ENGINEERING ECONOMY - …debrina.lecture.ub.ac.id/files/2017/09/Ekonomi-teknik-04… · ·...

4 Oleh :

Debrina Puspita Andriani Teknik Industri

Universitas Brawijaya e-mail : [email protected]

www.debrina.lecture.ub.ac.id

O

U

T

L

I

N

E

1.  Gradien a.  Gradien Aritmatik b.  Gradien Geometrik

2.   Bunga Nominal vs Bunga Efektif 3.   Majemuk Kontinyu 4.   Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit 5.   Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu

ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 2

1. GRADIEN ARITMATIK


( )( )niGAGA

in

iGA n

,,/11

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−=

GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (1)

Seseorang berencana untuk menyimpan pemasukannya per tahun sebesar $1000 dan dapat menaikkan pemasukannya sebesar $200/tahun selama 9 tahun berikutnya.

Rangkaian cashflow bermula pada akhir tahun pertama, dan jumlah tabungan terakhir akan terjadi pada akhir tahun kesepuluh

Bila bunga adalah 8% per thn, berapa annual worth yang setara yang dimulai pada akhir tahun 1 dan berakhir pada tahun 10, dimana annual worth tsb memperhitungkan adanya rangkaian gradien/kenaikan pemasukan $200/thn?


SOLUSI :

A = $1.000+$200 10,08

−10

1+ 0,08( )10 −1

"

#$$

%

&''

A = $1.000+$200 12,5− 101,1589

"

#$%

&'

A = $1.000+$200 12,5−8,6287[ ]A = $1.000+$200 3,8713[ ]A = $1.000+$774,2628A = $1.774



Atau dengan Tabel

A = $1000+$200(A /G, i,n)A = $1000+$200(A /G,8%,10)A = $1000+$200(3.8713)A = $1.774, 26



Bunga 9% per tahun Tentukan annual worth yang ekivalen

SOLUSI :

( )( )

650.3$A350.1$000.5$A

2498,2600$000.5$A6%,9,G/A600$000.5$A

=-=-=-=



GRADIEN ARITMATIK


F = Gi(1+ i)N −1i(1+ i)N

−N

i 1+ i( )N"

#$$

%

&''1+ i( )N

F =G F /G, i%,N( )

P = Gi(1+ i)N −1i(1+ i)N

−N

i 1+ i( )N"

#$$

%

&''

P =G P /G, i%,N( )

GRADIEN ARITMATIK


G / P, i%,N( ) = G / A, i%,N( ) A / P, i%,N( )G / F, i%,N( ) = G / P, i%,N( ) P / F, i%,N( )G / A, i%,N( ) = G / F, i%,N( ) F / A, i%,N( )

Dan seterusnya.

HUBUNGAN P, F, A DENGAN G


G

A

F P

(A/G, i%, N) (G/A, i%, N)

(F/G, i%, N)

(G/F, i%, N)

(P/G, i%, N)

(G/P, i%, N)

2. GRADIEN GEOMETRIK


GRADIEN GEOMETRIK


P = F11+ g

1+ g '( )n −1g ' 1+ g '( )n

"

#$$

%

&''

P = F11+ g

P / A,g ',n( )

g ' = 1+ i1+ g

−1

[ ]

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+

+=→<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=→=

+=→>

n

n

ggg

gFPg

gnFPg

ngAPgFPg

'1'1'1

10'

10'

,',/1

0'

1

1

1

Catatan !

SOAL TUGAS

1. Pemasukan dari suatu usaha tertentu diestimasi akan naik 7% per tahun dari dasar tahun pertama sebesar $360.000. Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan suku bunga 15%?

2. Pemasukan dari aktivitas tertentu dihitung naik 10% per tahun dari awal tahun pertama $10.000. Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan tingkat suku bunga 10%?

3. Gaji lulusan terakhir diharapkan meningkat 12% per tahun dari awal $52.000 untuk 5 tahun berikutnya. Bila tingkat suku bunga diambil 10% selama periode tersebut, berapa harga saat ini atas pendapatan tersebut?


BUNGA NOMINAL VS BUNGA EFEKTIF

Muncul karena adanya pertimbangan frekuensi majemuk Tingkat suku bunga efektif adalah tingkat suku bunga aktual yang

digunakan bila periode pemajemukannya kurang dari satu tahun Tingkat suku bunga nominal dinyatakan atas dasar per tahun dan

ditentukan dengan mengalikan tingkat suku bunga aktual (efektif) per periode bunga dengan jumlah periode majemuk per tahun

Perhitungan tingkat bunga nominal mengabaikan nilai uang dari waktu


TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF

r = tingkat suku bunga nominal per tahun i = tingkat suku bunga efektif dalam interval

waktu (per periode pemajemukan) l = jangka interval waktu (dalam tahun) m = timbal balik dari jangka periode

majemuk/jumlah pemajemukan (dalam tahun) c = jumlah periode yang dimajemukkan

dalam interval waktu (c = l x m)


TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL


r = i x m

TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF


ieff = (1 + i)m – 1 ieff = (1 + r/m)m – 1

TING

KAT SUKU BUNG

A N

OM

INAL D

AN EFEKTIF


Jumlah Pemajemukan/

tahun (m)

Tingkat bunga Nominal

(r)%

Tingkat bunga efektif ieff%

1 15

2 15

12 15

365 15

TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF

Dengan pendekatan lain, tingkat bunga efektif dapat dihitung dari


ieff =F −PP

ieff =FP−1

F = P(1+ ieff )n ⇔ ieff =

FP#

$%&

'(

1N−1

CONTOH (1)

Seorang karyawan meminjam uang Rp. 3 juta dan dia harus mengembalikan pinjaman tersebut 6,5 tahun lagi sebesar 4,5 juta. Bila periode pemajemukan adalah 6 bulan, berapakah besarnya bunga efektif tahunan dari pinjaman tersebut?


JAWAB


setahun

ieff =FP!

"#$

%&

1N−1

ieff =4,53

!

"#$

%&

16,5−1

ieff =1,516,5 −1

ieff =1,0644−1ieff = 0,0644 = 6, 44%

i = FP!

"#$

%&

1n−1

i = 4,53

!

"#$

%&

113−1

i =1,5113 −1

i =1,0317−1i = 0,0317 = 3,17% %44,60644,0

10644,1

120634,01

11

0634,020317,0

2

==

−=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

=

×=

ii

i

mri

rr

m


JAWAB Atau juga bisa dengan cara

setahun per 6 bln

CONTOH (2)

Apabila seseorang menabung sebanyak Rp. 1 juta

sekarang, Rp. 3 juta untuk 4 tahun dari sekarang, dan

Rp 1,5 juta untuk 6 tahun dari sekarang dengan

tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan tiap

6 bulan, berapa uang yang ia miliki 10 tahun dari

sekarang?


CONTOH

Maka F = Rp. 1 juta (F/P, 12,36%, 10) + Rp. 3 juta (F/P,

12,36%, 6) + Rp. 1,5 juta (F/P, 12,36%, 4) = Rp. 11,6345 juta


CONTOH

Cara lain F = Rp. 1 juta [F/P, 12/2%, 2(10)] + Rp. 3 juta [F/P,

12/2%, 2(6)] + Rp. 1,5 juta [F/P, 12/2%, 2(4)] = Rp. 1 juta (F/P, 6%, 20) + Rp. 3 juta (F/P, 6%,

12) + Rp. 1,5 juta (F/P, 6%, 8) = Rp. 11,6345 juta


BUNGA SETAHUN EFEKTIF UNTUK MAJEMUK TERUS-MENERUS


ieff = limm→∞1+ r

m#

$%

&

'(m

−1

ieff = limm→∞1+ r

m#

$%

&

'(

mr*

+,,

-

.//

r

−1

limm→∞

1+ rm

#

$%

&

'(

mr≈ e

ieff = er −1 e = 2,71828

PEMAJEMUKAN KONTINYU UNTUK ALIRAN KAS DISKRIT


Single Payment Compound Amount Factor

Single Payment Present Worth Factor

Uniform Series Compound Amount Factor

Uniform Series Sinking Fund Factor

Uniform Series Present Worth Factor

Uniform Series Capital Recovery Factor

Gradien Aritmatik & Gradien Geometrik

SINGLE PAYMENT COMPOUND AMOUNT FACTOR


F = P(erN )F = P F / P, r%,N( )

SINGLE PAYMENT PRESENT WORTH FACTOR


P = F 1erN!

"#$

%&

P = F P / F, r%,N( )

UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR


F = A erN −1er −1

"

#$

%

&'

F = A F / A, r%,N( )

UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR


A = F er −1erN −1"

#$

%

&'

A = F A / F, r%,N( )

UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR


P = A 1− e−rN

er −1"

#$

%

&'

P = A erN −1erN er −1( )"

#$$

%

&''

P = A P / A, r%,N( )

UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR


A = P er −11− e−rN"

#$

%

&'

A = PerN er −1( )erN −1

"

#$$

%

&''

A = P A / P, r%,N( )

GRADIEN ARITMATIK


A =G 1er −1

−N

erN −1"

#$%

&'

A =G A /G, r%,N( )

GRADIEN GEOMETRIK


g ' =1+ er −1( )( )1+ g( )

−1

g ' = er

1+ g( )−1

P = F1P / A,g ',N( )1+ g

"

#$

%

&'

CONTOH

Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun dengan jumlah Rp 60.000 per tahun. Bila tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan secara kontinyu, hitunglah tingkat bunga efektif dan nilai awal (P) dari semua tabungannya!


JAWAB

( )

( )( )

624.3600104,6000.60

11000.60

11000.60

%52,101052,011

10,01010,0

1010,0

10,0

RpPRpP

eeeRpP

eeeRpP

ieiei

rrn

rn

r

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

==

−=

−=

×

×


Tingkat bunga efektif

Nilai P

42 ENGINEERING

ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.A

C.ID

UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR


( )nrAFAF

reAFrn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR


( )nrFAFAerFA rn

,,/1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR


( )nrAPAP

reeAP rn

rn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR


( )nrPAPA

erePA rn

rn

,,/

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

PEMBAYARAN TUNGGAL DAN SERAGAM DAN KONTINYU HANYA DALAM PERIODE N SAJA

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

r

rrn

rn

reeePF

erePF

1

1

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1

1

rrn

r

rn

eereFP

reeFP



Misalkan pengeluaran sebuah instansi terjadi secara kontinyu dengan total $10.000. Bunga uang dimajemukkan secara kontinyu dengan tingkat bunga 15% per tahun. Bila kita mengambil waktu studi 5 tahun, berapakah:

§ Nilai awal (P) § Nilai pada tahun kelima (F)

dari seluruh pengeluaran tersebut?

SOAL TUGAS

ENGINEERING ECONOMY - …debrina.lecture.ub.ac.id/files/2017/09/Ekonomi-teknik-04… · ·...

Documents

Transcript of ENGINEERING ECONOMY - …debrina.lecture.ub.ac.id/files/2017/09/Ekonomi-teknik-04… · ·...