BAB I

PENDAHULUAN

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di

dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana

(ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan

melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi

matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah

satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan

linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan

mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,

lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-

variabel tersebut..

1

BAB II

PEMBAHASAN

ELIMINASI GAUSS

A. Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear:

Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss didasarkan pada pemikiran untuk

mereduksi matriks yang diperbesar menjadi sebuah bentuk yang

cukup sederhana sehingga suatu sistem persamaan dapat

diselesaikan dengan memeriksa sistem tersebut.

Contoh 1.6

Diberikan sejumlah matriks dalam bentuk sebagai berikut

Matriks–matriks tersebut dikatakan berada di dalam bentuk

eselon baris yang direduksi.

Kemudian sejumlah contoh matriks dalam bentuk berikut

dikatakan berada dalam bentuk eselon baris.

Dari dua bentuk matriks yang berbeda di atas, suatu matriks

dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi bila entri

tersusun sebagai berikut

1. Entri pada baris ke-i tidak seluruhnya bernilai nol tetapi

bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut untuk urutan

2

kolom ke-j terkecil adalah 1 (baca: 1 utama). Bila kondisi ini

terpenuhi maka baris tersebut ditempatkan di baris ke-i

terkecil. Hal yang sama dilakukan pada kolom ke-j terkecil

berikutnya untuk diletak pada baris ke-i terkecil berikutnya

lagi. Demikian untuk seterusnya.

2. Jika ada satu atau lebih baris yang seluruh entri-entrinya

bernilai nol, maka baris tersebut ditempatkan di baris-baris

akhir matriks.

3. Matriks pada sembarang dua baris yang berturutan yang tidak

terdiri seluruhnya dari nol, maka 1 utama di dalam baris yang

lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari pada 1 utama di

dalam baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai

nol ditempat lain.

Sebuah matriks yang mempunyai sifat–sifat 1, 2, dan 3,

dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris (row-echelon

form).

Contoh 1.7

Matriks–matriks berikut berada di dalam bentuk eselon baris

yang direduksi.

Matriks – matriks yang berikut berada di dalam bentuk eselon

baris.

Melalui pemeriksaan setiap matriks di atas memenuhi semua

persyaratan yang perlu.

3

Perlu diingat bahwa sebuah matriks dikatakan dalam bentuk

eselon baris ia harus mempunyai nilai nol di bawah setiap 1

utama. Sebaliknya suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon

baris yang direduksi ketika ia mempunyai nilai nol di atas dan di

bawah setiap 1 utama.

Suatu sistem persamaan linear yang diterjemahkan ke

dalam matriks yang diperbesar yang oleh sebuah urutan operasi

baris elementer matriks tersebut berbentuk eselon baris yang

direduksi maka solusi untuk sistem tersebut dapat dengan

mudah diperoleh. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.8

Matriks yang diperbesar berikut merupakan hasil reduksi

oleh operasi baris elementer dari suatu sistem persamaan linear

menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti apa yang

diberikan. Tentukan solusi sistem tersebut.

a) b)

c)

d)

Penyelesaian:

(a). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

Dengan pemeriksaan maka,

4

(b). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

Karena dan bersesuaian dengan 1 utama di dalam

matriks augmented, maka ia dinamakan variabel–variabel utama

(leading variabels). Dengan memecahkan variabel – variabel

utama tersebut dalam diperoleh

(1.14)

Karena dapat diberikan sebarang nilai, katanlah , maka kita

mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan

pemecahan ini diberikan oleh rumus – rumus

(1.15)

(c). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

(1.16)

Di sini variabel–variabel utama adalah dan . Dengan

memecahkan variabel-variabel dalam variabel lainnya maka

akan memberikan

(1.17)

Karena dapat diberikan sebarang nilai , dan dapat

diberika sebarang nilai , maka akan ada tak terhingga

banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan tersebut

diberikan oleh rumus – rumus

(1.18)

5

(d). Persamaan terakhir di dalam sistem persamaan – persamaan

yang bersangkutan adalah

Karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak

ada pemecahan untuk sistem tersebut.

Dari uraian di atas, sebuah sistem persamaan linear akan

mudah diselesaikan ketika matriks augmented berada dalam

bentuk eselon baris yang direduksi. Untuk sampai kepada

matriks eselon baris tereduksi ada prosedur yang biasanya

dipakai yang dikenal dengan nama eliminasi Gauss-Jordan

Prosedur ini dapat digunakan untuk mereduksi sebarang matriks

menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Contoh berikut

mendemonstrasikan prosedur yang dimaksud.

Langkah 1. Letakkanlah kolom yang paling kiri (garis vertikal)

yang tidak terdiri seluruhnya dari nol.

Perhatikan bahwa baris pertama tidak bernilai nol pada

kolom pertama (paling kiri).

Langkah 2. Pertukarkanlah baris atas dengan sebuah baris

lain, jika perlu, membawa sebuah entri tak nol ke

atas kolom yang didapatkan di dalam langkah 1.

6

Langkah 3. Jika entri yang sekarang ada diatas kolom yang

didapatka di dalam langkah 1 adalah , kalikanlah

baris pertama dengan untuk memperoleh sebuah

1 utama.

Langkah 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris

atas kepada baris – baris yang dibawah sehingga

entri di bawah 1 utama menjadi nol.

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas di dalam matriks

tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1

yang dipakaikan kepada submatriks yang masih sisa.

Teruskanlah dengan cara ini sampai keseluruhan

matriks tersebut berada di dalam bentuk eselon

baris.

Perhatikan baris kedua kolom paling kiri ia harus menjadi 1

utama

7

Perhatikan bahwa baris terakhir kolom paling kiri tidak bernilai 1

utama

8

Keseluruhan matriks tersebut sekarang berada dalam bentuk

eselon baris. Untuk mencari bentuk eselon baris yang direduksi

maka kita memerlukan langkah tambahan yang berikut.

Langkah 6. Dengan memulai dari baris tak nol terakhir dan

bekerja kearah atas, tambahkanlah angka pengali

yang sesuai dari setiap baris kepada baris – baris

yang diatas untuk mendapatkan nol diatas 1 utama.

Matriks yang terakhir berada dalam bentuk eselon baris yang

direduksi.

Prosedur diatas untuk mereduksi matriks menjadi bentuk

eselon baris tereduksi yang kita namakan eliminasi Gauss-

Jordan. Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama,

prosedur untuk menghasilkan bentuk eselon baris tersebut kita

namakan eliminasi Gauss

Contoh 1.9

Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

9

(1.19)

Matriks yang diperbesar untuk sitem tersebut adalah.

Dengan menambahkan –2 kali baris pertama kepada baris

pertama dan keempat maka akan memberikan

Dengan mengalikan baris kedua dengan –1 dan kemudian

menambahkan –5 kali baris kedua kepada baris – baris ketiga

dan –4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan

memberikan

Dengan mempertukarkan baris ketiga dan baris keempat dan

kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan

dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris

Dengan menambahkan – 3 kali baris ketiga kepada baris kedua

dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks

10

yang dihasilkan kepada baris pertama maka akan menghasilkan

bentuk eselon baris yang direduksi

Sistem persamaan – persamaan yang bersangkutan adalah

(Persamaan terakhir, diabaikan

karena persamaan tersebut akan secara otomatis dipenuhi oleh

pemecahan persamaan lainnya). Dengan memecahkannya untuk

variabel – variabel utama, maka diperoleh

(1.20)

Jika kita menetapkan nilai – nilai sebarang dan berturut –

turut untuk dan maka himpunan pemecahan tersebut

diberikan oleh rumus – rumus

(1.21)

Selain metode yang telah dikemukan di Contoh 1.9, metode lain

yang dapat digunakan adalah metode substitusi balik ( back

substitution ). Metode ini bekerja dengan mengubah matriks

yang diperbesar ke dalam bentuk eselon baris. Untuk jelasnya

11

berikut diperagakan metode subsitusi balik untuk sistem yang

ada pada Contoh 1.9. Dari perhitungan di dalam Contoh 1.9,

sebuah bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar adalah

Sistem persamaan yang diberikan oleh matriks di atas adalah

Metode subsitusi balik dapat dijelaskan sebagai berikut:

Langkah 1. Selesaikanlah persamaan – persamaan tersebut

untuk variabel – variabel utama yaitu

Langkah 2. Dimulai dengan persamaan terakhir kemudian

secara bertahap menuju ke persamaan paling

atas, substitusikan berturut–turut nilai masing-

masing peubah terkait ke setiap persamaan di

atasnya.

Dengan mensubstitusikan kedalam persaman kedua

maka akan menghasilkan

12

Dengan mensubstitusikan kedalam persamaan pertama

maka akan menghasilkan

Langkah 3. Tetapkanlah nilai – nilai sebarang kepada setiap

variabel yang tak utama.

Jika nilai – nilai sembarang katakanlah dan berturut – turut

untuk dan , himpunan penyelesaian tersebut diberikan

oleh rumus – rumus berikut

(1.22)

Pada kedua metode yang telah dibicarakan di atas, upaya

untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan

mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris

dinamakan Eliminasi Gauss.

Contoh 1.10

Gunakan Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem

persamaan berikut

(1.23)

Penyelesaian.

Ini adalah sistem di dalam Contoh 1.3. Di dalam contoh tersebut

kita mengubah matriks yang diperbesar

13

menjadi bentuk eselon baris

Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah

Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk peubah-peubah

utama diperoleh

Mensubstitusikan persamaan terakhir ke persamaan kedua

diperoleh bentuk

Mensubstitusikan persamaan terakhir dan kedua ke persamaan

pertama diperoleh

(1.24)

14

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-

nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih

sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya

adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks

tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan

sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear

dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah

persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan

mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris,

lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-

variabel tersebut.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari

eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah

dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga

menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat

digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan

linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan

mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks

teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks

Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari

variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

15

DAFTAR PUSTAKA

Silaban, Pantur, Nyoman Susila, 1987, Aljabar Linear Elementer, Jakarta : Erlangga.

http://id.wikipedia.org/wiki/

Aljabar_linear#Operasi_Eliminasi_Gauss

16