4

BAB II

MANIFOLD DIFFERENSIABEL

2.1 Definisi Manifold [13]

Manifold adalah generalisasi dari ide-ide yang familiar tentang kurva

dan permukaan pada ruang Euclidean. Sebuah kurva pada ruang Euclidean

berdimensi tiga dapat diparameterisasi oleh suatu variabel tunggal, sebut saja

sebagai , dan dua buah variabel dan dapat digunakan untuk

memparameterisasi sebuah permukaan sebagai . Sebuah

kurva dan permukaan dapat dianggap homeomorphic pada dan secara

berurutan. Sebuah manifold, pada umumnya, homeomorphic pada secara

lokal, tetapi bisa saja homeomorphic pada secara global. Apabila sebuah

manifold homeomorphic secara lokal pada , kita dapat memberikan sebuah

kumpulan bilangan pada setiap titik pada manifold sebagai koordinat lokal.

Jadi bisa saja setiap titik pada manifold tersebut dapat memiliki dua koordinat

atau lebih. Yang terpenting adalah transformasi antar koordinat harus smooth. Jadi

sebenarnya hal yang paling esensial di dalam teori manifold adalah smoothness.

Misalkan terdapat bola dengan jari-jari satuan pada ruang . Permukaan ini

dapat diparametersisasi dengan beberapa kemungkinan koordinat, misalkan

dengan sistem koordinat polar dan koordinat stereografik. Parameter pada

koordinat polar dan didefinisikan oleh

5

(2.1.1)

5

dimana berjalan dari sampai dan berjalan dari sampai . Mereka dapat

juga dicari dengan persamaan

(2.1.2)

Gambar 1. Koordinat polar dan koordinat stereografik dari titik pada

lingkaran [13].

Koordinat stereografik adalah proyeksi dari Kutub Utara pada bidang

ekuatorial seperti ditunjukkan pada gambar 1. Pertama-tama tarik garis dari Kutub

Utara menuju titik pada lingkaran dan teruskan garis itu

6

menuju ke bidang ekuatorial . Garis itu akan berpotongan dengan bidang

ekuatorial pada titik . dan inilah yang disebut sebagai koordinat

titik dalam sistem koordinat stereografik. Melalui persamaan garis akan kita

dapatkan koordinat stereografik sebagai berikut

(2.1.3)

sedangkan hubungan antara koordinat polar dan koordinat stereografik adalah

(2.1.4)

Tentu saja koordinat polar dengan sumbu polar yang berbeda ataupun

proyeksi dari titik yang berbeda pada boleh digunakan. Pada teori tentang

manifold satu hal yang paling mendasar adalah bahwa semua sistem koordinat

sama. Hal ini tentu saja juga sesuai dengan prinsip dasar pada fisika yaitu sebuah

sistem fisis memiliki kelakuan yang sama pada setiap koordinat yang digunakan

untuk mengukurnya.

Hal lain yang bisa kita dapatkan dari contoh di atas adalah bahwa tidak

ada sistem koordinat yang dapat digunakan di setiap titik secara bersamaan.

Ambil contoh misalnya koordinat polar pada pada bidang ekuatorialnya. Jika

kita biarkan berjalan dari sampai maka akan berubah secara kontinu

sampai . Pada titik ini mempunyai diskontinuitas dari menuju dan

titik-titik yang berdekatan dengan titik tersebut memiliki nilai yang cukup jauh

berbeda. Jalan alternatif adalah kita dapat melanjutkan melampaui . Kalau

kita mengambil jalan ini maka kita akan menemukan kesulitan lain yaitu: pada

setiap titik kita harus memiliki nilai yang tak hingga banyaknya, berbeda antara

7

satu dengan yang lainnya dengan nilai sebesar kelipatan bilangan bulat dari .

Kesulitan yang lain juga muncul pada kutub. Pada titik ini tidak terdefinisi sama

sekali. Koordinat stereografik juga memiliki kesulitan pada Kutub Utara atau pada

titik proyeksi yang tidak diproyeksikan pada bidang ekuatorial; dan titik yang

berdekatan dengan Kutub Utara memiliki koordinat stereografik yang berbeda

cukup jauh.

Jadi kita tidak dapat menciptakan sebuah sistem koordinat tunggal yang

memenuhi kondisi berikut.

i. Setiap titik-titik yang berdekatan satu sama lain memiliki koordinat

yang berdekatan;

ii. Setiap titik memiliki koordinat yang unik.

Akan tetapi kita dapat menciptakan sebuah sistem koordinat yang

memenuhi kondisi berikut.

i. Setiap titik-titik yang berdekatan satu sama lain memiliki koordinat

yang berdekatan paling tidak pada satu sistem koordinat;

ii. Setiap titik memiliki koordinat yang unik pada setiap sistem

koordinat yang bersangkutan;

iii. Jika dua buah sistem koordinat saling overlap, maka mereka

terhubungkan satu sama lain secara smooth.

Tanpa ketiga syarat di atas, maka sebuah fungsi yang differensiabel pada

satu sistem koordinat belum tentu differensiabel pada sistem koordinat lain.

adalah sebuah manifold differensiabel berdimensi jika memenuhi

syarat-syarat berikut ini.

8

i. adalah sebuah ruang topologi;

ii. disajikan dalam bentuk pasangan ;

iii. adalah himpunan buka yang menutupi , yaitu .

adalah homeomorfisme dari pada suatu himpunan buka ; dan

iv. Jika dan memenuhi hubungan , maka pemetaan

dari menuju adalah

differensiabel.

9

Gambar 2. Sebuah homeomorfisme memetakan pada subhimpunan buka

, memberikan koordinat pada sebuah titik . Jika , transisi dari

satu koordinat menuju koordinat lain adalah smooth.

Pasangan dinamakan chart sedangkan himpunan chart, yaitu

dinamakan atlas. Subset disebut coordinate neighbourhood.

Homeomorfisme direpresentasikan sebagai fungsi-

. Himpunan sering disebut juga sebagai

koordinat. Jika dan saling overlap, maka aksioma iv. mensyaratkan bahwa

transisi dari suatu sistem koordinat menuju sistem koordinat yang lain harus

10

smooth . Pemetaan memetakan setiap koordinat pada

sebuah titik , dan pemetaan memetakan pada titik

yang sama dan transisi dari menuju , , diberikan oleh buah

fungsi dengan buah variabel. Transformasi koordinat adalah

bentuk eksplisit dari pemetaan . Sehingga differensiabilitas, seperti

yang telah diketahui dalam dasar kalkulus, yaitu transformasi koordinat adalah

differensiabel apabila setiap fungsi differensiabel. Kita dapat saja

membatasi differensiabilitas sampai pada orde ke- . Bagaimanapun, tentu

saja pembatasan ini tidak menghasilkan kesimpulan apa-apa. Kita hanya

memerlukan persyaratan bahwa transformasi koordinat differensiabel secara

infinit, yaitu .

Jika gabungan dari dua buah atlas, yaitu dan juga

adalah sebuah atlas, kedua atlas ini disebut compatible. Kompatibilitas adalah

relasi ekivalen, relasi ekivalen yang menunjukkan kompatibilitas disebut

differentiable structure. Dan juga atlas yang kompatibel menunjukkan

differentiable structure yang sama pada .

2.2 Manifold Differensiabel

Konsep manifold differensiabel diperlukan untuk menerapkan metode

dari kalkulus differensial pada ruang yang lebih umum dari . Contoh dari

sebuah manifold differensiabel adalah permukaan regular pada . Sebuah subset

adalah sebuah permukaan regular jika, untuk setiap titik terdapat

11

sebuah lingkungan di sekitar dan sebuah pemetaan

dari sebuah himpunan buka pada , sedemikian sehingga:

i. adalah homeomorfisme yang differensiabel;

ii. Differensial adalah injektif untuk semua .

Pemetaan disebut parameterisasi dari pada titik . Hasil yang paling

penting dari definisi mengenai permukaan regular adalah fakta bahwa transisi dari

satu parameterisasi ke parameterisasi lain adalah diffeomorfisme. Yaitu jika

dan adalah dua parameterisasi sedemikian sehingga

, maka pemetaan dan

adalah differensiabel. Maka secara intuitif sebuah

permukaan regular adalah gabungan dari himpunan buka di , sedemikian rupa

sehingga ketika dua himpunan buka beririsan satu sama lain transisi dari

himpunan buka yang satu ke himpunan buka yang lain adalah differensiabel,

sebagai akibatnya maka dapat diterapkan kalkulus.

Definisi 2.4.1 Sebuah manifold differensiabel berdimensi adalah sebuah

himpunan dan kumpulan pemetaan injektif dari himpunan

buka ke sedemikian sehingga:

i. ;

12

ii. Untuk suatu , dengan , himpunan

dan adalah himpunan buka di dan pemetaan

adalah differensiabel (gambar 4).

Gambar 3. Hubungan antara dan .

Definisi 2.4.2 Misalkan dan adalah manifold differensiabel. Sebuah

pemetaan adalah differensiabel pada titik jika diberikan

parameterisasi pada titik terdapat sebuah parameterisasi

13

pada titik sedemikian sehingga dan

pemetaan

adalah differensiabel pada (gambar 5). adalah differensiabel pada

himpunan buka pada jika differensiabel pada setiap himpunan buka

ini.

Gambar 4. Keterdifferensialan pada pemetaan antar manifold.

2.3 Ruang Tangen

14

Selanjutnya, kita akan mengembangkan ide mengenai vektor tangen

pada manifold differensiabel. Untuk permukaan pada , sebuah vektor tangen

pada sebuah titik pada permukaan didefinisikan sebagai “kecepatan” pada

dari sebuah kurva yang melewati titik . Kita harus menemukan karakteristik dari

vektor tangen yang akan mensubstitusikan ide mengenai “kecepatan”. Misalkan

adalah differensiabel pada , dengan . Tulis

(2.3.1)

Jadi . Sekarang misalkan fungsi

differensiabel yang didefinisikan pada lingkungan di . Kita akan

mengkomposisikan dengan dan mengekspresikan turunan berarahnya dalam

bentuk vektor sebagai

(2.3.2)

Jadi, turunan berarah yang diekspresikan dalam bentuk vektor bergantung

secara unik pada . Ini adalah karakteristik yang akan digunakan untuk

mendefinisikan vektor tangen pada sebuah manifold.

Definisi 2.5.1 Misalkan adalah manifold differensiabel. Sebuah fungsi

differensiabel disebut kurva pada . Misalkan ,

dan misalkan adalah himpunan funsi pada yang differensiabel pada titik .

Vektor tangen pada kurva pada adalah fungsi diberikan

oleh

15

(2.3.3)

Sebuah vektor tangen pada adalah vektor tangen pada pada suatu kurva

dengan . Himpunan dari semua vektor tangen pada

pada akan dinotasikan sebagai .

Jika kita memilih parameterisasi pada , kita dapat

mengekspresikan fungsi dan kurva dalam parameterisasi ini sebagai

(2.3.4)

(2.3.5)

didapatkan

.

Dalam kata lain, vektor dapat diekspresikan dalam parameterisasi sebagai

(2.3.6)

16

Gambar 5. Vektor tangen dari sebuah titik pada .

Ekspresi menunjukkan vektor tangen terhadap kurva

pada hanya bergantung pada turunan dalam suatu sistem koordinat. ,

dengan operasi yang biasa dilakukan pada fungsi akan membentuk ruang vektor

berdimensi , dan pilihan parameterisasi menunjukkan basis

yang bersangkutan pada (gambar 6). Ruang vektor

disebut ruang tangen dari pada titik .