Ekspektasi Matematika
-
Upload
eko-saputra -
Category
Documents
-
view
43 -
download
2
description
Transcript of Ekspektasi Matematika
1
1
EKSPEKTASI DAN VARIANSI
TI2131 TEORI PROBABILITASMINGGU KE-7
2
Definisi Ekspektasi Matematis
Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X adalah:
µ=E(X)=
jika X diskrit dan
µ=E(X)=
jika X kontinu
∑x
xxf )(
dxxxf )(∫∞
∞−
2
3
Contoh Ekspektasi Matematis
1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu?
2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana Xmemiliki fungsi kepadatan sebagai berikut:
f(x)=
tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut!
( ) lainnya untuk 0
,0
,4
323
>
⎪⎩
⎪⎨⎧
+x
x
4
Diberikan variabel random g(X) yang nilainya tergantung pada X. Jika X merupakan variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai harapan dari variabel random g(X) adalah:
µg(X) = E[g(X)] =
jika X adalah diskrit, danµg(X) = E[g(X)] =
jika X kontinu.
∑ )()( xfxg
∫∞
∞-
)()( dxxfxg
3
5
Curah hujan di suatu bulan tertentu bervariasi antara –1 sampai 2 desiliter dari curah hujan standar. Tetapkan X sebagai variabel random yang menunjukkan variasi curah hujan dari standar (dalam desiliter). Variabel random X ini memiliki pdf:
Jika g(X) = 3X + 3 merupakan fungsi yang menunjukkan hasil panen (dalam ton/hektar) yang dapat diperoleh pada saat curah hujan bervariasi sebesar X desiliter dari standar, tentukan ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang.
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<−=lainnya untuk0
213)(
2
xxxf
6
Ekspektasi Variabel Random Bivariat
Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x,y). Rataan atau nilai harapan dari variabel random g(X,Y) adalah:
µg(X,Y) = E[g(X,Y)] =
jika X dan Y adalah diskrit, dan
µg(X,Y) = E[g(X,Y)] =
jika X dan Y kontinu.
∑∑x x
yxfyxg ),(),(
dydxyxfyxg ),(),(-∫ ∫∞
∞−
∞
∞
4
7
Contoh Ekspektasi Bivariat
Tentukan ekspektasi dari fungsi g(X,Y) = Y/X, diberikan
f(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
<<<<+
lainnya untuk0
10,204
)31( 2
yxyx
8
Definisi Variansi
Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rataan µ. Variansi dari X adalah
σ2 = E[(X - µ)2] =
jika X adalah diskrit dan
σ2 = E[(X - µ)2] =
jika x kontinu. Akar kuadrat positif dari variansi, atau σ,disebut dengan deviasi standar.
∑ −x
xfx )()( 2µ
∫∞
∞
−-
2 )()( dxxfx µ
5
9
Teorema variansi
Variansi variabel random X adalah:
σ2 = E(X)2 − µ2
10
Contoh Perhitungan Variansi
1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu!
2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!
6
11
Kovariansi Dua Variabel Random
Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x,y). Kovariansi dari X dan Yadalah:
σXY = E[(X−µX)(Y− µY)] =
jika X dan Y adalah diskrit, dan
σXY = E[(X−µX)(Y− µY)] =
jika X dan Y kontinu.
∑∑ −−x y
yx yxfyx ),())(( µµ
∫ ∫∞
∞
∞
∞
−−- -
),())(( dydxyxfyx yx µµ
12
Teorema Kovariansi
Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dengan rataan µX dan µY, berturut-turut, diberikan oleh:
σXY = E(XY) − µX µY
7
13
Contoh Perhitungan Kovariansi
Fraksi pelari laki-laki X dan fraksi pelari perempuan Yyang bertanding pada suatu lomba digambarkan oleh joint distribution function:
f(x,y) =
Hitung kovariansi antara X dan Y!
lainnya untuk 010
,0,8 xy, xxy ≤≤≤≤
⎩⎨⎧
14
Definisi Korelasi
Diberikan variabel random X dan Y dengan kovariansi σXY dan deviasi standar berturut-turut σX dan σY. Koefisien korelasi antara X dan Y adalah:
ρXY = YX
XY
σσσ
8
15
Rumus-rumus Ekspektasi
E(aX+b) = aE(X) + b
E(b) = b
E(aX) = aE(X)
E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]
E[g(X,Y) ± h(X,Y)] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)]
E[g(X) ± h(Y)] = E[g(X)] ± E[h(Y)]
E[X ± Y ] = E[g(X)] ± E[h(Y)]
E(XY) = E(X) E(Y)
16
Rumus-rumus Variansi
22222 σσσ aa XbaX ==+222 σσσ ==+ XbX
22222 σσσ aa XaX ==
XYYXbYaX abba σσσσ 222222 ++=+
22222YXbYaX ba σσσ +=+
22222YXbYaX ba σσσ +=−
22222
222... ...
2112211 nnn xnxxxaxaxa aaa σσσσ +++=+++