DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

Diferensial fungsi majemuk membahas diferensial untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas. Pada dasaranya prinsip diferensiasinya tidak berbeda dengan prinsip diferensiasi untuk fungsi dengan variabel bebas tunggal. Perbedaannya terletak pada adanya konsep diferensiasi parsial (diferensiasi secara bagian demi bagian) dan konsep diferensiasi total.Konsep diferensial fungsi majemuk merupakan salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi, mengingat pada umumnya suatu variabel ekonomi berhubungan fungsional, tidak hanya dengan satu macam varibel lain, tetapi justru dengan beberapa macam variabel sekaligus. Sehingga pengetahuan akan diferensial fungsi majemuk sangat relevan dimiliki

1. Diferensiasi ParsialSebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f(x) maka y = dy / dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan. Jika y = f (x, z), maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu y terhadap x atau y/x dan turunan y terhadap z atau y/z sebagai berikut:y = f (x,z)a).fx (x,z) = y/xyb) fz (x,z) = y/z

y/x dan y/z dalam butir 1 masing-masing dinamakan derivatif parsial, sedangkan (y/x) dx, (y/z) dz, dinamakan diferensial parsial, adapun dy adalah diferensial total.Dalam menurunkan y terhadap x (y/x) hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan dengan anggapan hal-hal lain konstanta atau tetap (cateris paribus).; sehingga suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap turunannya adalah nol. Begitu juga dalam menurunkan y terhadap z yang dilambangkan dengan y/z, hanya suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan (ceteris paribus) dan turunannya adalah nol.Contoh :y = 2 x2 6xz 5 z2 fx = y/x = 4x 6z fz = y/x = -6x 10 z

= (4x 6z) + (-6x 10z)= -2x 16z

2. Derivatif dari Derivatif ParsialSeperti halnya dengan fungsi dengan satu variabel bebas maka fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebaspun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing parsialnya masih mungkin diturunkan lagi, namun berapa banyak turunan dari turunan parsial dapat dibentuk tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam, tetapi apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-dipecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.Contoh: y = x3 + 5z2 4 x2z 6xz2 + 8z 7y1) y/x = 3x2 8xz 6z2 2) y/z = 10z 4x2 12xz + 8

Baik y/x maupun y/z masih dapat diturunkan secara lagi secara parsial baik terhadap x maupun z:(1.a.) y/x terhadap x: 2 y/ x2 = 6x 8z(1.b.) y/x terhadap z: 2 y/ x z = -8x 12z (2.a.) y/z terhadap x: 2 y/z x = -8z 12z(2.b.) y/z terhadap z: 2 y/ z2 = 10 12x

Ternyata turunan parsial kedua (1.a), (1.b), (2.a), dan (2.b) masih dapat diturunkan lagi secara parsial baik terhadap x maupun terhadap z(1.a.1). 2 y/ x2 terhadap x: 3 y/ x3 = 6(1.a.2). 2 y/ x2 terhadap z: 3 y/ x 2 z = -8(1.b.1). 2 y/ x z terhadap x: 3 y/ x 2 z = -8(1.b.2). 2 y/ x z terhadap z: 3 y/ x z2 = -12(2.a.1) 2 y/z x terhadap x: 3 y/ z x 2 = -8(2.a.2). 2 y/z x terhadap z: 3 y/ z2 x = - 12 (2.b.1). 2 y/ z2 terhadap x: 3 y/ z2 x = - 12(2.b.2). 2 y/ z2 terhadap z: 3 y/ z3 = 0

3. Nilai Ekstrim: Maksimum dan MinimumNilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai turunan keduanya:

Untuk y = f (x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika: y/x = 0 dan y/z = 0

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Untuk mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum atau titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu:

Maksimum bila 2 y/ x2 < 0 dan 2 y/ z2 < 0Minimum bila 2 y/ x2 > 0 dan 2 y/ z2 > 0

Dalam hal 2y/ x2 dan 2 y/ z2 = 0, tak bisa ditegaskan mengenai nilai ekstrimnya. Untuk kasus semacam ini diperlukan penyelidikan dan pengujian lebih lanjut.

Contoh: Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum ataukah titik minimum: y = -x2 + 12x z2 + 10 z 45!yy/ x = -2x + 12y/ z = -2z + 10Titik ekstrim:Turunan parsial terhadap x y / x = 0-2x + 12 = 0 x = 6Turunan parsial terhadap z y / z = 0-2z + 10 = 0 z = 5

Setelah kita mengetahui nilai x dan z maka kita dapat mengetahui nilai y:y = -(6)2 + 12 (6) (5)2 + 10 (5) 45 = -36 + 72 25 + 50 45 = 16Titik ekstrim maksimum atau minimum?Untuk y terhadap x: 2 y/ x2 = -2 2 y/ x2 < 0, Dimana: -2 < 0Untuk y terhadap x: 2 y/ z2 = -2 < 0 2 y/ z2 < 0, Dimana: -2 < 0

Karena 2 y/ x2 dan 2 y/ z2 < 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum dengan Ymaks = 16

4. Optimasi BersyaratDalam kenyataan seringkali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas atau tingkat kepuasannya, tetapi terikat pada fungsi pendapatan; atau sebuah perusahaan ingin memaksimumkan labanya, namun terikat pada fungsi produksi.a. Pengganda LagrangeMetode Lagrange dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas yaitu ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan (kendala).. Caranya adalah dengan membentuk sebuah fungsi baru, disebut fungsi Lagrange, yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange dengan fungsi kendalanya (fungsi yang menjadi kendala senantiasa harus diimplisitkan dulu). Misalkan yang hendak dioptimumkan z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y).

F (x,y, ) = f (x,y) + g(x,y)

Fx (x,y, ) = f x + gx = 0Fy (x,y, ) = f y + gy = 0Nilai ekstrim F (x,y,) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol.

Pengganda Lagrange adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat sebagai pembantu. Syarat di atas merupakan syarat yang diperlukan untuk menghitung nilai ekstrim dari fungsi baru yang dibentuk, dan karenanya disebut sebagai syarat yang diperlukan atau necessary condition. Akan tetapi untuk mengetahui jenis nilai ekstrim tersebut maksimum atau minimum, masih harus disidik melalui derivatif-parsial keduanya, yang merupakan syarat yang mencukupkan atau sufficient condition. Dalam hal ini nilai ekstrim tadi adalah:

Maksimum bila F xx < 0 dan F yy < 0Minimum bila F xx > 0 dan F yy > 0

Contoh: Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai ekstrimnya.Fungsi Lagrange: F = 2x + 2y + (x2 + y2 8)= 2x + 2y + x2 + y2 8Agar F ekstrim, F= 0Fx = 2 +2 x = 0, diperoleh = - 1/x....................................(1)Fy = 2 +2 y = 0, diperoleh = - 1/y....................................(2)Berdasaran (1) dan (2) : -1/x = -1/y, atau x = y Menurut fungsi kendala : x2 + y2 = 8y2 + y2 = 8 2 y2 = 8 y2 = 4 y = 2Karena y = 2 dan x = 2z = 2x + 2y = 8Jadi nilai ekstrim z = 8 Penyelidikan nilai ekstrimnya:Untuk x = 2 dan y = 2, = - Fxx = 2 = - 1 < 0Fyy = 2 = - 1 < 0Karena Fxx dan Fyy < 0, nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum dengan zmaks = 8Untuk x = -2 dan y = -2, = Fxx = 2 = 1 > 0Fyy = 2 = 1 > 0Karena Fxx dan Fyy > 0, nilai ekstrimnya adalah nilai minimum dengan zmin = -8

b. Kondisi Kuhn-Tucker

5. Homogenitas Fungsi

6. Penerapan Diferensial Fungsi Majemuk dalam Ekonomia. Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsialApabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga masing-masing barang tersebut, jadi misalnya terdapat dua macam barang yaitu teh dan gula dan kedua macam barang tersebut mempunyai hubungan penggunaan, maka:Qda = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang A dipengaruhi oleh harga barang A dan harga barang B danQdb = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang B dipengaruhi oleh harga barang B dan harga barang A Turunan pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi fungsi permintaan marjinalnya dimana :d Qa / dPa adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pad Qa / dPb adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pbd Qb / dPb adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pbd Qb / dPa adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan PaDengan dapat diturunkannya fungsi permintaan tersebut maka kita dapat mengetahui elastisitas permintaan dua macam barang yang memiliki hubungan penggunaan dengan rumus sebagai berikut :da = dQda / dPa . Pa / Qda dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang A dab = dQda / dPb . Pb / Qda dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang Bdb = dQdb / dPb . Pb / Qdb dibaca : elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang Bdba = dQdb / dPa . Pa / Qdb dibaca ; elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang Ajika nilai da dan db > 1 disebut bersifat elastis, unitary elastis jika = 1 dan inelastis jika < 1 (tanda negatif diabaikan). Sedangkan jika dab dan dba bernilai negatif maka kedua barang tersebut bersifat komplementer dan substitusi jika bertanda positif.

Contoh : Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing-masing ditunjukkan oleh persamaan Qda . Pa . Pb - 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb - 1 = 0. Berapa elastisitas masing-masing barang dan apa hubungan kedua barang tersebut ?Jawab :Qda = 1 / Pa . Pb = Pa-2 . Pb-3Qdb = 1 / Pa . Pb = Pa-3 . Pb-1dQda / dPa = -2 Pa-3 . Pb-3dQdb / dPb = -Pa-3 . Pb-2dQda / dPb = -3 Pa-2 . Pb-4dQdb / dPa = -3Pa-4 . Pb-1maka :da = dQda / dPa . Pa / Qda = -2 Pa-3 . Pb-3 . Pa / Pa-2 . Pb-3 = -2dab = dQda / dPb . Pb / Qda = -3 Pa-2 . Pb-4 . Pb / Pa-2 . Pb-3 = -3db = dQdb / dPb . Pb / Qdb = -Pa-3 . Pb-2 . Pb / Pa-3 . Pb-1 = -1dba = dQdb / dPa . Pa / Qdb = -3 Pa-4 . Pb-1 . Pa / Pa-3 . Pb-1 = -3Barang A bersifat elastis karena > 1 dan sifat barang B adalah unitary elastis karena = 1, sedangkan hubungan antara barang A dan B adalah bersifat komplementer (saling menggantikan) karena nilainya negatif.

b. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabunganApabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan kedua macam produk tersebut merupakan biaya produksi gabungan, maka perhitungan keuntungan maksimum dapat dilakukan dengan pendekatan diferensiasi parsial.Contoh : Biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk menghasilkan dua macam barang yaitu A dan B adalah C = Qa + 3Qb + Qa . Qb. Harga jual masing-masing produk adalah Pa = 7 dan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing barang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum ?Jawab :Ra = Qa . Pa = 7 QaR = Ra + Rb = 7 Qa + 20 QbRb = Qb . Pb = 20 Qb = R C = 7 Qa + 20 Qb (Qa + 3 Qb + Qa . Qb) = 7 Qa + 20 Qb Qa 3 Qb Qa . Qbagar maks maka = 0a = 7 2 Qa Qb = 0 (1)b = 20 6 Qb Qa = 0 ..(2)dari persamaan satu dan dua maka diperoleh :7 2 Qa Qb = 0x 1 7 2 Qa Qb = 020 6 Qb Qa = 0x 240 12 Qb 2 Qa = 0 -33 + 11 Qb = 0 Qb = 37 2 Qa Qb = 07 2 Qa 3 = 0 maka Qa = 2dengan demikian maks = 7 Qa + 20 Qb Qa 3 Qb Qa . Qb = 7 . 2 + 20 . 3 2 3 . 2 2 . 3 = 37

c. Utilitas marginal parsial dan keseimbangan konsumenDalam kenyataan sehari-hari seorang konsumen tentu saja tidak hanya mengkonsumsi satu macam barang tapi berbagai macam. Jika kepuasan konsumen dilambangkan dengan U dan barang-barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan qI (I = 1, 2, 3 .n), maka utilitas dapat dinotasikan dengan U = f (q1, q2, q3 qn). Jika disederhanakan seorang konsumen mengkonsumsikan hanya dua barang dan untuk mengkonsumsikan barang tersebut konsumen terhalang oleh batasan-batasan tertentu misalnya jumlah pendapatan maka untuk mencari kombinasi konsumsi yang dapat memberikan kepuasan maksimum dapat dilakukan dengan bantuan diferensiasi parsial atau lagrange.Contoh :1. Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan dengan fungsi utilitas U = xy. Jumlah pendapatan konsumen Rp. 1.000, harga X dan Y masing-masing perunit adalah Rp. 25 dan Rp. 50.1. Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang1. Berapa utilitas marginal tersebut jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?1. Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y kepuasan konsumen optimum atau tidak.Jawab :1. U = xy MUx = Ux = dU/dX = 2xyMUy = Uy = dU/dY = 3xy1. Jika x = 14 dan y = 13MUx = 2(14)(13) = 61.516MUx = 3(14)(13) = 99.3721. MUx / Px = 61.516 / 25 = 2.460, 64MUy / Py = 99.372 / 50 = 1.987, 44MUx / Px MUy / Py . Berarti kombinasi konsumsi 14 x dan 13 y tidak memberikan kepuasan maksimum, tidak terjadi keseimbangan konsumsi.1. Untuk soal kasus diatas hitunglah kombinasi konsumsi x dan y yang memberikan kepuasan optimum, serta besarnya nilai kepuasan optimal tersebut.Jawab :Agar kepuasan optimal MUx / Px = MUy / Py 2 xy / 25 = 3xy/50100xy = 75xy, y = xJika x = 16 dan y = x25 x + 50 y = 1000maka y = 1225 x + 50 . x = 1000jika demikian maka kepuasan25 x + 37 x = 1000optimum U = xy62 x = 1000, maka x = 16U = 16 . 12 = 442.368

1. Produk Marginal Parsial dan Keseimbangan ProduksiUntuk memproduksi sesuatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan masukan yang digunakan dilambangkan dengan xi (I = 1, 2 .,n), maka fungsi produksinya dapat dituliskan dengan notasi P = f (x1, x2, x3, ., xn).Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan masukan tetap, sementara sebagian lainya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya dua macam masukan variabel (katakanlah K dan L), maka fungsi produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan: P = f (k, l)Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya. adalah produk marginal berkenaan dengan masukan K adalah produk marginal berkenaan dengan masukan LUntuk P = konstanta tertentu, fungsi produksi P = f (k, l) merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan masukan K dan L, yang menghasilkan keluaran dalam jumlah yang sama. Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yaitu suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination). Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam masukan berkenaan dengan harga masing-masing masukan dan jumlah dana yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli masukan K dan masukan L, adalah sebesar M, serta harga masukan K dan masukan L, masing-masing Pk dan Pl, persamaan isocostnya dapat dituliskan dengan notasi M = k . Pk + l . Pl.Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum atau least cost combination dapat dicari dengan metode Lagrange. Dalam hal ini fungsi produksi P = f (k, l) dimaksimumkan terhadap fungsi isocost M = k. Pk + l. PlFungsi tujuan yang hendak dioptimumkan: P = f (k, l)Fungsi kendala yang dihadapi: M = k. Pk + l. Pl k. Pk + l. Pl m = 0fungsi baru lagrange : F(k, l) = f(k, l) + (k. Pk + l. Pl M)syarat yang diperlukan agar F(k, l) maksimum :Fk(k, l) = 0 fk (k, l) + Pk = 0 . (1)Fl (k, l) = 0 fl (k, l) + Pl = 0 . (2)Dari (1) dan (2) nilai k dan nilai l dapat diperoleh. Selanjutnya nilai p maksimum bisa dihitung.Produksi total : P = f(k, l)1. Produk marjinal masukan K : M Pk = fk (k, l) = 1. Produk marjinal masukan L : M Pl = fk (k, l) = Pengembangan lebih lanjut persamaan (1) dan (2) diatas tadi akan menghasilkan :(1)fk (k, l) + Pk = 0 fk (k, l) = - = fk (k, l) Pk(2)fl (k, l) + Pl = 0 fl (k, l) = - = fl (k, l) PlDengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan :k (k, l) = l (k, l) PkPkMPk = MPl Pk Pl

Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa produksi optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-masing masukan terhadap harganya bernilai sama.

Diferensial Fungsi Majemuk/ Andri Purnama Putri/ 1283115410