Teleport EducacionalPreparatório para o ENEM

Aula 1Conteúdo: Conjunto

Professor (a): Alexandre Sena

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

• Quem somos?

• De onde viemos?

• Para onde vamos?

• Tem perguntas que nos fazemos quando somos

mais jovens que a nossa vida cuida de sufocar.

• Mas num certo momento, olhamos para dentro de

nós e então, as perguntas voltam com a mesma

força.

É a Filosofia onde não há margens para interpretações que

dependa do estado emocional, social, temporal de quem pensa a

respeito. Não abre margem para duvidas, por conta de credo, cor

ou localização geográfica. Raciocínio lógico e abstrato.

Alice's Adventures in Wonderland, frequentemente abreviado

para Alice in Wonderland (Alice no País das Maravilhas) é a

obra mais conhecida de Charles Lutwidge Dodgson, publicada a 4

de julho de 1865 sob o pseudônimo de Lewis Carroll.

Para onde eu vou? Para onde quer ir?

O know-how, é o conhecimento prático de como executar alguma tarefa,

ao contrário de know-what (fatos), know-why (ciência), ouknow-

who (comunicação).

Para viver o homem faz conta, ou faz de conta.

Não é possível viver sem know-how!

O homem pensa sobre o seu mundo e a cerca dele mesmo, nesse

ponto entra as quantidades.

Eu tenho comida, tem um, dois, três ou mais animais me

perseguindo?

O que me faz igual a outro ser humano?

P A R A C O N S T R U I R U M A C A S A

Base, fundação

A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos

nos exemplos a seguir:

- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A

- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A

- Existe algum: ∃∃- Qualquer que seja: ∀∀- Tal que: |

- E :

- Ou :

Conjuntos importantes:

- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado

por ∅ ou { }.

- Conjunto unitário: possui um único elemento.

Conjunto

Teoria dos conjuntos

Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos

chamados elementos e que cada elemento é um dos

componentes do conjunto.

Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra

maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras

minúsculas do nosso alfabeto.

Representação dos conjuntos

Enumeração ou listagem dos elementos:

Nesta representação, todos os elementos do conjunto são

representados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por

ponto e virgula ou por vírgula.

Seja “A” o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

A = {a, e, i, o, u}

Uma propriedade de seus elementos:

É a apresentação de um conjunto por meio de uma listagem de seus

elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos

em que o conjunto apresente uma infinidade de elementos. Para estas

situações, podemos fazer uma apresentação do conjunto por meio de uma

propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes

elementos.

Seja “A” o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

A = {x | x são as vogais do nosso alfabeto}

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número

natural, então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com

uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

A = {a, e, i, o, u}

O conjunto A tem número cardinal 5.

Diagrama de Venn – Euler:

A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Venn-

Euler é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são

representados por pontos interiores a uma linha fechada e não

entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores a linha

representação elementos que não pertencem ao conjunto

considerado.

Relação de Pertinência

Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz

parte de um conjunto A, dizemos que o elementos x pertence ao

conjunto A, indicado por:

Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A,

indicamos:

Obs.: Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos,

necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto,

nesta ordem.

Consideremos o conjunto A={0; 2; 4; 6; 8}. Indique se

verdadeiro ou falso as sentenças abaixo.

( ) 7 A.

( ) 2 A.

Relação de inclusão

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo

elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos

que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte

simbologia:

Em outra notação para relação de inclusão, temos:

B

A

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo

menos um elemento de A que não pertence a B.

B

A

Inclusão, estamos necessariamente,

relacionado um conjunto a outro

conjunto.

Se um conjunto A está contido no Conjunto B, dizemos

que A é um subconjunto de B.

Tipos de Conjuntos

Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elementos.

{ } ou

Quando vem dentro de um conjunto deve ser tratado

como subconjunto.

A={ { }, 0, 1}

Exemplo

Seja o conjunto A={ ;1 ; 2; 3}. São corretas as afirmações:

( ) A

( ) A

( ) A

Conjunto Unitário

É o conjunto formado por um único elemento.

Conjunto dos números primos, pares e positivos.

{ 2 }

Conjunto de satélites naturais da Terra.

{ Lua }

Conjunto da raiz da equação x+5=11.

{ 6 }

Conjunto das Partes

Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por

P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos.

Obs.: é um dos subconjuntos de qualquer conjunto e o

próprio conjunto.

Seja o conjunto A={2; 3; 5} determine o P(A).

vazio { }

Um elemento {2}; {3}; {5}

Dois elementos {2; 3} , {2; 5} , {3; 5}

Três elementos { 2; 3; 5 }Assim o Conjuntos das partes é

{ ; {2}; {3}; {5} ; {2; 3} , {2; 5} , {3; 5} ; { 2; 3; 5 } }

Número de elementos dos conjunto das partes

Podemos determinar o número de elementos do

conjunto das partes de um conjunto A dado, ou seja, o

número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja a

necessidade de escrevermos todos os elementos do

conjuntos P(A).

Assim o número de subconjuntos de A={2, 3, 5}, será:

Algumas Operações de Conjunto

Número de elementos na relação de conjuntos

0

Dizimas simples

É aquela em que a parte periódica vem logo após a vírgula.

0,111; 0,2525; 6,3434

Gerar número racional de uma dizimas:

Colocasse no numerador o período e no denominador tatos noves

quantos forem os algarismos do período, em seguida, simplifica-se.

Após a vírgula, a parte periódica vem depois de uma parte não

periódica.

0,1222 2,1444

Como obter:

Colocamos no numerador a parte não periódica seguida da

parte periódica, menos a parte não periódica. No denominador,

colocamos tantos noves quantos forem algarismos da parte

periódica, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos

da parte não periódica.

Dizimas composta

Conjunto dos números reais podem ser associados

biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que

nós chamamos de reta real ou eixo real.

(UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente,

representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes

conjuntos formam.

A região hachurada pode ser representada

por:

a) M ∪ (N ∩ P)

b) M – (N ∪ P)

c) M ∪ (N – P)

d) N – (M ∪ P)

e) N ∪ (P ∩ M)

Solução

Opção (B).

Os elementos da região

hachurada pertencem a

M e não pertencem

a N∪P-N∪P.

Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor

do Flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é

nascido na cidade do Rio de Janeiro?” 28 levantaram o braço.

Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos

determinar quantos alunos são flamenguistas e cariocas.

Flamenguistas: F

Cariocas: C

Das companhias que publicam anúncios nos jornais C, D ou F, sabemos que:

- 30 publicam no C,

- 25 publicam no D,

- 30 publicam no F,

- 10 publicam em C e D,

- 9 publicam em F e D,

- 11 publicam em C e F, e

- 6 publicam em C, D e F.

Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.

0-0) Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.

1-1) Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.

2-2) Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.

3-3) Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos três

jornais.

4-4) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.O gráfico inclui o número de companhias que publicam anúncios em três jornais, em

dois jornais e em um jornal. Segue do gráfico que: 4 + 5 + 3 = 12 companhias

publicam em exatamente dois dos jornais; 12 + 6 = 18 companhias publicam em

pelo menos dois dos jornais; 12 + 15 + 16 = 43 companhias publicam em um único

jornal; 43 + 12 + 6 = 61 companhias anunciam em pelo menos um jornal; 12

companhias publicam anúncios apenas no jornal D. FVVVF

(UFBA – 96) Na questão a seguir escreva

no parêntese a soma dos itens corretos,

considerando os conjuntos:

É verdade que:

A={0,1,2,3,}

B={2}

C={-2,-3}