BAB V. INTEGRAL

5.1. Anti Turunan (Integral Tak-tentu)

Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah ∫ dx.... , sehingga

berdasarkan definisi dapat ditulis CxFdxxf +=∫ )().(

Contoh 1:

Tentukanlah anti turunan dari f(x) = 34x

Jawab:

F(x) = 4( 4

4

1x ) = x

4 yang memenuhi F’(x) = f(x) = 4x

3 , sehingga

Anti turunan dari f(x) = 34x adalah x4 + C

Dengan Derive:

Cara 1:

Tulislah: int(4x3, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Cara 2:

1. Tulislah: 4x3 enter

2. Klik icon Klik icon , ganti konstan 0 dengan c, dan OK

3. Klik icon

Menggambar f(x) dan anti turunannya:

Klik 4x3, lalu klik tanda gambar

Tulislah: Vector(x4 + c, c, -2, 2) enter, lalu klik tanda gambar

Definisi:

F suatu anti-turunan f pada selang I jika dan hanya jika Dx F(x) = f(x) pada

I, yakni F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, F’(x)

hanya perlu turunan sepihak)

=

∫

2

Tugas Kelompok:

1. Gunakan definisi untuk menentukan :

a. ∫ dxx2

3

1 pada (-∞,∞)

b. ∫ dxx3 pada (-∞,∞)

c. ∫ dxx 3/4 pada (-∞,∞)

2. Cocokkan jawaban anda pada 1 dengan menggunakan derive.

Aturan Pangkat

Tentukanlah integral tak-tentu berikut dengan menggunakan Derive:

a. ∫0x dx = ............

b. ∫ x dx = ............

c. ∫2x dx = ............

d. ∫3x dx = ............

3

e. ∫−1x dx = ............

f. ∫nx dx = ............

Dapatkah anda menyimpulkan ∫nx dx = ............

Berikan alasan dari kesimpulan anda,

...............................................................................

Tugas kelompok:

1. Untuk membuktikan Teorema A, harus ditunjukkan bahwa

))(()()( CxFDCxFdxxf x +⇒+=∫ = f(x). Buktikan Teorema A!

2. Dif(y, x) adalah untuk mencari diferensial y = f(x) terhadap x.

Konstruksilah langkah-langkah untuk membuktikan teorema aturan pangkat

dengan menggunakan derive.

3. Selesaikan berdasarkan aturan pangkat dan derive

a. ∫ dxx2

3

1

b. ∫ dxx3

c. ∫ dxx 3/4

Teorema A (Aturan Pangkat):

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ ++

=+

cxr

dxxrr 1

1

1; r≠1 dan r∈ Bilangan rasional

4

4. Tentukanlah integral tak-tentu ∫ )sin(x dx dan ∫ )cos(x dx dengan

menggunakan Derive, juga gambar grafik masing-masing fungsi dan anti

turunannya.

Buktikan teorema B tersebut dengan Derive!

Buktikan teorema tersebut secara teoritis (manual)!

Contoh 2:

Dengan menggunakan kelinearan integral, hitunglah dxxx )43( 2+∫

Jawab:

dxxx )43( 2+∫ = dxx∫

23 + dxx∫ 4 = x3 + C1 + 2x

2 + C2 = x

3 + 2x

2 + C

Dengan Derive:

Tulis: int(3x^2, x, c) + int(4x, x, d) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Klik F4, lalu ganti c+d dengan K enter

Klik icon Calculus, pilih Vektor, ubah variabel x ke k , isi starting value dengan -2

dan ending value dengan 2, OK, lalu klik tanda gambar

Teorema B:

∫ +−= cxdxx )cos()sin( dan ∫ += cxdxx )sin()cos(

Teorema C: Integral tak tentu adalah operator linear

1. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(

2. ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()([

3. ∫ ∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()([

5

Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Contoh 3:

Tentukanlah ∫ ++ dxxxx )63()6( 223

Jawab:

Misalkan u = xx 63+ maka du = dxx 63 2

+

∫ ++ dxxxx )63()6( 223 = ∫ duu 2 = CxxCu ++=+333 )6(

3

1

3

1

Teorema D (Aturan Pangkat):

Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan r suatu bilangan rasional

yang bukan -1, maka

∫ ++

=

+

cr

xgdxxgxg

rr

1

1)]([)(')([

1

6

Dengan Derive:

Misalkan u = x3 + 6x

1. Deklasilakan: u : = x3 + 6x enter dan du:=dif(u,x)

2. Klik

3. Tulis u2 , enter

4. Klik icon , ganti variabel x dengan u, OK

5. Klik , lalu Simplify >> Expand

Hasilnya adalah seperti gambar berikut.

Sehingga, cxxxx

dxxxx ++++=++∫357

9223 72366

3)126()6(

Tugas Kelompok:

Tunjukkan bahwa

33 )6(3

1xx + = 357

9

723663

xxxx

+++

∫

=

=

7

Soal-Soal Latihan:

Carilah anti-turunan untuk masing-masing fungsi berikut.

1. π+=2)( xxf

2. 4/5)( xxf =

3. 3 2

1)(

xxf =

4. xxxf +=2)(

5. 35 34)( xxxf −=

6. xxxxxf 245327)( 357+−+=

7. 32

23)(

xxxf −=

8. 3

46 34)(

x

xxxf

+=

Tentukanlah hasil integral-integral berikut dengan menggunakan operator linear.

9. ∫ + dxxx )( 2

10. ∫ + dxx 2)1(

11. ∫+

dzz

z22 )1(

12. ∫ − θθθ d)cos(sin

Gunakan aturan pangkat yang digeneralisir untuk menghitung integral berikut.

13. ∫ + dxx 2)12( 3

14. ∫ −++ dxxxx 632 )835)(15(

8

15. ∫ −++ dxxxx 235()15( 32

16. ∫ − dxtt 3 2 1123

17. ∫ − dxx )63sin(6

18. ∫ dxx

)6

(sin 3

19. ∫ + dxxxxx ))2sin()2cos(( 2

Carilah f(x) dengan mengintegralkannya dua kali.

20. 13)(" += xxf

21. xxf =)("

22. 3

4 1)("

x

xxf

+=

23. Andaikan F0(x) = x sin(x) dan Fn+1(x) = ∫ dxxFn )( , Tentukanlah:

a. F1(x), F2(x), F3(x), dan F4(x)

b. Berdasarkan bagian a, perkirakanlah Fn(x) untuk n genap dan n ganjil.

5.2. Pendahuluan Persamaan Diferensial

Contoh 4:

Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada

setiap titik pada kurva itu adalah 4x3 (dy/dx = 4x

3).

Jawab:

dxxdyxdx

dy 33 44 =⇒=

9

∫ ∫= dxxdy 34 , kedua ruas diintegralkan

y + C1 = x4 + C2

y = x4 + C

Karena kurva melalui (-1, 2) maka (-1, 2) disubstitusi pada y = x4 + C, diperoleh

2 = (-1)4 + C atau C = 1

Sehingga,

y = x4 + 1 merupakan persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2)

Dengan Derive:

1. Tulislah y = int(4x3, x, c), lalu enter

2. Klik icon SUB, masukkan nilai x = -1, Klik OK

3. Klik icon SUB, masukkan nilai y = 2, Klik OK

4. Klik , memperoleh c =1

5. Klik y = x4 + c, lalu Klik icon SUB, masukkan nilai c = 1, Klik OK.

Hasilnya adalah seperti gambar berikut.

≈

y=x4+1

10

Jadi persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap

titik pada kurva itu adalah 4x3 adalah y = x

4 + 1.

Berdasarkan uraian tersebut, maka dy/dx = 4x3 atau dy = 4x

3 dx disebut

persamaan diferensial.

Contoh 5:

Selesaikanlah persamaan diferensial 2

23

y

xx

dx

dy += , kemudian carilah

penyelesaian yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0.

Penyelesaian dengan Derive:

1. Tulislah: int(y2, y, c) = int(x + 3x

2, x, d) enter, lalu Klik icon

2. Persamaannya adalah dx

xcy

++=+23

23

3

atau 3 32

32

3Cx

xy ++=

3. Tulislah: 3 32

32

3Cx

xy ++=

4. Klik icon SUB, masukkan x = 0, Klik OK dan ulangi untuk y = 6, Klik OK

5. Klik , memperoleh c = 216

6. Klik 3 32

32

3Cx

xy ++= , Klik icon SUB, masukkan nilai c = 216, Klik OK.

Hasilnya adalah seperti gambar berikut.

Definisi:

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang tidak diketahui berupa

fungsi dan melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui

tersebut.

=

≈

11

Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial adalah 3 32

32

3Cx

xy ++= .

Penyelesaian khusus yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0 adalah

3 32

21632

3++= x

xy .

Contoh 6:

Anggaplah percepatan benda jatuh karena grafitasi adalah 32 kaki per detik

kuadrat dengan hambatan udara diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari

ketinggian 1000 kaki (Gambar 1) dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah

kecepatan dan tingginya 4 detik kemudian.

Gambar 1

1000

12

Jawab:

Mula-mula kecepatan v = ds/dt adalah positif (s meningkat) tetapi percepatan

a = dv/dt adalah negatif (tarikan grafitasi cenderung memperkecil v). Sehingga

titik awal persamaan diferensial adalah dv/dt = -32, dengan syarat v = 50 dan

s = 1000 pada saat t = 0.

dv/dt = -32

v = ∫− dt32 = -32t + C

Karena v = 50 pada t = 0, diperoleh C = 50, sehingga v = -32t + 50

Selanjutnya,

ds/dt = -32t + 50

s = ∫ +− dtt 5032 = -16t2 + 50t + K

Karena s = 1000 pada t = 0, diperoleh K = 1000, sehingga s = -16t2 + 50t + 1000

Akhirnya pada saat t = 4, diperoleh:

v = -32(4) + 50 = -72 kaki per detik dan

s = -16(4) + 50(4) + 1000 = 944 kaki.

Soal-oal Latihan:

Dalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang

diberikan, lalu carilah penyelesaian khususnya yang memenuhi syarat yang

ditunjukkan.

1. 11;12==+= xpadayx

dx

dy

13

2. 11; === xpadayy

x

dx

dy

3. 13

1;22

=== tpadazztdt

dz

4. 0100;1416 2==−+= tpadastt

dt

ds

5. 06;)12( 4==+= xpadayx

dx

dy

6. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (1,2) dan kemiringannya setiap

titik pada kurva itu adalah tiga kali koordinat-x-nya.

7. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada

setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali kuadrat koordinat-y-nya.

8. Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal

96 kaki per detik. Berapakah tinggi maksimum yang dicapai bola tersebut?

9. Pada permukaan Bulan, percepatan gravitasi adalah -5,28 kaki per detik per

detik. Jika sebuah benda dilemparkan ke atas dari ketinggian awal 1000 kaki

dengan kecepatan 56 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4,5 detik

kemudian.

10. Laju perubahan volume V suatu bola salju yang mencair berbanding lurus

dengan luas permukaan bola S; yakni dV/dt = -kS, dengan k konstanta positif.

Jika pada saat t = 0, jari-jari bola r = 2, dan saat t = 10, jari-jari r = 0,5.

Tunjukkan bahwa 220

3+−= tr .

14

5.3. Notasi Sigma

Perhatikan jumlah: 12 + 2

2 + 3

2 + 4

2 + ... + 100

2 = ∑

=

100

1

2

i

i

Penyelesaian dengan Derive:

1. Tulislah: i2

2. Klik icon Σ, masukkan lower limitnya 1 dan upper limitnya 100, OK

3. Klik icon

Hasilnya adalah seperti berikut.

Jadi 12 + 2

2 + 3

2 + 4

2 + ... + 100

2 = ∑

=

100

1

2

i

i = 338350

=

15

Tugas Kelompok

Gunakan derive untuk menemukan rumus jumlah khusus berikut:

a. ∑=

n

i

i1

= ...............................

b. ∑=

n

i

i1

2 = ...............................

c. ∑=

n

i

i1

3 = ...............................

d. ∑=

n

i

i1

4 = ...............................

Contoh 7:

Hitunglah: a. ∑=

10

1i

i b. ∑=

10

1

2

i

i c.

410

2

∑=i

i

Jawab:

a. 552

)110(1010

1

=+

=∑=i

i

b. 3856

)120)(110(1010

1

2=

++=∑

=i

i

c. 332.25130

)1109006000)(11(101

10

1

4410

2

4=−

−++=−=∑∑

== ii

ii

Definisi:

Misalkan a1, a2, a3, ... , an adalah n buah bilangan-bilangan. Jumlahan

a1 + a2 + a3 + ... + an dinotasikan sebagai sigma dengan simbol ∑=

n

i

ia1

16

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-4, tentukanlah hasil jumlah berikut.

1. 1 + 2 + 3 + .... + 41

2. 100

1...

3

1

2

11 ++++

3. ∑= +

7

1 1

1

k k

4. ∑=

−−

8

1

22)1(m

mm

5. ∑=

6

1

)cos(n

nn π

6. ∑= +

−40

1

)1

11(

k kk

7. ∑=

−100

1

23i

i

8. ∑=

−10

1

23

k

kk

9. ∑=

−n

i

i1

2)32(

10. Buktikan dengan induksi matematis rumus jumlah khusus yang telah anda

temukan dalam tugas kelompok.

17

5.4. Luas Poligon Dalam Riemann

Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh parabola y = f(x) = x2, sumbu-x, dan

garis tegak x = 3. Kita menggunakan acuan R sebagai daerah dibawah kurva

y = x2 diantara x = 0 dan x = 3. Sasaran kita menghitung luas daerah A(R) pada

gambar 2.

Gambar 2

Buatlah selang [0,3] menjadi 3 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi

f(x) = x2 dan lebar x∆ = 1 (lihat gambar 3),

Luas A(R1) = ∑=

∆2

0

)(i

i xxf = f(x0) x∆ + f(x1) x∆ + f(x2) x∆ = 0.1 + 1.1 + 4.1 = 5.

18

Gambar 3

Buatlah selang [0,3] menjadi 6 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi

f(x) = x2 dan lebar x∆ = 1/2 (lihat gambar 3),

Luas A(R2) = ∑=

∆5

0

)(i

i xxf

= f(x0) x∆ + f(x1) x∆ + f(x2) x∆ + f(x3) x∆ + f(x4) x∆ + f(x5) x∆

= 0(1/2) + (1/4)(1/2) + 1(1/2) + (9/4)(1/2) + 4(1/2) + (25/4)(1/2)

= 6,875.

19

dan seterusnya sampai n selang bagian diperoleh:

A(Rn) = ∑−

=

∆1

0

)(n

i

i xxf = ∑−

=

1

0

2 )3

()3

(n

i nn

i= ∑

−

=

1

0

2

3

27 n

i

in

= ]6

)12()1([

273

−− nnn

n

= ]32

[6

273

23

n

nnn +−= ]

132[

6

272

nn+−

A(R) = ∞→n

lim ]13

2[6

272

nn+− = 9.

Rumus umum poligon dalam Riemann:

∑−

=∞→

∆=1

0

)()( limn

i

i

n

xxfRA

Dengan Derive:

Left_Riemann(f(x),x,a,b,n) adalah untuk menghitung luas daerah poligon-

poligon dalam Riemann y = f(x), a ≤ x ≤ b, dan n selang bagian.

Tugas Kelompok

Konstruksilah langkah-langkah pengerjaan dengan Derive sehingga anda

menemukan bahwa A(R) = 9.

20

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-3, carilah luas poligon dalam yang ditunjukkan

1.

2.

3.

y=x+1

y=x+1

y=x+1

21

Dalam soal-soal 4-5, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b

pada selang bagian n yang diberikan.

4. f(x) = 3x -1, a = 1, b = 3, n = 4

5. f(x) = x2 – 1, a = 2, b = 3, dan n = 6

6. f(x) = x3 + x + 1, a = -1, b = 1, dan n = 10

Dalam soal-soal 6-10, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b.

Untuk melakukan ini, bagilah a ≤ x ≤ b atas n selang bagian, hitung jumlah luas

poligon dalam, dan tarik nilai limitn ∞→n .

7. 1,0,2 ==+= baxy

8. 1,1,22 =−=+= baxy

9. 1,0,3=== baxy

10. 1,0,3==+= baxxy

22

5.5. Integral Tentu

Contoh 8:

Hitunglah jumlahan Riemann f(x) = x2 + 1, -1 ≤ x ≤ 2

1. Deklarasikan: f(x):= x2 + 1

2. Tulislah: )/)((. nabkafn

ab−+

−

3. Tarik sigma ke-k, k = 1 sampai k = n,

4. Substitusi a = -1 dan b = 2

5. Tarik limit ke-n untuk n → ∞

6. Klik icon sama dengan.

Definisi

Grafik y = f(x) dalam interval [a,b], intervalnya dibagi atas n selang bagian

dengan panjang setiap poligon n

ab − dan tingginya f( kx ) untuk suatu kx

adalah titik tengah alas poligon maka

n

abkax

n

abkadenganxf

n

abk

n

k

k

−+≤≤

−−+

−∑

=

)1(;)(1

disebut jumlahan

Riemann.

23

Jadi hasil jumlahan Riemannnya adalah 6

Contoh 9: Hitunglah dxx∫−

+

3

2

)3(

1. Tulislah: (-2+i(5/n))(5/n) enter

2. Tarik sigma ke-i, i =1 sampai i = n, OK

3. Tarik limit n → ∞, OK

4. klik icon sama dengan.

Definisi

Misalkan |P| (norma P) menyatakan selang bagian yang terpanjang, dan f

terdefinisi pada selang tutup [a, b]. Jika ∑=

→ΙΙ∆

n

i

iiP

xxf1

0)(lim ada, maka f

terintegralkan pada [a, b]. Lebih lanjut dxxf

b

a

∫ )( disebut integral tentu

(Integral Riemann) f dari a ke b, yakni:

dxxf

b

a

∫ )( = ∑=

→ΙΙ∆

n

i

iiP

xxf1

0)(lim

24

Jadi dxx∫−

+

3

2

)3( = 35/2

Teorema A: Teorema Dasar kalkulus

Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang [a, b] , dan anggaplah

F sebarang anti turunan f pada [a,b], jadi

∫ −=

b

a

aFbFdxxf )()()(

25

Contoh 10: Hitunglah dxx∫−

+

3

2

)32(

Jawab:

dxx∫−

+

3

2

)3( = dxx∫−

3

2

2 + dx∫−

3

2

3

= ]]3

2

3

2

2 )3()(−−

+ xx

= )2(33.3())2(3( 22−−+−−

= 5 + 15 = 20

Menyelesaikan contoh 2 dengan Derive:

Int(f(x), x, a, b) adalah untuk menghitung integral tentu y = f(x) dari x = a ke b.

1. Tulislah: Int ( x + 2, x, -2, 3) enter

2. Klik icon sama dengan.

Teorema B: Integral tentu adalah operator linear

1. ∫ ∫=

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

2. ∫∫ ∫ +=+

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()([

3. ∫∫ ∫ −=−

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()([

26

Contoh 11:

Hitunglah - dxx∫ −

2

0

2 )4(

1. Tulislah: -Int(x2 - 4), x, -2, 3) enter

2. Klik icon sama dengan.

27

Jadi - dxx∫ −

2

0

2 )4( = 16/3

Jika daerah R sebagian terletak di atas sumbu-x dan sebagian berada di bawah

sumbu-x maka luasannya dapat dihitung dengan memanfaatkan teorema berikut.

Contoh 12:

Hitunglah dxx∫−

−

3

1

2 )82(

Teorema (sifat tambahan pada selang)

Jika f terdiferensialkan pada sebuah selang yang mengandung titik a, b, dan c

maka

dxxf

c

a

∫ )( = dxxf

b

a

∫ )( + dxxf

c

b

∫ )(

28

1. Tulislah: -Int(2x2 - 8), x, -1, 2) + int(2x

2 – 8, x, 2, 3) enter

2. Klik icon sama dengan.

Jadi dxx∫−

−

3

1

2 )82( = 68/3

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-6, Hitunglah integral tentu dengan menggunakan definisi.

1. dxx∫ +

2

0

)1( 4. dxx∫ +

2

0

2 )1(

2. dxx∫−

+

1

2

)2( π 5. dxx∫−

+

1

2

2 )23(

29

3. dxx∫ +

5

0

)1( 6. dxxx∫−

+

10

10

2 )(

Dalam soal-soal 7- 10, Hitunglah dxxf

b

a

∫ )( dengan a dan b batas kiri dan kanan

dimana f terdefinisi, dengan menggunakan sifat tambahan pada selang dan rumus

luas yang cocok dari geometri bidang.

7.

≤<

≤<

≤≤

=

52

212

102

)(

xjikax

xjika

xjikax

xf x

8.

≤≤+−

≤≤=

212)1(2

102)(

xjikax

xjikaxxf

9.

≤<−

≤≤−=

211

101)(

2

xjikax

xjikaxxf

10.

≤<−−

≤≤−−−=

2122

024)(

2

xjikax

xjikaxxf

Dalam soal-soal 11-16, Hitunglah integral berikut.

11. dxx∫ +

2

0

3 )1( 14. dxx∫6

0

)sin(

12. dxx∫1

0

)tan( 15. dxxx∫−

+−

2

1

24 )13(

13. dxx∫−

+−

4

2

||1 16. dxx∫

1

0

1