Drs. Matrisoni www.matematikadw.wordpress.com

Matematika SMA 1

LIN

GK

AR

AN

Substitusi

D > 0

D = 0

D < 0

lingkaran

PENGERTIAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang sama disebut JARI-JARI. Titik tertentu disebut PUSAT Lingkaran. M = Pusat AM = BM = r (jari-jari) AB = d (diameter)

PERSAMAAN LINGKARAN

Pusat (0, 0) x2 + y2 = r2

Jari-jari = r

Pusat (a, b) (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Jari – jari = r

Bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By+ C = 0 Pusat : (– ½ A , – ½ B) = (a, b)

Jari – Jari : Cbar 22 atau

CBAr 2

412

41

HAL KHUSUS

Jarak antara 2 titik

2

12

2

12 )()( yyxxr

Jarak titik ke Garis :

22

11

ba

cbyaxr

Talibusur AB berpotongan dengan garis yang melalui pusat lingkaran (MP) di titik tengah AB

Bila PA dan PB garis singgung yang

berpotongan di titik P maka PA = PB

KUASA TITIK TERHADAP LINGKARAN

Kuasa titik menyatakan posisi titik tersebut terhadap suatu lingkaran. Misal tiitk P (x1 ,y1) terhadap lingkaran:

x2 + y2 = r2 maka K(p) = = x12 + y1

2- r2 Bila :

K > 0 maka P diluar lingkaran K = 0 maka P pada lingkaran K < 0 maka P di dalam lingkaran

HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS LURUS

Diketahui persamaan: Lingkaran : x2 + y2

+ Ax + By + C = 0 Garis lurus y = mx + n Terdapat 3 kemungkinan yakni : D > 0 didapat 2 titik potong D = 0 didapat 1 titik potong (bersinggungan) D < 0 tidak memotong/menyinggung

GARIS SINGGUNG ( GS) Cara menyusunnya dibedakan atas 3 macam: 1. Bila diketahui : P(x1 , y1) adalah titik

singgung maka garis singgung disusun dengan proses BAGI RATA Kurva: x2 y2 x 4y GS : x . x y . y ½ x + ½ x 2y + 2y

2. Bila diketahui : gradien garis singgung (m)

maka garis singgung disusun dengan rumus:

12 mrmxy

3. Bila diketahui : P (x1 . y1) bukan titik

singgung maka garis singgung disusun dengan: GARIS POLAR / KUTUB

a. Bagi adil, substitusikan P(x1, y1) didapat G. Polar : y = mx + n

b. Substitusi G. Polar ke pers. Kurva didapat Titik Singgung A dan B.

c. Bagi adil terhadap titik A dan B didapatkan G. singgung

Garis Polar : Garis yang menghubungkan kedua titik singgung (A dan B)

B M

A

M(x1, y1)

r A(x2 , y2)

M(x1, y1)

r

A Garis singgung :

ax + by + c = 0

M

A B

P

B

P

A

A

P

B

Drs. Matrisoni www.matematikadw.wordpress.com

Matematika SMA 2

LIN

GK

AR

AN

Soal-soal latihan: 1. Lingkaran L memiliki persamaan

027y3x4yx 22 . Persamaan lingkaran

yang konsentris dengan L dan melalui

)4,1( adalah …

a. x2 + y2 + 4x -3y – 9 = 0 b. x2 + y2 + 4x -3y – 25 = 0 c. x2 + y2 – 4x +3y – 25 = 0 d. x2 + y2 – 4x +3y – 9 = 0 e. x2 + y2 – 8x +6y – 33 = 0

2. Jika )3,1(A , )5,7(B maka persamaan

lingkaran yang mempunyai diameter AB adalah … a. x2 + y2 - 8x + 2y – 8 = 0 b. x2 + y2 + 8x + 2y – 8 = 0 c. x2 + y2 +8x + 2y + 8 = 0 d. x2 + y2 – 8x – 2y – 8 = 0 e. x2 + y2 – 8x + 2y + 8 = 0

3. Lingkaran dengan persamaan

02y12x4y2x2 22 memiliki :

a. Pusat (2,6); jari-jari 3

b. Pusat (2,6); jari-jari 10

c. Pusat (1,3); jari-jari 10

d. Pusat (1, -3); jari-jari 3 e. Pusat (-1,-3); jari-jari 3

4. Persamaan lingkaran dengan pusat (3, – 2) dan

menyinggung sumbu x adalah a. x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0 b. x2 + y2 – 6x + 4y + 9 = 0 c. x2 + y2 + 6x - 4y + 4 = 0 d. x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0 e. x2 + y2 + 6x – 4y + 13 = 0

5. Persamaan lingkaran dengan Pusat P(3,1) dan

menyinggung garis 05y3x4 adalah

a. x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 b. x2 + y2 + 4x – 6y + 12 = 0 c. x2 + y2 - 6x – 2y + 6 = 0 d. x2 + y2 - 6x - 6y – 6 = 0 e. x2 + y2 - 4x – 4y + 12 = 0

6. Dari titik P(2, -1) dibuat garis singgung pada

lingkaran 01y3x6yx 22 , maka jarak

P ke titik singgungnya adalah

a. 15

b. 4

c. 17

d. 3 2

e. 19

7. Garis 3x + 4y + 8 = 0 memotong lingkaran

023y2x2yx 22 di titik A dan B. Jika

C adalah pusat lingkaran , maka luas segitiga ABC adalah … a. 6 b. 8 c. 12 d. 16 e. 24

8. Lingkaran 035y14x8yx 22 dan

043y4x16yx 22

a. Berpusat sama b. Berpotongan c. Bersinggungan dalam d. Bersinggungan luar e. Tidak berpotongan

9. Persamaan garis singgung pada lingkaran

20yx 22 dengan gradien 2 adalah …

a. y = 2x 6

b. y = 2x 7

c. y = 2x 8

d. y = 2x 9

e. y = 2x 10 10. Persamaan garis singgung yang tegak lurus

dengan garis k : 3y + x = 10 pada lingkaran

011y8x4yx 22

a. y = 3x 3 10

b. y = 3(x – 2) 10

c. y – 4 = 3(x – 2) 3 10

d. y = 2x 4 3

e. y = 2x 2 3

11. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran

012y6x4yx 22 di titik A (5,1) pada

a. 3x + 4y – 19 = 0 b. 3x - 4y – 19 = 0 c. 3x – 3y + 19 = 0 d. 3x + 7y – 26 = 0 e. 3x - 7y – 26 = 0

12. Salah satu persamaan garis singgung pada

lingkaran 25yx 22 yang ditarik dari titik

1 ,7 adalah …

a. 4x + 3y =25 b. 3x + 4y = 25 c. 4x – 3y = 25 d. 4x + 3y + 25 = 0 e. 3x + 4y + 25 = 0

Drs. Matrisoni www.matematikadw.wordpress.com

Matematika SMA 3

LIN

GK

AR

AN

13. Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola y = x2 dan menyinggung sumbu-x adalah

a. x2 + y2 2 a x 2 a2 y + a2 = 0

b. x2 + y2 2 a x 2 a2 y a2 = 0

c. x2 + y2 2 a x 2 a2 y + a4 = 0

d. x2 + y2 2 a x 2 a2 y a4 = 0

e. x2 + y2 2 a x 2 a2 y + a2 + a4 =0 14. Diketahui suatu lingkaran dengan pusat

berada pada kurva y = x dan melalui titik

asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah

a. y = x

b. y = x a

c. y = ax

d. y = 2x 2

e. y = 2ax

15. Diketahui dua buah lingkaran yang

menyinggung sumbu-y dan garis 3x3

1y .

Jika pusat kedua lingkaran itu terletak pada

3y , maka jarak kedua pusatnya sama

dengan

a. 2 2

b. 2 3

c. 4

d. 3 2

e. 5 16. Lingkaran yang menyinggung sumbu x, sumbu

y, dan garis 3x + 4y = 24 mempunyai jari-jari (1) 4 (2) 12 (3) 6 (4) 2

17. Garis y= 2x + 3 memotong lingkaran

010y5x4yx 22 di titik A dan B.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui A dan B dengan pusat mempunyai ordinat 3. a. x2 + y2 + 18x – 6y + 23 = 0 b. x2 + y2 + 17x – 6y + 22 = 0 c. x2 + y2 + 16x – 6y + 21 = 0 d. x2 + y2 + 15x – 6y + 20 = 0 e. x2 + y2 + 14x – 6y + 19 = 0

18. Dua buah lingkaran M dan N masing-masing berjari-jari 8 cm dan 2 cm. Jarak kedua pusatnya 10 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya ….. a. 10 cm b. 9 cm

c. cm38

d. 8 cm

e. cm28

19. Perhatikan gambar. Lingkaran yang berpusat

di A mempunyai jari-jari 10 cm. Lingkaran yang berpusat di B dan C saling bersinggungan luar serta menyinggung lingkaran yang berpusat di A dari dalam. Keliling segitiga ABC adalah … cm a. 16 b. 18 c. 20 d. 22 e. 24

20. Pada lingkaran yang berpusat di O, garis PT

dan QT adalah garis singgung. Jika PTQ =

540 maka PRQ = … a. 960 b. 1080 c. 1170 d. 1260 e. 2340

21. Jika jari-jari lingkaran 6 cm maka luas daerah

yang diarsir adalah … cm

a. 12 ― 9 3

b. 12 ― 8 3

c. 10 ― 9 3

d. 10 ― 8 3

e. 9 ― 9 3

22. Pada gambar terlihat dua buah lingkaran yang

konsentris. Jika panjang garis 12AB maka luas daerah yang diarsir adalah …

a. 16

b. 25

c. 36

d. 49

e. 64

T O

P

R

Q

60o

A B

B

A

C

Drs. Matrisoni www.matematikadw.wordpress.com

Matematika SMA 4

LIN

GK

AR

AN

23. Gambar di samping adalah penampang pipa air PDAM. Daerah yang diarsir menunjukkan air yang terdapat di dalam pipa. Jika lebar permukaan air 16 cm dan kedalaman air 32 cm maka jari-jari pipa ….. cm a. 17 b. 18 c. 19 d. 20 e. 21

24. Pada gambar ML dan MN adalah garis singgung

lingkaran yang menyinggung di titik L dan N. Titik P terletak di antara M dan L, titik Q terletak di antara M dan N. Jika panjang MN 4 cm maka keliling segitiga MPQ adalah ….. cm a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

25. Lingkaran L berpusat di M. Jika (D) sebuah

titik di perpanjangan garis tengah AB sedemikian sehingga garis singgung DC pada lingkaran L membentuk sudut BDC sebesar 10o maka sudut CAB adalah ....

a. 30o b. 40o c. 45o d. 50o e. 60o

26. Dalam sebuah siku empat ABCD dibuat dua

buah lingkaran yang bersinggungan dengan jari-jari 10 cm dan 5 cm. Apabila AB = 27 cm, maka BC = … a. 29 cm b. 28 cm c. 27 cm d. 25 cm e. 24 cm

27. Perhatikan gambar ! Apabila jari-jari ketiga lingkaran masing-masing 2 cm maka perbandingan luas juring di dalam segitiga dengan luas juring di luar segitiga adalah … a. 1 : 2 b. 1 : 3 c. 1 : 4 d. 1 : 5 e. 2 : 5

28. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah

…

(A) 64 - 19

(B) 32 - 19

(C) 32 - 10

(D) 32 - 9

(E) 16 - 9 29. Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama

saling bersinggungan luar. Lingkaran kecil L1 menyinggung ketiga lingkaran tersebut dan lingkaran besar L2 juga menyinggung ketiga lingkaran itu seperti gambar berikut. Perbandingan jari-jari lingkaran L2 dan jari-jari lingkaran L1 adalah :

a. 3131

b. 14 :1

c. 1:347

d. 1:347

e. 1:327

30. Jika sisi bujursangkar pada gambar di samping

adalah 6 tentukan luas daerah yang diarsir.

a. 20 + 48 3 - 108

b. 21 + 45 3 - 108

c. 22 + 42 3 - 108

d. 23 + 39 3 - 108

e. 24 + 36 3 - 108

M

N

L

Q

P

A B

C D

4 4

L2

L1

M C

B

D

A