Dimensi Dua Rev

BAHAN AJAR

GEOMETRI DIMENSI DUA TUJUAN:

Diharapkan guru dapat mengelola pembelajaran sehingga siswa dapat:

1. Mengidentifikasi sudut

2. Menentukan keliling dan luas bangun datar

3. Menerapkan transformasi bangun datar

URAIAN MATERIA. IDENTIFIKASI SUDUTa. Pengertian Sudut

1). Sudut ialah selisih dari dua arah yang berlainan

2). Dua ruas garis yang bertemu pada sebuah titik disebut sudut

3). Sudut juga merupakan bangun yang terbentuk dari dua sinar yang pangkalnya bertemu di suatu titik.

Gambar 1

B

A : titik sudut

B dan C : kaki sudut

A

C

Perhatikan juga gambar di bawah ini:

A

B

Besar sudut refleks

30OAOB = 330

O

AB

Besar sudut AOB = 30

330

Gambar 2

Gambar 3

Ukuran besarnya sudut ditentukan oleh besarnya rotasi yang ditunjukan oleh anak panah

b. Pengukuran Sudut

Satuan sudut yang digunakan

1). Ukuran Derajat

Dilambangkan dengan . , misalnya: 5, 30, 45

Jika sebuah keliling lingkaran dibagi menjadi 360 bagian yang sama, maka satu bagian itu disebut satu derajat sehingga:

1 keliling lingkaran

Untuk menambah keakuratan dalam pengukuran satu derajat dibagi lagi menjadi 60 bagian yang sama, satu bagian itu disebut satu menit, ditulis 1 , sehingga 1 = 60, demikian satu menit dibagi lagi menjadi 60 bagian yang sama disebut detik, sehingga 1 = 60Maka , diperoleh 1 = 60 = 3600Contoh: Nyatakan dalam satuan derajat, menit dan detik.

1)

2)

3)

Sehingga:

Contoh 2: Nyatakan dalam satuan derajat.

1)

2)

=

=

Gambar: Pengertian sudut ada di halaman 3 revisi

2). Ukuran radian

Ukuran radian disingkat rad, misal: rad.

Apabila busur AB sama dengan jari-jari lingkaran, maka kita katakan bahwa besar sudut disebut satu radian atau dapat juga kita katakan bahwa radian. Perhatikan gambar 4.

Ada tiga lingkaran yang berpusat sama, yaitu di titik O, sehingga didapat:

ooOA A1 A2Perbandingan

Jadi, ukuran radianAOB = 1 radian

B2

Gambar 4

Perhatikan gambar 5 di bawah ini :

Panjang busur ABC keliling lingkaran = r

B

Sehingga,

C O A Jadi radian

Atau radian

Gambar 5

3). Satuan Grade/ Gone/ Centisimal

Apabila sebuah keliling dibagi menjadi 400 bagian yang sama, maka satu bagian itu disebut satu grade dengan notasi gr sehingga didapat persamaan:

(centigrade)

1 Putaran

Mengkonversikan satuan sudut ke satuan sudut lainnya

1) Dari satuan derajat ke satuan grade/ gon dan sebaliknya.

a) Contoh 1: Ubahlah ke satuan grade/ gon sudut-sudut berikut:

b) 180

c) 50,55

Jawab:

a)

b)

contoh 2. Ubahlah ke satuan derajat sudut-sudut berikut:

a. 100gr

b. 150gr

Jawab:

a.

b.

2) Merubah dari satuan radian ke satuan grade dan sebaliknya.

Contoh 1 Ubahlah ke satuan grade sudut-sudut berikut:

a.

rad

b.

rad

Jawab:

a) rad

b)

Contoh 2 Ubahlah ke satuan grade satuan-satuan berikut:

a. 75gr

b. 150gr

Jawab:

a)

b)

Menentukan Besar Suatu Sudut

1). Sifat Sudut Berelasi

a. Sudut berpelurus jumlahnya 180

+ =180

b. Sudut bertolak belakang mempunyai sudut yang sama

=

=

c. Sudut berpenyiku dengan jumlah sudut 90

+= 90

2). Hubungan antar sudut akibat dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis

a. Sudut-sudut yang sehadap mempunyai besar sudut yang sama

b

a =b

a

b. Sudut dalam bersebrangan mempunyai besar sudut yang sama

b

a =b

a

c. Sudut luar besebrangan mempunyai besar sudut yang sama

d

c =d

c d. Sudut-sudut dalam yang sepihak akan berjumlah 180

b

a +b = 180

a

e. Sudut-sudut luar yang sepihak akan berjumlah 180

b

a +b = 180

a

3). Sudut Elevasi Dan Sudut Depresi

a. Sudut Elevasi

Sudut elevasi adalah sudut pada suatu titik yang diukur dari arah horisontal terhadap arah diatas garis horisontal.

B

a: Sudut elevansi dari arah

a

OA terhadap OB

O

A

b. Sudut Depresi

Sudut depresi adalah sudut suatu titik yang diukur dari arah horisontal terhadap garis dibawah horisontal.

P

Q

O

o: Sudut depresi dari arah

PQ terhadap PR

R

4). Sudut Jurusan

Sudut yang dibentuk oleh garis AB dan Sumbu y arah angin (azimul)dengan arah putaran searah jarum jam.

y: utara

B

(

A

Hubungan antara dan terdapat ketentuan sebagai berikut:

a. Apabila sudut jurusan terletak di kuadran I dan II, maka sudut jurusan dihitung dengan rumus:

b. Apabila sudut jurusan terletak di kuadran III dan IV, maka sudut jurusan dihitung dengan rumus:

c. Jurusan tiga angkaJurusan tiga angka digunakan untuk menentukan letak suatu tempat berdasarkan arah mata angin dengan arah putaran jarum jam:

Utara

120

Jakarta

Bandung

RANGKUMAN

1. Sudut adalah selisih dari dua arah yang berlainan.

2. Pengukuran sudut:

a. Ukuran derajat (.)

b. Ukuran radian ( rad)

c. Ukuran gon atau centisimal

3. Menentukan Besar Suatu Sudut

a. Sudut Berpelurus

b. Sudut bertolak belakang mempunyai sudut yang sama

= (

= (

c. Sudut berpenyiku dengan jumlah sudut 90

d. Sudut-sudut yang sehadap mempunyai besar sudut yang sama

b

a =b

a

e. Sudut yang bersebrangan mempunyai sudut yang sama

f. Sudut luar bersebrangan mempunyai besar sudut yang sama

g. Sudut-sudut luar yang sepihak akan berjumlah 180

Latihan soal:

1. Nyatakan dalam satuan derajat, menit, dan detik:

a. 31,5

b. 60,75

c. 100,66

2. Tanpa dengan mempergunakan busur derajat, tentukan ukuran besar sudut-sudut yang belum diketahui di bawah ini!

G

9

D 50 70 E

F

5 6 7 8

1 2 3 4

A

B C

3. Ubahlah sudut-sudut berikut ke satuan radian, derajat, dan gon/ grade

a. 50 = ..rad

b. 160 gon =

c.

B. LUAS BANGUN-BANGUN DIMENSI DUAa. Persegi panjang

Keliling = 2 (panjang + lebar)

L

Luas

= panjang x lebar

L

= P x L

b. Persegi

s

Keliling = 4 x sisi

Luas

= sisi x sisi

s sL

= S x S

s

c. Trapesium

Luas

=

Keliling= Jumlah panjang semua sisi

d. Jajar genjang

Keliling= Jumlah panjang semua sisi T

Luas

= alas x tinggi

L

= a x t

e. Layang-layang

C

Keliling = Jumlah panjang semua sisi

Luas

D

B

A

f. Segi tiga


t

Luas

g. Lingkaran

Keliling

r

Luas

CONTOH SOAL:

1. Hitunglah luas persegi panjang dengan lebar 7 cm dan panjang 9 cm! Hitung kelilingnya!

Jawab:

Luas= Panjang x Lebar

Keliling = 2(7+9)cm

= 9 x 7

= 32 cm

= 63 cm

2. Tentukan luas lingkaran yang berjari-jari 7 cm! Tentukan kelilingnya!

Jawab:

Luas= r

Keliling= 2r

=

=154 cm

= 44 cm

3. Hitunglah luas segi tiga di bawah ini!

Jawab:

20 cm

Luas

cm

90

=120 cm

12 cm

4. Hitung luas juring lingkaran yang dengan sudut pusat 60 dan berjari-jari

14 cm

Jawab:

Luas juring lingkaran

cm

cm

cm

Latihan soal:

1.Hitunglah luas dari tiap-tiap bangun di bawah ini!

a.

b.

22cm

40cm

32cm

c. E

D C

d.

8cm90

12cm

13cm

6cm

20cm

e

15cm

20cm

2. Hitunglah luas bagian bidang yang diarsir

a.

16 cm

b.

|| ||

=

=

10cm

4 cm

=

=

|| ||

RANGKUMAN:

Macam-macam bangun dimensi dua

1. Persegi panjang

Luas

= Panjang x Lebar

Keliling= 2p +2

2. Persegi.

Luas

= sisi x sisi

Keliling= A x S

3. Trapesium

Luas


4. Jajar genjang

Luas

= a x t


5. Layang-layang

Luas

D B


A

6. Segi tiga

Luas


7. Lingkaran

Luas

= x r

Keliling= 2 r

C. MENERAPKAN TRANSFORMASI BANGUN DATAR1. Pengertian transformasi

Pengertian transformasi adalah perubahan letak suatu geometri pada bidang datar dengan menggunakan aturan tertentu

Jenis-jenis transformasi: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian bangun)

Translasi, refleksi, dan rotasi biasa disebut transformasi sometri, artinya setiap garis dan bayangannya selalu sama panjang, setiap bangun dan bayangannya selalu kongruen (sebangun)

2. Translasi (pergeseran)

2.1. Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik pada suatu bidang dengan jarak dan arah yang sama.

Translasi memetakan setiap titik (x, y) ke titik (x, y)

Sehingga: dan

Ditulis:

dalam bentuk matriks ditulis:

Contoh:

Suatu segitiga ABC dengan koordinat A(-2,-3), B(2,-1) dan C( 0,5) ditranslasikan oleh

c. gambarlah ABC dan bayangannya!

d. Tentukan pasangan koordinat titik A, Bdan C!

Jawab:

a.

b.

5- C

4-

3-

C

2-

1-

-2-1 0 12345

-1- B

-2-

A -3-

B

-4-

-5- A

gambar 1

2.2. Dua translasi berurutan

Untuk dua translasi berurutan dan berlaku:

Contoh :

Tentukan bayangan titik A(2,4) pada translasi diteruskan dengan !

Jawab:

pada translasi , maka

Jadi bayangan titik A(2,4) adalah A(1,8)

2.3. Komposisi dua translasi berurutan

Misalkan T, adalah tranformasi yang memetakan suatu titik P(x,y) ke titik P (x, y) selanjutnya ke titik P (x, y). urutan pengerjaan tranformasi berurutan itu dapat diperhatikan dengan skema sebagai berikut:

atau

Contoh 3:

Jika dan menyatakan matriks translasi, maka tentukan bayangan titik P(2,2) oleh T2 T1!

Jawab:

Sehingga titik P(2,2)P (2+3, 2+4) = P (5,6)

3. Refleksi (pencerminan)

1.1 Pencerminan terhadap sumbu x

Suatu titik T(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka didapat T (x,y)

Dengan

jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

matriks disebut matriks operator pencerminan terhadap sumbu x.

Contoh 4:

Sebuah ABC dengan koordinat A(2,1), B(6,2) dan C(4,3) dicerminkan terhadap sumbu x

a. Gambarlah ABC dan bayangan.

b. Tentukan koordinat titik bayangannya.

Jawab:

aY

3 -

C

2 -

B

1- A

01234567 X

-1- A

-2-

B

-3-

C

Gambar 2

b.koordinat titik bayangan ABC

atau A(2,-1)

atau B(6,-2)

atau C(4,-3)

1.2 Pencerminan terhadap sumbu y.

Suatu titik T(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y, maka di dapat T (xy) dengan

Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

Matrik disebut matriks operator pencerminan terhadap sumbu y

Contoh:

Sebuah ABC dengan koordinat A(1,4), B(2,1) dan C(4,6) dicerminkan terhadap sumbu y

a. gambarlah ABC dan bayangannya.

b. Tentukan koordinat titik bayangan.

Jawab:

b. koordinat bayangan ABC

1.3 Pencerminan terhadap garis y = x

Suatu titik T(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x, maka didapat T(x,y) dengan x= y dan y = x

Atau

Jika ditulis dalam bentuk matriks:

Matriks disebut matriks operator pencerminan terhadap garis y = x .

Contoh 6:

P(3,-1), Q(6,-1) dan R(3,3) adalah titik-titik sudut pada PQR.

a. Gambarlah PQR dan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = x

b. Tulislah koordinat bayangan dari PQR.

Jawab:

a.

b. Koordinat bayangan titik:

atau P (-1,3)

Atau Q(-1,6)

atau R(3,3)

1.4 Pencerminan terhadap garis y = -x

Suatu titik T(x,y) dicerminkan terhadap garis y = - x, maka didapat T(x,y) dengan

Jika ditulis dalam matriks:

Matriks disebut matriks operator pencerminan terhadap garis y = - y

Contoh 7: Tentukan koordinat bayangan titik A(0,8), B(12,7), C(-14) dan D(-15,-23) Jika dicerminkan terhadap garis y = -x.

Jawab:

atau A(-8,0)

atau B(7,12)

atau C(-14,8)

atau D(23,15)

1.5 Pencerminan terhadap titik asal 0(0,0)

Suatu titik T(x,y) dicerminkan terhadap titik asal 0(0,0), maka didapat T(x,y) dengan


matriks disebut matriks operator pencerminan terhadap titik asal 0(0,0).

Contoh 8:

Tentukan koordinat bayangan titik A(3,4), B(6,-7), C(-5,5) dan D(-10,-12) Jika dicerminkan terhadap titik asal 0(0,0).

Jawab:

atau A(-3,-4)

atau B(-6,7)

atau C(5,-5)

atau D(10,12)

1.6 Pencerminan terhadap dua sumbu sejajar.

1.6.1 Dua sumbu sejajar sumbu y.

|| | || ||

AP= AB + BPBP= PB

= AB +PB

= h + (h-a)

= h + h- a

= 2h a

AC= AP+PC

PC=AC-AP

= K-(2h-a)

= K- 2h + a

AP=AC+CP CP= PC

P= AC + PC

= K + (K- 2 h + a)

P= K + K- 2h + a = 2K- 2h + a = 2(K-h) + a

Dengan demikian pada pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan x = k, maka P(a,b) P(2(k-h) + a,b).

1.6.2 Dua sumbu sejajar sumbu x

Untuk menentukan bayangan titik P(a,b) pada pencerminan terhadap garis y = h kemudian dilanjutkan terhadap garis y = k, dapat ditentukan dengan cara seperti diatas, dengan absis

P dan P sama, yaitu a. Dengan demikian pada pencerminan terhadap garis y = h dilajutkan y = k , maka

P(a,b) P(a, 2(k-h) + b).

Contoh 9:

Tentukan bayangan titik P(-3,2) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 kemudian dilanjutkan terhadap garis x = 4.

Jawab:

Pada pencerminan terhadap garis x = 2 maka h= 2 dan pada garis x = 4 maka k = 4.

Sehingga :

P(a,b) P (2(k-h) + a,b)

P(-3,2) P (2(4-2) + (-3),2)

P (2(2) + (-3),2)

P (4-3,2)

P (1,2).

Jadi bayangan P(-3,2) adalah P (1,2).

Contoh 10:

Tentukan bayangan titik T(4,-2) oleh pencerminan terhadap garis y= 1 kemudian dilanjutkan terhadap garis y = 6.

Jawab:

Pada pencerminan terhadap garis y = 1 maka h = 1 dan pada garis y = 6 maka k = 6. sehingga:

P(a,b) p (a,2(k-h)+b)

P(4,-2) P (4,2(6-1)+ (-2))

P (4,2(5)-2)

P (4,8)

Jadi bayangan P(4,-2) adalah P (4,8)

1.7 Pencerminan terhadap sumbu saling tegak lurus.

Dari gambar 6. diperoleh:

AP= AB + BP BP= PB

P= AB +PB

P= h + (h-a)

P= 2h-a

CP= CD + DP DP=PD

C

= CD +PD

C

= k + (k-b)

C

= 2k-b

Sehingga koordinat P (p,c)=P (2h-a,2k-b).

Dengan demikian pada pencerminan dua sumbu yang saling tegak lurus maka P(a,b) P (2h-a, 2k-b)

Sedangkan jika sebuah titik P(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x, kemudian terhadap sumbu y, maka untuk menentukan bayangan dari titik P(a,b) dapat dilakukan dengan cara mengalikan kedua matriks operatornya.

Jadi, PP dengan :

Contoh 11.

Tentukan bayangan P(3,-4) oleh pencerminan :

a. Terhadap garis x =6 dilanjutkan terhadap garis y = 2.

b. Terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y

Jawab:

a. pada pencerminan terhadap garis x = 6 dan garis y = 2 berarti h= 6 dan k = 2.

P(a,b) P(2h-a,2k-b)

P(3,-4) P(2(6)-3,2(2)-(-4)

P(12-3,4+4)

P(9,8)

Jadi bayangan P(3,-4) adalah P(9,8)

b. PP

Jadi bayangan P(3,-4) adalah P(-3,4)

4. Rotasi (pemutaran)

Suatu rotasi (pemutaran) pada bidang datar ditentukan oleh:

1. pusat rotasi

2. Besar sudut (jarak) rotasi

3. Arah rotasi:

a. Jika berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam maka sudut perputarannya positif

b. Jika searah dengan arah perputaran jarum jam maka sudut perputarannya negatif.

4.1 Rotasi dengan pusat 0 dan sudut rotasi 90(R.180)

Rotasi ini memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y) dengan

x=-y=0.x-1.y

y= x = 1.x + 0.y

Sehingga

Dengan disebut matriks operator rotasi dengan pusat 0 dan sudut rotasi 90.

4.2 Rotasi dengan pusat 0 dan sudut rotasi 180 (x,y)

Rotasi ini memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y)

Dengan x = -x dan y= -y ditulis R.180:(x,y) (x,y)=(-x,-y).


sehingga

Matriks disebut matriks operator rotasi dengan pencerminan terhadap titik asal.

4.3 Rotasi dengan pusat titik 0 dan sudut rotasi -90 (R.-90).

Ratasi ini memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,Y) dengan x=y dan y= -x ditulis R.-90: (x,y)(x,y)= (y,-x)


sehingga

Matriks disebut matrik operator rotasi dengan pusat 0 dan sudut rotasi -90.

Catatan:

-90= 270 dengan demikian R.-90 = R.270

4.4 Rotasi dengan pusat 0 dan sudut rotasi 360

Rotasi ini memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y) dengan x=x dan y= y ditulis R.360:(x,y)(x,y)=(x,y)


sehingga

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi 360 atau rotasi 0 disebut matriks identitas.

Selanjutnya kita akan menentukan rumus lain yang bersifat umum, yaitu dengan menggunakan matriks operator. Penggunaan matriks operator sangat penting karena besar sudut rotasi tidak selalu kelipatan 90.

Jika suatu titik T(cos , sin ) dirotasikan dengan pusat 0 (0,0) dengan sudut rotasi didapat persamaan:

x=cos (+ )

= cos . cos -sin .sin

y= sin (+ )

= sin . cos -cos .sin

Bentuk persamaan matriksnya:

sedangkan apabila suatu titik T(x,y) dirotasikan dengan pusat 0(0,0) dengan sudut rotasi maka akan diperoleh bayangan T(x,y) dengan :

atau:

Matriks disebut matriks operator rotasi dengan pusat 0 dan sudut rotasi .

Catatan 12:

Sebuah titik A(6,30) dirotasikan dengan pusat 0(0,0) dan sudut rotasi 30. Tentukan bayangan dari titik A!

Jawab:

Titik A (6,30) dikonversikan ke koordinat cartesius menjadi A(33,3) sehingga:

Jadi , koordinat bayangan dari titik A(6,30) adalah A(3,33)

4.5 Rotasi terhadap pusat yang sama.

Contoh 13:

Tentukan bayangan titik B(2,2) yang dirotasikan sejauh 30 diteruskan sejauh 60!

Jawab: Matriks operator untuk rotasi ialah

Sehingga didapat:

Jadi koordinat

5. Dilatasi (perkalian)

Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran, memperbesar atau memperkecil suatu bangun akan tetapi tidak akan merubah bentuknya.

Dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor dilatasi.

Dilatasi dengan pusat 0(0,0) dan faktor skala k dinyatakan dengan (0,k).

Dilatasi (0,k memetakan setiap titik (x,y)ke titik (x,y)

dengan


Matriks disebut matrik operator pada dilatasi dengan pusat 0(0,0) dan faktor skala k.

Catatan:

Jika k>0 maka bangun asal dan bayangan letaknya sepihak terhadap pusat dilatasi.

Jika k1 atau k

Dimensi Dua Rev

Documents

Transcript of Dimensi Dua Rev