EKMA4413 – Riset Op-erasiProgram Studi Manaje-menOleh: M. Mujiya Ulkhaq

Jembatan Suramadu, Jawa Timur

Modul 7

Seoul, 6th of April 2014

2

Tinjauan Umum Modul 7

Secara umum, Modul 7 akan membahas mengenai teori antrean, di mana kapasitas pelayanan kurang men-cukupi kebutuhan orang atau barang yang harus dilayani.

Modul 7 terdiri dari dua kegiatan belajar:• Kegiatan Belajar 1 – Pengenalan Teori Antrean• Kegiatan Belajar 2 – Model-model Antrean

Setelah mempelajari Modul 7, diharapkan mampu memahami teori antrean dan dapat menggunakannya un-tuk memecahkan masalah antrean yang timbul.

Secara khusus, setelah mempelajari Modul 7, diharapkan mampu menghitung rata-rata panjang antrean, waktu menunggu, dan waktu pelayanan menganggur dalam berbagai model antrean, misalnya satu serta dua fasilitas pelayanan atau lebih.

3

Pengenalan Teori Antrean

Antre adalah menunggu giliran untuk mendapatkan pelayanan dari suatu fasilitas, misalnya antre dalam membeli karcis bioskop, antre berobat ke dokter, dan lain sebagainya. Antre terjadi karena kemampuan pelayanan tidak bisa mengimbangi kebutuhan pelayanan. Dengan kata lain orang atau barang yang perlu dilayani terlalu banyak dibandingkan dengan kemampuan fasilitas pelayanan yang ada.

Kedatangan (arrival) orang atau barang dapat diasumsikan mengikuti distribusi tertentu, misalkan Poisson, Gamma, Erlang, dan lain sebagainya. Namun dalam Modul ini hanya dibahas mengenai distribusi Poisson.

at = arrival time (waktu tiba)

st = service time (waktu pelayanan)

sst = start service time (waktu mulai dilayani)

fst = finished start time (waktu selesai dilayani)

idle = waktu menganggur

at1 = 08.07sst1 = 08.07

fst1 = 08.13

st1 = 00.06

at2 = 08.14;sst2 = 08.14

fst2 = 08.20

st2 = 00.06

at3 = 08.25;sst3 = 08.25

fst3 = 08.31

st3 = 00.06

Idle = 00.01 Idle = 00.05

4

Terminologi

• Sistem antrean, merupakan keseluruhan dari pelayanan yang diberikan sejak datang sampai selesai di-layani.

• Channel, merupakan jalur antrean. Ada beberapa fasilitas yang mempunyai lebih dari satu channel, mis-alnya di super market.

• Fase pelayanan, merupakan tahap pelayanan. Terkadang ada beberapa fasilitas yang mempunyai lebih dari satu fase pelayanan. Misalkan tahap pertama selesai dilayani, kemudian masuk ke tahap kedua, dan seterusnya.

• Masukan (input) merupakan objek yang masuk ke dalam sistem antrean, misalnya manusia atau produk yang masuk ke sistem produksi. Masukan ada dua jenis, yang terhingga dan tidak terhingga.

• Waktu kedatangan (arrival time) merupakan waktu di mana input memasuki sistem antrean.• Rata-rata kedatangan merupakan jumlah input dibagi jangka waktu, misal 5 orang/jam.

Masukan AntreMekanisme Pelayanan

Sistem Antrean

Object ServedInput

Disiplin AntreanWak

tu K

edat

anga

n

Wak

tu P

elay

anan

Wak

tu S

eles

ai D

ilay

ani

5

Terminologi

• Server merupakan sesuatu atau seseorang yang melayani antrean, misalnya kasir.• Jangka waktu antar kedatangan (inter-arrival time) merupakan selisih antar kedatangan.• Tingkat pelayanan (service time) merupakan kemampuan fasilitas untuk melayani input dalam periode

waktu tertentu, misal 5 jam/orang.• Disiplin antrean merupakan aturan urutan pelayanan:

– FIFO (First in First Out) atau FCFS (First Come First Serve): datang pertama dilayani lebih dahulu;– LIFO (Last in First Out) atau LCFS (Last Come First Serve): datang terakhir dilayani lebih dahulu;– SIRO (Served in Random Order): dilayani secara acak;– Pre-emptive: prioritas.

Masukan AntreMekanisme Pelayanan

Sistem Antrean

Object ServedInput

Disiplin AntreanWak

tu K

edat

anga

n

Wak

tu P

elay

anan

Wak

tu S

eles

ai D

ilay

ani

6

Terminologi

• Panjang antrean merupakan jumlah input yang menunggu pelayanan. Kapasitas antrean ada yang ter-batas ada yang tidak.

• Utilitas server (traffic intensity) merupakan perbandingan antara rata-rata kedatangan dengan rata-rata pelayanan. Apabila utilitas server tinggi, maka server jarang menganggur, begitu pula sebaliknya.

• Keluaran (output) merupakan objek yang telah selesai dilayani.• Bulking adalah suatu fenomena di mana objek yang sudah masuk ke dalam sistem antrean memu-

tuskan untuk keluar dari sistem.

Masukan AntreMekanisme Pelayanan

Sistem Antrean

Object ServedInput

Disiplin AntreanWak

tu K

edat

anga

n

Wak

tu P

elay

anan

Wak

tu S

eles

ai D

ilay

ani

7

TerminologiStruktur Antrean:

1. Single channel single phase

2. Single channel multi phase

3. Multi server single phase

4. Multi server multi phase

Antre Dilayani

Antre1 Dilayani1 Antre2 Dilayani2

Antre

Server1

Server2

Antre

Server1

Server2

Antre2

Antre3

Server3

Server4

8

Model AntreanDi modul digunakan model antrean sebagai berikut:

(a)/(b)/(c)/(d)/(e)

(a): Distribusi arrival time Contoh lain:

(b): Distribusi service time E: arrival time berdistribusi Erlang

(c): Jumlah server D: service time berdistribusi Degenerate

(d): Jenis input (terhingga atau tidak) F: kapasitas sistem terbatas (berhingga)

(e): Kapasitas sistem

Contoh:

M/M/1/I/I:

Arrival time berdistribusi Poisson M singkatan dari Markovian

Service time berdistribusi Exponential I singkatan dari Infinite (tidak berhingga)

Jumlah server 1 F singkatan dari Finite (berhingga)

Jenis input dan kapasitas sistem tidak berhingga

9

M/M/1/I/I• Rata-rata jumlah objek dalam antrean:

• Rata-rata jumlah objek yang sedang dilayani:

• Rata-rata jumlah objek dalam sistem (dalam antrean plus yang sedang dilayani):

• Rata-rata waktu setiap objek dalam antrean:

• Probabilitas ada n objek berada dalam sistem:

• Jumlah biaya yang ditanggung:

λμμ

λnq

2

λμ

λnt

λμtt

1

n

n μ

λ

μ

λP

1

μ

λns

wtst CnCCE

10

M/M/S/I/I• Rata-rata jumlah objek dalam antrean: Rata-rata jumlah objek yang sedang dilayani:

• Rata-rata jumlah objek dalam sistem (dalam antrean plus yang sedang dilayani):

• Rata-rata waktu setiap objek dalam antrean: Rata-rata waktu setiap objek dalam sistem

• Probabilitas tidak ada objek dalam sistem: Probabilitas objek harus menunggu dalam antrean:

• Jumlah biaya yang ditanggung:

02!1

PλSS

μλλμn

μ

S

q

μ

λnn qt

μtt qt

1

1

0

0

1!!

1S

n

Sn

μSλSμλ

nμλ

P

μS

λns

wtst CnSCCE

S

q μ

λ

μSλSSμ

Pt

20

1!

μSλS

P

μ

λP

S

w

1!0

EKMA4413 – Riset Op-erasiProgram Studi Manaje-menOleh: M. Mujiya Ulkhaq

Jembatan Suramadu, Jawa Timur

Modul 7

Terima Kasih

감사합니다

Sampai Bertemu Lagi di Pertemuan Selanjutnya

Seoul, 6th of April 2014