75 2.81 2.85 2.93 3.05 3.17
1.50 1.97 2.07 2.33 2.64 2.85
1.25 1.65 1.79 2.03 2.42 2.55
1.00 1.42 1.56 1.87 2.16 2.16
0.75 1.13 1.41 1.53 1.77 1.65
0.50 1.32 1.54 1.73 1.70 1.75
93
LAMPIRAN 2
Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable Hasil Bangkitan
94
95
96
97
LAMPIRAN 2
98
99
100
101
102
LAMPIRAN 2
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
LAMPIRAN 3
Daftar Nilai , MSE untuk Data Random Berditribusi Stable
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.3212 0.45577 0.207726 13 0.94448 0.3085 0.095172 2.292 -0.1382 0.019099 1.128 0 0.3012474 0.09075
40
16 1.3991 0.39886 0.159089 18 1.32797 0.3515 0.123552 1.4278 0.0784 0.006147 1.73 0.482 0.463237 0.2146225
50
20 1.2925 0.32069 0.102842 22 1.3009 0.3048 0.092903 1.0461 0.1526 0.023287 1.21 -0.689 0.3422397 0.117128
60
24 0.8201 0.18244 0.033284 26 0.8402 0.1784 0.031827 0.5536 0.1789 0.032005 0.896 0 0.18332121 0.03360667
70
28 1.1624 0.23639 0.05588 31 1.22867 0.2358 0.055602 0.51701 0.18632 0.034715 1.273 -0.136 0.19721272 0.03889286
80
32 1.1707 0.2206 0.048664 35 1.15612 0.2072 0.042932 1.1159 0.18566 0.03447 1.279 0 0.18447561 0.03403125
90
36 1.0086 0.17791 0.031652 40 1.02747 0.17095 0.029224 0.78789 0.18146 0.032928 1.004 0.284 0.1644384 0.02704
100
40 0.9107 0.15152 0.022958 44 0.9173 0.14484 0.020979 0.79262 0.17578 0.030899 1.128 0 0.165 0.27225
116
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.0232 0.35298 0.124595 13 0.8241 0.26918 0.072458 1.8842 -0.1382 0.019099 1.128 0 0.3012474 0.09075
40
16 1.10199 0.31416 0.098697 18 0.83382 0.22072 0.048717 1.8433 0.0784 0.006147 1.021 0.096 0.2245217 0.05041
50
20 1.15916 0.2875971 0.082712 22 1.2517 0.2932239 0.08598 0.0974 0.1526 0.023287 1.378 -0.332 0.2927422 0.085698
60
24 1.08129 0.24055588 0.057867 26 1.1261 0.2390583 0.057149 0.51667 0.1789 0.032005 1.014 0.19 0.2013951 0.04056
70
28 1.03778 0.21106394 0.044548 31 0.9822 0.18846889 0.035521 1.23965 0.18632 0.034715 1.114 0.216 0.18645566 0.03476571
80
32 1.13783 0.2144403 0.045985 35 1.1663 0.20899215 0.043678 0.78419 0.18566 0.03447 1.266 -0.271 0.20012808 0.04005125
90
36 1.20019 0.21171233 0.044822 40 1.1401 0.18968875 0.035982 1.32857 0.18146 0.032928 1.114 -0.216 0.1644384 0.02704
100
40 1.26187 0.20995154 0.04408 44 1.1769 0.18583127 0.034533 1.48549 0.17578 0.030899 1.25 -0.404 0.179 0.032041
117
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 0.8478 0.2924783 0.085544 13 0.91736 0.2996441 0.089787 -0.58311 -0.1382 0.019099 0.823 0.601 0.2793385 0.07803
40
16 1.2042 0.343305 0.117858 18 1.23974 0.3281652 0.107692 0.85064 0.0784 0.006147 1.386 -0.165 0.3114843 0.0970225
50
20 1.4628 0.3629295 0.131718 22 1.21561 0.28476287 0.08109 1.99987 0.1526 0.023287 1.664 0 0.397394 0.157922
60
24 1.4816 0.3296121 0.108644 26 1.31936 0.28008508 0.078448 1.88808 0.1789 0.032005 1.56 -0.253 0.2672359 0.071415
70
28 0.78683 0.1600249 0.025608 31 0.82766 0.1588166 0.025223 0.35575 0.18632 0.034715 1.021 -0.096 0.16972246 0.02880571
80
32 1.39557 0.2630147 0.069177 35 1.49347 0.2676259 0.071624 0.28273 0.18566 0.03447 1.471 -0.41 0.23143304 0.05356125
90
36 0.99827 0.17609405 0.031009 40 0.93276 0.15519365 0.024085 1.25534 0.18146 0.032928 1.004 0.284 0.1644384 0.02704
100
40 1.35742 0.2258483 0.051007 44 1.20165 0.18973132 0.035998 1.75364 0.17578 0.030899 1.386 -0.165 0.197 0.038809
118
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.1147 0.3845567 0.147884 13 0.9873 0.3224965 0.104004 1.672 -0.1382 0.019099 1.378 -0.332 0.3779286 0.14283
40
16 1.1733 0.3344957 0.111887 18 1.1714 0.310066 0.096141 1.0337 0.0784 0.006147 1.378 0.332 0.3272957 0.1071225
50
20 0.9427 0.2338802 0.0547 22 0.9812 0.2298433 0.052828 0.5316 0.1526 0.023287 1.121 -0.109 0.2008183 0.0403228
60
24 1.33488 0.29697147 0.088192 26 1.2697 0.26954989 0.072657 1.4923 0.1789 0.032005 1.480 -0.203 0.2672359 0.071415
70
28 1.2184 0.24779029 0.0614 31 1.2147 0.23307371 0.054323 1.073 0.18632 0.034715 1.279 0 0.19721272 0.03889286
80
32 1.3091 0.24672465 0.060873 35 1.3115 0.2350214 0.055235 1.0911 0.18566 0.03447 1.364 0.499 0.2269609 0.05151125
90
36 1.1055 0.1950039 0.038027 40 0.9721 0.1617443 0.026161 1.5583 0.18146 0.032928 1.101 -0.323 0.1644384 0.02704
100
40 1.5682 0.2609106 0.068074 44 1.4736 0.23267493 0.054138 1.6302 0.17578 0.030899 1.386 -0.165 0.197 0.038809
119
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.1265 0.3886229 0.151028 13 1.0761 0.3514865 0.123543 1.3241 -0.1382 0.019099 1.004 0.284 0.2848157 0.08112
40
16 1.9389 0.5527246 0.305504 18 1.5996 0.4234318 0.179294 2.1305 0.0784 0.006147 1.663 -0.36 0.4506246 0.2030625
50
20 1.6859 0.4183062 0.17498 22 1.4161 0.3317351 0.110048 2.0849 0.1526 0.023287 1.56 -0.253 0.2927422 0.0856980
60
24 1.3686 0.30447134 0.092703 26 1.2729 0.2702307 0.073025 1.6311 0.1789 0.032005 1.364 -0.499 0.26207187 0.06868167
70
28 1.3407 0.27266536 0.074346 31 1.3645 0.2618201 0.06855 0.9892 0.18632 0.034715 1.553 -0.518 0.27848827 0.07755571
80
32 1.5578 0.2935793 0.086189 35 1.3863 0.24842918 0.061717 1.8780985 0.18566 0.03447 1.471 -0.41 0.23143304 0.05356125
90
36 1.6769 0.2958197 0.087509 40 1.34 0.22295612 0.049709 2.1394716 0.18146 0.032928 1.471 0.41 0.2181972 0.04761
100
40 1.9275951 0.3207151 0.102858 44 1.6802 0.2652918 0.07038 2.0880698 0.17578 0.030899 1.73 0.482 0.293 0.085849
120
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.9342 0.6672396 0.445209 13 1.4504 0.4737475 0.224437 2.4474 -0.1382 0.019099 1.664 0 0.5130335 0.2632033
40
16 2.1391 0.6098155 0.371875 18 2.1028 0.5566283 0.309835 1.6017 0.0784 0.006147 2 1 0.6356178 0.40401
50
20 1.8249 0.45278 0.20501 22 1.8746 0.4391301 0.192835 1.1169 0.1526 0.023287 2 -1 0.5685139 0.323208
60
24 2.2029 0.4900893 0.240188 26 1.8792 0.3989292 0.159145 2.3178 0.1789 0.032005 2 0 0.5189798 0.26934
70
28 1.9096 0.3883811 0.15084 31 1.7687 0.3393895 0.115185 1.8375 0.18632 0.034715 1.663 0.36 0.3406402 0.1160357
80
32 1.9183 0.3615356 0.130708 35 1.8817 0.3371982 0.113703 1.5593 0.18566 0.03447 2 1 0.4494497 0.202005
90
36 1.5838 0.27937239 0.078049 40 1.4659 0.24390706 0.059491 1.6725 0.18146 0.032928 1.364 -0.499 0.21398079 0.04578778
100
40 1.4373 0.23913377 0.057185 44 1.4576 0.23014609 0.052967 1.0618 0.17578 0.030899 1.56 -0.253 0.207 0.042849
121
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.9961 0.6886071 0.47418 13 1.7664 0.5769814 0.332908 2.1464 -0.1382 0.019099 2 1 0.7339482 0.53868
40
16 2.2872 0.6520385 0.425154 18 2.1677 0.5738128 0.329261 1.8423 0.0784 0.006147 2 -1 0.6356178 0.40401
50
20 1.5135 0.3517938 0.123759 22 1.5018 0.3517938 0.123759 1.2763 0.1526 0.023287 1.663 0.76 0.4313351 0.18605
60
24 2.1566 0.4797849 0.230194 26 2.0877 0.4431924 0.19642 1.7729 0.1789 0.032005 2 -1 0.5189798 0.26934
70
28 2.2361 0.4547699 0.206816 31 1.7303 0.3320159 0.110235 2.3955 0.18632 0.034715 1.664 0 0.3358592 0.1128014
80
32 1.5516 0.29242127 0.08551 35 1.5536 0.27840917 0.077512 1.2263 0.18566 0.03447 1.56 0.253 0.23143304 0.05356125
90
36 2.0158 0.3555809 0.126438 40 1.8622 0.3098317 0.095996 1.88078 0.18146 0.032928 1.663 -0.36 0.3004164 0.09025
100
40 2.0109 0.3345757 0.111941 44 1.8368 0.2900163 0.084109 1.9616 0.17578 0.030899 1.663 0.76 0.305 0.093025
122
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.7534 0.6048836 0.365884 13 1.8254 0.5962564 0.355522 0.8275 -0.1382 0.019099 1.73 -0.482 0.5349424 0.2861633
40
16 2.0592 0.5870314 0.344606 18 1.7996 0.4763719 0.22693 2.0395 0.0784 0.006147 1.56 0.253 0.3272957 0.1071225
50
20 2.0359 0.5051416 0.255168 22 1.6761 0.3926407 0.154167 2.2675 0.1526 0.023287 2 1 0.5685139 0.3232080
60
24 1.7167 0.3819228 0.145865 26 1.7066 0.3622949 0.131258 1.3722 0.1789 0.032005 1.829 1 0.4092452 0.1674817
70
28 1.6073 0.326891 0.106858 31 1.5891 0.3049235 0.092978 1.3451 0.18632 0.034715 1.663 0.36 0.3406402 0.1160357
80
32 2.0439 0.3852079 0.148385 35 2.0015 0.3586729 0.128646 1.6242 0.18566 0.03447 1.663 -0.36 0.3186397 0.1015312
90
36 1.9159 0.3379722 0.114225 40 1.8611 0.3096466 0.095881 1.5946 0.18146 0.032928 1.73 0.482 0.30884912 0.09538778
100
40 2.189 0.3642136 0.132652 44 1.8951 0.2992184 0.089532 2.2021 0.17578 0.030899 1.916 0 0.402 0.161604
123
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 2.2219 0.7665121 0.587541 13 2.3149 0.7561402 0.571748 0.9809 -0.1382 0.019099 2 1 0.7339482 0.53868
40
16 2.1486 0.6125328 0.375196 18 2.2516 0.5960002 0.355216 1.1149 0.0784 0.006147 2 1 0.6356178 0.40401
50
20 2.2771 0.5649644 0.319185 22 1.9249 0.4509253 0.203334 2.2867 0.1526 0.023287 1.563 0 0.2786001 0.0776180
60
24 1.8924 0.4209935 0.177236 26 1.9099 0.4054405 0.164382 1.3012 0.1789 0.032005 1.924 1 0.5189798 0.26934
70
28 1.732 0.3522588 0.124086 31 1.7409 0.3340533 0.111592 1.2852 0.18632 0.034715 1.563 0 0.23546004 0.05544143
80
32 2.1065 0.3969957 0.157606 35 2.0149 0.3610755 0.130376 1.8004 0.18566 0.03447 1.73 -0.482 0.327584 0.1073113
90
36 1.6447 0.2901204 0.08417 40 1.5995 0.2661196 0.07082 1.4618 0.18146 0.032928 1.813 0.759 0.3214982 0.1033611
100
40 1.6173 0.269081 0.072405 44 1.5643 0.2469829 0.061001 1.4993 0.17578 0.030899 1.664 0 0.281 0.078961
124
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 1.8039 0.6222911 0.387246 13 1.5339 0.501016 0.251017 2.1901 -0.1382 0.019099 1.729 0 0.5130335 0.2632033
40
16 1.5233 0.4342737 0.188594 18 1.6617 0.4398666 0.193483 0.3689317 0.0784 0.006147 1.729 0 0.4443 0.1974025
50
20 2.4346 0.604041 0.364866 22 2.3229 0.5441534 0.296103 1.9169 0.1526 0.023287 2 -1 0.5685139 0.323208
60
24 2.1126 0.4699875 0.220888 26 2.1919 0.4653168 0.21652 1.0165 0.1789 0.032005 2 0 0.5189798 0.26934
70
28 1.8099 0.3680969 0.135495 31 1.8964 0.363897 0.132421 0.9107 0.18632 0.034715 1.73 -0.482 0.350202 0.1226414
80
32 1.6281 0.3068447 0.094154 35 1.6378 0.2934903 0.086137 1.2234 0.18566 0.03447 1.553 0.518 0.26050192 0.06786125
90
36 1.8772 0.3311343 0.10965 40 1.6149 0.2686823 0.07219 2.0586 0.18146 0.032928 1.663 0.36 0.3004164 0.09025
100
40 2.1116 0.3513217 0.123427 44 1.6687 0.2634799 0.069422 2.3117 0.17578 0.030899 1.924 -1 0.402 0.161604
125
Daftar nilai , MSE untuk data random berditribusi Stable dengan
Hill Hill Hint McCulloch
30
12 2.0487 0.706748 0.499493 13 2.1325 0.6965416 0.48517 0.9389 -0.1382 0.019099 2 -1 0.7339482 0.53868
40
16 1.9348 0.5515579 0.304216 18 1.8744 0.4961614 0.246176 1.5977 0.0784 0.006147 2 -1 0.6356178 0.40401
50
20 2.4556 0.6092545 0.371191 22 1.9748 0.4625963 0.213995 2.4177 0.1526 0.023287 2 1 0.568539 0.323208
60
24 2.0899 0.4649628 0.21619 26 1.8419 0.3910333 0.152907 2.1933 0.17891 0.032009 2 0 0.518989 0.26934958
70
28 2.2081 0.4490877 0.20168 31 2.0522 0.393785 0.155067 1.9422 0.18632 0.034715 2 1 0.4804819 0.2308629
80
32 1.6714 0.314991 0.099219 35 1.6563 0.2968074 0.088095 1.3698 0.18566 0.03447 1.813 -0.759 0.3410004 0.1162812
90
36 1.6666 0.2939825 0.086426 40 1.4965 0.2489955 0.061999 1.8289 0.18146 0.032928 1.829 1 0.3341473 0.1116544
100
40 1.847 0.3073127 0.094441 44 1.6908 0.2669632 0.071269 1.8834 0.17578 0.030899 1.916 0 0.402 0.161604
126
LAMPIRAN 4
MSE Parameter untuk Masing-masing Estimator
MSE parameter dengan menggunakan estimator Hill
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
30 0.207726 0.124595 0.085544 0.147884 0.151028 0.445209 0.47418 0.365884 0.587541 0.387246 0.499493
40 0.159089 0.098697 0.117858 0.111887 0.305504 0.371875 0.425154 0.344606 0.375196 0.188594 0.304216
50 0.102842 0.082712 0.131718 0.0547 0.17498 0.20501 0.123759 0.255168 0.319185 0.364866 0.371191
60 0.033284 0.057867 0.108644 0.088192 0.092703 0.240188 0.230194 0.145865 0.177236 0.220888 0.21619
70 0.05588 0.044548 0.025608 0.0614 0.074346 0.15084 0.206816 0.106858 0.124086 0.135495 0.20168
80 0.048664 0.045985 0.069177 0.060873 0.086189 0.130708 0.08551 0.148385 0.157606 0.094154 0.099219
90 0.031652 0.044822 0.031009 0.038027 0.087509 0.078049 0.126438 0.114225 0.08417 0.10965 0.086426
100 0.022958 0.04408 0.051007 0.068074 0.102858 0.057185 0.111941 0.132652 0.072405 0.123427 0.094441
MSE parameter dengan menggunakan estimator Hill
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
30 0.095172 0.072458 0.089787 0.104004 0.123543 0.224437 0.332908 0.365884 0.571748 0.251017 0.48517
40 0.123552 0.048717 0.107692 0.096141 0.179294 0.309835 0.329261 0.344606 0.355216 0.193483 0.246176
50 0.092903 0.08598 0.08109 0.052828 0.110048 0.192835 0.123759 0.255168 0.203334 0.296103 0.213995
60 0.031827 0.057149 0.078448 0.072657 0.073025 0.159145 0.19642 0.145865 0.164382 0.21652 0.152907
70 0.055602 0.035521 0.025223 0.054323 0.06855 0.115185 0.110235 0.106858 0.111592 0.132421 0.155067
80 0.042932 0.043678 0.071624 0.055235 0.061717 0.113703 0.077512 0.148385 0.130376 0.086137 0.088095
90 0.029224 0.035982 0.024085 0.026161 0.049709 0.059491 0.095996 0.114225 0.07082 0.07219 0.061999
100 0.020979 0.034533 0.035998 0.054138 0.07038 0.052967 0.084109 0.132652 0.061001 0.069422 0.071269
127
MSE parameter dengan menggunakan estimator Hint
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
30 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099 0.019099
40 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147 0.006147
50 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287 0.023287
60 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005 0.032005
70 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715 0.034715
80 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447 0.03447
90 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928 0.032928
100 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899 0.030899
MSE parameter dengan menggunakan estimator McCulloch
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
30 0.09075 0.09075 0.07803 0.14283 0.08112 0.2632033 0.53868 0.2861633 0.53868 0.2632033 0.53868
40 0.2146225 0.05041 0.0970225 0.1071225 0.2030625 0.40401 0.40401 0.1071225 0.40401 0.1974025 0.40401
50 0.117128 0.085698 0.157922 0.0403228 0.085698 0.323208 0.18605 0.323208 0.077618 0.323208 0.323208
60 0.0336067 0.04056 0.071415 0.071415 0.0686817 0.26934 0.26934 0.1674817 0.26934 0.26934 0.0081451
70 0.0388929 0.0347657 0.02880571 0.0388929 0.0775557 0.1160357 0.1128014 0.1160357 0.0554414 0.1226414 0.2308629
80 0.0340313 0.0400513 0.05356125 0.0515113 0.0535613 0.202005 0.0535613 0.1015312 0.1073113 0.0678613 0.1162812
90 0.02704 0.02704 0.02704 0.02704 0.04761 0.0457878 0.09025 0.0953878 0.1033611 0.09025 0.1116544
100 0.27225 0.032041 0.038809 0.038809 0.085849 0.042849 0.093025 0.161604 0.078961 0.161604 0.161604
128
LAMPIRAN 5
Script Membangkitkan Data Random Berdistribusi Stable
T <- rstable(n = a, alpha =b , beta =c )
plot(T, type = "l", main = "stable: alpha=b beta=c ",
col = "steelblue")
hist(T, n = round(1+(3.3*log10(length(T)))), probability = TRUE, border =
"white",
col = "steelblue")
x <- seq(-10, 10, 0.25)
lines(x, dstable(x, alpha = b, beta = c, tol= 1e-3), lwd = 2)
129
LAMPIRAN 6
Script Fungsi Estimator untuk Simulasi
Estimator Hill
hill <- function(x,a){
k <- a*length(x)
kbulat <- round(k)
absx <- abs(x)
sortabsx <- sort(absx)
sum <- sum((1/kbulat)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat))]))
alfainvers <- sum-log(sortabsx[length(x)-kbulat])
alfahill <- 1/alfainvers
sehill <- (kbulat*alfahill)/((kbulat-1)*(sqrt(kbulat-2)))
MSEhill <- (sehill*sehill)
myvec <- c(kbulat,alfahill,sehill,MSEhill)
return (myvec)
}
Estimator Hint
hint <- function(x,k1,k2,alfa1,alfa2){
Tperseribu <- length(x)/1000
k <- c(k1,k2)
kperseribu <- k/1000
alfahill <- c(alfa1,alfa2)
sumalfahillkperseribu <- sum(alfahill*kperseribu)
sumalfahill <- sum(alfahill)
sumkperseribu <- sum(kperseribu)
sumkperseribukuadrat <- sum(kperseribu*kperseribu)
ratakperseribu <- mean(kperseribu)
rataalfahill <- mean(alfahill)
m <- ((length(k)*sumalfahillkperseribu)
-(sumalfahill*sumkperseribu))/((length(k)*sumkperseribukuadrat)-
(sumkperseribu*sumkperseribu))
b <- rataalfahill-(m*ratakperseribu)
alfahint <- -0.811-0.3079*b+2.0278*sqrt(b)
sehint <- 0.0322-0.00205*Tperseribu+0.02273/Tperseribu-0.0008352/(Tperseribu*Tperseribu)
MSEhint <- (sehint*sehint)
myvec <- c(alfahint,sehint,MSEhint)
130
return (myvec)
}
Estimator McCulloch
mcc <- function(x){
sortx <- sort(x)
va <- (quantile(sortx,0.95)-quantile(sortx,0.05))/(quantile(sortx,0.75)-quantile(sortx,0.25))
vb <- (quantile(sortx,0.95)+quantile(sortx,0.05)-2*quantile(sortx,0.5))/(quantile(sortx,0.95)
-quantile(sortx,0.05))
rva <- round(va,3)
rvb <- round(abs(vb),1)
alfamcc <- if (rva<=2.445&(0.0<=rvb&rvb<=1.0)) {print(2.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.916)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.1<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.924)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.808)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(1.813)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.829)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.0){print(1.729)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(1.730)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.737)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.745)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.0){print(1.664)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.1<=rvb&rvb<=0.2)){print(1.663)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.668)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.676)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.0){print(1.563)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(1.560)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(1.553)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.548)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.547)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.0){print(1.484)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(1.480)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(1.471)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.460)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.448)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.438)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.0){print(1.391)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(1.386)}else
131
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(1.378)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.364)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.337)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.318)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.0){print(1.279)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(1.273)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(1.266)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.250)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.210)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.184)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.150)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.0){print(1.128)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(1.121)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(1.114)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.101)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.067)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.027)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.973)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.0){print(1.029)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(1.021)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(1.014)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.004)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.974)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.935)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.874)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.0){print(0.896)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.892)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.887)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.883)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.855)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.823)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.769)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.0){print(0.818)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&r==0.1){print(0.812)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.806)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.801)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.780)}else
132
if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.756)}else
if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.691)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.0){print(0.698)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.695)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.692)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.689)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.676)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.656)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.595)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.0){print(0.593)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.590)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.588)}else
if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.586)}else
if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.579)}else
if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.563)} else {print(0.513)}
betamcc <- if (rva&rvb==0.0){print(0.0)} else if (rva<=2.445&rvb==0.1){print(1.0)}else
if(rva<=2.445&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.1){print(1.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.2){print(1.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(0.759)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.2){print(1.0)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(0.482)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.0)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.694)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.1){print(0.360)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.2){print(0.760)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.232)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.6<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(0.253)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(0.518)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.823)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
133
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(0.203)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(0.410)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.632)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=6)){print(1.0)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(0.165)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(0.332)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.499)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.943)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(0.136)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(0.271)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.404)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.689)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(0.109)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(0.216)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.323)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.539)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.827)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(0.096)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(0.190)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.284)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.472)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.693)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.082)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.163)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.243)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.412)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.601)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.1){print(0.074)}else
134
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.147)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.22)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.377)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.546)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.064)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.128)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.191)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.330)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.478)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.056)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.112)}else
if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.167)}else
if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.285)}else
if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.428)}else {print(1.0)}
nasdmcc<-if(alfamcc<=0.625&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.32)}else
if(alfamcc<=0.625&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.54)}else
if(alfamcc<=0.625&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.73)}else
if(alfamcc<=0.625&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.70)}else
if(alfamcc<=0.625&betamcc>=0.926){print(1.75)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.13)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.41)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.53)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.77)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&betamcc>=0.926){print(1.65)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.42)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.56)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.87)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.16)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&betamcc>=0.926){print(2.16)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.65)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.79)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.03)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.676<betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.42)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&betamcc>=0.926){print(2.55)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.97)}else
135
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.07)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.33)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.85)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(2.81)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.85)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.93)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(3.05)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&betamcc>=0.926){print(3.17)}else {print(4.02)}
semcc <- nasdmcc/sqrt(length(x))
MSEmcc <- (semcc*semcc)
betatruemcc <- if (vb<0){print(-betamcc)}else {print(betamcc)}
myvec <- c(semcc,alfamcc,betatruemcc,MSEmcc)
return(myvec)
}
136
LAMPIRAN 7
Script Fungsi Estimator
estimator <- function(x,a1,a2){
k1 <- a1*length(x)
kbulat1 <- round(k1)
absx <- abs(x)
sortabsx <- sort(absx)
sum1 <- sum((1/kbulat1)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat1))]))
alfainvers1 <- sum1-log(sortabsx[length(x)-kbulat1])
alfahill1 <- 1/alfainvers1
sehill1 <- (kbulat1*alfahill1)/((kbulat1-1)*(sqrt(kbulat1-2)))
k2 <- a2*length(x)
kbulat2 <- round(k2)
sum2 <- sum((1/kbulat2)*log(sortabsx[c(length(x):(length(x)+1-kbulat2))]))
alfainvers2 <- sum2-log(sortabsx[length(x)-kbulat2])
alfahill2 <- 1/alfainvers2
sehill2 <- (kbulat2*alfahill2)/((kbulat2-1)*(sqrt(kbulat2-2)))
Tperseribu <- length(x)/1000
k <- c(k1,k2)
kperseribu <- k/1000
alfahill <- c(alfahill1,alfahill2)
sumalfahillkperseribu <- sum(alfahill*kperseribu)
sumalfahill <- sum(alfahill)
sumkperseribu <- sum(kperseribu)
sumkperseribukuadrat <- sum(kperseribu*kperseribu)
ratakperseribu <- mean(kperseribu)
rataalfahill <- mean(alfahill)
m<-((length(k)*sumalfahillkperseribu)
-(sumalfahill*sumkperseribu))/((length(k)*sumkperseribukuadrat)
- (sumkperseribu*sumkperseribu))
b <- rataalfahill-(m*ratakperseribu)
alfahint <- -0.811-0.3079*b+2.0278*sqrt(b)
sehint <- 0.0322-0.00205*Tperseribu+0.02273/Tperseribu-0.0008352/(Tperseribu*Tperseribu)
sortx <- sort(x)
va <- (quantile(sortx,0.95)-quantile(sortx,0.05))/(quantile(sortx,0.75)-quantile(sortx,0.25))
vb<-(quantile(sortx,0.95)+quantile(sortx,0.05)-2*quantile(sortx,0.5))/(quantile(sortx,0.95)-
quantile(sortx,0.05))
137
rva <- round(va,3)
rvb <- round(abs(vb),1)
alfamcc <- if (rva<=2.445&(0.0<=rvb&rvb<=1.0)) {print(2.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.916)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.1<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.924)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.0){print(1.808)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(1.813)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.829)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.0){print(1.729)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(1.730)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.737)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.745)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.0){print(1.664)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.1<=rvb&rvb<=0.2)){print(1.663)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.668)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.676)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.0){print(1.563)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(1.560)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(1.553)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.548)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.547)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.0){print(1.484)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(1.480)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(1.471)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.460)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.448)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.438)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.0){print(1.391)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(1.386)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(1.378)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.364)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.337)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.318)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.0){print(1.279)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(1.273)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(1.266)}else
138
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.250)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.210)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.184)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.150)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.0){print(1.128)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(1.121)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(1.114)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.101)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.067)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.027)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.973)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.0){print(1.029)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(1.021)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(1.014)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.004)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.974)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.935)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.874)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.0){print(0.896)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.892)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.887)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.883)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.855)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.823)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.769)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.0){print(0.818)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&r==0.1){print(0.812)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.806)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.801)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.780)}else
if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.756)}else
if((9.445<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.691)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.0){print(0.698)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.695)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.692)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.689)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.676)}else
139
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.656)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(0.595)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.0){print(0.593)}else if (rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.590)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.588)}else
if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.586)}else
if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.579)}else
if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.563)} else {print(0.513)}
betamcc <- if (rva&rvb==0.0){print(0.0)}else
if(rva<=2.445&rvb==0.1){print(1.0)}else
if(rva<=2.445&(0.2<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.1){print(1.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&rvb==0.2){print(1.0)}else
if((2.446<=rva&rva<=2.545)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.1){print(0.759)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&rvb==0.2){print(1.0)}else
if((2.546<=rva&rva<=2.645)&(0.3<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.1){print(0.482)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&rvb==0.2){print(1.0)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.694)}else
if((2.646<=rva&rva<=2.745)&(0.5<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.1){print(0.360)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&rvb==0.2){print(0.760)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(1.232)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else
if((2.746<=rva&rva<=2.945)&(0.6<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.1){print(0.253)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&rvb==0.2){print(0.518)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.823)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(1.0)}else
if((2.946<=rva&rva<=3.145)&(0.7<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.1){print(0.203)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&rvb==0.2){print(0.410)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.632)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.5<=rvb&rvb<=6)){print(1.0)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else
if((3.146<=rva&rva<=3.345)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.1){print(0.165)}else
140
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&rvb==0.2){print(0.332)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.499)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.943)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else
if((3.346<=rva&rva<=3.845)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.1){print(0.136)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&rvb==0.2){print(0.271)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.404)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.689)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(1.0)}else
if((3.846<=rva&rva<=4.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.1){print(0.109)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&rvb==0.2){print(0.216)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.323)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.539)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.827)}else
if((4.446<=rva&rva<=5.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.1){print(0.096)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&rvb==0.2){print(0.190)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.284)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.472)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.693)}else
if((5.446<=rva&rva<=7.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.1){print(0.082)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&rvb==0.2){print(0.163)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.243)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.412)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.601)}else
if((7.445<=rva&rva<=9.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.1){print(0.074)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&rvb==0.2){print(0.147)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.22)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.377)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.546)}else
if((9.446<=rva&rva<=14.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.1){print(0.064)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&rvb==0.2){print(0.128)}else
141
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.191)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.330)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.478)}else
if((14.446<=rva&rva<=24.445)&(0.9<=rvb&rvb<=1.0)){print(1.0)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.1){print(0.056)}else
if(rva>=24.446&rvb==0.2){print(0.112)}else
if(rva>=24.446&(0.3<=rvb&rvb<=0.4)){print(0.167)}else
if(rva>=24.446&(0.5<=rvb&rvb<=0.6)){print(0.285)}else
if(rva>=24.446&(0.7<=rvb&rvb<=0.8)){print(0.428)}else {print(1.0)}
nasdmcc<-if(alfamcc<=0.625&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.32)}else
if(alfamcc<=0.625&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.54)}else
if(alfamcc<=0.625&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.73)}else
if(alfamcc<=0.625&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.70)}else
if(alfamcc<=0.625&betamcc>=0.926){print(1.75)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.13)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.41)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.53)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(1.77)}else
if((0.626<=alfamcc&alfamcc<=0.875)&betamcc>=0.926){print(1.65)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.42)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.56)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(1.87)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.16)}else
if((0.876<=alfamcc&alfamcc<=1.125)&betamcc>=0.926){print(2.16)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.65)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(1.79)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.03)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&(0.676<betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.42)}else
if((1.126<=alfamcc&alfamcc<=1.375)&betamcc>=0.926){print(2.55)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(1.97)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.07)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.33)}else
if((1.376<=alfamcc&alfamcc<=1.625)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(2.85)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.0<=betamcc&betamcc<=0.175)){print(2.81)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.176<=betamcc&betamcc<=0.425)){print(2.85)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.426<=betamcc&betamcc<=0.675)){print(2.93)}else
142
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&(0.676<=betamcc&betamcc<=0.925)){print(3.05)}else
if((1.626<=alfamcc&alfamcc<=1.875)&betamcc>=0.926){print(3.17)}else {print(4.02)}
semcc <- nasdmcc/sqrt(length(x))
betatruemcc <- if (vb<0){print(-betamcc)}else {print(betamcc)}
minimal <- min(sehill1,sehill2,sehint,semcc)
est <- if (minimal==sehill1){print('Hill Estimator',a1)}else
if(minimal==sehill2){print('Hill Estimator',a2)}else
if(minimal==sehint){print('Hint Estimator')}else {print('McCulloch Estimator')}
simpulan <- if (minimal==sehill1){print(alfahill1)}else
if(minimal==sehill2){print(alfahill2)}else
if(minimal==sehint){print(alfahint)}else {print(alfamcc)}
se <- c(sehill1,sehill2,sehint,semcc)
alf <- c(alfahill1,alfahill2,alfahint,alfamcc)
myvec <- c(se,alf)
return (myvec)
}
143
LAMPIRAN 8
Data Saham TLKMRETURN2
Data
ke-i
Date Open High Low Close Volume Adj
Close
Return
1 20-Oct-11 7150 7250 7150 7250 14460000 7250 0
2 21-Oct-11 7300 7350 7250 7250 11297500 7250 0
3 24-Oct-11 7350 7350 7100 7250 25272500 7250 0,01369884
4 25-Oct-11 7350 7350 7250 7350 18935500 7350 0,00677969
5 26-Oct-11 7350 7400 7300 7400 14632500 7400 0,01342302
6 27-Oct-11 7400 7500 7400 7500 23000000 7500 -0,006689
7 28-Oct-11 7500 7550 7350 7450 21185500 7450 -0,006734
8 31-Oct-11 7450 7500 7300 7400 11012000 7400 0
9 1-Nov-11 7500 7500 7400 7400 9112500 7400 0,02006756
10 2-Nov-11 7400 7650 7350 7550 17162500 7550 -0,0066445
11 3-Nov-11 7500 7600 7500 7500 8350500 7500 0,01324523
12 4-Nov-11 7550 7650 7500 7600 7488500 7600 -0,0132452
13 7-Nov-11 7550 7550 7400 7500 7821000 7500 0
14 8-Nov-11 7450 7500 7400 7500 5409500 7500 0
15 9-Nov-11 7550 7550 7450 7500 15396500 7500 -0,013423
16 10-Nov-11 7400 7450 7350 7400 9176000 7400 0
17 11-Nov-11 7500 7500 7400 7400 9981000 7400 0,01342302
18 14-Nov-11 7400 7500 7400 7500 6056000 7500 -0,006689
19 15-Nov-11 7500 7500 7400 7450 10944000 7450 0,01333353
20 16-Nov-11 7450 7550 7450 7550 8607000 7550 0
21 17-Nov-11 7500 7600 7500 7550 6532000 7550 -0,0066445
22 18-Nov-11 7550 7600 7450 7500 9325500 7500 -0,006689
23 21-Nov-11 7450 7500 7350 7450 13900500 7450 0
24 22-Nov-11 7400 7450 7350 7450 8789000 7450 0,01333353
25 23-Nov-11 7400 7550 7400 7550 10087000 7550 -0,0066445
26 24-Nov-11 7450 7550 7450 7500 4384000 7500 -0,0270287
27 25-Nov-11 7450 7500 7300 7300 9227500 7300 0
28 28-Nov-11 7300 7400 7200 7300 10154500 7300 -0,020762
29 29-Nov-11 7250 7350 7150 7150 15538500 7150 0,02758796
30 30-Nov-11 7200 7400 7200 7350 19157000 7350 -0,006826
31 1-Dec-11 7450 7500 7300 7300 16020000 7300 0,00682597
32 2-Dec-11 7300 7400 7300 7350 7610000 7350 -0,0136988
33 5-Dec-11 7400 7400 7250 7250 9804000 7250 0,01369884
34 6-Dec-11 7350 7350 7250 7350 9851000 7350 -0,006826
35 7-Dec-11 7350 7400 7250 7300 14142000 7300 -0,0068729
36 8-Dec-11 7250 7350 7250 7250 10316000 7250 -0,0069204
37 9-Dec-11 7200 7300 7100 7200 28515000 7200 0,00692044
144
38 12-Dec-11 7250 7300 7200 7250 5550000 7250 -0,0138891
39 13-Dec-11 7150 7250 7100 7150 15612000 7150 -0,0070176
40 14-Dec-11 7050 7150 7050 7100 7224000 7100 0,00701757
41 15-Dec-11 7050 7150 7000 7150 21306500 7150 0
42 16-Dec-11 7150 7200 7150 7150 6582500 7150 -0,0140847
43 19-Dec-11 7150 7200 7050 7050 12016500 7050 -0,0071175
44 20-Dec-11 7150 7150 6900 7000 25250500 7000 0,01418463
45 21-Dec-11 7050 7150 7000 7100 24268000 7100 0,00701757
46 22-Dec-11 7150 7150 7050 7150 4899000 7150 0
47 23-Dec-11 7100 7200 7100 7150 3517500 7150 0,00696867
48 27-Dec-11 7200 7200 7100 7200 3745500 7200 -0,0210534
49 28-Dec-11 7200 7200 6950 7050 13480500 7050 0,01408474
50 29-Dec-11 7000 7200 6950 7150 9322000 7150 -0,0140847
51 30-Dec-11 7150 7150 7000 7050 10884000 7050