Dinamika Balau Ayunan Bandul - Komputasi Fisika- Rachmad Resmiyanto
-
Upload
rachmadresmi -
Category
Documents
-
view
1.084 -
download
8
description
Transcript of Dinamika Balau Ayunan Bandul - Komputasi Fisika- Rachmad Resmiyanto
Dinamika Balau Ayunan Bandul
(Tugas Akhir Praktikum Fisika Komputasi)
Rachmad Resmiyanto
09/291449/PPA/2933
S2 Ilmu Fisika Universitas Gadjah Mada
http://rachmadresmi.blogspot.com
19 Januari 2010
Ringkasan
Sistem balau dari pengayun bandul dengan kakas dorong/pemacu
yang hidup dalam lingkungan redaman diselesaikan dengan metode
numerik. Dengan manipulasi peubah, persamaan analitik diubah dalam
bentuk persamaan diferensial orde pertama. Alih bentuk menjadi per-
samaan numerik dilakukan dengan metode Runge-Kutta orde keem-
pat.
Kata kunci: bandul, balau, runge-kutta
1 Pendahuluan
Ramalan keadaan suatu sistem fisis di masa depan amat penting bagi fisikawan.
Kemampuan semacam ini begitu mempesona sebab fisikawan dapat den-
gan mudah memperkirakan apa yang akan terjadi kemudian. Bahkan, ke-
mampuan ini dapat diperluas, bukan hanya masa depan saja yang bisa di
ramal, akan tetapi juga masa silam. Jika syarat-syarat awal yang sesuai
diberikan/diketahui, maka keadaan masa depan dapat diramalkan dengan
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
mudah. Apabila keadaan awal dari suatu sistem fisis diketahui, maka sese-
orang dapat menghitung lintasan ayunan sebuah bandul, gerak bola golf
dan bahkan orbit suatu satelit di angkasa. Hal ini memang menjadi ciri
khas mekanika klasik. Dalam ungkapan Pierre Simon de Laplace, sahabat
karib sang kaisar Perancis Napoleon Bonaparte, berikan aku keadaan aw-
al alam semesta ini, maka aku akan mengatakan bagaimana alam semes-
ta ini di masa depan. Namun, ternyata ”sesumbar” ini terpaksa berhenti
ketika fisikawan sampai pada kajian-kajian mikroskopis, mekanika kuantum.
Bahkan sejatinya, sebelum sampai mekanika kuantum pun, ada halangan
yang sangat mendasar dalam peramalan masa depan, yakni balau (chaos1).
Setidaknya ada 2 aspek penting dalam balau. Aspek pertama, keadaan
yang sepenuhnya tidak teratur alias kacau. Dalam situasi yang demikian,
tentu saja masa depan akan menjadi kabur. Oleh karena itu, dalam sistem
balau tidak dikenal adanya perulangan, tetapi sistem akan terus menampilkan
keadaan yang terus berbeda. Dengan demikian, gerak akan tampak seolah
sepenuhnya acak dan tak teratur. Akan tetapi, gerak balau jauh dari keka-
cauan total dan acapkali justru menampilkan suatu struktur tertentu yang
segera terlihat dengan mudah.
Aspek kedua, sensitifitas ekstrim terhadap syarat-syarat awal. Ini dapat
diibaratkan seperti upaya untuk menegakkan sebatang jarum jahit. Ketika
jarum sudah benar-benar tegak, maka jarum akan sangat sensitif terhadap
gangguan kecil keadaan-keadaan yang melingkupinya. Hembusan angin yang
ringan saja akan sangat mengganggu kesetimbangan jarum dan ia akan sulit
diramal akan jatuh ke mana. Oleh karenanya, dalam balau, perbedaan kecil
dalam keadaan awal akan memberikan perbedaan yang luar biasa besar pada
masa berikutnya.
Sifat-sifat dasar sistem balau, yakni keteraturan dalam ketidakteratu-
ran dan sensitifitas terhadap syarat-syarat awal, dapat dilihat secara gam-
blang meskipun dalam sebuah sistem fisis yang sederhana. Misalnya saja
adalah ayunan pegas selaras teredam yang dipaksa atau ayunan bandul den-
1Dalam Tipler (1998), chaos diterjemahkan sebagai kaos. Sedangkan dalam KamusGloasarium yang dikeluarkan oleh Pusat Bahasa Depdiknas, kata ini diterjemahkan dengan”balau”. Makalah ini sepenuhnya taat dengan Pusat Bahasa Depdiknas.
S2 Ilmu Fisika UGM 2
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
gan kakas dorong/pemacu (driven force) yang hidup dalam lingkungan yang
memiliki kakas penghambat (resistive force).
2 Kasus Fisis
Tinjau sebuah bandul yang terdiri dari batang pengayun ` dan titik massa m
pada salah satu ujungnya. Diasumsikan bahwa bandul bergerak bebas dalam
bidang vertikal, yang digerakkan oleh kakas dorong fd dan kakas penghambat
seperti ditunjukkan dalam gambar 1. Gerakan bandul dapat dipaparkan
Gambar 1: Sketsa bandul dengan kakas dorong (driven pendulum) yang hidupdalam sistem redaman, fd merupakan kakas dorong dan fr merupakan kakaspenghambat(resistive force)
.
dalam persamaan Newton sepanjang arah tangensial gerakan melingkar yang
dilakukan titik massa,
mat = fg + fd + fr, (1)
dengan fg = −mg sin θ merupakan sumbangan gravitasi sepanjang arah ger-
akan, dan θ merupakan sudut yang dibentuk oleh batang pengayun dengan
sumbu vertikal, dan at = `d2θdt2
merupakan percepatan sepanjang arah tangen-
sial. Diasumsikan pula bahwa kakas dorong memiliki ketergantungan waktu
S2 Ilmu Fisika UGM 3
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
yang bersifat periodik yang diungkapkan oleh kaitan
fd(t) = f0 cos ω0t, (2)
dan kakas penghambat
fr = −κν (3)
dengan ν = `dθdt
merupakan kecepatan titik massa dan κ merupakan param-
eter redaman positif. Asumsi yang demikian ini merupakan asumsi yang
masuk akal untuk bandul yang hidup dalam suatu medium dibawah kakas
dorong selaras. Jika persamaan (1) ditulis ulang dalam bentuk persamaan
nirdimensi (dimensionless) dengan√
`g
yang dipilih sebagai satuan waktu,
maka akan didapat persamaan
d2θ
dt2+ q
dθ
dt+ sin θ = b cos ω0t, (4)
dengan nilai koefisien q = κm
dan b = f0
m`.
Suku-suku yang berbentuk turunan dapat dianggap sebagai peubah (vari-
able). Oleh karena itu, dapat dilakukan transformasi persamaan diferensial
orde tinggi menjadi sebuah set persamaan diferensial orde pertama. Jika
dipilih y1 = θ dan y2 = ω = dθdt
, maka akan didapat
dy1
dt= y2, (5)
dy2
dt= −qy2 − sin y1 + b cos ω0t. (6)
3 Metode Komputasi Runge-Kutta
Sebagaimana yang akan ditunjukkan berdasarkan persamaan (5) dan (6),
dalam wilayah yang berbeda dari ruang parameter (q, b, ω0) sistem memiliki
dinamika yang cukup berbeda. Khususnya, dalam beberapa wilayah param-
eter gerakan bandul akan nampak sebagai gerakan yang sepenuhnya balau.
S2 Ilmu Fisika UGM 4
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Metode Runge-Kutta orde keempat dapat dinyatakan sebagai
y(x0 + h) = y(x0) +h
6(f0 + 2f1 + 2f2 + f3) (7)
dengan
f0 = f(x0, y0) (8)
f1 = f(x0 +h
2, y0 +
h
2f0)
f2 = f(x0 +h
2, y0 +
h
2f1)
f3 = f(x0 + h, y0 + hf2)
Pada prinsipnya, persoalan bandul memiliki 3 peubah dinamis yakni
sudut antara batang pengayun dengan garis vertikal sebesar θ, kecepatan
sudut ω yang merupakan turunan pertama θ (ω = dθdt
), dan sudut fase kakas
dorong sebesar φ = ω0t. Hal ini menjadi penting sebab sebuah sistem yang
dinamis tidak dapat mengalami keadaan balau kecuali sistem tersebut memi-
liki peubah dinamis sebanyak 3 macam atau lebih. Dalam perhitungan ini,
hanya 2 peubah yang akan dihitung yakni θ dan ω, sebab φ = ω0t sudah
merupakan solusi dari nilai φ. Maksudnya, nilai peubah φ sudah ditentukan
sejak awal.
Setiap besaran fisis yang merupakan fungsi θ merupakan besaran yang
memiliki nilai periodik, misalnya ω(θ) = ω(θ ± 2nπ) dengan nilai n meru-
pakan bilangan bulat. Oleh karena itu, nilai θ perlu dibatasi dalam se-
lang [−π, π]. Jika dalam perhitungan didapatkan nilai θ yang berada di
luar wilayah tersebut maka perlu dilakukan transformasi pengembalian yang
diatur dengan θ′ = θ ± 2nπ.
4 Listing Program
ccccccc Program Dinamika Balau Bandul cccccccc
c Rachmad Resmiyanto 291449
c http://rachmadresmi.blogspot.com
S2 Ilmu Fisika UGM 5
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
c
program bandul
c
c Metode yang digunakan Runge-Kutta
c Parameter: q, b ,w0 (omega_0 )
c
parameter (n=1000, l=100, m=1)
dimension y(2,n)
common /const/ q,b,w0
pi = 4.0*atan(1.0)
h = 3.0*pi/l
c parameter ini (q,b,w0) yang diubah-ubah
c q=kappa/m, b=f0/(ml), w0
c nilai awal q=0.5 b=0.9 w0=2.0/3.0
q = 0.5
b = 0.9
w0 = 2.0/3.0
c
y(1,1) = 0.0
y(2,1) = 2.0
c
c algoritma runge-kutta
c
do 100 i=1, n-1
t = h*i
y1 = y(1,i)
y2 = y(2,i)
c
dk11 = h*g1(y1,y2,t)
dk21 = h*g2(y1,y2,t)
dk12 = h*g1((y1+dk11/2.0),(y2+dk21/2.0),(t+h/2.0))
dk22 = h*g2((y1+dk11/2.0),(y2+dk21/2.0),(t+h/2.0))
dk13 = h*g1((y1+dk12/2.0),(y2+dk22/2.0),(t+h/2.0))
S2 Ilmu Fisika UGM 6
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
dk23 = h*g2((y1+dk12/2.0),(y2+dk22/2.0),(t+h/2.0))
dk14 = h*g1((y1+dk13),(y2+dk23),(t+h))
dk24 = h*g2((y1+dk13),(y2+dk23),(t+h))
y(1,i+1) = y(1,i)+(dk11+2.0*(dk12+dk13)+dk14)/6.0
y(2,i+1) = y(2,i)+(dk21+2.0*(dk22+dk23)+dk24)/6.0
c
c
c Sudut theta dibawa ke wilayah dalam selang [-pi,pi]
c
y(1,+i+1) = y(1,i+1)-2.0*pi*nint(y(1,i+1)/(2.0*pi))
c
100 continue
write (6,999)(y(1,i),y(2,i),i=1,n,m)
stop
999 format (2f16.8)
end
c
function g1(y1,y2,t)
common /const/q,b,w0
g1=y2
return
end
c
function g2(y1,y2,t)
common /const/q,b,w0
g2=-q*y2-sin(y1)+b*cos(w0*t)
return
end
5 Pembahasan
Sekali suatu sistem menjadi balau, maka sistem tersebut akan menampilkan
profil ketidakteraturan total. Namun, selain struktur yang sangat rumit,
S2 Ilmu Fisika UGM 7
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Gambar 2: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 0.9 dan ω0 = 2.0/3.0.
gerak balau juga menampilkan sensitivitas ekstrim terhadap keadaan aw-
al. Hal ini berkebalikan dengan gerak selaras (periodik) sederhana yang
semua syarat awalnya berkembang ke arah gerak akhir yang sama. Jika be-
berapa pengayun selaras mulai digerakkan, masing-masing dengan berbeda
sedikit, gerak pengayun-pengayun itu dengan cepat berkumpul, dan seterus-
nya bergerak dalam kesatuan yang sempurna. Namun, keadaan awal yang
berbeda untuk sistem balau seperti pengayun dalam makalah ini, pengayun
dengan kakas pemacu yang hidup dalam lingkungan redaman, menyimpang
ke dalam gerak yang sangat berbeda. Tiap titik dalam gerak balau sama
sensitifnya terhadap keadaan awal, sehingga sekumpulan titik-titik permu-
laan yang berkelompok bersama akan tersebar dalam suatu rentang sudut
pengayun.
Contoh sensitivitas ini dapat dilihat dalam gambar (2), (3), (4), (5),
(6), (7) dan (8). Gambar yang menunjukkan keadaan awal adalah gambar
(2). Gambar ini dapat diandaikan sebagai gambar default untuk sekedar
menjelaskan keadaan balau yang dimaksud.
Ada 3 parameter yang dapat digunakan untuk melihat bagaimana tingkat
S2 Ilmu Fisika UGM 8
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Gambar 3: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.0, b = 0.9 dan ω0 = 2.0/3.0.
kebalauan atau sebaliknya, tingkat keteraturan, dari sistem ini. Parameter
ini adalah q, b dan ω0. Tujuh gambar, yakni gambar (2), (3), (4), (5), (6),
(7) dan (8), masing-masing memberikan tayangan hasil dari sedikit peruba-
han pada salah satu parameter tersebut. Tayangan tersebut menunjukkan
bahwa perubahan sedikit saja dalam salah satu parameter tersebut ternya-
ta akan menunjukkan profil yang sama sekali berbeda. Dalam profil-profil
tersebut juga nampak bahwa ayunan setiap saat selalu berbeda dan tidak
menunjukkan keadaan yang berkala.
Perilaku yang kacau sebagaimana ditunjukkan pada gambar-gambar terse-
but tampaknya memang benar-benar tidak teratur. Namun demikian, anal-
isis yang jauh lebih rinci akan menunjukkan bahwa diagram ruang fase (plot
ω-θ) memiliki kesamaan diri dalam rentangan skala yang lebih panjang,
seperti ditunjukkan oleh struktur fraktal dalam kekacauan.
S2 Ilmu Fisika UGM 9
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Gambar 4: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.1, b = 0.9 dan ω0 = 2.0/3.0.
6 Kesimpulan
Dari uraian di atas telah ditunjukkan bagaimana metode Runge-Kutta da-
pat digunakan untuk menjelaskan secara numerik dari persoalan dinamika
balau dari ayunan bandul dengan kakas dorong/pemacu yang hidup dalam
lingkungan redaman. Untuk mempermudah penafsiran hasil numerik metode
Runge-Kutta, maka hasil yang ada perlu diplot dalam grafik ω vs θ. Dengan
mengubah keadaan awal dari parameter q, bω0 dan kemudian mengeplotnya
dalam grafik maka dinamika balau dari sistem akan jelas terlihat.
Pustaka
DeVries, Paul L., 1994, A First Course in Computational Physics, John Wi-
ley & Sons, USA
Tipler, Paul A., 1998, Fisika: untuk sains dan teknik, alih bahasa Lea Prase-
S2 Ilmu Fisika UGM 10
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Gambar 5: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 1.0 dan ω0 = 2.0/3.0.
tio dan Rahmad W. Adi, editor Joko Sutrisno, Ed.3, Cet.1, Erlangga,
Jakarta
T. Pang, 2006, An Introduction to Computational Physics, Ed.2nd, Cam-
bridge University Press, UK
S2 Ilmu Fisika UGM 11
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Gambar 6: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 1.15 dan ω0 = 2.0/3.0.
Gambar 7: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 0.9 dan ω0 = 0.0.
S2 Ilmu Fisika UGM 12
Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi
Gambar 8: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 1.15 dan ω0 = 1.0.
S2 Ilmu Fisika UGM 13