eliminasi_gauss

5/16/2018 eliminasi_gauss - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/eliminasigauss 1/14

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN

ELIMINASI GAUSS

Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc

Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia

email: [email protected] atau [email protected]

5 Februari 2005

Abstract

Secara umum, catatan ini bermaksud menjelaskan tentang cara penyelesaian prob-

lem sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss. Tapi intinya, catatan

ini mengulas konsep dasar metode eliminasi gauss dan algoritmanya serta dilengkapi

dengan scriptnya dalam Fortran.

1 Penyederhanaan

Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut

P n : an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn (1)

dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....

Contoh pertama

Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu

P 1, P 2, P 3, dan P 4 seperti berikut ini:

P 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

P 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3

P 4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

1



Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi

variabel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal

penyelesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem per-

samaan linear. Ada banyak jalan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun

masalahnya, kita ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa ber-

jalan di komputer, sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan

oleh komputer. Kita akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi untuk menyeder-

hanakan sistem persamaan linear di atas, yaitu

• Persamaan P i dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ, lalu hasilnya ditem-

patkan di posisi persamaan P i. Simbol operasi ini adalah (λP i) → (P i).

• Persamaan P j dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian dijum-

lahkan dengan persamaan P i, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P i.

Simbol operasi ini adalah (P i + λP j) → (P i).

• Persamaan P i dan P j dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah (P i) ↔ (P j).

Maka dengan berpegang pada aturan-aturan tersebut, problem sistem persamaan linear di

atas akan diselesaikan dengan langkah-langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaan P 1 untuk menghilangkan variabel x1 dari persamaan P 2, P 3

dan P 4 dengan cara (P 2 − 2P 1) → (P 2), (P 3 − 3P 1) → (P 3) dan (P 4 + P 1) → (P 4).

Hasilnya akan seperti ini

P 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,

P 2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7,

P 3 : −4x2 − x3 − 7x4 = −15,

P 4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8

2. Gunakan persamaan P 2 untuk menghilangkan variabel x2 dari persamaan P 3 dan

P 4 dengan cara (P 3 − 4P 2) → (P 3) dan (P 4 + 3P 2) → (P 4). Hasilnya akan seperti

ini

P 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,

P 2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7,

P 3 : 3x3 + 13x4 = 13,

P 4 : −13x4 = −13

2



Kalau x3 masih ada di persamaan P 4, dibutuhkan satu operasi lagi untuk menghi-

langkannya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis menghi-

langkan x3. Bentuk akhir dari keempat persamaan di atas, dikenal sebagai bentuk

triangular.

Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan lin-

ear yang lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini?

Suatu sistem persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan selu-

ruh nilai pengganti variabelnya dengan cara yang lebih mudah atau dengan usaha

yang tidak memakan waktu lama dibandingkan sebelum disederhanakan. Sekali

kita mendapatkan nilai pengganti bagi variabel x4, maka x3, x2 dan x1 akan diper-oleh dengan mudah dan cepat, sebagaimana yang dijelaskan pada langkah berikut-

nya.

3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang

pertama kali didapat adalah nilai pengganti bagi variabel x4, kemudian x3, lalu

diikuti x2, dan akhirnya x1.

P 4 : x4 =−13

−13= 1,

P 3 : x3 =1

3(13 − 13x4) =

1

3(13 − 13) = 0,

P 2 : x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = −(−7 + 5 + 0) = 2,

P 1 : x1 = 4 − 3x4 − x2 = 4 − 3 − 2 = −1

Jadi solusinya adalah x1 = −1, x2 = 2, x3 = 0 dan x4 = 1. Coba sekarang anda

cek, apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan

linear yang pertama, yaitu yang belum disederhanakan?

OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba diulangi bacanya sekali

lagi. Atau, sekarang kita beralih kecontoh yang lain.

3



Contoh kedua

Misalnya ada sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaitu P 1,

P 2, P 3, dan P 4 seperti berikut ini:

P 1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = -8

P 2 : 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = -20

P 3 : x1 + x2 + x3 = -2

P 4 : x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4

Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan

langkah-langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaan P 1 untuk menghilangkan x1 dari persamaan P 2, P 3 dan P 4 den-

gan cara (P 2 − 2P 1) → (P 2), (P 3 − P 1) → (P 3) dan (P 4 − P 1) → (P 4). Hasilnya

akan seperti ini

P 1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,

P 2 : −x3 − x4 = −4,

P 3 : 2x2 − x3 + x4 = 6,P 4 : 2x3 + 4x4 = 12

Perhatikan persamaan P 2! Akibat dari langkah yang pertama tadi, x2 hilang dari

persamaan P 2. Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu,

posisi P 2 mesti ditukar dengan persamaan yang berada dibawahnya, yaitu P 3 atau

P 4. Supaya proses triangularisasi dilanjutkan kembali, maka yang paling cocok

adalah ditukar dengan P 3.

2. Tukar posisi persamaan P 2 dengan persamaan P 3, (P 2 ↔ P 3). Hasilnya akan

seperti ini

P 1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,

P 2 : 2x2 − x3 + x4 = 6,

P 3 : −x3 − x4 = −4,

P 4 : 2x3 + 4x4 = 12

4



3. Gunakan persamaan P 3 untuk menghilangkan x3 dari persamaan P 4 dengan cara

(P 4 − 2P 3) → (P 4). Hasilnya akan seperti ini

P 1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,

P 2 : 2x2 − x3 + x4 = 6,

P 3 : −x3 − x4 = −4,

P 4 : 2x4 = 4

Sampai disini proses triangularisasi telah selesai.

4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertamakali didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan akhirnya x1.

P 4 : x4 =4

2= 2,

P 3 : x3 =−4 + x4

−1= 2,

P 2 : x2 =6 + x3 − x4

2= 3,

P 1 : x1 = −8 + x2 − 2x3 + x4 = −7

Jadi solusinya adalah x1 = −7, x2 = 3, x3 = 2 dan x4 = 2.

Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear,

diperlukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backward-

substitution kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur.

Gabungan proses triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem per-

samaan linear dikenal sebagai metode eliminasi gauss.

2 Matrik dan Eliminasi Gauss

Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear.

Sejenak, mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti

5



berikut ini:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

Sementara, kalau dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, maka akan seperti ini:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x1

x2...

xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

b1

b2...

bn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(2)

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss,

bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik

yang berukuran n x (n + 1) seperti berikut ini:⎡

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n | b1

a21 a22 . . . a2n | b2...

...... |

...

an1 an2 . . . ann | bn

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n | a1,n+1

a21 a22 . . . a2n | a2,n+1...

...... |

...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥⎦(3)

Berdasarkan contoh pertama yang ada dihalaman depan catatan ini, saya akan tun-

jukkan proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem

persamaan linear yang terdiri dari empat persamaan matematika, yaitu (silakan lihat kem-

bali contoh pertama):

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 32 1 −1 1

3 −1 −1 2

−1 2 3 −1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

x1x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

41

−3

4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut:⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 3 | 4

2 1 −1 1 | 1

3 −1 −1 2 | −3

−1 2 3 −1 | 4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

6



Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom

pertama, yaitu

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 3 | 4

0 −1 −1 −5 | −7

0 −4 −1 −7 | −15

0 3 3 2 | 8

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya

⎡

⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 3 | 4

0 −1 −1 −5 | −70 0 3 13 | 13

0 0 0 −13 | −13

⎤

⎥⎥⎥⎥⎦

Sebelum dilanjutkan ke substitusi-mundur, saya ingin menegaskan peranan angka-angka

indeks dari masing-masing elemen matrik augment tersebut. Silakan perhatikan posisi

masing-masing elemen berikut ini:

⎡

⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 3 | 4

0 −1 −1 −5 | −7

0 0 3 13 | 13

0 0 0 −13 | −13

⎤

⎥⎥⎥⎥⎦ →

⎡

⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 a13 a14 | a15

a21 a22 a23 a24 | a25

a31 a32 a33 a34 | a35

a41 a42 a43 a44 | a45

⎤

⎥⎥⎥⎥⎦

Dengan memperhatikan angka-angka indeks pada matrik augment di atas, kita akan men-

coba membuat rumusan proses substitusi-mundur untuk mendapatkan seluruh nilai peng-

ganti variabel x. Dimulai dari x4,

x4 =a45

a44=

−13

−13= 1

ini dapat dinyatakan dalam rumus umum, yaitu

xn =an,n+1

ann

lalu dilanjutkan dengan x3, x2, dan x1.

x3 =a35 − a34x4

a33=

13 − [(13)(1)]

3= 0

x2 =a25 − (a23x3 + a24x4)

a22=

(−7) − [(−1)(0) + (−5)(1)]

(−1)= 2

x1 =a15 − (a12x2 + a13x3 + a14x4)

a11=

4 − [(1)(2) + (0)(0) + (3)(1)]

1 = −1

7



ini juga dapat dinyatakan dalam rumus umum yaitu:

xi = ai,n+1 −n

j=i+1 aijx j

aii

Proses triangularisasi dan substitusi-mundur dibakukan menjadi algoritma metode

eliminasi gauss yang dapat diterapkan dalam berbagai bahasa pemrograman komputer,

misalnya fortran, C, java, pascal, matlab, dan lain-lain.

3 Algoritma eliminasi Gauss

Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

... =...

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

Algoritma dasar metode eliminasi gauss, adalah sebagai berikut:

1. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu

matrik yang berukuran n x (n + 1) seperti berikut ini:

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n | b1

a21 a22 . . . a2n | b2...

...... |

...


⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n | a1,n+1

a21 a22 . . . a2n | a2,n+1...

...... |

...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4)

Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik aug-ment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2,...,n.

2. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen

pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22,

..., ann atau disingkat aii. Jika aii = 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun,

jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu

berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (P i) ↔ (P j)

dimana j = i + 1, i + 2,...,n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol,

8



aii = 0. (Kalau kurang jelas, silakan lihat lagi contoh kedua yang ada dihala-

man 3. Sebaiknya, walaupun elemen diagonalnya tidak nol, namun mendekati nol

(misalnya 0,03), maka proses pertukaran ini dilakukan juga).

3. Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:

P j −a ji

aii

P i → P j (5)

dimana j = i + 1, i + 2,...,n. Maka matrik augment akan menjadi:

⎡

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 a13 . . . a1n | a1,n+1

0 a22 a23 . . . a2n | a2,n+1

0 0 a33 . . . a3n | a3,n+1...

......

. . .... |

...

0 0 0 0 ann | an,n+1

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(6)

4. Hitunglah nilai xn dengan cara:

xn =an,n+1

ann

(7)

5. Lakukanlah proses substitusi-mundur untuk memperoleh xn−1, xn−2,...,x2, x1 den-

gan cara:

xi =ai,n+1 −

n

j=i+1aijx j

aii

(8)

dimana i = n − 1, n − 2, ..., 2, 1.

Demikianlan algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar terse-

but perlu dirinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman kom-

puter.

3.1 Algoritma

Algoritma metode eliminasi gauss untuk menyelesaikan n x n sistem persamaan lin-

ear.

P 1 : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

P 2 : a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

...... =

...

P n : an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

9



INPUT: sejumlah persamaan linear dimana konstanta-konstanta-nya menjadi elemen-elemen

matrik augment A = (aij), dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n + 1.

OUTPUT: solusi x1, x2, x3,...,xn atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa sistem

persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik .

• Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam

elemen-elemen matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1)

seperti berikut ini:

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n |

b1

a21 a22 . . . a2n | b2...

...... |

...


⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1n |

a1,n+1

a21 a22 . . . a2n | a2,n+1...

...... |

...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦(9)

• Langkah 2: Untuk i = 1,...,n − 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5.

• Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i ≤ p ≤ n. Lalu pastikan

bahwa a pi = 0. Jika ada elemen diagonal yang bernilai nol (aii = 0), maka

program harus mencari dan memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol

dalam kolom yang sama dengan kolom tempat elemen diagonal tersebut be-

rada. Jadi saat proses ini berlangsung, integer i (indeks dari kolom) dibuat

konstan, sementara integer p (indeks dari baris) bergerak dari p = i sampai

p = n. Bila ternyata setelah mencapai elemen paling bawah dalam kolom

tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai a pi = 0, maka sebuah pesan

dimunculkan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik . Lalu

program berakhir: STOP.

• Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah diper-

oleh elemen yang tidak nol (a pi = 0), maka bisa dipastikan p = i. Jika p = i

maka lakukan proses pertukaran (P p) ↔ (P i).

• Langkah 5: Untuk j = i + 1, . . , n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7.

• Langkah 6: Tentukan m ji ,

m ji =a ji

aii

10



• Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi,

(P j − m jiP i) → (P j)

• Langkah 8: Setelah proses triangularisasi dilalui, periksalah ann. Jika ann = 0,

kirimkan pesan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik . Lalu

program berakhir: STOP.

• Langkah 9: Jika ann = 0, lakukan proses substitusi mundur, dimulai dengan

menentukan xn,

xn =an,n+1

ann

• Langkah 10: Untuk i = n − 1, ..., 1 tentukan xi,

xi =ai,n+1 −

n

j=i+1aijx j

aii

• Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x1, x2,...,xn. Algoritma telah dijalankan den-

gan sukses. STOP.

Saya telah membuat program sederhana dalam fortran untuk mewujudkan algoritma

eliminasi gauss. Saya berasumsi bahwa anda sudah menguasai dasar-dasar pemrogra-

man dalam fortran. Program ini sudah dicoba di-compile dengan fortran77 under Linux

Debian dan visual-fortran under windows-XP.

Langkah-langkah yang tercantum pada program ini disesuaikan dengan langkah-langkah

yang tertulis di atas. Dalam program ini, ukuran maksimum matrik augment adalah 10 x

11, untuk mencari 10 variabel yang tidak diketahui. Jika anda bermaksud memperbesar

atau memperkecil ukuran matrik augment, silakan sesuaikan angka ukuran matrik yang

anda inginkan pada statemen pertama dari program ini, yaitu statemen DIMENSION.

Inilah programnya,

DIMENSION A(10,11), X(10)

REAL MJI

WRITE (*,*) ’=PROGRAM ELIMINASI GAUSS=’

WRITE (*,*)

C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT

WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’

READ (*,*) N

11



WRITE (*,*)

WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT’

M = N + 1

DO 50 I = 1,N

DO 60 J = 1,M

WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’

READ (*,*) A(I,J)

60 CONTINUE

50 CONTINUE

WRITE (*

,*

)

C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT

WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’

DO 110 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,M)

110 CONTINUE

WRITE (*,*)

C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI

NN = N-1DO 10 I=1,NN

C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P

P = I

100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200

P = P+1

GOTO 100

200 IF(P.EQ.N+1)THEN

C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIKWRITE(*,5)

GOTO 400

END IF

C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI

IF(P.NE.I) THEN

DO 20 JJ=1,M

C = A(I,JJ)

A(I,JJ) = A(P,JJ)

12



A(P,JJ) = C

20 CONTINUE

END IF

C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI

JJ = I+1

DO 30 J=JJ,N

C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI

MJI = A(J,I)/A(I,I)

C LANGKAH 7: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI

DO 40 K=JJ,M

A(J,K) = A(J,K)-MJI* A(I,K)

40 CONTINUE

A(J,I) = 0

30 CONTINUE

10 CONTINUE

C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI

WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’

DO 120 I = 1,NWRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,M)

120 CONTINUE

C LANGKAH 8: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)

IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN

C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK

WRITE(*,5)

GOTO 400

END IFC LANGKAH 9: MENGHITUNG X(N)

X(N) = A(N,N+1)/A(N,N)

C LANGKAH 10: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR

L = N-1

DO 15 K=1,L

I = L-K+1

JJ = I+1

SUM = 0.0

13



DO 16 KK=JJ,N

SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK)

16 CONTINUE

X(I) = (A(I,N+1)-SUM)/A(I,I)

15 CONTINUE

C LANGKAH 11: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN

WRITE (*,*)

WRITE (*,7)

DO 18 I = 1,N

WRITE (*

,’(1X,A,I2,A,F14.8)’) ’X(’,I,’) = ’,X(I)

18 CONTINUE

400 STOP

5 FORMAT(1X,’SISTEM LINEAR TIDAK MEMILIKI SOLUSI YANG UNIK’)

7 FORMAT(1X,’SOLUSI UNIK’)

END

4 Penutup

Silakan anda coba aplikasikan program di atas dengan berbagai sistem persamaan

linear yang pernah dijadikan contoh pada catatan terdahulu. Saya cukupkan sementara

sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau

didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email yang tercantum di halaman paling de-

pan.

References

[1] Burden, R.L., Faires, J.D., Numerical Analysis, 7-edition, Brooks/Cole, 2001

14

eliminasi_gauss

Documents

Transcript of eliminasi_gauss