ENYELESAIAN OAL JIAN ENGAH SEMESTER 2010 SOAL...

Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2010 1

PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2010

SOAL A

Pengolahan data annual series curah hujan harian maximum, H mm, di suatu stasiun ARR

menunjukkan bahwa sebaran probabilitas suatu besaran curah hujan, pH(h), dapat dinyatakan

dengan suatu fungsi (pdf) berikut:

lain yang nilai untuk 0

10050jika 10050

500jika

h

hha

hahpH

1. Gambarkan pdf curah hujan harian maximum di stasiun tersebut.

2. Hitung konstanta a.

3. Cari dan gambarkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) curah hujan harian maximum H.

4. Hitung nilai rata-rata curah hujan harian maximum, H , di stasiun tersebut.

5. Hitung nilai simpangan baku curah hujan harian maximum, sH, di stasiun tersebut.

6. Hitung probabilitas curah hujan harian maximum antara 40 mm s.d. 60 mm,

prob(40 mm < H < 60 mm).

7. Jika pdf dan cdf di atas dapat dianggap tetap (konstan), hitung probabilitas curah hujan

tidak akan pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10 tahun ke depan.

PENYELESAIAN

Sketsa pdf

Probability density function, pdf, data curah hujan harian maximum dalam soal tersebut dapat

lebih mudah difahami dengan menampilkannya dalam bentuk grafik.

Konstanta a

Nilai kontanta a dicari dari definisi bahwa luas di bawah kurva pdf merupakan probabilitas

(peluang) seluruh curah hujan di stasiun tersebut; jadi luas di bawah kurva pdf sama dengan

satu.

0 50 100

a

pH(h)

H [mm]


1d

hhpH

1d0d10050

dd00

100

50

50

0

0

qhha

hah

12550

1050505010010010010010050

10500

21

21

a

aa

75

1 a

Tentu saja, luas di bawah kurva pdf di atas dapat pula dihitung dengan cara yang lebih mudah,

yaitu dengan memperhatikan trapesium yang dibentuk oleh salib sumbu dan kurva pdf.

Luas trapesium = 1

75

11

2

50100

aa

Fungsi distribusi kumulatif, cdf

hhphHhP HH dprob

Interval h ≤ 0

0hPH

Interval 0 ≤ h ≤ 50 mm

175

1d

75

1ChhhPH

Syarat batas: PH(0) = 0 C1 = 0

hhPH75

1

3

250

75

150 HP

Interval 50 mm ≤ h ≤ 100 mm

22

22

21 200

10075

1100

5075

1d100

5075

1ChhChhhhhPH

Syarat batas: PH(100) = 1

3

1

75

1001

10010010020010075

11

2

2

C

C


3

1200

10075

1 2

hhhPH

250020010075

1 2

hhhPH

Interval h ≥ 100 mm

1hPH

Persamaan pdf dan cdf curah hujan harian maximum.

Curah hujan harian H [mm]

pdf cdf

h ≤ 0 0hpH 0hPH

0 ≤ h ≤ 50 mm 75

1hpH hhPH

75

1

50 mm ≤ h ≤ 100 mm hhpH

1005075

1 2500200

10075

1 2

hhhPH

h ≥ 100 mm 0hpH 1hPH

Curah hujan rata-rata

Curah hujan rata-rata merupakan nilai expektasi curah hujan, E(H), yang merupakan momen

pertama terhadap sumbu ordinat pada pdf.

Memperhatikan bentuk geometri pdf yang berupa trapesium, maka momen pertama terhadap

sumbu ordinat pdf dapat dihitung dengan cara sebagai berikut (lihat sketsa pada gambar di

bawah):

3

5050

75

150

2

50

75

150

75

150100 2

121 H

mm 399

350H

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

pH(h

)

pro

b(H

< h

)

hujan harian, H [mm]

pdf

cdf


Momen pertama terhadap sumbu ordinat dapat dihitung pula dengan cara sebagai berikut:

mm 3918

700

6

81

3

50

6

50200

5075

1

3

50

3

50

3

100

5075

1

2

50100

2

100100

5075

1050

275

1

3

1

2

100

5075

1

275

1

d1005075

1d

75

1dE

2

33222

100

50

3250

0

2

100

50

250

0

hhh

hhhhhhhphH H

Simpangan baku curah hujan

Simpangan baku curah hujan, sH, merupakan akar kuadrat varian. Nilai varian dihitung sebagai

nilai momen kedua terhadap nilai rata-rata:

HHHHH 222EEEvar

60

5050

4

1550

3

15

75

1

504

150

4

1650

3

250

3

1650

3

1

75

1

504

1100

4

150

3

2100

3

1

5075

1

3

50

75

1

501004

150100

3

100

5075

1

3

50

75

1

d1005075

1d

75

1dE

333

33333

44443

44333

100

50

3250

0

222

hhhhhphhhphH HH

0 50 100

a

pH(h)

H [mm]

50/3 50/2

H


223

mm 9877.57018

700

60

50var

H

mm 24

8954.23

9877.570

Hs

Probabilitas curah hujan antara 40 s.d. 60 mm

25.075

19

40253612075

1

4075

125006060200

10075

1

4060

40prob60prob6040prob

2

HH PP

HHH

Probabilitas curah hujan tidak akan pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10

tahun ke depan

Dengan asumsi bahwa pdf dan cdf bersifat konstan, maka probabilitas curah hujan dalam

kurun 10 tahun dapat dihitung memakai persamaan distribusi binomial:

xnxX pp

x

npnxf

1,;

Persamaan di atas menyatakan frekuensi terjadi curah hujan x kali dalam kurun n tahun

apabila probabilitas terjadinya curah hujan per tahun adalah p. Probabilitas curah hujan

melebihi 70 mm, p, adalah:

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

pH(h

)

pro

b(H

< h

)

hujan harian, H [mm]

pdf

cdfprob(40 < H < 60)

prob(40 < H < 60)


012

25

3

75

975

661

2500707020010075

11

701

2

HPp

Dengan demikian, probabilitas curah hujan tidak pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10

tahun adalah:

2785.0

88.011

12.0112.00

1012.0,10;0

10

0100

Xf

SOAL B

Pengukuran evaporasi harian (dalam mm) selama 40 hari dari suatu stasiun menunjukkan nilai

evaporasi harian sebagai berikut:

3 8 12 9 9 11 4 9 7 1

8 11 5 13 11 11 10 11 7 9

8 15 8 7 10 5 7 6 9 10

13 11 7 10 13 13 5 10 12 15

1. Buatlah tabel frekuensi dan histogram (frekuensi, bukan frekuensi relatif) data evaporasi

harian tersebut. Lebar klas 2 mm dengan batas bawah klas pertama 0 mm (rentang klas

pertama 0 - 2 mm).

2. Hitunglah nilai rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian tersebut. Bulatkan kedua

nilai kedalam milimeter terdekat.

3. Hitunglah frekuensi (bukan frekuensi relatif) data evaporasi harian dalam setiap klas data

menurut distribusi normal.

4. Buatlah gambar perbandingan antara frekuensi data dan frekuensi teoretik menurut

distribusi normal (bukan frekuensi relatif).

5. Hitunglah rentang keyakinan nilai rata-rata evaporasi harian dengan tingkat keyakinan

90%.

6. Hitunglah tingkat keyakinan yang dimiliki seseorang yang menyatakan bahwa nilai rata-

rata evaporasi harian adalah antara 8 mm s.d. 11 mm.

7. Lakukan uji hipotesis bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah 10 mm dengan tingkat

keyakinan 80%.

PENYELESAIAN

Tabel frekuensi dan histogram

Penyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan cepat dengan menggunakan bantuan MSExcel.

Hitungan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi.


Distribusi frekuensi evaporasi harian (dalam mm) di suatu stasiun klimatologi.

Evaporasi harian E [mm]

Frekuensi f

f E [mm]

f E2 [mm2]

0 − 2 1 1 1 1 2 − 4 3 2 6 18 4 − 6 5 4 20 100 6 − 8 7 9 63 441 8 − 10 9 10 90 810

10 − 12 11 8 88 968 12 − 14 13 4 52 676 14 − 16 15 2 30 450

∑ 40 350 3464

Evaporasi harian rata-rata

mm975.840

350

f

EfE

Simpangan baku evaporasi harian

mm321.3

140

75.8403464

1

222

f

EfEfsE

Frekuensi evaporasi harian teoretis menurut distribusi normal

Distribusi frekuensi evaporasi harian teoretis menurut distribusi normal dapat dicari dengan

menggunakan bantuan tabel cdf atau tabel pdf distribusi normal, atau dengan menggunakan

bantuan MSExcel. Frekuensi teoretik suatu variabel random yang berdistribusi normal dihitung

dengan memakai persamaan berikut:

bawah batasatas batas


d

d

ePePef

e

ePeP

e

ePep

epeef

EEE

EEEE

EE

Dalam persamaan di atas, efE adalah frekuensi relatif, e adalah rentang klas, epE adalah

ordinat kurva normal standar, eEePE prob , ebatas atas dan ebatas bawah adalah batas atas dan

batas bawah rentang klas evaporasi harian. Dalam MSExcel, nilai PE(e) dicari dengan perintah

=NORMDIST(…), yaitu PE(1) = NORMDIST(1,9,3,TRUE). Nilai 9 dan 3 berturut-turut adalah nilai

rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian.

Apabila menggunakan tabel distribusi normal standar, nilai PE(e) harus diubah dulu kedalam

nilai normal standar.

EZ

EZ

ZZE

s

EeP

s

EeP

zPzPef

batasbawahbatasatas


Untuk klas pertama, 0 < E < 2, frekuensi teoretik menurut distribusi normal adalah:


0085.0

0013.00098.0

33333.2

3

90

3

92

ZZ

ZZE

PP

PPef

Nilai PZ(z) selain dapat diperoleh dari tabel distribusi normal standar, dapat pula diperoleh

dengan perintah =NORMSDIST(…) dalam MSExcel: PZ(−2.3333) = NORMSDIST(−2.3333) dan .

PZ(−3) = NORMSDIST(−3).

Apabila menggunakan MSExcel, nilai PE(e) dapat langsung dihitung dengan perintah

=NORMDIST(...). Untuk klas pertama, frekuensi teoretik dihitung sebagai berikut:

0085.0

0013.00098.0

TRUE,3,9,0NORMDISTTRUE,3,9,2NORMDIST

02bawah batasatas batas

EE

EEE

PP

ePePef

Dengan ukuran sampel 40 buah, maka frekuensi teoretik pada klas pertama adalah

0.0085 × 40 ≈ 0. Frekuensi teoretik untuk seluruh klas interval disajikan pada tabel di bawah

ini.

Distribusi frekuensi evaporasi harian di suatu stasiun menurut distribusi normal.

Data Distribusi Normal

Klas E (mm) Frek

f Klas Z PZ(z) fZ(z)

Frek f

0 − 2 1 -3.0000 – -2.3333 0.0013 – 0.0098 0.0085 0 2 − 4 2 -2.3333 – -1.6667 0.0098 – 0.0478 0.0380 2 4 − 6 4 -1.6667 – -1.0000 0.0478 – 0.1587 0.1109 4 6 − 8 9 -1.0000 – -0.3333 0.1587 – 0.3694 0.2108 8 8 − 10 10 -0.3333 – 0.3333 0.3694 – 0.6306 0.2611 10

10 − 12 8 0.3333 – 1.0000 0.6306 – 0.8413 0.2108 8 12 − 14 4 1.0000 – 1.6667 0.8413 – 0.9522 0.1109 4 14 − 16 2 1.6667 – 2.3333 0.9522 – 0.9902 0.0380 2

∑ 40 ∑ 38


Grafik distribusi evaporasi harian menurut data pengukuran dan distribusi teoretik

Memperhatikan perbandingan histogram data dan distribusi normal di atas, dapat disimpulkan

bahwa evaporasi harian di stasiun tersebut berdistribusi normal.

Rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata

Rentang keyakinan nilai rata-rata adalah suatu rentang dengan batas bawah L dan batas atas U

sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – ), atau dengan probabilitas ( nilai

evaporasi harian rata-rata, E, berada di dalam rentang tersebut adalah prob(L < E < U) =

(1). Jika E berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai

EE sEV berdistribusi t. Oleh karena itu, rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata

dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

1prob 21 v

s

Ev

E

E

Jika nilai v1 dan v2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v1) = prob(t > v2), dan dengan

demikian prob(t < v1) = prob(t > v2) = /2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan atas

rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat diperoleh dari:

1prob ,21,2 t

s

Et

E

Ea

1prob ,21,2 EEEa stEstE

Dalam persamaan di atas, t/2, dan t1/2,

masing-masing adalah nilai T sedemikian

hingga prob(T < t/2,) = /2 dan prob(T < t1/2,) = 1 /2 untuk = n 1 degrees of freedom,

nss EE , dan n adalah jumlah data (n = f). Nilai batas bawah dan atas rentang keyakinan

evaporasi harian rata-rata dengan demikian adalah:

0

2

4

6

8

10

12

0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16

Frek

uen

si

Evaporasi harian, E [mm]

Data

Distribusi Normal


nstEunstE EE ,21,2 dan .

Dengan nilai degrees of freedom = n – 1 = 39 dan tingkat keyakinan 1 = 0.90 (/2 = 0.05

dan 1 /2 = 0.95), maka dengan memakai tabel distribusi t atau fungsi =TINV(...), diperoleh

nilai-nilai sebagai berikut:

prob(T < t0.05,39) = 0.05 t0.05,39 = 1.6849 dan

prob(T < t0.975,39) = 0.975 t0.975,39 = 1.6849.

Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata

adalah:

mm 104036849.19 dan mm 84036849.19 u

sehingga: mm10mm8 E .

Tingkat keyakinan yang dimiliki seseorang yang menyatakan bahwa nilai rata-rata

evaporasi harian adalah antara 8 mm s.d. 11 mm

Batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dinyatakan dengan

persamaan berikut:

nstEunstE EE ba ,, dan

Jika mm 8 , maka

0207.0

1082.2

40398

,

,

a

a

a

t

t

dan untuk u = 11 mm, maka

5

,

,

101.7

2164.4

403911

b

b

b

t

t

Dengan demikian, tingkat keyakinan rentang keyakinan tersebut adalah:

1 − = 1 – (a + b) = 0.9792 ≈ 98%.

Uji hipotesis bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah 10 mm dengan tingkat

keyakinan 80%

Uji hipotesis ini dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut:

H0: = 10 mm

Ha: ≠ 10 mm

Karena varian populasi tidak diketahui, maka statistik uji dalam uji hipotesis ini adalah:


1082.2

1093

40

Es

nT

E

Dengan tingkat keyakinan 1 = 0.80, maka batas penerimaan hipotesis adalah:

3036.1

39,0.90-1*2TINV

39,90.0,21

tt

Karena |T| > t1/2,39, maka H0 ditolak.

-o0o-

ENYELESAIAN OAL JIAN ENGAH SEMESTER 2010 SOAL...

Documents

Transcript of ENYELESAIAN OAL JIAN ENGAH SEMESTER 2010 SOAL...