VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

Nama: Emilia WatiProdi: Akuntansi Semester 3

Variabel Acak: deskripsi numerik dari hasil

percobaan

Variabel Acak Diskrit: variabel acak yang

mengambil nilai-nilai tertentu yang diperoleh dari

hasil penghitungan

Variabel Acak Kontinyu:variabel acak yang mengambil nilai-nilai dalam

suatu interval yang diperoleh dalam pengukuran

Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit

Syarat fungsi probabilitas diskrit: Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Diskrit

Dimana Menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari X.

Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu

dinyatakan dengan fungsi ƒ(x), dan sering disebut sbg fungsi kepadatan (density function) atau fungsi kepadatan probabilitas. Nilai ƒ(x) bisa ˃1.

Syarat fungsi kepadatan probabilitas;(i)ƒ(x) ≥ 0

(ii) ∫ ƒ(x)dx = 1

Catatan: ƒ(x) dx = P[x ≤ X ≤ (x + dx)], yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak pd interval x dan x + dx.

∞

-∞

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu, dihitung dengan rumus integral, yaitu

F(x) = P(X ≤ x) = ∫ ƒ(x)dx dimana nilai-nilai x bersifat kontinu atau dalam suatu integral

∞

-∞

Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability)

Bila X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, probabilitas bersama dinyatakan sebagai sebuah fungsi ƒ(x,y) yang diambil oleh variabel acak X dan Y, dirumuskan:

ƒ(x,y) = P(X = x, Y = y) dimana nilai ƒ(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan

Misalnya, dalam penerimaan mahasiswa baru, X menyatakan nilai rata-rata terendah yang diterima, dan Y menyatakan umur maksimum calon mahasiswa,maka ƒ(7,17) menyatakan probabilitas bahwa nilai rata-rata mahasiswa yangg mendaftar adalah 7 dan dia berusia 17 tahun.

Nilai Harapan dan Varians dr Variabel Acak Diskrit

Rata-rata μ dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan (expected value)dari variabel acaknya. Nilai harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil.Nilai Harapan Variabel Acak Distkrit

E(X) = μx = Σ xi p(xi)

= x1 p(x1) + x2 p(x2) + x3 p(x3) + ………… + xN p(xN)Dimana:x1 = nilai ke –i dari variabel acak Xp(x1) = probabilitas terjadinya x1

N

i = 1

Varians (σ2)dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.Varian Variabel Acak Distkrit

σ2 = E(X - μ)2 = ∑(xi - μ)2 p(xi)

Standar Deviasi Variabel Acak Distkrit

σ = √σ2 = √∑(xi - μ)2 p(xi)

i = 1

N

i = 1

N

Nilai Harapan dr Fungsi Probabilitas Bersama

Jika probabilitas bersama dinotasikan dengan p(x,y) untuk variabel acak X dan Y, maka nilai harapan dari variabel acak h(x,y) yang merupakan fungsi dari X dan Y adalah:

E[h(x,y)] = ΣΣ h(x,y) p(x,y)Kovariansadalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan σxy dan didefinisikan:

σxy = Σ [Xi – E(X)][Yi – E(Y)] p (xi,yi)

Standar deviasi dari penjumlahan dua variabel acak:σx+y = √σ2

x+y = √ σ 2

x+ σ 2 y + 2 σz

N

i = 1

Portofolio Expected Return:E(P)= ω E(X) + (1- ω) E(Y)

Portofolio Risk: