II. DERET TAKBERHINGGA

II.A. PENDAHULUANPerhatikan suatu ruas jarak yang panjangnya 1 km. Ruas jarak ini dapat dibagi

menjadi km,

km, 1

8

km, 1

16

km dan seterusnya (lihat Gambar II.1). Dalam bahasa

matematika jarak 1 km tersebut dapat dinyatakan dalam jumlah berikut,12

14

18

116

. . .

18

12

14

116

1

Gambar II.1

Suku-suku dalam penjumlahan di atas banyaknya takberhingga, karena itu kita perlu mendefinisikan dahulu jumlah takberhingga tersebut.

Perhatikanlah jumlah parsial berikut,

S112

S212

14

34

S312

14

18

78

. . .

Jumlah parsial ke-n ini (Sn) dapat ditentukan rumus eksplisitnya dengan cara sebagai berikut, kalikan Sn dengan setengah ( 1

2 Sn ), kemudian Sn dikurang dengan 12 Sn ini. Hasilnya

adalah,

Jumlah parsial ke-n :

Sn = (i)

Kalikan (i) dengan 12

:

12

Sn = (ii)

DND

10

Kurangkan (i) dengan (ii) :

Sn 12

Sn = 12

(iii)

Persamaan (iii) dapat dituliskan kembali menjadi,

atau

Jumlah-jumlah parsial ini jelas akan semakin mendekati 1. Tepatnya,

S = limn nS = lim

n n

1

12

= 1

Limit ini didefinisikan sebagai jumlah takberhingga tersebut.

Perhatikan hal yang lebih umum,

a a a a1 2 3 4 . . . Penjumlahan ini dapat dituliskan dalam bentuk,

akk

1

atau akBentuk ini dinamakan deret takberhingga (atau deret saja). Jumlah parsial ke-n dari deret ini yaitu Sn adalah,

S a a a a an n kk

n

1 2 3

1 . . . +

Untuk lebih jelas, di bawah ini diberikan definisi formalnya.

Definisi : Deret takberhingga akk

1

= a a a a1 2 3 4 . . . dikatakan konvergen dan

mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah-jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S ( lim

n nS = S). Apabila lim

n nS tidak ada, maka deret dikatakan divergen (deret yang

divergen tidak memiliki jumlah).

Contoh II.1

Periksa apakah deret 23

23

23

23

23

2 3 4

1

. . . =n

n konvergen atau divergen. Jika

konvergen tentukanlah jumlahnya

Jawab :

Jumlah parsial ke-n : Sn = 23

+ . . . +

23

23

23

23

2 3 4 n

Kalikan Sn dengan 23

: 23

Sn = + . . . +23

23

23

23

23

2 3 4 1

n n

DND

11

Kurangkan : Sn 23

Sn = 23

Dari persamaan terakhir diperoleh,

atau

Dari Contoh 1.5 diperlihatkan bahwa untuk 1 r 1, limn

nr

0. Dalam contoh di atas,

r = 23

, oleh karena itu = 0. Jadi limn nS = 2 1 0 2

Oleh karena limn nS ada, maka deret di atas konvergen dan jumlahnya adalah 2.

Akan dibicarakan nanti bahwa deret semacam ini dinamakan deret geometrik.

II.B. DERET-DERET KHUSUSa. Deret Geometrik

Suatu deret takberhingga yang berbentuk,

ar a ar ar ark

k

1

1

2 3 . . .

dengan a 0 dinamakan deret geometrik atau kadangkala dinamakan juga deret ukur. Akan kita buktikan dalam Contoh II.2 di bawah ini bahwa deret geometrik konvergen

dengan jumlah Sa

r

( )1 jika r 1 dan divergen jika r 1.

Contoh II.2

Buktikan bahwa deret geometrik konvergen dengan jumlah Sa

r

( )1 jika r 1 dan

divergen jika r 1.

Bukti Misalkan Sn = a ar ar ar arn 2 3 1 . . . (i)Kalikan (i) dengan r rSn = ar ar ar ar arn n 2 3 1 . . . (ii)

Kurangkan (i) dengan (ii) (1 r)Sn = a arn

atau Sa ar

ra

ra

rrn

nn

1 1 1

Jika r 1 maka S = limn nS = lim

n

nar

ar

r

1 1

= lim limn n

nar

ar

r

1 1 =

ar

ar

rn

n

1 1

lim

DND

12

Dari Contoh 1.5 diketahui bahwa jika r 1, limn

nr

0, oleh karena itu diperoleh,

Sa

r

1

Akibatnya deret geometrik konvergen.Jika r 1, jumlah deret yaitu S lim

n nS tidak ada karena dari Contoh 1.5 diperoleh

bahwa limn

nr

, jadi deret geometrik divergen.

Contoh II.3Tentukanlah jumlah deret geometrik berikut,

a) 43

49

427

481

. . . b) 0,333333 . . .

Jawab :

Dari Contoh II.1 diperoleh bahwa jumlah deret geometrik adalah Sa

r

1

a) 43

49

427

481

43

13

1

1

. . . k

k

Untuk deret ini a 43

dan ar 49

. Dari harga ar ini selanjutnya dapat ditentukan r yaitu

r

49

43

49

34

13

. Karena 1 r 1, maka deret konvergen dan jumlahnya adalah,

S

43

13

43231

2

b) 0,333333.... = 33100

3310 000

331000 000

33100

11001

1

. . . . . .

k

k

Untuk deret ini a 33

100 dan ar

3310 000.

. Dari harga ar selanjutnya dapat ditentukan r

yaitu, r

3310 000

33100.

3310 000

10033

1100.

. Karena 1 r 1, maka deret

konvergen dan jumlahnya adalah,

S

33100

1100

33100991001

33100

10099

3399

13

Contoh II.4Dua orang anak membagi sebuah apel seperti berikut. Pertama apel tersebut dibagi menjadi tiga bagian, dan tiap anak memperoleh sepertiga bagian. Sepetiga bagian yang tersisa kemudian dibagi tiga lagi dan setiap anak mendapat sepertiga bagian dan seterusnya. Berapa bagian apelkah yang diperoleh setiap anak ?

Jawab :

DND

13

Buah apel pertama dibagi tiga, jadi setiap orang mendapat satu pertiga bagian. Sepertiga

bagian sisanya kemudian dibagi tiga lagi dan setiap orang mendapat tambahan 13

319

bagian. Sepersembilan bagian sisanya kemudian dibagi tiga lagi dan stiap orang mendapat

tambahan 19

31

27 bagian dan seterusnya. Jadi setiap orang akan menerima apel sebanyak,

13

19

127

. . . bagian

Penjumlahan ini merupakan deret geometrik dengan a = 13

dan r = 13

. Jadi jumlah deret

tersebut adalah,

Sa

r

1 112

13

13

1323

Jadi setiap orang akan mendapat setengah bagian apel.

Kita tinjau kembali deret geometrik berikut, a ar ar ar n 2 1 . . . . . . Suku ke-n dari deret ini adalah an = arn1. Dari Contoh II.1 dapat kita lihat bahwa suatu deret geometrik akan konvergen jika dan hanya jika lim

n na = 0. Yang menjadi pertanyaan

sekarang adalah, apakah sifat ini berlaku bagi semua deret ? Jawabannya tidak, walaupun sebagian sifat tersebut benar. Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut.

Teorema II.1 (Uji Kedivergenan dengan Suku ke-n)

Jika akk

1

konvergen, maka limn na .= 0 Setara dengan pernyataan ini adalah, jika

limn na 0 (atau lim

n na tidak ada), maka deret divergen.

Bukti :

Karena a a a akk

1

1 2 3 . . . maka jumlah parisal ke-n adalah,

S a a a a a an kk

n

n n

. . . 1

1 2 3 1 (i)

dan jumlah parsial ke-(n1) adalah,

S a a a a an kk

n

n

11

1

1 2 3 1 . . . (ii)

Apabila kita kurang (i) dengan (ii) maka diperoleh,

an = Sn Sn1

Jika deret-deret tersebut konvergen ke S (S = limn nS ,) maka

lim lim ( ) lim limn n n n n n n n na S S S S S S

1 1 0

DND

14

Contoh II.5Tentukanlah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.

a) k

kk

2

31

35

b) k

k kk

3

3 21 3 2

Jawab :

a) k

kk

2

31

35

. Suku ke-n deret ini adalah an = nn

2

33

5 . Jadi

limn na = lim

n

nn

2

33

5 = lim

n

n n

1 33

5 =

05

= 0

Karena limn na = 0 maka pengujian tidak memberikan kepastian. Jadi menurut Teorema

II.1, deret tidak diketahui dengan pasti apakah konvergen atau divergen.

b) k

k kk

3

3 21 3 2

. Suku ke-n deret ini adalah an = nn n

3

3 23 2. Jadi

limn na = lim

n

nn n

3

3 23 2 = lim

n n 1

3 2 = 1

3 0 =

13

Karena limn na 0 maka menurut Teorema II.1, deret divergen.

b. Deret HarmonikSebuah deret takberhingga yang berbentuk,

11

12

13

1

1 k nk

. . . . . .

dinamakan deret harmonik. Deret harmonik ini dapat membuktikan bahwa Teorema II.1

tidak dapat dibalik menjadi: Jika limn na , = 0, ak

k

1

konvergen. Karena meskipun limit

suku ke-n deret ini yaitu lim limn n n

an

1

0 namun deret harmonik tidak konvergen,

melainkan divergen, buktinya dapat dilihat dalam Contoh II.6.

Contoh II.6

Buktikan bahwa deret harmonik 1

112

13

1

1 k nk

. . . . . . divergen.

Bukti:Akan kita buktikan bahwa Sn melampaui setiap batas apabila n membesar tanpa batas.

Sn = 1

12

13

14

15

1 . . .

n

= 112

13

14

15

16

17

18

19

116

1

. . . . . .

n

DND

15

112

24

48

816

1 . . .

n

= 112

12

12

12

1 . . .

nDengan membuat n cukup besar, maka dalam persamaan terakhir, kita dapat mengambil 1

2 sebanyak yang kita kehendaki. Jadi {Sn} divergen, sehingga deret Harmonik adalah divergen.

c. Deret Kolaps (Deret Teleskopis)Sampai saat ini kita telah mengetahui bahwa deret geometrik adalah salah satu deret

yang dapat ditentukan jumlah parsial ke-n-nya (Sn). Deret lainnya yang juga dapat ditentukan jumlah parsial ke-n-nya adalah deret kolaps atau disebut juga deret teleskopis. Deret kolaps mempunyai bentuk sebagai berikut,

( )a ak kk

11

= ( ) ( ) ( )a a a a a a1 2 2 3 3 4 . . .

Jumlah parsial ke-n dari deret ini adalah,

Sn = ( )a ak kk

n

1

1 = ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a an n1 2 2 3 3 4 1 . . .

= a1 an + 1

Contoh II.7.Buktikan bahwa deret kolaps berikut konvergen, dan tentukan jumlahnya.

12 31 ( )( )k kk

Jawab :Gunakan penguraian fraksial untuk menuliskan ak seperti berikut,

ak = 1

2 3( )( )k k = ( ) ( )( )( )k kk k 3 22 3 =

( )( )( )

( )( )( )

kk k

kk k

3

2 32

2 3 = 1

21

2( ) ( )k k

Jadi,

Sn = 1

2 31 ( )( )k kk

n

=

12

131 ( ) ( )k kk

n

= 13

14

14

15

15

16

12

13

. . .

n n

= 13

13

nJumlah deret adalah,

S = limn nS = lim

n n

13

13

= lim limn n n

13

13

= 13

0 = 13

Jadi deret konvergen dengan jumlah 13

Contoh II.8

DND

16

Periksa apakah deret 1

1 . 3 . 5 . 71

7 . 9 . . .

13

15

12 1 2 11 ( )( )k kk

konvergen

atau divergen. Jika konvergen tentukanlah jumlahnya.

Jawab :

ak = 1

2 1 2 1( )( )k k = 12

2 1 2 12 1 2 1

( ) ( )( )( )k kk k

=

12

2 12 1 2 1

2 12 1 2 1

( )( )( )

( )( )( )

kk k

kk k

= 12

12 1

12 1k k

Sn = akk

1

= 12

12 1

12 11 k kk

= 12

11

13

12

13

15

12

15

17

12

17

19

12

12 1

12 1

. . . +

n n

= 12

11

13

13

15

15

17

17

19

19

12 1

. . . +

12n -1 n

= 12

11

2 1

n

Karena limn nS = lim

n n

12

11

2 1 =

12

11

2 1lim limn n n

=

12

1 0( ) = 12

, maka deret

konvergen dan jumlahnya sama dengan 12

.

II.C. SIFAT-SIFAT DERET KONVERGENDeret konvergen mempunyai perilaku yang sama dengan jumlah yang takberhingga

seperti dinyatakan dalam teorema di bawah ini.

Teorema II.2 (Kelinieran)

Jika deret akk

1

dan bkk

1

keduanya konvergen dan c adalah sebuah konstanta,

maka

cakk

1

dan ( )a bk kk

1

juga konvergen. Selain itu,

ca c akk

kk

1 1

( )a b a bk kk

k kkk

1 11

Bukti :

Teorema ini memberikan gambaran yang agak berbeda. Lambang (simbol) akk

1

dalam

teorema di atas digunakan baik untuk deret takberhingga a a a1 2 3 . . . , maupun untuk jumlah deret itu sendiri yang berupa bilangan.

DND

17

Karena akk

1

dan bkk

1

keduanya konvergen maka limn ak

k

n

1 dan lim

n bkk

n

1 keduanya

ada. Dengan menggunakan sifat penjumlahan dengan suku-suku berhingga dan sifat limit, diperoleh

ca ca c akk n k

k

n

n kk

n

1 1 1lim lim

= c a c an k k

kk

n

lim

11

( ) lim ( ) lima b a b a bk kk n k k

k

n

n k kk

n

k

n

1 1 11

= limn k

k

n

n kk

n

k kkk

a b a b

1 1 11

lim

Contoh II.9

Hitunglah 516

2141

k k

k

Jawab :Dari Teorema II.2 diperoleh ,

516

2141

k k

k = 5

16

2141 1

k

k

k

k

= 516

2141 1

k

k

k

k(i)

Kita uraikan satu persatu deret dalam persamaan di atas.16

16

136

12161

k

k . . .

Deret ini adalah deret geometrik dengan a = 16

dan r = 16

, jadi jumlah deret ini adalah,

Sa

r

1 116

65

15

16

16

1656

(ii)

14

14

116

1641

k

k . . .

Deret ini adalah deret geometrik dengan a = 14

dan r = 14

, jadi jumlah deret ini

adalah,

Sa

r

1 114

43

13

14

14

1434

(iii)

Masukan hasil persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i) diperoleh,

516

2141

k k

k = 5

15

213

= 1

23

= 13

DND

18

Teorema II.3

Jika akk

1

divergen dan c 0, maka cakk

1

juga divergen

Bukti :

akk

1

divergen, berarti limn k

k

n

a

1

tidak ada. Dari Teorema II.2, dan sifat-sifat limit,

diperoleh,

cakk

1

= lim lim limn k

k

n

n kk

n

n kk

n

ca c a c a

1 1 1

Oleh karena limn k

k

n

a

1

tidak ada, c limn k

k

n

a

1

juga tidak ada, artinya cakk

1

divergen.

Contoh II.10

Buktikanlah bahwa 1

51 kk

adalah divergen

Bukti:

Karena 1

1 kk

adalah deret harmonik, dan kita ketahui bahwa deret harmonik adalah

divergen, maka 1

515

1 15

1

1 1 1k k kk k k

.

juga divergen.

Dalam suatu jumlah berhingga, kita dapat mengelompokan suku-sukunya dengan menggunakan hukum asosiatif penjumlahan sesuai dengan yang kita inginkan, misalnya

2 + 7 + 3 + 4 + 5 = (2 + 7) + (3 + 4) + 5 = 2 + (7 + 3) + (4 + 5)

Hukum asosiatif ini tidak berlaku lagi pada jumlah yang suku-sukunya takberhingga banyaknya. Sebagai contoh perhatikan pengelompokan pada deret takberhingga berikut.

1 1 + 1 1 + 1 1 + . . . + (1)n+1 + . . .Pengelompokan pertama,

(1 1) + (1 1) + (1 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0Pengelompokan kedua,

1 (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) . . . = 1 0 0 0 . . . = 1

Deret semula adalah deret yang divergen karena limn na

0. Setelah dikelompokan dengan cara pertama, deret menjadi konvergen dengan jumlah 0, dan setelah dikelompokan dengan cara kedua, deret juga konvergen tetapi dengan jumlah 1.

Untuk deret yang semula konvergen, pertentangan hasil seperti di atas tidak akan terjadi, karena deret yang asalnya konvergen dikelompokan bagaimanapun akan tetap konvergen seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.

DND

19

Teorema II.4 (Pengelompokan)Suku-suku sebuah deret yang konvergen, dapat dikelompokan secara sebarang (asalkan urutan suku-suku tidak berubah), dan deret baru hasil pengelompokan itu akan tetap konvergen dan jumlahnya tetap sama dengan jumlah deret semula.

Bukti :

Andaikan ann

1

adalah deret yang konvergen, dan andaikan {Sn} adalah barisan jumlah

parsial deret tersebut. Apabila bmm

1

adalah deret yang diperoleh dari pengelompokan

suku-suku deret ann

1

dan andaikan {Tm} barisan jumlah-jumlah parsialnya, maka setiap

Tm adalah salah satu dari Sn. Sebagai contoh,

T4 = a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6) + (a7 + a8)

dalam hal ini T4 = S8. Jadi {Tm} adalah bagian barisan {Sn}. Sehingga apabila Sn S, maka Tm S juga.

II.D. SOAL LATIHANDalam soal 1 20, periksalah apakah deret-deret tersebut konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan jumlahnya.

1. 151

k

k2.

13

1

1

k

k

3. 2 313

16

1

k k

k

4. 3 214

15

1

k k

k

5. k

kk

3

16.

431

k

k

7. 1 1

11 k kk

8. 2

1 kk

9. k

kk

!101

10. 2

12

3 k kk

11. 35

1

11

k

kk

12. 4

34 kk

13. e

k

k

3

1

14. 112

1

kk

15. 2

3 11

kk

16. 1

121 kk

DND

20

17. k k

k kk

121

18. 2 1

12 21

kk kk

( )

19. 2 3

61

k k

kk

20. k

k k kk ( )( )( )

1 2 31

Dalam soal 21 26, tulislah bilangan desimal menjadi bentuk deret takberhingga. Kemudian tentukanlah jumlah deret tersebut.

21. 0,22222. . . 22. 0,125125125. . .

23. 0,21212121. . . 24. 0,013013013. . .

25. Buktikan bahwa deret 1 . 7

17 . 11

111 . 15

115 . 19

. . . ==13

14 1 4 3

( )( )k kk konvergen dan

tentukanlah jumlahnya.

26. Carilah jumlah deret 231

k

k

27. Buktikan bahwa deret 32

32

32

32

32

2 3 4

1

. . . k

k divergen.

28. Buktikan bahwa 1 . 3

12 . 3

13 . 4

14 . 5

. . . 1

= 1

11 k kk ( )

= 1

29. Buktikan bahwa deret 1

2 1 2 1121 ( )( )k kk

30. Hitunglah r r k

k( )1

0

, 0 r 2

31. Buktikan bahwa lnk

kk

11 divergen

32. Buktikan bahwa ln ln11

221

kk

33. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 meter. Setiap kali bola tersebut mengenai lantai, bola tersebut dipantulkan kembali setinggi 2

3 dari tinggi sebelumnya. Tentukan jarak seluruhnya yang ditempuh bola tersebut.

34. Tiga orang yaitu si A, si B dan si C membagi sebuah apel seperti berikut. Pertama apel tersebut dibagi menjadi empat bagian, dan tiap-tiap orang memperoleh seperempat bagian. Seperempat bagian yang tersisa kemudian dibagi empat lagi dan setiap orang

DND

21

mendapat seperempat bagian dan seteresnya. Berapa bagian apelkah yang diperoleh setiap orang.

DND

22