PROBABILITAS DAN

STATISTIKA

Oleh : Yuliant Sibaroni S.Si, M.T

DIPLOMA 3 TEKNIK TELEKOMUNIKASI INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

2009

DIKTAT KULIAH

i

KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah, Kami panjatkan kehadirat Alloh SWT, atas selesainya diktat ajar PROBABILITAS DAN STATISTIKA ini. Dengan selesainya buku ajar ini, Kami berharap buku ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa D3 Teknik Telekomunikasi khususnya dan bagi Institut Teknologi Telkom pada umumnya dalam rangka menunjang proses belajar mengajar. Buku ajar PROBABILITAS DAN STATISTIKA ini terdiri dari 9 bab yang berisi pengenalan data, statistika deskriptif, peluang, peubah acak, distribusi peubah acak diskrit khusus, distribusi peubah acak kontinu khusus , teorema limit pusat, regresi linier dan non-linier serta korelasi. Kami mengharapkan masukan serta saran kepada semua pihak yang menggunakan diktat ini, demi perbaikan dan kesempurnaan diktat ini.

Bandung, Januari 2009

Penulis

ii

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR............................................................................................................................i

DAFTAR ISI ............................................................................................................................................ii 1. MENGENAL DATA ..........................................................................................................................1 1.1 Populasi dan sampel .....................................................................................................................1 1.2 Skala pengukuran ..........................................................................................................................2 2. STATISTIKA DESKRIPTIF ..............................................................................................................4 2.1 Ukuran Pemusatan .........................................................................................................................4 2.2 Ukuran Penyebaran........................................................................................................................5 2.3 Ukuran Letak ...................................................................................................................................6 2.4 Distribusi Frekuensi ........................................................................................................................6 2.5 Ukuran Statistik Data Berkelompok .............................................................................................7

Ukuran pemusatan ............................................................................................................................ 7 Ukuran penyebaran........................................................................................................................... 7 Ukuran letak ...................................................................................................................................... 8

2.5 Penyajian dalam Bentuk Grafik ....................................................................................................9 3. PELUANG, PELUANG BERSYARAT, DAN KAIDAH BAYES.................................................16 3.1 Ruang Sampel dan Kejadian .................................................................................................16 3.2 Operasi Himpunan, Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas ........................................16 3.3 Peluang Kejadian.....................................................................................................................17

1. Definisi aksioma .......................................................................................................................... 17 2. Objektif ........................................................................................................................................ 18 3. Subyektif..................................................................................................................................... 18

3.4 Teknik Mencacah.....................................................................................................................20 Kaidah Penjumlahan ....................................................................................................................... 20 Kaidah Perkalian ............................................................................................................................. 20 Pengambilan Sampel ...................................................................................................................... 20

3.5 Peluang Bersyarat ...................................................................................................................21 3.4 Kaidah Bayes.................................................................................................................................24

Teorema Bayes : ............................................................................................................................. 24 4. PEUBAH ACAK, DISTRIBUSI PELUANG DISKRET,...............................................................28 DAN DISTRIBUSI PELUANG KONTINU.........................................................................................28 4.1 Peubah acak ..................................................................................................................................28

4.2 Distribusi peluang diskret .......................................................................................................... 28 4.3 Distribusi peluang kontinu ........................................................................................................ 29 Latihan............................................................................................................................................. 32

5. DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS (DISKRET DAN KONTINU) ............................................33

iii

5.1 Distribusi Peluang khusus Diskret..............................................................................................33 5.1.1 Distribusi Bernoulli dan Binomial ........................................................................................... 33 5.1.2 Distribusi Poisson ................................................................................................................. 36 5.1.3 Pendekaan Distribusi Poisson untuk Binomial ..................................................................... 39 5.1.4 Distribusi Hypergeometrik .................................................................................................... 41

5.2 Distribusi peluang kontinu ..........................................................................................................43 5.2.1 Distribusi normal................................................................................................................... 43 5.2.2 Distribusi normal baku .......................................................................................................... 44 5.2.4 Distribusi uniform................................................................................................................... 46 5.2.5 Distribusi Eksponensial .......................................................................................................... 47 5.2.4 Pendekatan Normal terhadap Binomial ........................................................................... 50 Latihan............................................................................................................................................. 52

6. DISTRIBUSI SAMPLING DAN DALIL LIMIT PUSAT ................................................................54 6.1 Distribusi sampling ................................................................................................................. 54 6.2 Dalil limit pusat ....................................................................................................................... 54 6.3 Distribusi t student ............................................................................................................... 59 Latihan............................................................................................................................................. 61 12.1 Model untuk regresi linier sederhana ..................................................................................... 63 12.2.1 Model eksponensial............................................................................................................. 65 12.2.2 Model geometrik (power ).................................................................................................... 66 Latihan............................................................................................................................................. 72

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................75

1

1. MENGENAL DATA 1.1 Populasi dan sampel Persoalan-persoalan yang muncul dalam berbagai bidang, hampir seratus persen berhubungan dengan data. Data dalam bidang statistika merupakan keterangan atau informasi mengenai suatu kejadian, biasanya dinyatakan dengan angka. Diharapkan nantinya data dapat memberikan informasi lebih banyak bagi yang bersangkutan. Sebelum membahas tentang data, terlebih dahulu akan dibahas sekilas tentang statistika, populasi, dan sampel. Statistika yaitu suatu ilmu yang mempelajari tentang data, meliputi teknik pengambilan data, pengolahan dan penyajiannya, kemudian analisis dan kesimpulan serta pengambilan keputusan dari kesimpulan yang diperoleh lewat analisis. Sedangkan data itu sendiri merupakan keterangan yang menggambarkan kondisi saat itu. Berdasarkan sumbernya data dibedakan menjadi dua, yaitu 1) data primer dan 2) data sekunder. Data primer adalah keterangan atau informasi secara umum yang diperoleh oleh dari penelitian peneliti sendiri. Sedangkan data sekunder merupakan data yang diambil dari penelitian orang lain pada suatu publikasi. Berkaitan dengan pengambilan data, terdapat dua istilah yaitu populasi dan sampel. Populasi adalah seluruh objek yang diamati. Sedangkan sampel adalah objek yang diamati adalah sebagian dari populasi. Diharapkan pengambilan sampel yang dilakukan dapat mewakili populasi. Beberapa hal yang mendasari pengambilan sampel adalah : 1. Waktu Bila waktu untuk penelitian terbatas, maka pengambilan sampel dapat dipilih sebagai

alternatif pengambilan data. 2. Biaya Untuk penelitian mengenai suatu komponen yang harganya mahal, bila pengambilan

populasi dilakukan, maka biaya yang dikeluarkan akan besar. Sehingga untuk biaya yang terbatas, perlu dilakukan pengambilan sampel.

3. Populasi tidak pasti Salah satu contoh populasi tidak pasti adalah, bila penelitian kita tentang orang

berpenyakit flu burung, maka kita akan kesulitan menentukan populasinya, karena tanpa pemeriksaan akan sulit ditentukan seseorang kena flu burung atau tidak. Sehingga pengambilan sampel perlu dilakukan yaitu pasien flu burung pada suatu rumah sakit.

2

4. Ketelitian Hal ini berhubungan dengan waktu dan biaya yang terbatas. Misal biaya dan waktu

penelitian terbatas, maka jumlah tenaga yang membantu penelitian akan menjadi pertimbangan, sehingga hasilnya pengolahannya berpengaruh pada tingkat ketelitian.

1.2 Skala pengukuran

Skala pengukuran merupakan bagian yang paling mendekati pengukuran data baik secara diskret maupun kontinu. Skala ini sangat penting, karena berkaitan dengan pemilihan teknik analisis statistika yang sangat bergantung pada sifat data dan skala pengukuran yang digunakan. Ditinjau berdasarkan skala pengukurannya, data dapat dibedakan menjadi beberapa kelompok, yaitu ( dari yang terendah sampai yang tertinggi ) : a. Skala Nominal Data yang termasuk dalam kelompok ini memiliki ciri bahwa data tidak memiliki

tingkatan. Satu satunya operator matematika yang berlaku adalah persamaan dan pertidaksamaan.

Contohnya adalah data tentang jenis kelamin, agama, jenis penyakit dan sebagainya. b. Skala Ordinal Sudah ada tingkatan pada data yang masuk kelompok ini, hanya saja belum ada

ketentuan jarak yang sama antar tingkatan,serta ada hubungan lebih dari. Contohnya adalah data tentang golongan kepegawaian, kepangkatan, nilai huruf,

rangking peserta kontes kecantikan, jenis komputer dan sebagainya. c. Skala Interval Selain sudah memiliki tingkatan seperti data pada skala ordinal, data yang masuk

dalam kelompok ini juga memiliki sifat bahwa jarak antar tingkatan adalah sama. Hal ini diperiksa melalui selisih antar tingkatan selalu tetap Sebagai contoh data suhu yang diukur dalam Celcius, selisih antara suhu 30 dan 29 akan sama dengan selisih suhu 10 dan 11 atau dengan yang lainnya. Ciri lain dari data ini adalah nilai 0 belum memiliki arti sebenarnya ( tidak ada).

Contohnya adalah suhu 0 derajat bukan berarti tidak ada suhu, tahun 0 bukan berarti tidak ada tahun.

3

d. Skala Rasio Data yang memiliki skala ini memiliki tingkatan yang paling tinggi. Semua sifat pada

skala interval juga ada pada data skala rasio ini. Tambahan sifat untuk jenis data ini adalah nilai 0 sudah memiliki arti yang sebenarnya ( tidak ada ).

Contoh adalah data tentang berat, tinggi, harga, volume dan sebagainya.

Dengan mengetahui jenis data yang akan diolah, maka kita dapat menentukan analisis yang tepat untuk data tersebut. Sebagai contoh data yang memiliki skala Nominal hanya dapat disajikan dalam bentuk pie chart, bar chart dan tidak dapat ditentukan ukuran ukuran statistik seperti mean, standard deviation dan sebagainya. Data yang berskala Ordinal selain dapat dianalisa seperti nominal juga dapat dianalisa lebih lanjut tetapi sebelumnya harus ditransformasi ke bentuk numerik. Tetapi, kadang untuk pengolahan lebih lanjut, data berskala ordinal dan nominal dapat diolah dengan menggunakan statistika nonparametrik. Sedangkan data yang berskala interval atau Rasio dapat dilakukan analisa yang lebih lengkap secara langsung. Analisa yang dapat dilakukan pada data dengan kedua skala terakhir ini relatif sama.

4

2. STATISTIKA DESKRIPTIF 2.1 Ukuran Pemusatan

Terdapat beberapa ukuran pemusatan dalam statistika deskriptif antara lain mean, median, dan modus. Mean adalah ratarata dari data dan dinotasikan dengan ataux , di mana

x menyatakan ratarata sampel dan menyatakan ratarata populasi. Secara umum mean memiliki rumusan sebagai berikut :

nxx i

= , n : banyaknya data sampel

Nxi= , N : banyaknya data populasi

Median adalah nilai yang membagi suatu gugus data yang telah terurut menjadi 2 bagian yang sama. Median memiliki sifat bahwa di bawah nilai median terdapat 50% data. Cara menentukan median sebagai berikut : Misal X1, X2, , Xn adalah data yang sudah terurut dari kecil ke besar, maka untuk n ganjil

21+= nXmedian

dan untuk n genap

+= +12n2n XX21median .

Modus yaitu nilai yang paling sering muncul dalam suatu gugus data Dalam penggunaannya, mean lebih sering digunakan dari pada ukuran pemusatan lainnya karena keakuratan dan kemudahannnya dalam menentukan nilai tengah suatu gugus data, walaupun ada beberapa kasus yang membuat nilai mean menjadi kurang tangguh, misalkan ketika ada nilai yang dianggap ekstrim. Nilai mean juga hanya bisa digunakan sebagai ukuran pemusatan pada data dengan skala pengukuran interval dan rasio, sedangkan median bisa digunakan sebagai ukuran pemusatan pada data dengan skala pengukuran ordinal, interval dan rasio sedangkan modus bisa digunakan sebagai ukuran pemusatan pada semua skala pengukuran. Contoh 2.1 Diketahui data : 3,3,2,1,5.6,7,6,3,4 Mean = 4

104367651233 =+++++++++

Bila data diurutkan, akan menjadi :1,2,3,3,3,4,5,6,6,7

5

Karena banyaknya data genap: ( ) ( )2743

21

21

21

65122=+=+=

+= + XXXXMedian nn

Dari data diatas terlihat angka yang memiliki frekuensi tertinggi adalah angka 3. Jadi Modus = 3. 2.2 Ukuran Penyebaran Beberapa ukuran penyebaran antara lain : Range atau jangkauan yaitu menyatakan selisih antara nilai maksimum dengan nilai

minimum. Variansi adalah nilai tengah dari kuadrat penyimpangan antara xi terhadap x .

Variansi merupakan ukuran penyebaran yang sering digunakan dalam statistika inferensia. Variansi dinotasikan S2 untuk sampel dan 2 untuk populasi. Variansi memiliki rumusan sebagai berikut :

( )1nxx

S2

i2

= , di mana n banyaknya sampel

( )N

x 2i2 = , di mana N banyaknya populasi Simpangan baku merupakan akar positif dari variansi. Contoh 2.2 Diketahui data sampel : 3,3,2,1,5,6,7,6,3,4 Dari perhitungan sebelumnya sudah diperoleh : 4=x Bisa dibuat tabel :

x ( )2xx 3 1 3 1 2 4 1 9 5 1 6 4 7 9 6 4 3 1 4 0

jumlah 34

Nilai Variansi sampel :

9342 =S

Simpangan baku sampel:

934=S

6

2.3 Ukuran Letak - Kuartil menyatakan nilainilai yang membagi gugus data menjadi empat bagian

yang sama besar. Q1 menyatakan kuartil 1 yang memiliki sifat bahwa data terletak di bawah Q1. Q2 sama dengan median. Sedangkan Q3 memiliki sifat bahwa data terletak di bawah Q3.

- Desil : menyatakan nilainilai yang membagi gugus data menjadi sepuluh bagian yang sama besar (notasi: D1,D2,...,D9)

- Persentil : menyatakan nilainilai yang membagi gugus data menjadi 100 bagian yang sama besar (notasi: P1,P2,...,P99)

Contoh 2.3 Diketahui data yang telah terurut :1,2,3,3,3,4,5,6,6,7,7,8,9,10,10

( ) ( ) 25,77825,0725,0 11121125,11.433 =+=+=== XXXXXQ N

( ) ( ) 777.5,075,0 1011105,10.1077 =+=+=== XXXXXD N

2.4 Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi yaitu penyajian data dalam bentuk tabel. Di mana pada tabel tersebut menampilkan ciriciri penting sejumlah data yang diperoleh dengan cara mengelompokkan data menjadi beberapa kelas, kemudian dari masingmasing kelas dihitung banyaknya pengamatan yang masuk. Langkah-langkah membuat tabel frekuensi : 1. Menentukan banyaknya kelas dengan kaidah Sturges yaitu Nk log3.31+= . Banyaknya

kelas sebaiknya antara 5 sampai 15. 2. Menentukan interval kelas (KI)

krangeKI =

KI sebaiknya kelipatan 5. 3. Untuk komposisi kelas, perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih. 4. Bila tabel distribusi frekuensi, nantinya digunakan untuk membuat histogram atau

poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas (batas bawah dikurangi setengah dan batas atas di tambah setengah)

Contoh 2.4 Data Umur aki (tahun) 2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.63.4 1.6 3.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.72.5 4.3 3.4 3.6 2.9 3.3 3.9 3.13.3 3.1 3.7 4.4 3.2 4.1 1.9 3.44.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 3.5

7

Akan dibuat tabel frekuensi dengan banyaknya kelas = 7. Tabel distribusi frekuensi selang Batas kelas Titik tengah Frekuensi1.5-1.9 1.45-1.95 1.7 2 2.0-2.4 1.95-2.45 2.2 1 2.5-2.9 2.45-2.95 2.7 4 3.0-3.4 2.95-3.45 3.2 15 3.5-3.9 3.45-3.95 3.7 10 4.0-4.4 3.95-4.45 4.2 5 4.5-4.9 4.45-4.95 4.7 3

Lebar kelas > (range/ banyak kelas ) dibulatkan ke atas Lebar kelas > (4,7 - 1,6) / 7 = 0,443 0,5 Lebar kelas menyatakan lebar dari batas kelas bawah s.d batas kelas atas 2.5 Ukuran Statistik Data Berkelompok

Bila data disajikan sebagai data kelompok, maka ukuran pemusatan, penyebaran dan letak dapat dihitung dengan menggunakan rumusan sebagai berikut :

Ukuran pemusatan

Mean :

=

== ni

i

n

iii

f

xfx

1

1

ix = titik tengan kelas, if = frekuensi kelas Median : ( ) p

fff

Bxm

smtb

+= 21

~

bB = batas bawah kelas median tf = frekuensi total mf = frekuensi kelas median p = interval kelas smf = frekuensi kumulatif sebelum median

Ukuran penyebaran

( )

( )1

2

11

2

2

===

nn

cfcfnS

n

iii

n

iii

8

Ukuran letak

Kuartil ( 32 ,, QQQi ) ( ) 3,2,1,4 =+= ip

fff

BQp

spti

bi pf = frekuensi pada kelas kuartil ke-i

spf = frekuensi sebelum kuartil, p = interval kelas bB = batas bawah kelas kuartil ke-i , tf = frekuensi total

Ukuran letak lainnya, dihitung dengan cara serupa seperti menentukan kuartil. Contoh 2.5 Dari tabel frekuensi yang telah dihitung diatas, akan dihitung ukuran pemusatan, ukuran penyebaran dan ukuran letaknya. selang Batas kelas Titik tengah(xi) Frekuensi(fi)1.5-1.9 1.45-1.95 1.7 2 2.0-2.4 1.95-2.45 2.2 1 2.5-2.9 2.45-2.95 2.7 4 3.0-3.4 2.95-3.45 3.2 15 3.5-3.9 3.45-3.95 3.7 10 4.0-4.4 3.95-4.45 4.2 5 4.5-4.9 4.45-4.95 4.7 3

Mean

41,340

5.1363...412

)37.4(...)12.2()27.1(

1

1 ==+++++++==

=

= xxx

f

xfx n

ii

n

iii

Kuartil ( )p

fff

BQp

sptb

+= 43

3

tf = frekuensi total = jumlah data = if = 40 Jadi 3Q merupakan data ke- 30404

3 =

x , Data ke-30 terletak pada kelas -5 (nilai tengah = 3,7).

spf : frekuensi data sebelum kelas ke-5 (frekuensi dari kelas1 - 4) = 22 pf : frekuensi data pada kelas ke-5 = 10

p : lebar kelas = 0,5 pB : Batas bawah kelas kuartil ke-3 = 3,45

9

Jadi ( )85,35,0

10223045,34

3

3 =+=+= xp

fff

BQp

sptb

2.5 Penyajian dalam Bentuk Grafik Histogram dibuat berdasarkan tabel distribusi frekuensi. Bila datanya memiliki skala

interval atau rasio, maka histogram dapat digunakan untuk menyajikan data.

Contoh 2.6 Dari tabel frekuensi pada contoh 2.5, dapat dibuat histogramnya sebagai berikut :

Gambar 2.1 Membuat histogram Secara teori pembuatan histogram adalah berdasarkan nilai tengah kelas dan frekuensi kelas. Pada histogram, bentuk bar akan disajikan secara rapat (bila tidak ada frekuensi yang bernilai nol) dan grafik ini cocok untuk data yang kontinu (skala interval/rasio). Bila data tidak berskala interval/rasio, maka penyajian grafik secara lebih tepat menggunakan Bar Chart dimana Bar akan disajikan terpisah dan nilai X hanya menyatakan simbol/kategori sesuatu saja. (catatan : pada Minitab 15, sering kita harus men-setting ulang nilai bin terlebih dulu setelah histogram dibuat dengan double click pada nilai axis agar bentuk histogram sesuai seperti yang kita inginkan)

Box plot merupakan bentuk penyajian data yang hanya menggunakan beberapa statistik yang disebut ringkasan lima angka yaitu nilai minimum, Q1, median, Q3, nilai

10

maksimum. Nilai minimum/maksimum diatas adalah nilai minimum/maksimum yang bukan merupakan pencilan/outlier. Box plot dapat digunakan untuk melihat bentuk distribusi data (menjulur ke kanan, ke kiri atau simetri). Bila median (Q2) lebih dekat ke (Q1), maka dapat disimpulkan bahwa data menjulur ke kanan, sebaliknya Bila median (Q2) lebih dekat ke Q3 maka data menjulur ke kiri.

Pencilan yaitu suatu nilai pada data yang apabila dibandingkan dengan nilai data yang lain tidak konsisten (terlalu besar atau kecil). Pencilan dibedakan menjadi pencilan dekat dan pencilan jauh. Untuk menentukan pencilan digunakan rumusan sebagai berikut : Pagar dalam (p)

( ) ( )13321311 5.15.1 QQQpQQQp += = Pagar luar (P) ( ) ( )13321311 33 QQQPQQQP += = Data dikatagorikan sebagai pencilan dekat () bila letaknya data di antara pagar dalam

dan pagar luar. Sedangkan pencilan luar (o), bila data terletak di luar pagar luar. Contoh 2.6 Diketahui data

NO DATA NO DATA 1 150 13 8 2 45 14 14 3 51 15 25 4 61 16 43 5 69 17 54 6 76 18 64 7 78 19 71 8 78 20 69 9 72 21 90 10 62 22 47 11 51 23 29 12 44 24 16

Akan dibuat boxplot yang terkait dengan data tersebut

11

Gambar 2.2 Boxplot dengan 1 pencilan dekat Dari boxplot diatas, terlihat bahwa nilai X=150 termasuk pencilan dekat (bisa anda

periksa sendiri). Nilai maksimum yang digunakan adalah X=90. Nilai median terletak ditangah-tengah kotak, maka distribusi data adalah simetri.

Diagram dahan daun adalah salah satu teknik penyajian data yang menggunakan data

asli secara langsung. Pada dasarnya dalam diagram dahan daun, penyajian data terbagi atas dua kolom yaitu dahan dan daun, dimana dahan berisi data dengan satuan yang lebih besar dari pada kolom daun. Diagram dahan daun ini memiliki kegunaan: Untuk melihat distribusi data dimana informasi tentang data asli tidak hilang. Contoh 2.7 Dengan menggunakan data pada contoh 2.6 kecuali X=150, maka dapat dibuat diagram dahan daun dengan unit daun = 1, jumlah dahan = 2 sebagai berikut :

f Dahan Daun 1 0 8 2 1 4 3 1 6 3 2 5 2 59 5 3 5 3 7 4 34 9 4 57 (3) 5 114 11 5 11 6 124 8 6 12 4 7 688 1 8 1 8 1 9 0

Gambar 2.3 Diagram dahan daun

12

f : menyatakan frekuensi kumulatif (baris 1 s.d 9 dan baris 17 s.d 11) Unit daun = 1 mengandung arti nilai 8 pada daun adalah 8x1=8 Jumlah dahan = 2 mengandung arti Untuk dahan = 0 terbagi atas 2 dahan yaitu Dahan pertama bila data bernilai : 0 4 Dahan kedua bila data bernilai : 5 9 Untuk dahan = 1 terbagi atas 2 dahan yaitu Dahan pertama bila data bernilai : 10 14 Dahan kedua bila data bernilai : 15 19

Dan seterusnya. Pembuatan dahan pertama dimulai ketika dahan sudah memuat data, jadi pada data

diatas dahan pertama: dahan=0 dahan kedua. Sedangkan dahan terakhir yang dibuat adalah dahan terakhir yang masih memuat data, pada data diatas nilai terbesar = 90 sehingga dahannya=9 dahan yang pertama.

Dari ketiga bentuk penyajian data di atas, dapat dilihat bentuk distribusi data, apakah

simetri, menjulur ke kiri atau ke kanan. Secara matematis, pemeriksaan kemencengan (kemenjuluran) bisa menggunakan metode Pearson yaitu

Sxx ~= . Jika 0 , data menceng ke kanan. Latihan 1. Untuk menentukan kelayakan air sungai pada suatu daerah yang dikonsumsi oleh

penduduk setempat, suatu suspensi diteteskan pada sampel air sungai tersebut dengan konsentrasi tertentu. Berikut adalah data yang diperoleh 50 penelitian dari beberapa bagian suatu sungai yang diberi suspensi dengan konsentrasi yang berbeda-beda :

55.8 60.9 37.0 91.3 65.8 42.3 33.8 60.6 76.0 69.0 45.9 39.1 35.5 56.0 44.6 71.7 61.2 61.5 47.2 74.5 83.2 40.0 31.7 36.7 62.3 47.3 94.6 56.3 30.0 68.2 75.3 71.4 65.2 52.6 58.2 48.0 61.8 78.8 39.8 65.0

13

60.7 77.1 59.1 49.5 69.3 69.8 64.9 27.1 87.1 66.3

a. Buatlah diagram dahan daun b. Buat tabel distribusi frekuensi dan histogramnya c. Hitung ukuran pemusatan, penyebaran, dan letak, kemudian buat box plotnya d. Kesimpulan apa yang bisa dinyatakan dari data tersebut , berdasarkan a, b, c.

2. Diketahui tabel distribusi frekuensi di bawah yang menyatakan jarak tertentu (dalam ribuan mil) yang ditempuh oleh 191 bis dari suatu travel dan bis gagal mencapai tujuan.

Batas kelas Frekuensi 0.5 20.5 6

20.5 40.5 11 40.5 60.5 16 60.5 80.5 25

80.5 100.5 34 100.5 120.5 46 120.5 140.5 33 140.5 160.5 16 160.5 180.5 2 180.5 200.5 2

a. Buat histogramnya b. Estimasi proporsi dari semua bis yang beroperasi paling sedikit 100.000 mil dan

gagal c. Berapakah proporsi dari semua bis yang beroperasi antara 50.000 sampai 125.000

mil dan gagal

14

3. Data berikut adalah banyaknya turis asing yang masuk ke kota-kota di negara bagian Amerika tiap bulannya. Bila informasi yang diperoleh seperti tampilan di bawah tabel, analisis apa yang dapat anda berikan?

Month Atlanta Bismarck New York San Diego Phoenix 1 42 8 32 56 51 2 45 14 33 60 58 3 51 25 41 58 57 4 61 43 52 62 67 5 69 54 62 63 81 6 76 64 72 68 88 7 78 71 77 69 94 8 78 69 75 71 93 9 72 58 68 69 85 10 62 47 58 67 74 11 51 29 47 61 61 12 44 16 35 58 55

Informasi yang diperoleh : Ukuran pemusatan, penyebaran, dan letak

N : 60 Mean : 58.42 Median : 61 Modus : 58 Range : 86 Variansi : 338.383 Simpangan baku : 18.395 Minimum : 8 Maksimum : 94 Quarti 1, 2, 3 : 48, 61, 70.5

15

- Histogram dan boxplotnya sebagai berikut :

908070605040302010

15

10

5

0

C 7

Freq

uenc

y

H is to g ra m o f C 7

1009080706050403020100

C7

Boxplot of C7

16

3. PELUANG, PELUANG BERSYARAT, DAN KAIDAH BAYES 3.1 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang sampel dari suatu eksperimen merupakan suatu himpunan semua kemungkinan hasil suatu eksperimen. Ruang sampel dinotasikan dengan . Sedangkan kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dikelompokkan menjadi dua yaitu kejadian sederhana (kejadian yang terdiri dari satu hasil eksperimen) dan kejadian majemuk (kejadian yang terdiri lebih dari satu hasil eksperimen). Contoh 3.1: Misal suatu eksperimen dilakukan dengan mengamati tiga buah mobil yang akan keluar dari pintu keluar parkir suatu supermarket, apakah belok ke kiri (L) atau ke kanan (R). Ruang sampel untuk eksperimen tersebut adalah

{ }RRRRRLRLRLRRLLRLRLRLLLLL ,,,,,,,= . Berikut adalah beberapa contoh kejadian : Kejadian sederhana : - { }LLLA = = adalah kejadian ketiga mobil keluar pintu parkir belok ke kiri - { }RRRB = = adalah kejadian ketiga mobil keluar pintu parkir belok ke kanan Kejadian majemuk : - { }LLRLRLRLLC ,,= = adalah kejadian tepat satu mobil yang keluar pintu parkir belok

ke kanan - { }LLRLRLRLLLLLD ,,,= = adalah kejadian paling banyak satu mobil yang keluar pintu

parkir belok ke kanan 3.2 Operasi Himpunan, Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas

Misalkan A,B dan C adalah kejadian-kejadian dalam ruang sampel , maka :

BA : Irisan A dan B yaitu kejadian A dan B terjadi bersama-sama. BA : Union/gabungan A dan B yaitu kejadian A atau B terjadi. )(An : Banyaknya titik sampel (frekuensi ) pada A

CA : Bukan kejadian A (Komplemen A) Operasi yang berlaku :

( ) ( ) ( )CABACBA = ( ) ( ) ( )CABACBA =

= CAA

17

A dan B dikatakan saling lepas jika dan hanya jika = BA A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika A tidak mempengaruhi B dan B tidak mempengaruhi A atau ( ) )(.)( BnAnBAn = Bila A dan B adalah kejadian yang tidak kosong, maka terdapat perbedaan yang mendasar antara kejadian saling lepas dan saling bebas, yaitu : Kejadian saling lepas : ( ) 0:= BAn Kejadian saling bebas : ( ) 0: BAn Contoh 3.2: Pada eksperimen contoh 3.1 dapat disimpulkan:

8)( =n 1)( =An 1)( =Bn ( ) 2= BAn

A dan B kejadian yang saling lepas karena = BA atau ( ) 0= BAn A dan B bukan kejadian yang saling bebas karena ( ) )(.)( BnAnBAn 3.3 Peluang Kejadian Terdapat 3 pendekatan dalam mempelajari teori peluang yaitu: 1. Definisi aksioma

Misal adalah ruang sampel yang berhingga dan A suatu kejadian dalam . Definisi dari pendekatan aksiomatik adalah : untuk setiap kejadian A, peluang dari A ditulis sebagai ( )AP yang merupakan bilangan real dan memenuhi aksioma :

1. ( ) 0AP 2. ( ) 1P = 3. ( ) ( ) ( ) =+= BA,BPAPBAP IU Bila ruang sampel tak hingga, maka ( )

=

==

11 ii

ii APAP U

Sedangkan sifat-sifat peluang adalah : 1. ( ) ( )APAP C =1 2. ( ) 0P = 3. ( ) ( ) BA,BPAP 4. ( ) 1AP 5. ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP IU += 6. Bila nAAA ,,, 21 K kejadian dalam , maka

18

( ) ( )( ) ( )nn

n

jiji

n

ii

n

ii

AAAP

AAPAPAP

IKIIK

KIU21

1

11

1 ==

=

7. Bila nAAA ,,, 21 K kejadian saling lepas, maka ( ) jiAAAPAP jin

ii

n

ii ==

==IU ,

11

( ) ( ) ( )BPAPBAP +U Bila A dan B saling bebas maka ( ) ( ) ( )BPAPBAP .=

2. Objektif

Kejadian equally likely (klasik/apriori) Pada pendekatan ini, setiap obyek memilki peluang yang sama untuk terpilih. Peluang suatu kejadian dihitung dengan rumus :

( )NnAP =

N : banyaknya titik sampel pada ruang sampel n : banyaknya titik sampel pada A Pendekatan ini memang merupakan pendekatan peluang yang paling tua sehingga

dikenal dengan nama pendekatan klasik. Pendekatan ini biasanya digunakan dalam menentukan peluang kemenangan suatu permainan. Frekuensi relatif (posterior)

Andaikan percobaan acak diulang sebanyak n kali. Bila kejadian A terjadi n(A) kali, maka peluang kejadian A terjadi adalah ( )AP yang didefiniskan sebagai berikut ( ) ( )

nAn

limAPn

= ( )An adalah frekuensi relatif kejadian A

3. Subyektif. Pendekatan ini bergantung terhadap instuisi seseorang dalam menentukan peluang

suatu kejadian. Pendekatan ini akan baik bila orang yang terlibat adalah orang yang telah berpengalaman dalam bidang tersebut. Setiap orang bisa memiliki nilai peluang berbeda-beda atas suatu kejadian. Contoh 3.3: Dari hasil pada contoh 3.2 dapat disimpulkan:

81)( =AP

81)( =BP

( ) 0= BAP ( ) ( ) ( ) ( )

410

81

81 =+=+= BAPBPAPBAP

19

87

811)(1)( === APAP C

( ) )()( BAPAPBAP C = {Ingat ( ) ABABA C = )( } Contoh 3.4: Dari eksperimen pada contoh 3.1 diperoleh : { }RRRRRLRLRLRRLLRLRLRLLLLL ,,,,,,,= Misalkan A menyatakan banyaknya L = 2 a. Hitung peluang A bila P(L) = P(R) b. Hitung peluang A bila dari 100 mobil yang keluar, 67 diantaranya belok kekiri. Jawab: Kejadian A = { }LLRLRLRLL ,, Maka ( ) ( ) ( )LLRPLRLPRLLPAP ++=)( a. Karena P(L) = P(R) sama, maka peluang setiap titik sampel adalah sama yaitu =

81

Jadi peluang A dapat dihitung dengan rumus : ( ) ( )( ) 8

3== nAn

AP Pendekatan seperti ini dikenal sebagai pendekatan equally likely karena P(L) dan P(R) bernilai sama.

b. Dari data tersebut maka diperoleh ( )32=LP dan ( )

31=RP . Penentualn P(L) dan P(R)

seperti ini adalah yang dikenal sebagai pendekatan frekuensi relatif. Kemudian harus dihitung peluang dari setiap titik sampel.

( )274

32.

32.

31 ==RLLP

( )274

32.

31.

32 ==LRLP

( )274

31.

32.

32 ==LLRP

Jadi diperoleh ( )2712=AP

LATIHAN 1. Sebuah kotak berisi 3 pensil merah (M) dan 2 pensil biru (B). Bila diambil 2 pensil

secara acak a. Dengan pemulihan/pengembalian b. Tanpa pemulihan/pengembalian Hitung peluang bahwa banyak pensil merah yang terambil = x, x = 0,1,2.

2. Sebuah kotak berisi 10 bola merah dan 5 bola putih. Diambil 3 bola dengan ketentuan : Diundi bilangan 1 s.d 9 secara acak, bila terpilih bilangan prima maka

20

diambil bola Merah, kalau tidak diambil bola putih. Hitung peluang terambil 2 merah dan 1 putih ?

3.4 Teknik Mencacah Dalam eksperimen yang sederhana, perhitungan peluang suatu kejadian dapat dilakukan dengan mudah karena jumlah titik sampel pada ruang sampel relatif sedikit. Tetapi sering kita menjumpai eksperimen yang kompleks dengan banyaknya titik sampel pada ruang sampel mencapai ratusan atau ribuan. Untuk menghitung banyaknya titik sampel tersebut secara cepat tentunya diperlukan teknik khusus yang disebut teknik mencacah (analisa kombinatorik). Teknik mencacah pada prinsipnya terbagi menjadi 2, yaitu: Kaidah Penjumlahan Kaidah Perkalian

Kaidah Penjumlahan Andaikan tugas-tugas T1, T2, T3, . Tn dimana dikerjakan masing-masing dalam : n1, n2, n3, . . . nn cara dan tidak ada dua tugas yang dapat dikerjakan dalam waktu yang bersamaan maka: banyaknya cara untuk mengerjakan tugas-tugas tersebut, ada:

Kaidah Perkalian Andaikan k operasi disusun secara berurutan, dimana : Operasi 1 dapat dilakukan dalam n1 cara Operasi 2 dapat dilakukan dalam n2 cara . . Operasi k dapat dilakukan dalam nk cara Maka , banyaknya cara untuk menyusun k operasi dapat dilakukan dalam :

Pengambilan Sampel Bila diambil sampel berukuran k dari populasi berukuran N, maka terdapat 2 kemungkinan cara pengambilannya yaitu :

n1 + n2 ++ nn cara

n1. n2. n3 . nk cara

21

Dengan Pemulihan/ Pengembalian Banyaknya cara = N k cara

Tanpa Pemulihan o Urutan tidak diperhatikan : banyaknya cara = C(N.k) o Urutan diperhatikan : banyaknya cara = P(N.k)

Rumus Kombinasi : ( )

)!(!!,

kNkN

kN

kNC =

=

Rumus Permutasi: ( ))!(

!,kN

NkNP = Contoh 3.5: Banyaknya cara menyusun 3 digit angka dari bilangan 1,2,3,4,5 adalah 53 (menggunakan kaidah perkalian atau pengambilan sampel dengan pemulihan) Contoh 3.6: Banyaknya cara menyusun 3 digit angka dari bilangan 1,2,3,4,5 Dimana angka-angkanya tidak boleh sama adalah 5x4x3 = 60 cara (menggunakan pengambilan sampel tanpa pemulihan= P(5,3)) Contoh 3.7: Sebuah wadah berisi 30 transistor: 5 Merah, 10 Biru dan 15 Putih (tanpa pemulihan) Banyaknya cara mengambil 3 transistor adalah C(30,3) Banyaknya cara mengambil 3 transistor : 2 M dan 1 B adalah C(5,2) x C(10,1) xC(15,0) Banyaknya cara mengambil 3 transistor : Minimal 2 M adalah :

Banyak cara mengambil : (2M+1 B) + (2M+1P) + (3M) = C(5,2) x C(10,1) xC(15,0) + C(5,2) x C(15,1) xC(10,0) + C(5,3)

Peluang terambil 3 transistor : 2 M dan 1 B adalah

330

015

110

25

3.5 Peluang Bersyarat Peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan atau diketahui kejadian B, yang dinyatakan dengan notasi ( )BAP didefinisikan sebagai berikut : - ( ) ( )( ) ( ) 0, >= BPBP BAPBAP I

22

- ( ) ( )( ) ( ) 0, >= APAP BAPABP I Dari definisi tersebut diatas, dapat diperoleh bahwa : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPBAPAPABPBAP ==I Berikut adalah beberapa aksioma peluang bersyarat : 1. ( ) 0BAP 2. ( ) 1= BP 3. ( ) ( ) ( ) 0, 212121 += AABAPBAPBAAP IU Contoh 3.8 :

Data di bawah ini menyatakan banyaknya resistor berikut toleransinya :

Toleransi Resistor (ohm) 5% 10% Jumlah

22 10 14 24 47 28 16 44

100 24 8 32 Jumlah 62 38 100

- Berikut adalah definisi dari beberapa kejadian

A adalah kejadian terambilnya resistor 47 ohm B adalah kejadian terambilnya resistor dengan toleransi 5% C adalah kejadian terambilnya resistor 100 ohm

- Hitung : a. ( )BAP I b. ( )CAP I c. ( )CBP I d. ( )BAP e. ( )CAP

- Jawab : a. ( ) 28.0

10028 ==BAP I

b. ( ) 0=BAP I c. ( ) 24.0

10024 ==BAP I

d. ( )6228=BAP

e. ( ) 0=CAP

23

Contoh 3.9 : Untuk memenuhi kebutuhan jumlah tenaga kerja, tiap tahun PT Telkom melaksanakan proses rekruitasi karyawan. Dari 100% pendaftar, yang Lulus Administrasi (LA) adalah 80%. Sebelum terjun ke lapangan, para karyawan baru diwajibkan tes pendidikan di divlat, ternyata yang lulus hanya 90%. Karena untuk memenuhi kebutuhan jumlah karyawan yang besar, PT Telkom memanggil lagi para pendaftar yang tidak lulus Administrasi untuk tes pendidikan di divlat, dan yang lulus hanya 50%. a. Berapa persenkah para pendaftar yang lulus divlat ? b. Bila diketahui seseorang lulus diklat, berapa peluang ia tidak lulus administrasi ? Jawab : Berikut adalah diagram pohon dari pernyataan di atas :

Keterangan: LD : Lulus divlat TLD : Tidak Lulus Divlat LA : Lulus Administrasi TLA : Tidak Lulus Administrasi ( ) 8,0=LAP ( ) 2,0=TLAP ( ) 9,0| =LALDP ( ) 1,0| =LATLDP ( ) 5,0| =TLALDP ( ) 5,0| =TLATLDP

Persentase pendaftar yang lulus divlat = P(LD)=?, maka a. ( ) ( )TLALDLALDLD =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 82,02,05,08,09,0 =+=+= TLAPTLALDPLAPLALDPLDP Jadi pendaftar yang lulus divlat 82%

b. ( ) ?| =LDTLAP

Rekruitasi

LA

TLA

LD

TLD

LD

TLD

0.8

0.2

0.9

0.1

0.5

0.5

24

( ) ( )( )( ) ( )

( ) 12,082,02,0.5,0.|| ====

LDPTLAPTLALDP

LDPLDTLAPLDTLAP

3.4 Kaidah Bayes

Sebelum membahas kaidah Bayes, terlebih dahulu dipelajari mengenai definisi partisi dari ruang sampel. Partisi dari suatu ruang sampel yaitu suatu himpunan dari kejadian-kejadian yang saling lepas (mutually exclusive) nFFFF ...,,,, 321 sedemikian sehingga U

n

iiF

1== .

Teorema : Bila nFFFF ...,,,, 321 adalah partisi dari , maka untuk suatu kejadian E dalam , berlaku ( ) ( )

==

n

iiFEPEP

1I .

Teorema tersebut dapat digambarkan pada diagram di bawah ini

Teorema Bayes :

Andaikan kejadian-kejadian nFFFF ...,,,, 321 merupakan partisi dari ruang sampel dan E adalah suatu kejadian, maka untuk suatu k berlaku ( ) ( ) ( )

( ) ( )iini

kkk

FEPFP

FEPFPEFP

=

=1

Contoh 3.10: Sebuah pabrik penghasil video cassette recorder, membeli microchip khusus LS-24 dari tiga supplier yang berbeda, yaitu Hall electronics (HE), Schuller Sales (SS), dan Cranford Components (CC). Untuk memenuhi kebutuhan microchip tersebut, 30% dibeli dari HE, 20% dari SS, dan sisanya dari CC. Pabrik tersebut memiliki banyak pengalaman dalam hal

F1

F2

F3

F4

F5 F6

F7

F8

F9 E

25

microchip dari tiga supplier tersebut. Dari microchip pasokan tiga supplier tersebut 3% chip dari HE cacat, 5% dari SS cacat, 4% dari CC cacat. Pada saat chip LS-24 tiba, para kuli langsung mengangkut ke gudang, tanpa memeriksa asal supplier chip tersebut. Pada saat proses perangkaian, seorang karyawan memilih chip untuk dipasang pada sebuah VCR, dan menemukan chip tersebut cacat. Berapa peluang chip tersebut dipasok oleh SS? Pernyataan tersebut dapat dibuat dalam diagram sebagai berikut :

Dari digram pohon tersebut, bisa diperoleh

( ) 3,0=HEP ( ) 2,0=SSP ( ) 5,0=CCP ( ) 03,0| =HECacatP ( ) 97,0| =HEBagusP ( ) 02,0| =SSCacatP ( ) 95,0| =SSBagusP

Peluang bahwa chip yang cacat tersebut dipasok oleh SS adalah ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) 303.004.05.003.03.005.02.0

05.02.0 =++=++== CCCPCCPHECPHEPSSCPSSP

SSCPSSPCP

SSCPSSPCSSP

Latihan : 1. Suatu PT yang bergerak dalam bidang konsultan komputer memiliki penawaran atas 3

buah proyek. Misal iA menyatakan kegagalan proyek ke-i, i = 1, 2, 3 dan diketahui ( ) 22.01 =AP , ( ) 25.02 =AP , ( ) 28.03 =AP , ( ) 11.021 =AAP I , ( ) 05.031 =AAP I , ( ) 07.032 =AAP I , ( ) 01.0321 =AAAP II . Hitung peluang :

a. 21 AA U b. cc AA 21 I

HE

SS

CCcacat

cacat

bagus

bagus

bagus

cacat

Supplier Chip

0.3

0.2

0.5

0.03

0.05

0.04

26

2. Suatu pabrik mempunyai empat buah mesin, yang menghasil barang yang sama. Mesin I dan II masing-masing menghasilkan 20% dari seluruh produk, sedangkan mesin III dan IV masing-masing menghasilkan 30% dari seluruh produk. Dari barang yang diproduksi oleh 4 mesin tersebut, diketahui cacat dengan rincian, 6% dari mesin I, 5% dari mesin II, 8% mesin III, dan 8% dari mesin IV. Pada saat pemeriksaan produk, diambil secara acak suatu produk.

a. Berapa peluang barang tersebut cacat ? b. Bila barang tersebut cacat, berapa peluang bahwa barang tersebut hasil produksi

mesin II ? 3. Salah satu tujuan diadakannya audit adalah untuk menemukan terjadinya beberapa

kesalahan materi, kesalahan prosedur, maupun kesalahan-kesalahan dalam pencatatan informasi. Sebuah Kantor Akuntan Publik yang disewa oleh sebuah perusahaan X yang selama ini telah aktif melakukan pembukuan terhadap penjualan grosir maupun eceran. Selanjutnya diketahui bahwa 70% pelanggan merupakan pelanggan eceran dan diketahui kesalahan pembukuan penjualan eceran 10%, sedangkan kesalahan pembukuan penjualan grosir 20%. Apabila seorang auditor menemukan kesalahan, berapa peluang bahwa pembukuan tersebut berasal dari penjualan eceran ?

4. Disuatu kota diketahui hanya terdapat 3 jenis kartu GSM yang dapat dioperasikan. Perbandingan jumlah pengguna kartu telepon GSM Simpati, Mentari dan XL adalah 5:3:2. Bila seseorang menggunakan kartu Simpati, Mentari dan XL maka peluang bahwa ia akan mengalami gangguan jaringan berturut turut 3%, 2% dan 1%. a. Hitung peluang seorang pelanggan mengalami gangguan jaringan dikota tersebut ? b. Hitung peluang bahwa seorang pengguna HP tidak mengalami gannguan jaringan

bila diketahui kartu GSM yang dipakai bukan XL

27

28

4. PEUBAH ACAK, DISTRIBUSI PELUANG DISKRET, DAN DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

4.1 Peubah acak Pada suatu percobaan statistik, terdapat satu atau lebih karakteristik yang dapat diamati atau diukur. Tetapi kadangkadang seseorang hanya tertarik untuk mengamati satu macam karakteristik saja. Biasanya setelah proses pengambilan titik sampel, dilanjutkan dengan pengelompokan yang berkaitan dengan nilai numerik . Misalkan percobaan pelemparan uang logam sebanyak 3 kali, dengan ruang sampel ( ) sebagai berikut, dimana A menyatakan angka dan G menyatakan gambar : = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} Selanjutnya bila hanya munculnya angka saja yang diamati, maka nilai numeriknya adalah 0, 1, 2, 3, dimana 0 menyatakan angka tidak pernah muncul, 1 menyatakan angka satu kali, 2 menyatakan angka dua kali, dan 3 menyatakan angka tiga kali. Untuk mengkaitkan ruang sampel dengan nilai numeriknya yang berupa bilangan real diperlukan suatu fungsi yang dinamakan peubah acak. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital bagian akhir, misal X, Y atau lainnya. Sedangkan nilainilainya dinyatakan dengan huruf kecil, misal x , y atau lainnya. Bila peubah acak tersebut didefinisikan pada ruang sampel diskret, maka peubah acaknya disebut peubah acak diskret, dan bila didefinisikan pada ruang sampel kontinu disebut peubah acak kontinu. Ruang sampel diskret terjadi bila salah satu ini terjadi Banyaknya titik sampel berhingga Banyaknya titik sampel takberhingga dan dapat dicacah (countable infinite) Ruang sampel kontinu terjadi terjadi bila Banyaknya titik sampel takberhingga dan tidak dapat dicacah (uncountable infinite)

4.2 Distribusi peluang diskret Tabel distribusi peluang diskret yaitu sebuah tabel yang mencantumkan semua kemungkinan nilai dari suatu peubah acak beserta peluangnya, dimana fungsi peluang dari peubah acak diskret X (p.m.f) didefinisikan sebagai ( ) ( )xpxXP == . Sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak diskret X yaitu F(x) didefinisikan sebagai berikut

29

==xy:y

x,)y(p)xX(P)x(F

4.3 Distribusi peluang kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu, maka nilai peluang X dari suatu fungsi peluang ( )xf di antara ax = dan bx = , didefinisikan sebagai berikut : = b

a

dx)x(f)bXa(P

yang menyatakan luas daerah dibawah kurva ( )xf di antara ax = dan bx = . Sedangan fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak kontinu X, yaitu ( )xF didefinisikan sebagai berikut :

==x

dy)y(f)xX(P)x(F

Yang perlu diingat dalam peluang peubah acak kontinu adalah 0)( == aXP =

30

Dengan perhitungan manual : F(1) = p(1) = 0.4 F(2) = P(X 2) = p(1) + p(2) = 0.4 + 0.3 = 0.7 F(3) = P(X 3) = p(1) + p(2) + p(3) = 0.4 + 0.3 + 0.2 = 0.9 F(4) = P(X 4) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 0.4 + 0.3 +0.2 + 0.1=1

Contoh 4.3 Misalkan saya berangkat ke kantor naik bus dan setiap 5 menit bus tiba di halte. Karena saya berangkat ke kantor tiap hari tidak selalu pada waktu yang sama, maka saya sampai di halte juga pada waktu yang tidak sama. Misalkan peubah acak X adalah waktu saya menunggu bus berikutnya dan X dalam interval [0, 5]. Fungsi padat peluang X (p.d.f / probability density function) didefinisikan sebagai berikut

=

lainnya,05x0,)x(f 5

1

Grafik dari ( )xf adalah

( )xf

51

Gambar 4.1 grafik f(x) x

Akan dihitung : a. Peluang saya akan menunggu antara 1 sampai 3 menit b. Peluang saya menunggu paling lama 5 menit c. Fungsi Distribusi F(x) c. Peluang saya menunggu antara 1 sampai 3 menit bila saya menunggu maksimal 2

menit ? Sehingga :

0 5

31

a. 523

15x

3

151 dx)3X1(P ===

b. 1dxdx)5X(P5

051

5

51 ===

c. Sedangkan fungsi distribusi dari X adalah Untuk x

32

Latihan 1. Buatlah suatu percobaan statistik dan tentukan peubah acaknya baik yang diskret

maupun kontinu 2. Suatu bisnis layanan surat lewat komputer mempunyai 6 saluran telepon. Misalkan X

menyatakan banyaknya saluran telepon yang digunakan pada suatu waktu tertentu. Diberikan tabel berikut yang berisi nilai x dan p(x) : X 0 1 2 3 4 5 6 P(x) 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04

Hitung peluang berikut ini : a. Paling banyak 3 saluran yang digunakan b. Paling sedikit tiga saluran yang digunakan c. Antara 2 dan 5 saluran yang digunakan

3. Misalkan fungsi padat peluang dari magnitude X dari suatu dynamic load sebuah jembatan (dalam newtons) diberikan sebagai berikut :

+=

lainnya,02x0,x)x(f 8

381

a. Cari rumus F(x) dari f(x) tersebut b. Hitung P( 1 X 1.5) dengan menggunakan rumus F(x) c. Hitung P( X > 1) d. Hitung ( )( )5,11|1 > XXP

4. Diberikan p.d.f dari peubah acak X

( )

33

5. DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS (DISKRET DAN KONTINU) (DISKRET: BERNOULLI, BINOMIAL, DAN POISSON

KONTINU: NORMAL, UNIFORM DAN EKSPONENSIAL) 5.1 Distribusi Peluang khusus Diskret

5.1.1 Distribusi Bernoulli dan Binomial Suatu percobaan dikatakan sebagai percobaan Binomial, bila memenuhi

asumsiasumsi berikut : 1. Percobaan dapat diulang sebanyak n kali 2. Ulanganulangan identik dan setiap ulangan dapat menghasilkan satu dari dua

kemungkinan keluaran (outcome) yang sama, biasanya dinotasikan dengan S (sukses) dan F (gagal).

3. Masingmasing ulangan saling bebas 4. Peluang sukses dari ulangan konstan , misalkan peluang sukses p

Bila percobaan tersebut hanya terdiri dari 1 ulangan, maka percobaan tersebut dinamakan percobaan bernoulli.

Fungsi peluang dari peubah acak X yang berdistribusi binomial sebagai berikut :

=

=

lainnya,0

n...,,2,1,0x,)p1(pxn

)p,n;x(bxnx

Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi binomial ( X B (n, p) ) didefinisikan sebagai berikut

====

x

0y

n....,,2,1,0x,)p,n;y(b)p,n;x(B)xX(P

Untuk menghitung peluang maupun distribusi kumulatif dari peubah acak X selain dengan perhitungan di atas dapat menggunakan tabel binomial. Sedangkan mean dan variansi dari peubah acak X yang berdistribusi binomial didefiniskan sebagai berikut : E(X) = n p Var(X) = n p (1 p) Pada distribusi binomial, bila n dan p diubah-ubah sedemikian rupa, maka akan berpengaruh pada bentuk distribusinya. Berikut ini bentuk histogram distribusi binomial untuk beberapa nilai p :

34

Gambar 5.1 Distribusi binomial n = 10 dan p = 0.5

Gambar 5.2. Distribusi binomial n = 10 dan p = 0.2

Gambar 5.3. Distribusi binomial n = 10 dan p = 0.8 Dari ketiga gambar tersebut dapat dikatakan bahwa : - untuk n yang sama, p = 0.5, distribusi binomial mendekati distribusi normal. - untuk n yang sama, p diperkecil dekat ke 0, distribusinya menjulur ke kanan - untuk n yang sama, p diperbesar dekat ke 1, distribusinya menjulur ke kiri

35

Contoh 5.1 Misalkan 20% dari semua copy suatu textbook yang diuji kekuatan sampulnya rusak. Dan peubah acak X menyatakan banyaknya textbook yang sampulnya rusak dari 15 copy yang diambil secara acak. Hitung : Peluang paling banyak 8 copy textbook yang sampulnya rusak Peluang ada 8 copy textbook yang sampulnya rusak Perhitungan manual (dapat menggunakan tabel) :

====

8

0y

999.0)2.0,15;8(B)2.0,15;y(b)8X(P

)7X(P)8X(P)8X(P == )2.0,15;7(B)2.0,15;8(B = 003.0996.0999.0 == Contoh 5.2 Misalkan suatu percobaan yang memenuhi percobaan binomial dengan n = 4, dan peluang sukses p. Dari percobaan tersebut dapat dihitung peluang dari semua outcome yang mungkin dan hasilnya sebagai berikut :

Outcome x Peluang Outcome X Peluang SSSS 4 p4 FSSS 3 p3 (1 p) SSSF 3 p3 (1 p) FSSF 2 p2 (1 p)2 SSFS 3 p3 (1 p) FSFS 2 p2 (1 p)2 SSFF 2 p2 (1 p)2 FSFF 1 p (1 p)3 SFSS 3 p3 (1 p) FFSS 2 p2 (1 p)2 SFSF 2 p2 (1 p)2 FFSF 1 p (1 p)3 SFFS 2 p2 (1 p)2 FFFS 1 p (1 p)3 SFFF 1 p (1 p)3 FFFF 0 (1 p)4

Sehingga dapat dihitung : P(X=3S) = P(FSSS) + P(SFSS) + P(SSFS) + P(SSSF) = 4 p3 (1 p)

Hasil tersebut sama dengan peluang xnx ppxn

pnxb

= )1(),;( dengan n=4 dan x=3.

P(X=2S) = 6 p2 (1 p)2 Hasil tersebut sama dengan peluang xnx pp

xn

pnxb

= )1(),;( dengan n=4 dan x=2.

36

5.1.2 Distribusi Poisson Ciriciri dari percobaan Poisson adalah :

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau suatu daerah tertentu tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau dalam derah yang kecil tersebut dapat diabaikan

Suatu peubah acak X yang berdistribusi Poisson, fungsi peluangnya didefinisikan sebagai berikut :

....,2,1,0x,!x

e);x(Px

==

dimana > 0. Peubah acak X biasanya menyatakan banyaknya hasil percobaan / selang waktu atau luas daerah.

Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson ( X POI (n, ) ) didefinisikan sebagai berikut

===

x

0y

n....,,2,1,0x,);y(P)xX(P

Untuk menghitung peluang maupun distribusi kumulatif dari peubah acak X selain dengan perhitungan di atas dapat menggunakan tabel Poisson. Nilai mean dan variansi dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson dengan parameter , mempunyai nilai yang sama yaitu .

Pada distribusi Poisson, bila nilai diubah-ubah sedemikian rupa, maka akan berpengaruh pada bentuk distribusinya. Berikut ini adalah histogram distribusi Poisson untuk beberapa nilai :

37

Gambar 5.4. Distribusi Poisson dengan = 5

Gambar 5.5. Distribusi Poisson dengan = 2

Gambar 5.6 Distribusi Poisson dengan = 7

38

Gambar 5.7 Distribusi Poisson dengan = 10

Gambar 5.8 Distribusi Poisson dengan = 15 Dari kelima gambar tersebut, dapat dikatakan bahwa semakin besar nilai , bentuk distribusinya akan semakin simetri. Contoh 5.3 Contoh 1 Rata - rata banyaknya telepon di layanan 108 adalah 3/jam. a. Hitung peluang terdapat tepat 5 telepon perjam? b. Hitung peluang terdapat kurang dari 2 telepon perjam c. Hitung peluang terdapat tepat 70 telepon perhari Jawab: Misal X: banyaknya telepon pada layanan 108/jam. X~ POI(=3) a. P(X=5) = ?

P(X=5;=3) = P(X5)-P(X4) = 0, 91610,8153 = 0,1008 (tabel) b. P(X

39

0.0463092!7072)70(

7072===

eYP

5.1.3 Pendekaan Distribusi Poisson untuk Binomial Distribusi Binomial memiliki bentuk distribusi yang mirip dengan distribusi Poisson

ketika jumlah trial (n) besar dan peluang sukses (p) cukup kecil mendekati 0. Akibatnya, perhitungan peluang Binomial dapat didekati dengan peluang Poisson. Berikut ilustrasi bentuk histogramnya.

Gambar 5.9 Histogram distribusi Binomial dengan n=30, p=0,5

Gambar 5.10 Histogram distribusi Binomial dengan n=300, p=0,05

40

Gambar 5.11 Histogram distribusi Poisson dengan =15.

Pada gambar 5.9 dan 5.11, terlihat bahwa distribusi Binomial terlihat lebih mengelompok disekitar nilai mean-nya daripada distribusi Poisson. Data yang berdistribusi Binomial juga memiliki frekuensi yang lebih tinggi pada nilai mean daripada distribusi Poisson. Hal ini disebabkan karena nilai p =0,5 tidak cukup dekat ke 0 dan jumlah trial kecil (n=15).

Pada gambar 5.10 dan 5.11, terlihat bahwa bentuk distribusi Binomial dan distribusi Poisson sudah sangat mirip. Hal ini terjadi ketika nilai p =0,05 cukup dekat ke 0 dan jumlah trial cukup besar (n=300). Contoh 5.4 Rata rata dari 1000 produk terdapat 3 produk yang cacat. Bila 2000 produk diperiksa(WR), hitung peluang terdapat 6 produk yang cacat ? Jawab: Misal X: Banyaknya produk yang cacat, X~Bin(n=2000;p=0,003). P(X=6) =?

Karena n besar dan p0, maka dapat digunakan pendekatan Poisson dengan =np=6 untuk menghitung P(X=6)

P(X=6;=6) = P(X6)-P(X5) = 0,6063-0,4457 = 0,1606 (lihat tabel Poisson) Contoh 5.5 Seorang penerbit bukubuku non teknik menyatakan bahwa bukubukunya bebas dari kesalahan typograpical, sehingga peluang kesalahan dari sebuah halaman buku paling sedikit satu kesalahan adalah 0.005 dan kesalahan tiap halaman saling bebas.

a. Berapa peluang bahwa satu dari novelnovel yang jumlah halamannya 400 akan tepat satu halaman yang salah

41

b. Berapa peluang paling banyak tiga halaman yang salah Jawab : Bila S menyatakan bahawa sebuah halaman buku paling sedikit satu kesalahan dan F menyatakan tidak ada kesalahan pada halaman buku tersebut. Misalkan X menyatakan paling sedikit satu kesalahan pada tiap halaman dan berdistribusi binomial dengan n = 400, p = 0.005. Karena n nya besar dan p kecil mendekati 0, maka bisa dilakukan pendekatan dengan menggunakan distribusi Poisson, dengan = n p = 2, sehingga :

a. 271.0!12e)1X(P

12===

b. =

=

3

0x

x2

!x2e)3X(P

857.018.0271.0271.0135.0)3(p)2(p)1(p)0(p=+++=

+++=

5.1.4 Distribusi Hypergeometrik Salah satu kriteria pada distribusi Binomial adalah peluang sukses adalah tetap

pada semua percobaan. Dalam suatu eksperiman, peluang sukses akan tetap/konstan terjadi bila pengambilan sampel dilakukan dengan pemulihan. Bila pengambilan sampel dilakukan tanpa pemulihan, maka peluang sukses akan berubah-ubah sehingga tidak memenuh percobaan Binomial. Bila peluang sukses berbeda dan X menyatakan banyak sukses dari sampel berukuran n yang diambil dari populasi yang terdiri atas N1 sukses dan N2 tak sukses maka X berdistribusi Hypergeometrik dengan fungsi peluangnya ( p.m.f ):

( )

=nN

xnN

xN

NNxp

21

21,,

Dimana : N = N1+N2

( ) ( )12 ,min,0max NnxNn Mean dan variansinya ( ) npXE = ( ) npq

NnNXVar

=

1

42

Terlihat bahwa ketika N maka ( ) npqXVarN

=lim , sehingga bentuk distribusi Hypergeometrik akan mirip dengan distribusi Binomial. Umumnya pendekatan Binomial untuk Hypergeometrik digunakan ketika 1,0

Nn .

Contoh 5.6 Sebuah kotak berisi 3 kapsul merah (M) dan 5 kapsul biru (B). Bila diambil 4 kapsul sekaligus secara acak dan X menyatakan banyaknya kapsul merah yang terambil, tentukan fungsi peluang dari X Jawab: Nilai X =0,1,2,3. Eksperimen diatas bukan percobaan Binomial karena nilai peluang sukses (peluang terambil bola merah) tidak konstan karena pengambilan dilakukan tanpa pemulihan. Pada topik tentang teknik mencacah, perhitungan peluang ini dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinasi. Untuk X = 0

( )

==48

45

03

0XP

Untuk X = 1

( )

==48

35

13

1XP

Untuk nilai X lainnya dapat diselesaikan dengan cara serupa. Nilai X diatas memiliki distribusi Hypergeometrik sehingga fungsi peluangnya dapat dinyatakan sebagai :

( )

=484

53xx

xP dengan x =0,1,2,3

43

Contoh 5.7 Sebuah kotak berisi 100 transistor dimana 5% diantaranya cacat. Bila diambil 3 buah transistor secara acak, hitung peluang terdapat 1 transistor yang cacat ? Jawab: X : banyaknya transistor yang cacat Karena tidak dinyatakan pengambilannya dengan pemulihan, maka X~HYP(x,5,95)

( )

==5

10013

9515

1XP

Nilai peluang diatas juga bisa dihitung dengan pendekatan Binomial karena 1,005,0 =Nn

yaitu : ( ) ( ) 495,0.05,015

05,0,5,11

===== pnxBINXP

5.2 Distribusi peluang kontinu

5.2.1 Distribusi normal Distribusi peluang kontinu yang paling penting adalah distribusi normal. Grafik dari

suatu distribusi normal disebut kurva normal, bentuknya seperti lonceng pada gambar dibawah ini. Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng, dinamakan peubah acak normal. Persamaan matematika dari distribusi peluang peubah acak normal kontinu bergantung pada dua parameter yaitu (rataan) dan (simpangan baku). Dengan demikian fungsi densitas X dapat dinyatakan oleh :

( )2

21

21

=x

exf < X < .

x

44

Sifat-sifat distribusi normal :

1. ( ) 1dxxf =

2. ( ) x,0xf 3. ( ) 0xflim

x=

dan ( ) 0xflim

x=

+

4. ( ) ( )( ) =+ xfxf 5. Nilai maksimum dari f terjadi pada x 6. Titik belok dari f terjadi pada =x Kurva setiap distribusi kontinu dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawah kurva diantara dua koordinat 1xx = dan 2xx = sama dengan peluang peubah acak X antara 1xx = dan 2xx = . Hal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :

)xXx(P 21

45

dimana X merupakan peubah acak awal sebelum ditransformasi yang mempunyai mean dan variansi . Sementara itu, Z merupakan peubah acak setelah ditransformasi yang memiliki distribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1 yang dinamakan sebagai distribusi normal baku.

Daerah yang diarsir diatas menyatakan : ( )21 zZzP

46

= (1.33 ) - (- 0.67 ) = 0.9082 0.2514 = 0.6568 ( )

=

5.14045

5.14045 XPXP

= P ( Z 3.33 ) = 1 - (3.33)

= 1 0.9996 = 0.0004

Latihan : Misal X menyatakan daya regang suatu komponen logam tertentu yang berdistribusi normal dengan = 10000 kg/ cm2 dan = 100 kg/cm2. Semua pengukuran dicatat sampai 50 kg/cm2 terdekat. Hitung peluang bahwa daya regang minimal 10150 kg/cm2 dan daya regang antara 9800 kg/cm2 sampai 10200 kg/cm2

5.2.4 Distribusi uniform Bila X merupakan variabel random uniform kontinu yang terdefinisi pada selang

(A,B) maka fungsi peluang dari X adalah

=lainnya

BxAAB

BAxf

0

1),;(

Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi uniform didefinisikan sebagai berikut

47

5.2.5 Distribusi Eksponensial Bila X merupakan variabel random eksponensial dengan parameter yang

terdefinisi pada selang (0,) maka fungsi peluang dari X adalah

( ) eXPXP b. Y : Banyaknya panggilan telpon/ jam Y ~POI ( = 3)

( ) ( ) 4232,023 ==< YPYP (Lihat tabel) Contoh 5.12

Dalam sebuah survai dilakukan pengamatan terhadap waktu kedatangan angkutan kota yang melewati sebuah jalan tertentu. Dari pengamatan selama 2 jam didapatkan hasil sebagai berikut : TABEL 1 No Jam No Jam No Jam No Jam No Jam 1 06.01.03 11 06.17.57 21 06.33.43 31 06.47.18 41 07.07.07 2 06.02.56 12 06.20.57 22 06.33.50 32 06.49.55 42 07.09.37 3 06.03.14 13 06.24.32 23 06.34.14 33 06.50.04 43 07.09.49 4 06.04.10 14 06.27.44 24 06.36.32 34 06.50.22 44 07.09.51 5 06.06.57 15 06.28.15 25 06.37.53 35 06.56.51 45 07.14.30 6 06.08.46 16 06.28.27 26 06.38.43 36 06.57.59 46 07.14.43 7 06.10.45 17 06.28.33 27 06.39.11 37 07.00.59 47 07.16.45 8 06.12.03 18 06.28.38 28 06.44.25 38 07.01.11 48 07.17.04 9 06.16.03 19 06.29.45 29 06.44.47 39 07.04.52 49 07.17.23 10 06.17.16 20 06.31.19 30 06.46.00 40 07.06.19 50 07.17.26

Dari data tersebut, kita dapat menghitung waktu tunggu / antar kedatangan angkutan kota antara pengamatan i dan i+1. Diperoleh 49 nilai yang dihitung dalam detik TABEL 2 No Lama No Lama No lama No lama No lama1 113 11 180 21 7 31 157 41 150 2 18 12 215 22 24 32 9 42 12 3 56 13 192 23 138 33 18 43 2

50

4 121 14 31 24 81 34 389 44 279 5 110 15 12 25 290 35 68 45 13 6 119 16 6 26 28 36 180 46 123 7 18 17 5 27 314 37 12 47 19 8 240 18 67 28 22 38 221 48 9 9 73 19 94 29 73 39 87 49 3 10 41 20 144 30 78 40 48 50

Bila dihitung rata ratanya nilainya adalah 96 detik. Ini menunjukkan bahwa rata rata kedatangan angkutan kota (waktu menunggu seorang pengguna angkot) adalah 96 detik. Menurut teori sebelumnya, waktu antar kedatangan ini akan berdistribusi eksponensial dengan

961= .

Dari data pada tabel terakhir dapat dihitung antara lain nilai peluangnya. Misalkan dihitung waktu kedatangan kurang 80 detik. Dalam hal ini rumus yang digunakan adalah

55,04927

)S(n)80x(n)80X(P ===

Dalam hal ini n(x80) menyatakan banyaknya titik sampel yang nilainya kurang atau sama dengan 80, sedangkan n(S) menyatakan banyak titik sampel.

5.2.4 Pendekatan Normal terhadap Binomial Bila X berdistribusi Binomial(n;p), maka histogram X akan memiliki bentuk yang

mirip dengan grafik p.d.f distribusi Normal ketika np > 5 bila p 0,5 atau n (1 - p) > 5 bila p > 0,5. Berikut histogram data Binomial dan perbandingan dengan kurva normalnya

Gambar 5.15 histogram Binomial dengan n=100, p=0.1

51

Gambar 5.16 histogram Binomial dengan n=100, p=0.01 Karena bentuk histogram mirip dengan kurva normal ketika np >5 dan p

52

( ) ( ) 928,0072,01718 === XPXP b. Dengan menggunakan pendekatan Normal

( ) ( )718 = XPXP Koreksi kontinuitas : ( )7XP ( )5,7XP ( ) ( ) 057,058,1

9,095,75,7 ==

= ZPZPXP

Jadi ( ) ( ) 943,0057,01718 === XPXP Latihan 1. Bila 90% dari siswa yang baru mulai belajar pemrograman komputer akan gagal pada

waktu menjalankan program pertamanya, Berapa peluang bahwa dari 15 siswa yang dipilih secara acak : a. Paling sedikit 12 siswa gagal menjalankan program pertamanya b. Antara 10 dan 13 siswa akan gagal menjalankan program pertamanya c. Paling banyak 2 siswa berhasil menjalankan program pertamanya

2. Diketahui bahwa mesin penerima panggilan dari suatu kantor konsultan per menitnya ratarata menerima 6 panggilan. Berapa peluang bahwa : a. paling sedikit satu panggilan permenit b. dalam 4 menit paling sedikit 15 panggilan

3. Dalam satu minggu suatu komputer pada suatu rental akan mengalami kelambatan

merupakan peubah acak yang berditribusi poisson dengan = 0.3. Berapa peluang bahwa a. suatu komputer akan beroperasi tanpa mengalami kelambatan dalam waktu 2

minggu b. paling sedikit lima komputer akan mengalami kelambatan dalam satu minggu

4. Misal X peubah acak yang menyatakan waktu yang diperlukan petugas perpustakaan untuk mengecek buku yang baru dipinjam dengan yang kembali. Nilai harapan untuk waktu pengecekan sekitar 20 detik. Hitung P ( X 30 ) dan P ( 20 X 30 )

5. Peubah acak X menyatakan waktu antar kedatangan pesawat pada sebuah bandara,

dengan fungsi padat peluang sebagai berikut : ( )

>=

lainnyax,00x,e5.0xf

x5.0

53

Berapa peluang menunggu paling sedikit 1 menit 6. Diketahui umur dinamo listrik yang diproduksi perusahaan tertentu menyebar normal

dengan mean 6.4 dan simpangan baku 1.1 tahun. a. Jika sebuah dinamo diberi garansi 5 tahun, berapa peluang bahwa perusahaan

akan memperbaiki dinamo tersebut sebelum habis masa garansinya ? b. Jika perusahaan menetapkan bahwa hanya sampai 1% produksinya diperbaiki

sebelum habis masa garansinya, berapa tahun masa garansi yang diperlukan ? 7. Suatu sistem elektronika mengandung komponen dengan daya tahan T yang

menyebar eksponensial dengan parameter 2.0= . Bila 5 komponen dipasang pada sistem yang berbeda, berapa peluang bahwa paling sedikit 2 komponen masih berfungsi setelah akhir tahun ke-8 ?

8. Jika dalam setiap satu jam rata-rata terdapat 3 pesawat yang lepas landas. Tentukan

peluang bahwa dalam periode satu jam tertentu jumlah pesawat yang lepas landas adalah : a. tepat tiga pesawat b. kurang dari 4 pesawat c. paling kurang 3 pesawat d. antara 2 dan 6 pesawat

54

6. DISTRIBUSI SAMPLING DAN DALIL LIMIT PUSAT

6.1 Distribusi sampling Dalam suatu penelitian, dengan berbagai pertimbangan, pengambilan sampel

dilakukan dari pada pengambilan populasi, di mana sampel harus mewakili populasi. Pengambilan sampel dari populasi yang sama dilakukan secara acak, sehingga kombinasi yang muncul banyak sekali. Hal tersebut akan menyebabkan nilai statistik yang bervariasi dari sampel yang satu dengan yang lain. Sehingga suatu statistik dapat dipandang sebagai suatu peubah acak yang hanya bergantung pada sampel yang diamati dan mempunyai distribusi peluang yang disebut distribusi sampling. Distribusi sampling yang akan dipelajari adalah distribusi dari rataan sampel.

Misal dari suatu populasi diambil sampel berukuran n yang diulang sebanyak k kali. Kemudian dihitung rataannya, maka rataan sampel mempunyai distribusi yang dinamakan distribusi sampling dari nilai tengah. Sebaliknya, jika variansi yang diamati, maka distribusinya disebut distribusi sampling dari variansi. Tentunya distribusi sampling tersebut bergantung pada ukuran populasi, ukuran sampel, dan metode pengambilan sampel yaitu pengambilan sampel dengan pengembalian atau tanpa pengembalian. Keacakan dari sampel akan sangat menguntungkan dalam bentuk parameter dan bentuk distribusi. Adapun distribusi sampling dalam bentuk parameter adalah sebagai berikut : Misal X berdistribusi sembarang dengan nilai tengah dan variansi 2, maka : a. Ekspektasi dari rata-rata sampel sama dengan mean populasi

[ ] ==

= nn1

n

XExE i

b. Variansi dari rata-rata sampel sama dengan variansi dari populasi dibagi ukuran sampel ( )

nnNNxVar

21 =

Nilai ( )xVar diatas adalah nilai untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian, bila ukuran N relative besar terhadap n, maka ( )xVar untuk pengambilan nilai sampel tanpa pengembalian tersebut akan mendekati nilai

n

2

6.2 Dalil limit pusat Banyak sekali uji dalam statistik yang mengasumsikan data berdistribusi Normal.

Bila syarat ini tidak dipenuhi tentunya akan berakibat pada analsis serta kesimpulan yang diperoleh. Dalam penelitian kita sering menggunakan data sampel untuk menyimpulkan

55

sesuatu. Menurut teorema limit Pusat serta teorema sampling bahwa bila suatu sampel berukuran n diambil dari suatu populasi yang besar atau takhingga dengan mean = dan Simpangan Baku = maka rataan sampel ( x ) akan berdistribusi Normal dengan mean = dan Simpangan Baku =

n .

Dengan tranformasi peubah acak Z maka akan diperoleh rumus:

n

XZ =

Dengan eksperimen yang sederhana akan ditunjukkan bahwa teorema ini berlaku . Esperimen ini mungkin belum sempurna karena jumlah sampel yang dibangkitkan bukan merupakan keseluruhan kombinasi yang mungkin. Berikut adalah contoh pengacakan dari populasi distribusi Normal dengan mean = 0 dan simpangan baku = 1 dengan jumlah sampel = 80.

0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

15

10

5

0

C1

Freq

uenc

y

dist Xbar dg ukuran sampel 5

0.50.40.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5

20

10

0

C2

Freq

uenc

y

dist Xbar dg ukuran sampel 15 populasi normal

56

0.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6

15

10

5

0

C3

Freq

uenc

y

dist Xbar dg ukuran sampel 30 populasi normal

Variable N Mean Median Tr Mean StDev SE Mean C1 80 -0.0662 -0.0462 -0.0615 0.4162 0.0465 C2 80 0.0237 0.0136 0.0269 0.2213 0.0247 C3 80 -0.0188 -0.0000 -0.0190 0.1874 0.0210 P-Value (Anderson-Darling) C1 0.587 C2 0.897 C3 0.554 Dari P-value diatas dapat disimpulkan bahwa semua data x berdistribusi Normal untuk ukuran sampel 5,15 dan 30 berdasarkan hasil uji Anderson-Darling. Memang kalau dilihat ukuran sampel= 15 adalah yang paling kuat indikatornya tetapi ini tidak bisa dijadikan pegangan untuk menyimpulkan bahwa ukuran sampel = 15 adalah yang terbaik. Ada beberapa alasan antara lain karena jumlah sampel yang dibangkitkan adalah tidak maksimum. Bila ditinjau dari nilai mean dan StDev nya maka dapat dilihat untuk semakin besar sampel yang diambil ternyata akan mendekati mean populasinya (=0). Sedangkan simpangan bakunya akan semakin kecil untuk ukuran sampel yang makin besar sesuai teorema limit pusat. Dari hal ini dapat disimpulkan dengan pengambilan sampel yang besar maka taksiran untuk mean populasi akan semakin tepat.

Bila hasil eksperimen diatas ditabelkan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut mean Simpangan baku Limit Pusat Populasi 0 1 mean Sampangan baku Sampel n=5 -0.0662 0.4162 0 0.447

57

Sampel n=15 0.0237 0.2213 0 0.258 Sampel n=30 -0.0188 0.1874 0 0,183

Bila dilihat perbandingan antara hasil eksperimen dengan hasil yang berdasarkan teorema limit pusat maka dapat disimpulkan nilai nilai rataan sampel ukuran 5,15 dan 30 cukup dekat dengan hasil yang berdasarkan teorema limit pusat.

4.53.52.51.50.5

20

10

0

C4

Freq

uenc

y

dist Xbar dg ukuran sampel 5 populasi Poisson lamda 2

3.02.82.62.42.22.01.81.61.4

20

10

0

C5

Freq

uenc

y

dist Xbar dg ukuran sampel 15 populasi Poisson lamda 2

2.52.01.5

15

10

5

0

C6

Freq

uenc

y

dist Xbar dg ukuran sampel 30 populasi Poisson lamda 2

58

Variable N Mean Median Tr Mean StDev SE Mean C4 80 1.9175 2.0000 1.9139 0.5769 0.0645 C5 80 2.0267 2.0000 2.0130 0.3575 0.0400 C6 80 1.9833 1.9667 1.9838 0.2489 0.0278 P-Value C4 0.008 C5 0.090 C6 0.331 Dari P-value diatas dapat disimpulkan bahwa data x berdistribusi Normal untuk ukuran sampel 15 dan 30 saja berdasarkan hasil uji Anderson-Darling. Indikator yang paling kuat ditunjukkan oleh untuk ukuran sampel = 30. Bila ditinjau dari nilai mean dan StDev nya maka kesimpulan yang hampir sama dapat diambil yaitu untuk semakin besar sampel yang diambil ternyata akan mendekati mean populasinya (=2). Sedangkan simpangan bakunya akan semakin kecil untuk ukuran sampel yang makin besar sesuai teorema limit pusat. Dari hal ini dapat disimpulkan dengan pengambilan sampel yang besar maka taksiran untuk mean populasi akan semakin tepat. Contoh 6.1 Sebuah sampel berikuran 25 diambil dari suatu populasi yang memiliki mean = 20 dan simpangan baku = 5. Hitunglah peluang rataan sampel akan < 19 ? Jawab: Diketahui : 20= , 5= , n = 25 ( ) ?19 =

59

55=X , 15=X , n = 9

?5009

1=

>

=iXP

( ) ( ) ( )54,046,01

1,011,03

15505,505,50

9500

9500

9

19

1

==

=>=

>=>=

>=

>

==

ZPZP

n

XPXPX

PXP ii

6.3 Distribusi t student Seringkali dalam pengambilan sampel, simpangan baku populasi tidak diketahui.

Salah satu estimator yang biasa digunakan adalah statistik S, yaitu simpangan baku sampel. Bila statistik S ini digunakan sebagai pengganti , maka transformasi peubah acak

nS

X

Tidak lagi memiliki distribusi normal baku tetapi akan memiliki distribusi t-student dengan derajat bebas n-1. Distribusi t ini mirip dengan distribusi normal baku terutama untuk n yang besar. Berikut grafik distribusi normal baku dan distribusi t :

Gambar 6.1 grafik p.d.f normal baku

60

Gambar 6.2 grafik p.d.f t derajat bebas=10

Gambar 6.3 grafik p.d.f t derajat bebas=20

Gambar 6.4 grafik p.d.f t derajat bebas=30 Terlihat bahwa distribusi t ini akan semakin mirip dengan distribusi normal baku untuk derajat bebas yang makin besar. Akibatnya untuk n30, dapat digunakan pendekatan normal baku untuk menghitung peluang t ini.

61

Contoh 6.3 Sebuah sampel berukuran 25 dari suatu populasi. Dari sampel tersebut diperoleh nilai mean dan simpangan bakunya berturut-turut : 15 dan 5. Hitung peluang bahwa rataan sampel akan berada dalam selang (14,16) ? Jawab: Diketahui : 15=X , 5=S , n = 25 ( ) ?1614 =

62

5. Sebuah perusahaan baterai mengatakan rata rata umur baterai mereka 30 jam. Bila 16 unit sampel diambil secara acak dan didapatkan simpangan baku sampel = 5 jam, tentukan nilai rata rata sampel terendah yg diijinkan bila perusahaan menetapkan batas 3 ?

6. Rata - rata banyaknya panggilan telepon / jam suatu perusahaan dalam 2 tahun

terakhir = 4. Bila dicatat banyaknya telp dalam 2 hari dlm 2 thn terakhir tsb, hitung bahwa peluang bahwa rata rata banyak nya telp/jam >= 5 ?

63

12. REGRESI LINIER DAN NON-LINIER SEDERHANA Suatu permasalahan penelitian biasanya dapat dijelaskan oleh dua atau lebih

variabel yang saling berhubungan satu sama lain. Variabel-variabel yang saling berhubungan tersebut membentuk suatu persamaan matematis yang dapat digunakan untuk menentukan nilai sebuah variabel yang bergantung pada nilai variabel yang lain. Dalam statistika, hubungan fungsional antara variabel tak bebas ( dinotasikan Y ) dengan variabel bebas ( dinotasikan X ) disebut regresi antara Y dan X. Persamaan regresi yang akan dibahas pada bab ini persamaan linier sederhana, persamaan non-linier yang dibangkitkan dari persamaan linier yaitu eksponensial dan geometrik.

12.1 Model untuk regresi linier sederhana Bentuk umum : ++= xy y : variabel takbebas x : variabel bebas : error yang terjadi pada eksperimen Nilai selalu berubah ubah pada setiap x jadi sulit untuk ditebak, model ini kemudian diduga oleh xbay += dengan metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan jumlah kuadrat error ( ( )2 yyi ). Dari metode kuadrat terkecil didapatkan nilai untuk a dan b

xbya = dan ( )nxx

nyxxy

b2

2

=

Korelasi Linier Untuk melihat seberapa baik model regresi yang diperoleh, dapat dilihat melalui nilai korelasi r2 yang memiliki nilai 0 sampai 1 dan memiliki rumus

( )[ ] ( )[ ]2222 =

yynxxn

yxxynr

Nilai r ini hanya digunakan untuk mengukur model liner. Bila data membentuk pola yang non-linier, rumus ini tidak dapat digunakan. Bila r=a, maka ini berarti a2 keragaman nilai-nilai Y dapat dijelaskan secara linier oleh nilai-nilai X Nilai r2 akan sama nilainya dengan koefisien determinasi R2 ( )( )

== 22

2

yy

yyJKTJKRR

Koefisien determinasi ini lebih flexibel karena bisa digunakan untuk mengukur hubungan model yang non-linier.

64

Selain menggunakan R2, untuk mengetahui kelayakan suatu model regresi yang telah diperoleh yang digunakan menduga hubungan antara variabel X dengan variabel Y, dilakukan dengan pengujian terhadap koefisien-koefisien regresi yaitu : 1. Pengujian koefisien regresi secara serentak

Hipotesis : - H0 : a = b = 0 - H1 : paling tidak terdapat satu koefisien tidak sama dengan nol Tabel analisis ragam untuk uji koefisien regresi secara serentak Sumber keragaman

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah

Fhitung

Regresi p ( ) 2 yy p

JK reg galat

reg

KTKT

Galat n-p-1 ( ) 2yy 1 pn

JK galat

Total n-1 ( ) 2yy n : jumlah observasi p : jumlah term Statistik uji untuk penolakan H0 adalah : ( )[ ] 1pn,phit FF

2. Pengujian koefisien regresi secara individu Uji untuk nilai 0 H0 : C0 = H1 : C0 Taraf nyata : Statistik uji : ( ) ( )2xx

xx

e xnSnS

SCat +

= Wilayah kritik : ( )2n;2/tt < atau ( )2n;2/tt > Uji untuk nilai 1 H0 : D1 = H1 : D1 Taraf nyata : Statistik uji : ( )

nS

SDbt xx

e

= Wilayah kritik : ( )2n;2/tt < atau ( )2n;2/tt >

65

Keterangan ( )2i2ixx xxnS =

( )2i2iyy yynS = ( )( ) = iiiixy yxyxnS ( )

( ) xx2

xyyyxxe S2nn

SSSS

= Uji kelinieran Tujuan : untuk menguji apakah model regresi linier cocok digunakan / tidak Uji kelinieran dilkukan menggunakan Uji untuk nilai 1 dengan nilai D = 0. Bila H0 ditolak, maka secara statistik model linear sudah layak untuk digunakan (walaupun tidak menjamin merupakan model yang terbaik).

12.2 Model regresi non linier

12.2.1 Model eksponensial Bentuk umum regresi model eksponensial adalah += xy . Model tersebut

diduga dengan xaby = .Nilai a dan b diperoleh dengan cara langkah langkah berikut : - Dengan melogaritmakan persamaan xaby = , diperoleh

dxcbxay +=+= logloglog

- Model tersebut berubah menjadi model linier, sehingga nilai c dan d didapatkan dari rumusan model linier yaitu

xdyc = log dan ( )n

xx

n

ylogxylogx

d 22

=

dimana ca 10= dan db 10=

66

12.2.2 Model geometrik (power ) Regresi model geometrik mempunyai bentuk umum += xy . Pendugaan

model tersebut adalah baxy = .Nilai a dan b diperoleh dengan cara sebagai berikut : - Dengan melogaritmakan persamaan baxy = , diperoleh

xbcxbay loglogloglog +=+=

- Nilai c dan d bisa didapatkan dari rumusan model linier yaitu

xbyc loglog = dan ( )n

xlog)x(log

n

ylogxlogylogxlog

b 22

=

dimana ca 10= Contoh 6.1: Diketahui data berat (kg) dan tinggi (cm)

Berat tinggi 3 50

2.5 47 2.8 48 3.5 52 3.6 52 3.2 51

Akan apakah tinggi badan (X) mempengaruhi berat badan bayi ? Jawab: Perhitungan

NO Berat(Y) Tinggi(X) Y2 X2 XY 1 3 50 9 2500 150 2 2.5 47 6.25 2209 117.5 3 2.8 48 7.84 2304 134.4 4 3.5 52 12.25 2704 182 5 3.6 52 12.96 2704 187.2 6 3.2 51 10.24 2601 163.2

JUMLAH 18.6 300 58.54 15022 934.3 Scatter Plot

67

Korelasinya:

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] = = = 222222 6,1854,58.630015022.6 6.18.3003,934.6yynxxnyxxyn

r 0,97

95,02 =r Nilai ini sama dengan R2 Ini berarti 95% keragaman Y dapat diterangkan oleh hubungan linier X Persamaan regresi : bxay +=

( ) 222 30015022.66,18.3003,934.6

=

=

xxn

yxxynb = 0,195

xbya = = = 50.195.01,3 -6,65

Persamaan Regresi: Y = -6,65 + 0,195 X Bila tinggi = 55 berat = -6,65 + 0,195 .55 = 4,075 kg. Contoh 6.2 : Berikut adalah data produksi pulsa tingkat nasional (106)

Tahun Pulsa 1998 35451 1999 37221 2000 40905 2001 45875 2002 50260 2003 56852 2003 59981

68

a. Gambarkan diagram pencar b. Tentukan persamaan regresinya c. Hitung korelasinya

d. berapakah produksi pulsa pada tahun 2007 Berikut adalah hasil pengolahan data dengan minitab 15 : a. Diagram pencar

9876543210

70000

60000

50000

40000

30000

Tahun

Puls

a

Scatterplot of Pulsa vs Tahun

Dalam hal ini dilakukan transformasi terhadap variabel tahun, 1998 1, 1999 2 dst atau dapat dirumuskan sebagai X = tahun 1997. Cara lain untuk melakukan transformasi adalah yang membuat = 0X .

b. Korelasi linier Hasilnya adalah Correlation of X and Y = 0.994, Pvalue = 0.00 Karena korelasi antara X dan Y nilainya mendekati 1, maka antara tahun dengan produksi pulsa terdapat hubungan linier, sehingga dapat dianalisis dengan regresi linier.

c. Persamaan regresi dan uji koefisien regresi adalah :

2005 67230 2006 70020

69

Dari hasil yang diperoleh tersebut, dapat diketahui bahwa tiap tahun peningkatan produksi pulsa linier. Dari segi kelayakan model regresi dapat dilihat dari nilai R2 = 98.8% dan pada analisis variansi, nilai P value juga nol.

d. Dengan menggunakan model regresi di atas, dapat diprediksi produksi pulsa tingkat nasional pada tahun 2007 adalah 74653 (106).

Regresi Non Linier Contoh 6.3 Berikut ini merupakan contoh dari regresi non linear, diketahui bahwa data penjualan suatu produk dari mulai diproduksi sampai produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun).

Regression Analysis: Pulsa versus Tahun The regression equation is Pulsa = 28413 + 4624 Tahun Predictor Coef SE Coef T P Constant 28413 1066 26.66 0.000 Tahun 4623.9 189.4 24.41 0.000 S = 1467.20 R-Sq = 98.8% R-Sq(adj) = 98.7% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 1282808577 1282808577 595.91 0.000 Residual Error 7 15068810 2152687 Total 8 1297877388

70

Bulan ke- Keuntungan (dalam ribuan rupiah) 1 150 2 270 3 480 4 750 5 1350 6 2310 7 3625 8 5390 9 9950 10 15510 11 26500 12 40350 13 77510 14 111950 15 165300 16 311600 17 627480 18 804250 19 1540980 20 2314250 21 3923250 22 6010500 23 12334230 24 15975210

Dari data diatas, kita akan mencoba memprediksi keuntungan perusahaan saat produksi berlangsung selama 3 tahun (36 bulan). Seperti yang telah diketahui sebelumnya, kita dapat membuat diagram pencar (scater plot) dengan mintab 15, yaitu : 1. Diagram pencar

71

2520151050

18000000

16000000

14000000

12000000

10000000

8000000

6000000

4000000

2000000

0

bulan

keun

tung

an

plot bulan vs keuntungan

Jelas bahwa regresi linear kurang baik untuk diterapkan (anda dapat menganalisa hal tersebut sebagai sarana berlatih). Melihat bentuk diagram pencar diatas kita akan mencoba mendekatinya dengan fungsi non linear yaitu xaby = atau baxy = . Untuk menentukan persamaan regresi yang terbaik antara dua model tersebut dapat dilihat dari nilai R2. 2. Hasilnya adalah sebagai berikut Untuk model geometrik baxy =

Untuk model eksponensial xaby =

The regression equation is ylog = 0.798 + 3.98 xlog Predictor Coef StDev T P Constant 0.7983 0.3558 2.24 0.035 xlog 3.9751 0.3381 11.76 0.000

S = 0.5848 R-Sq = 86.3% R-Sq(adj) = 85.6%

72

3. Berdasarkan nilai R2 masing masing model, maka diperoleh kesimpulan bahwa model eksponensial lebih baik daripada model geometrik. Jadi persamaan regresi nonlinier yang terbaik adalah

xy 218.001.2log += Atau bila dituliskan dalam xaby = menjadi ( )xy 652,133,102= 4. Bila dihitung keuntungan pada akhir tahun ke-3 (bulan ke 36) maka diperoleh hasil ( ) 11736 10.22.7652,133,102 ==y ribu. Latihan 1. Berikut adalah pengaruh temperatur pada proses deodorizing terhadap warna suatu

produk : Temperatur (X) Warna (Y) 460 0.3 450 0.3 440 0.4 430 0.4 420 0.6 410 0.5 450 0.5 440 0.6 430 0.6 420 0.6 410 0.7 400 0.6 420 0.6

The regression equation is ylog = 2.01 + 0.218 x Predictor Coef StDev T P Constant 2.01111 0.01549 129.83 0.000 x 0.218240 0.001084 201.31 0.000

S = 0.03676 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%

73

410 0.6 400 0.6

a. tentukan model regresi linier Y = a + b X b. Hitung korelasi antara Y dan X

2. Seorang distributor ingin mengetahui antara biaya pemasangan iklan per minggu dengan hasil penjualannya, datanya sebagai berikut : Biaya iklan ($) Penjualan ($) 40 385 20 400 25 395 20 365 30 475 50 440 40 490 20 420 50 560 40 525 25 480 50 510

a. Buat diagram pencar b. Tentukan persamaan garis regresi yang terbaik untuk meramalkan penjualan

mingguan berdasarkan biaya iklan 3. Berikut adalah data tentang pengaruh antara nilai ujian pertama dengan nilai ujian

kedua : Nilai ujian pertama

(X) Nilai ujian kedua

(Y) 4.1 2.1 2.2 1.5 2.7 1.7 6.0 2.5 8.5 3.0

74

4.1 2.1 9.0 3.2 8.0 2.8 7.5 2.5 8.5 3.0 9.3 2.8 9.5 3.0 7.4 1.7

a. Tentukan persamaan regresi linier dan non-liniernya b. Hitung korelasinya dan tentukan regresi yang terbaik c. Berapakah nilai ujian kedua, jika nilai ujian pertama 6.4

75

DAFTAR PUSTAKA

1. Devore J. L., 1991, Probability and Statistics for