MAKALAH MATEMATIKA ELEKTRO METODE ELIMINASI GAUSS DAN METODE CRAMER OLEH LOLA YORITA ASTRI (05/184102/ET/04461) BAMBINA (05/184103/ET/04462) HENDRA USYIARDI(05/184104/ET/04463) ARVI IRAWATI (05/184106/ET/04465) NOVETRA SENJA TIRAMA (05/184110/ET/04469) FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS GADJAH MADA2005 Metode Eliminasi Gauss dan Cramer 1 Oleh arvi/bembi/hendra/yori/vetra ELIMINASI GAUSS Eliminasi gauss digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier. ( )( )( )( )n nnnnx x x x fx x x x fx x x x fx x x x f,..., , ,...,..., , ,,..., , ,,..., , ,3 2 13 2 1 33 2 1 23 2 1 1Contoh: Ditinjau dari sistem persamaan: 6 5 8 31 6 99 4 7 23 2 13 2 13 2 1= + + = += + x x xx x xx x xPersamaan diatas dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: [ ]{ } { } u x B =)`=)`((((

6195 8 36 9 14 7 2321xxxUntuk menjelaskan eliminasi gauss,maka dibentuk suatu matriks sebagai berikut: [ ]((((

=1 0 00 1 00 0 16195 8 36 9 14 7 2I u BKitakalikanbaris1dengan,tambahkan(-1xbaris1yangbaru)kepadabaris 2,dan tambahkan (3x baris 1 yang baru)kepada baris 3. ((((

1 0 2 / 30 1 2 / 10 0 2 / 12 / 392 / 72 / 911 2 / 5 08 2 / 25 02 2 / 7 1Metode Eliminasi Gauss dan Cramer 2 Oleh arvi/bembi/hendra/yori/vetra Operasidiatassamadenganpembentukan/pengubahansistempersamaanasli menjadi2391125278225292273 23 23 2 1= + = = + x xx xx x xPerhatikan operasi diatas jika ditulis dalam bentuk matriks adalah (((((((

1 0210 1210 021((((

1 0 00 1 00 0 16195 8 36 9 14 7 2Selanjutnyadilakukanoperasisebagaiberikut:kalikanbaris2dengan2/25dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada baris 3. ((((

1 5 / 1 5 / 70 25 / 2 25 / 10 0 2 / 125 / 9425 / 72 / 95 / 47 0 025 / 16 1 02 2 / 7 1Operasi terakhir mengubah persamaan menjadi292273 2 1= + x x x25725163 2 = x x25945473 = xKalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang baru). Metode Eliminasi Gauss dan Cramer 3 Oleh arvi/bembi/hendra/yori/vetra ((((

47 / 5 47 / 1 47 / 7235 / 16 235 / 22 235 / 1347 / 10 47 / 2 24 / 19212 / 11 0 00 1 00 2 / 7 1Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2) ((((

47 / 5 47 / 1 47 / 7235 / 16 235 / 22 235 / 13235 / 6 235 / 67 235 / 932141 0 00 1 00 0 1Jadi sistem persamaan menjadi x1= 4,x2= 1,x3=2 dan inverse matriks [B] adalah ((((

47 / 5 47 / 1 47 / 7235 / 16 235 / 22 235 / 13235 / 6 235 / 67 235 / 93Dari pengamatan: 23547525221det1=|.|

\|=x x BJadi kalau di resume [ ] I u B((((

1 0 00 1 00 0 16195 8 36 9 14 7 2((((

47 / 5 47 / 1 47 / 7235 / 16 235 / 22 235 / 13235 / 6 235 / 67 235 / 932141 0 00 1 00 0 1[ ]1 B x IMetode Eliminasi Gauss dan Cramer 4 Oleh arvi/bembi/hendra/yori/vetra METODE CRAMER MetodeCramerdidasarkanatasperhitungandeterminanmatriks.Suatusistem persamaan linier berbentukb x A = dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakandenganmetodeCramerjikahasilperhitunganmenunjukkanbahwa 0 ) det( = A . Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal. Diketahuisuatusistempersamaanlinierberbentuk b x A = denganAadalah matriks bujur sangkar berukuran nxn dan 0 ) det( = A sedangkan nilai x danb adalah (((((((

=nxxxx..21,(((((((

=nbbbb..21maka penyelesaian untuk x adalah AAxAAxAAxnn = = = ,..., ,2211Aiadalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan vektorb .Contoh : Diketahui sistem persamaan linier berbentukb x A =((((

=((((

((((

1113 4 20 1 15 5 2zyxa.Periksa apakah metode cramer dapat digunakan? b.Jika bisa, tentukan penyelesaian untukx ?Metode Eliminasi Gauss dan Cramer 5 Oleh arvi/bembi/hendra/yori/vetra Jawab: a.1 ) 10 15 ( ) 20 6 (3 4 20 1 15 5 2) ( = = = A DetKarena det(A) = -1 maka metode Cramer dapat digunakan. b.3 ) 5 15 ( ) 20 3 (3 4 10 1 15 5 1) (1 = + + = = A Det4 ) 10 3 ( ) 5 6 (3 1 20 1 15 1 2) (2= + + = = A Det3 ) 2 8 5 ( ) 4 10 2 (1 4 21 1 11 5 2) (3 = + + = = A DetJadi nilai untuk x, y, z adalah 313, 414, 3133 2 1== = == = == =AAz danAAyAAx