DENGAN ALJABAR -...

24
PEN YEDERHANAA N DENGAN ALJABAR

Transcript of DENGAN ALJABAR -...

Page 1: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

PEN YEDERHANAA N

DENGAN ALJABAR

Page 2: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

TUJUAN

I. Gunakanlah teorema konsensus untuk menghapuskan term pada kalimatswitching dan menambahkan term ke kalimat tersebut.

2. Sederhanakanlahkalimat switchingdengan menggunakanhukum dan teoremaaljabar Boolean.

3. Dengan sebuah persamaan, buktikan secara aljabar bahwa persamaan tersebutvalid dan tunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak valid.

PETUNJUKBELAJAR

"I. Pelajarilah Bagian 4.1, Teorema Konsensus. Teorema konsensusomerupakanmetode penting untuk menyederhanakan fungsi switching.

(a) Dalam masing-masing kalimat berikut ini, carilah term konsensus danhilangkan term tersebut :

abc'd + a'be + be'de

(a'+b + c)(a + d)(b + c + d)

ab'c + a'bd + bcd' + a'bc

(b) Hilangkan dua term dari kalimat berikut ini dengan mengplikasikanteorema konsensus:

A'B'C + BC'D' + A'CD + AB'D' + BCD + AC'D'

(Petunjuk : Pertama kali, bandingkanterm pertama dengan masing-msaingterm yang ada untuk melihatjika ada konsensus, maka bandingkan termkedua dengan masing-masing term yang lainnya, dst.)

96

Page 3: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

(c) Pelajarilah contoh yang diberikan dalam Persamaan (4-3) dan (4-4) denganhati-hati. Sekarang marilah kita mulai dengan bentuk kalimat empat-tenn(Persamaan 4-3):

A'C'D + A'BD + ABC + ACD'

Dapatkah kalimat tersebut dikurangi menjadi tiga term denganmengaplikasikan teorema konsensus tersebut ? Sebelum kita dapatmengurangi kalimat di atas, kita harus menambahkan tenn yang lain.Tenn manakah yang dapat ditambahkandengan mengaplikasikanteoremakonsensus ?

Tambahkan tenn ini dan kemudian kurangilah kalimat tersebut menjaditiga tenn. Setelahpenguranganinidapatkahtenn yangditambahkantersebutdihilangkan ? Bila tidak, mengapa ?

(d) Hilangkanlah dua tenn dari kalimat berikut ini dengan mengaplikasikanteorema konsensus dual :

(a' + c' + d)(a' + b + c)(a + b + d)(a' + b + d)(b + c' + d)

Gunakanlah tanda kurung untuk menunjukkan bagaimana anda membuattenn konsensus. (Petunjuk : Pertama kali, carilah konsensus dari dua tennpertama dan hilangkanlah.)

(e) Derivasikan Teorema (3-12) dengan menggunakan teorema konsensus.

(f) Kerjakan Latihan Program 4.1. Kemudian kerjakanlah Soal 4.4. dan 4.11.

2. Pelajarilah Bagian 4.2 Penyederhanaan secara Aljabar dari Kalimat Switch-mg.

(a) Teorema manakah yang digunakan untuk :

Mengkombinasikan tenn ?

Menghapus tenn ?

97

Page 4: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Menghapus literal ?

Menambahkan term yang berlebihan ?

Memfaktorkan atau mengkalikan ?

(b) Perhatikan bahwa dalam contoh Persamaan (4-8), term yang berlebihanWZ' ditambahkan dan kemudian dihapuskan setelah digunakan untukmenghapuskanterm lain.Mengapabisa menghapuskanWZ' dalam contohini ?

Jika sebuah term telah ditambahkan dengan teOl-emakonsensus, ia mungkintidak selalu memungkinkan untuk menghapus term selanjutnya denganteorema konsensus. Mengapa ?

(c) Anda memerlukan latihan yang memadai untuk mengembangkanketrampilandalam menyederhanakankalimat switching.Kerjakan sampaiLatihan Terprogram 4.2 dan 4.3.

(d) Kerjakanlah Soal 4.7, 4.12, dan 4.14. p73

(e) Ketika menyederhanakan suatu kalimat dengan menggunakan aljabarBoolean, dua pertanyaan yang seringkali diajukan adalah :

(I) Oi mana saya harus memulai ?

(2) Bagaimana saya tahu bahwa saya telah selesai ?

Oalam menjawabpertanyaanno (I), biasanyayangterbaikadalah mencobateknik sederhana seperti mengkombinasikanterm atau menghapus termdan literal sebelum mencoba hal yang lebih rumit seperti menggunakanteorema konsensus atau menambahkan term yang berlebih. Pertanyaanno. (2) biasanya sulit untuk dijawab karena memungkinkan untukmenyederhanakanbeberapa kalimat tanpa terlebih dahulu menambahkanterm berlebih. Biasanya kita akan menyebutkan berapa term untukmendapatkanpemecahan minimumyang telah diminimalkan.Oalam Unit6 dan 7, andaakan mempelajariteknikyang sistematikyangakan menjaminpencarian solusi minimum.

98

Page 5: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

3. Pelajarilah Bagian 4.3, Pembuktian Validitas suatu Persamaan

(a) Ketika berusaha membuktikanbahwa suatu persamaan itu valid, bolehkahuntuk menambahkan beberapa kalimat pada kedua sisi ?

(b) Kerjakan Soal 4.18.

(c) Tunjukkan bahwa (4-14) dan (4-15) adalah benar denganmempertimbangkanx= 0 dan x=1.

(d) Dengan a'(b + d') = a'(b + e'), "bukti" berikut ini menunjukkan bahwad =e;

a'(b + d') =a'(b + e')

a + b'd = a + b'e

b'd = b'e

d=e

Sebutkan dua hal yang salah dengan "pembuktian" tersebut. Berilahserangkaian nilai-nilai untuk a, b, c, dan e dan tunjukkan bahwa hasilnyatidak benar.

4. Bacalah kembali tujuan dari Unit ini. Ketika anda rilerasapuas bahwa andatelah memenuhi tujuan tersebut, tempuhlah uji persiapan.

PENYEDERHANAANSECARAALJABAR

4.1 TEOREMAKONSENSU$

Teorema konsensus sangat bermanfaat dalam menyederhanakan kalimatBoolean. Dengan kalimat berbentuk XY + X'Z + YZ bentuk YZ adalah redundandan dapat dihilangkan untuk membentuk kalimat yang ekuivalen XY + X'Z.

Term yang dihilangkan ditunjuk sebagai "term konsensus." Dengan sepasangteorema di mana sebuah variabel muncul dalam satu term dan komplemenvariabel tersebut muncul dalam term lain, maka term konsensus dibentuk denganmengkalikan dua term asli bersama, meninggalkan variabel yang dipilih dankomplemennya. Misalnya, konsensus ab dan a'c adalah be; konsensus abd danb'de adalah (ad)(de')= ade'. Konsensus term ab'd dan a'bd' adalah O.

99

Page 6: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Teorema konsensus dapat dinyatakan sebagai berikut :

XY + X'Z + YZ =XY + X'Z (4-1)

Bukti :

XY + X'Z + YZ =XY + X'Z + (X + X')YZ

=(XY + XYZ) + ( X'Z + X'YZ)

=XY(l + Z) + x'Z(l + Y) = XY + X'Z

Teorema konsensus dapat digunakan untuk menghilangkan term redundandari kalimat Boolean. Misalnya, dalam kalimat berikut ini, b'c adalah konsensusdari a'b' dan ab, sedangkan ab adalah konsensus ac dan be', sehingga keduaterm konsensus dapat dihilangkan :

~ J,a'b + ac + oc' + b'c + ab = a'b' + ac + be'~ l'

Tanda kurung di atas menunjukkan bagaimana term konsensus dibentuk.

Bentuk dual dari teorema konsensus adalah

(X + Y)(X' + Z)(Y + Z)= (X + Y)(X' + Z) (4-2)

Perhatikan lagi bahwa kunci untuk mengenali term konsensus pertama kaliharus mencari sepasang term, salah satunya berisi satu variabel dan yang lainnyaberisi komplemen. Dalam kasus ini, konsensus dibentuk dengan menambahkanpasangan term ini bersama meninggalkan variabel terpilih dan komplemennya.Dalam kalimat berikut, (a + b + d') merupakan bentuk konsensus dan dapatdihilangkan dengan menggunakan teorema konsensus dua :

I~ I(a + b + c')(a + b + d')(b + c + d')=(a + b + c')(b + c + d')

Hasil akhir yang diperoleh dengan aplit<.asiteorema konsensus mungkintergantung padwsusunan di mana term tersebut dihapuskan.

100

Page 7: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

- ..- --- .-------

CONTOH :

A'C'D + A'BD + BCD + ABC + ACD' (4-3)

Pertama kali lita menghapuskan BCD seperti terlihat di atas. (MengapaBCD tersebut dapat dihapus ?)

Sekarang BCD telah dihapus, sehingga tidak ada lagi, dan BCD tersebuttidak dapat digunakan untuk menghapus term lain. Periksalah semua pasanganterm yang menunjukkan bahwa tidak ada term tambahan yang dapat dihapusdengan teorema konsensus.

Sekarang kita mulai lagi :

A'C'D + A'BD + BCD + ABC + ACD' (4-4)

Sekarang kita tidak menghilangkan BCD, namun kita menghilangkan duaterm lain dengan teorem akonsensus. Setelah melakukan hal ini, observasilahbahwa BCD tidak dapat dihilangkanlagi. Perhatikanbahwa kalimat yang dikurangimenjadi empat termjika BCD dihilangkanpertama kali, namun ia dapat dikurangimenjadi tiga term jika BCD tidak dihilangkan.

Kadang-kadang tidak memungkinkan secara langsung mengurangi suatukalimat menjadi jumlah term minimum dengan secara sederhana menghapuskanterm begitu saja. Mungkin pertama kali perlu menambahkan sebuah term denganmenggunakan teorema konsensus dan kemudian menggunakan term tambahanuntuk menghapus term l;ain. Misalnya, perhatikan kalimat berikut :

F =ABCD + B'CDE + A'B' + BCE'

Jika kita membandingkan setiap pasang term untuk melihat apakah sebuahterm konsensus dapat dibuat, kita mencari term konsensus ACDE saja (dariABCD dan B'CDE) dan A'CE'(dari A'B' dan BCE'). Karena tidak ada termkonsensus semacam ini yang muncul dalam kalimat asli, kita tidak dapat secaralangsung term dengan menggunakan teorema konsensus. Namun demikian, jikapertama kali kita menambahkanterm konsensus ACDE ke F , maka kita dapatkan:

~ II IF =ABCD+ B'CDE + A'B' + BCE' + ACDE

T I I

101

Page 8: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Kemudian kita dapat menghapuskan ABCD dan B'CDE denganmenggunakan teorema konsensus, dan F berkurang menjadi :

F =A'B' + BCE' + ACDE

Term ACDE tidak menjadi redundan lagi dan tidak dapat dihapus dari kalimatterakhir. .

4.2 PENYEDERHANAANSECARAALJABARDARIKALiMATSWITCH-ING

Pada bagian ini kita akan menerapkan teorema aljabar Boolean untukmenyederhanakkan kalimat switching. Penyederhanaan ini penting karenapenyederhanaan kalimat mengurangi biaya pernyataan kalimat denganmenggunakan gerbang. Selanjutnya kita akan mempelajari metode grafik untukmenyederhanakan fungsi s\'.itching, namun kita akan mempelajari metode aljabarterlebih dahulu. Lagi pula untuk mengkalikan dan memfaktorkan, tiga cara pokokmenyederhanakan fungsi switching adalah mengkombinasikan term, danmenghapus literal.

I. Mengkombinasukan term. Gunakan teorema XY + XY'=X untukmengkombinasikan dua term.

CONTOH:

abe'd' + abed' =abd' [X= abd', Y=e] (4-5)

Ketika mengkombinasikan term dengan menggunakan teorem seperti di atas,dua term yang hams dikombinasikan hams berisi variabel yang tepat sarna,dan tepat salah satu variabel hams muncul dikomplementasikan dalam satuterm dan bukan dalam term lain. Karena X + X =X, maka term yang adadapat diduplikasikan dan dikombinasikan dengan dua term yang lain ataulebih.

CONTOH:

ab'e + abe + a'be =ab'e + abe + a'be = ae + be

102

Page 9: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Teorema tersebut masih dapat digunakan, tentu saja bila X dan Y digantidengan kalimatyang lebih rumit. .

CONTOH:

(a + bc)(d + e') + a'(b'+ c')(d + e') =d + e'

[X = d + e', Y= a + bc, Y'= a'(b'+c')]

2. Menghapuskan term. Gunakan teorema X + XY =X untuk mengeliminasiterm redundan bila memungkinkan; kemudian eobalah mengaplikasikanteorema konsensus (XY =X'Z + YZ =XY + X'Z) untuk menghapuskansetiap term konsensus.

CONTOH :

a'b + a'be =a'b [X = a'b]

a'be'+ bed + a'bd =.a'bc'+bcd [X=c, Y=bd, Z=a'b] (4-6)

3. Menghapus literal. Gunakan teorema X + X'Y =X + Y untuk mengurangiliteral redundan.Pemfaktoran sederhanamungkindiperlukan sebelum teorematersebut diaplikasikan.

CONTOH :

A'B + A'B'C'D'+ ABCD' =A'(B + B'C'D')+ ABCD'

=A'(B + C'D') + ABCD'

=B(A'+ ACD') + A'C'D'

=B(A'+ CD') + A'C'D'

=A'B + BCD' + A'e'D' (4-7)

Kalimat yang diperoleh setelah mengaplikasikan 1,2, dan 3 di atas t!dakmemerlukan jumlah term minimum atau jumlah literal minimum. Jika tidak,dan tidak ada penyederhanaan lebih lanjut yang dapat dibuat denganmenggunakan I ,2, dan 3, membebaskan pengantar term redundan mungkindiperlukan sebelum penyederhanaan lebih lanjut dapat dibuat.

103

Page 10: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

4. Menambahkan term redundan. Term redundan dapat diperkenalkan denganberbagai cara seperti menambahkan xx', mengkalikan dengan (x + x'),menambahkan yz ke xy + x'z, atau menambahkan xy ke x. Bilamemungkinkan, term yang ditambahkan tersebut. harus dipilih sehinggamereka akan mengkombinasikan atau menghapus term lain.

CONTOH :

xw + XY + X'Z' + WY'Z' (tambahkan WZ' dengan teorema konsensus)

=WX + XY + X'Z' + WY'Z' + WZ' (hilangkan WY'Z')

=WX + XY + X'Z' + WZ' (hilangkan WZ')

=WX + XY + X'Z' (4-8)

Contoh komprehensif berikut ini menggambarkan penggunaan keempatmetode :

A'B'C'D'+ A'BC'D'+ A'BD + ABC'!} + ABCD + ACD'+ B'CD'" v /

<D A'C'D'

=A'C'D'-+- BD(A'+ AC) + ACD'+ B'CD'@

=A'C'D'+ A'BD + BCD + ACD' + B'CD'~

+ ABC @) konsensusACD'~

=A'C'D' + -A'BD +"B€I)..+ ~ + B'CD' + ABC" v

konsensus BCD

/

= A'O'D' + A'BD + B'CD'+ ABC (4-9)

Teorema apa yang digunakan dalam langkah 1,2.3. dan 4 ?

104

Page 11: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Jika kalirnat yang disederhanakan harus ditinggalkan dalarn bentuk hasil-penjumlahan daripada dalam bentuk jumlah-hasil, maka dual dari teorema yangdigunakan di atas harus diaplikasikan.

CONTOH :

(A' + B' + C')(A'+ B' + C)(B' + C)(A + C)(7\ -1>B I C)~"'V .

<D (A'+ B') @

= (A'+ B')~(A + C)=(A'+B')(A + C)<ID

(4-10)

Teorema apa yang digunakan dalarn langkah 1,2, dan 3 ?

Secara umurn, tidak ada cara yang mudah untuk menentukan kapan kalin:tatBoolean mempunyaijurnlah term minimum atau jumlah literal minimum. Metodeyang sistematik untuk rnenemukan kalimat dengan jumlah-hasil minimum danhasil-jumlah minimum akan dibahas dalarn Unit 6 dan 7.

4.3 MEMBUKTlKANVALID/TASSUATUPERSAMAAN

Seringkali kita perlu rnenentukan apakah sebuah persamaan valid untuksemua kombinasi nilai variabel. Beberapa metode dapat digunakan untukmenentukan apakah sebuah persamaan itu valid :

I. Susunlah tabel kebenaran dan evaluasilah kedua sisi persamaan untuk semuakombinasi nilai variabel. (Metode ini agak membosankan jika jumlahvariabelnya besar, dan tentunya tidak menyenangkan)

2. Hitunglah satu sisi persamaan dengan mengaplikasikan berbagai teoremasampai identik dengan sisi yang lain.

3. Kurangilah kedua sisi persamaan secara independen pada kalimat yang sarna.

4. Dibolehkan untuk melakukan operasi yang sarna pada kedua sisi persamaanyang asalkan operasi tersebut dapat dibalik. Misalnya, bisa sajamengkomplementasikan kedua sisi persamaan, namun tidak bolehmengkalikan kedua sisi persamaan dengan kalimat yang sarna. (perkalian

105

Page 12: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

tidak dapat dibalik karena bagian tidak ditentukan untuk aljabar Boolean.)Demikian pula, tidak diperbolehkan untuk menambahkan term yang sarnapada kedua sisi persamaan karena pengurangan tidak ditentukan pada aljabarBoolean.

Untuk membuktikanbahwasebuah persamaantidak valid, sudah cukupdengan menunjukkan satu kombinasi nilai variabel di mana dua sisi persamaanmempunyai nilai yang berbeda. Ketika menggunakan metode 2 atau 3 di atasuntuk membuktikan bahwa sebuah persamaan itu valis, strategi yang bergunaadalah :

I. Pertama kurangilah kedua sisi dengan jumlah-hasil (atau hasil-jumlah).

2. Bandingkan kedua sisi persamaan untuk melihat bagaimana perbedaan. mereka.

3. Kemudian cobalah untuk menambahkan term pada satu sisi persamaan yangada pada sisi lain.

4. Akhimya, cobalah untuk mengurangi term dari satu sisi yang tidak ada padasisi lain.

Metode apapun yang digunakan, seringkali membandingkan kedua sisipersamaan dan membiarkan perbedaan diantara keduanya akan memberikanpetunjuk langkah apa yang hams ditempuh selanjutnya.

CONTOH 1

Tunjukkan bahwa, A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'D =BC'D'+ AD + A'BC

Dimulai dengan sisi sebelah kiri, pertama kali. kita menambahkan termkon~ensus, kemudian mengkombinasikan term dan akhimya menghapus termdengan teorema konsensus.

A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'D

= A'BD + BCD + ABC' + AB'D + BC'D' +

(tambahkankonsensusdari A'BD' dan ABC'~

(tambahkankonsensusdari A'BD' dan BCD)

(tambahkan konsensus dari BCD dan A:BC'

A'BC +

J

ABD

106

Page 13: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

=AD + A'BD'+ BCD + ABC'+ BC'D'+ A'BC = BC'D'+ AD + A'BC (4-11)

Lb ~menghilangbn ~sensus dari DC'D' clanAD)menghilangkankonsensusAD dan A'Bq

menghilangkankonsensusdari BC'D' dan A'BC)

CONTOH 2

Tunjukkan bahwa persamaan berikut ini valid :

A'BC'D + (A'+ BC)(a + C'D') + BC'D + A'BC'

=ABCD + A'C'D'+ ABD + ABCD'+ BC'D

Pertama kali kita akan mengurangi sisi sebelah kiri :

A'BC'D + (A'+ BC)(A + C'D')+BC'D+ A'BC'

(menghilangkan A'BC'D dengan menggunakan (2-13»

=(A'+ BC)(a + C'D')( BC'D + A'BC'

(mengkalikan dengan menggunakan (3-12»

=ABC + A'C'D'+ BC'D + A'BC'

(menghilangkan A'BC' dengan konsensus)

=ABC + A'C'D'+ BC'D

Sekarang kita akan mengurangi sisi sebelah kanan :

=ABCD + A'C'D'+ ABD + ABCD'+ BC'D

(Kombinasikan ABCD dan ABCD')

= ABC + A'C'D'+ ABD + BC'D

(hilangkan ABD dengan konsensus)

=ABC + A'C'D'+ BC'D

Karena kedua sisi persam~ asal secara bebas dikurangi dengan kalimatyang sarna, rnaka persarnaan tersebut valid.

107

Page 14: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

-

Seperti yang telah kita teliti sebelumnya, beberapa teorema aljabar Booleantidak berlaku untuk aljabar biasa. Demikian pula beberapa teorema aljabar biasatidak berlaku untuk aljabar Boolean. Misalnya, perhatikan hukum penghapusanuntuk aljabarbiasa : .

Jika x + y =x + z, maka y = Z (4-12)

Hukum penghapusan tidak berlaku untuk aljabar Boolean. Kita akanmenunjukkan hal ini dengan menyusun contoh pembanding di mana

x + y =x + z namun y y z. Buatlahx = I, Y=0, z = 1. Kemudian

I + 0 = I + I tapi 0 * I

Dalam aljabar biasa, hukum penghapusan untuk perkalian adalah

jika xy =xz, makay=z (4-13)

Hukum ini valid asalkan x * o.

Dalam aljabar Boolean, hukum penghapusan untuk perkalian juga tidak valid. ketika x =O. (Buatlah x =0, y =0, z = I; maka 0.0=0.1, tapi 0 * I). Karena

x = 0 sampai pada setengah dalam switching aljabar, maka hukum penghapusanuntuk perkalian tidak dapat digunakan.

Meskipun Pernyataan (4-12) dan (4-13) biasanya salah untuk aljabar Boolean,kebalikannya

Jika y =z, maka x + y = x + z

Jika y = z, maka xy = xz

(4-14)

(4-15)

adalah benar. Jadi, kita lihat bahwa meskipun penambahan term yang sarna padakedua sisi persamaan Boolean membawa pada persamaan yang valid, operasikebalikan penghapusan atau pengurangan term daTi kedua sisi biasanya tidakmembawa pada persamaan yang valid. Demikian pula, perkalian kedua sisipersamaan Boolean dengan term yang sarna membawa pada persamaan yangvalid, namun tidak secara berkebalikan. Ketika kita berusaha untuk membuktikanbahwa suat\l persamaan itu valid, maka tidak diperbolehkan untuk menambahkankalimat yang sarnapada kedua sisi persamaan atau mengkalikankedua sisi dengankalimat yang sarna, karena operasi ini tidak dapat dibolak-balik.

108

Page 15: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

LATiHANTERPROGRAM4.1

Tutuplah jawaban pada latihan ini dengan selembar kertas dan geserlah kebawah ketika anda memeriksa jawaban anda.

Kalimat berikut ini hams disederhanakan dengan menggunakan teoremakonsensus :

AC'+ AB'D + A'B'C + A'CD'+ B'C'D'

Pertama kali, carilah semua term konsensus dengan memeriksa semuapasangan term.

Jawaban : term konsensus ditunjukkan sebagai berikut :

r--A'B'D'~AC'+ AB'D + A'B'C + A'CD'+ B'C'D'

\~ ~IAB'C'

Dapatkah kalimat asli disederhanakan dengan aplikasi teorema konsensuslangsung ?

Jawab: Tidak, karena tidak satupun term konsensus muncul dalam kalimat asli.

Sekarang tambahkan term konsensus B'CD ke kalimat asli. bantingkan termyang ditambahkan dengan masing-masing term asli untuk melihat apakah adakonsensus. Hilangkan sebanyak mungkin term asli.

109

Page 16: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Jawab :

/

(AB'D)A. ,

AC'+ AB'D + A'B'C + A'CD'+ B'C'D'+ B'CDv

(A'B'C')

Sekarang kita telah menghapus dua term, dapatkah B'CD juga dihilangkan?Bagaimanakan kalimat akhir setelah dikurangi ?

Jawab: Tidak, karena term yang digunakan untuk membentuk B'CD telahhilang. Jawaban akhir adalah :

AC' + A'CD'+ B'C'D'+ B'CD

LATiHANTERPROGRAM4.2

. Tutuplah jawaban latihan ini dengan selembar kertas dan geserlah ke bawahketika anda mengeeek jawaban anda.

Soal : Kalimat berikut ini harus disederhanakan

ab'cd'e + acd + acfgh'+ abcd'e + acde' + e'h'

Nyatakan sebuah teorema yang dapat digunakan untuk mengkombinasikansepasang term dan aplikasikanlah u~tuk mengkombinasikan dua term dalamkalimat di atas.

Jawab: Aplikasikan XY + XY' = X pada term abcd'e dan abed'e, yangmengurangi kalimat menjadi

acd'e + acd + acfgh'+ acde' + e'h'

110

Page 17: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Sekarang sebutkan sebuah teorema (selain teorema konsensus) yang dapatdigunakan untuk menghilangkan term dan aplikasikanlah untuk menghilangkansebuah term pada kaliamt di atas.

Jawab : Aplikasikan X + Xy =X untuk menghapus acde'. (Term mana yangberkoresponden dengan X 1) Jawabannya adalah :

aed'e + aed + aefgh'+ e'h'

Sekarang sebutkan sebuah teorema yang dapat digunakan untukmenghapuskan literal, dan aplikasikanlah untuk menghapus sebuah literal darisalah satu term dalam kalimat di atas. (Petunjuk : Mungkin perlu memfaktorkanbeberapa variabel biasa dari sepasang term sebelum teorema tersebut dapatdiaplikasikan.)

Jawab : Gunakan X + X'y =X + Y untuk menghapus sebuah literal dari acd'e.Untuk melakukanhal ini, pertamakali faktorkanlahac dari dua term pertama:acd'e + acd =ac(d + d'e). Setelah menghapus d', kalimat hasilnya adalah

ace + aed + aefgh'+ e'h'

( I) Dapatkah setiap term dihapuskan dari kalimat ini dengan aplikasi teoremakonsensus secara langsung 1

(2) Jika tidak, tambahkan term redundan dengan menggunakan teoremakonsensus, dan gunakan redundan ini untuk menghapus salah satu dari termlain.

(3) Akhirnya. kurangilah kaliamt anda menjadi tiga term.

Jawab :

(a) Tidak

(b) Tambahkan konsensus ace dan e'h'

ace + aed + aef'gh'+ e'h'+ aeh'

111

Page 18: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

---

Sekarang hilangkanlah acf gh' (dengan X + XY =X)

ace + acd + e'h'+ ach'

(c) Sekarang hilangkan ach' dengan teorema konsensus. Jawaban akhimyaadalah : .

ace + acd + e'h'

LATiHANTERPROGRAM4.3

Tetap tutuplah jawaban pada latihan ini dengan selembar kertas dan geserlahke bawahketika anda mengecekjawaban anda. .

Z = (A + C' + P' + G)(a + C'+ P + G)(A + B + C' + D' +G)

(A + C + E =G)(A'+ B + G)(B + C'+ P + G)

Kalimat di atas hams disederhanakan menjadi bentuk :

(X + X + X)(X + X + X)(X + X + X)

di mana setiap X mewakili sebuah literal.

Sebutkan sebuah teorema yang dapat digunakan untuk mengkombinasikandua term Z pertama dan aplikasikanlah. (Petunjuk : Dua jumlah term hanyaberbeda satu variabel.)

Jawab: (X + Y)(X + Y') =X

Z= (A+C' +GXA+B +C'+D'+GXA+C +E+GXA'+B +G) (B+C'+P+G)

Sekarang sebutkan sebuah teorema (selain teorema konsensus) yang dapatdigunakan untuk menghapuskan jumlah term dan aplikasikanlah ke kalimat diatas.

112

Page 19: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

Jawab: X(X + Y) =xZ = (A+ C' + G)(A + C + E + G)(A' + B + G)(B + C'+ F + G)

Selanjutnya, hilangkan satu literal dari term kedua, biarkan kalimat tersebuttetap tidak berubah. (petunjuk : Hal ini tidak dapat dilakukan dengan aplikasisatu teorema secara langsung; secara per bagian perlu dikalikan dua jumlah termpertama sebelum menghapus literal tersebut.)

Jawab :

(A + C'+ G)(A + C+ E + G) =A + G + C'(C + E)= A + G + C'E

Oleh karena itu,

Z = (A + C'+ G)(A + E + G)(A'+ B + G)(B + C'+ F + G)

(a) Dapatkah setiap term dihapuskan dari kalimat ini dengan aplikasi teoremakonsensus secara langsung ? .

(b) Jika tidak, tambahkan jumlah term redundan dengan menggunakan teoremakonsensus, dan gunakan term redundan ini untuk menghapus salah satu termlain.

(c) Akhimya, kurangilah kalimat anda menjadihasil term jumlah tiga.

Jawab :

(a) Tidak

(b) Tambahkan B + C'+ G (konsensus dari A + C'+ G dan A' + B + G)Gunakan X(X + Y) = X, di mana X = B + C' + G, untuk menghilangkanB + C'+ F + G.

(c) Sekarang hilangkanlah B + C'+ G dengan konsensus. Jawaban akhimyaadalah :

Z =(A + C'+ G)(A + E + G)(A' + B + G)

113

Page 20: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

--- - ...~ - -----------.

SOAL

4.4 Sederhanakanlah masing-masing kalimat berikut ini dengan menggunakanteorema konsensus saja (atau dual-nya) :

(a) BC'D'+ ABC' + AC'D + AB'D + A'BD' (kurangilah menjadi tigaterm).

(b) W'Y'+ WYZ + XY'Z + WX'Y (kumngilah menjadi tiga term)

(c) (B + C + D)(A + B + C)(A' + C + D)(B' + C'+D')

4.5 Ulangilah Soal 4.4 untuk :

(a) W'XY + WXY + WY'Z + WY'Z'

(B) A'BC' + BC'D' + A'CD + B'CD = A'BD

(c) (A + B + C)(B + C'+ D)(A + B + D)(A' + B' + D')

4.6 Sederhanakanlah kalimat berikut ini dengan menggunakan teoremakonsensus saja atau dual-nya :

(a) WX'Y'+ W'YZ'+ W'XZ'+ WY'Z'

(b) A'B'C + ABD + A'CDE + BCDE + A'BDE

(c) (A + B + C )(A + C'+ D')(B'+C'+ D')(C + D)

(d) (W + X')(Y + Z')(W + Y)(X + Y)(W + Z)(X + Z)

4.7 Sederhanakanlah masing-masing kalimat berikut ini :

(a) xy + x'yz'+ yz

(b) (xy'+z)(x + y')z

(c) xy'+ z + (x'+y)z'

(d) a'd(b'+ c) + a'd'(b + c') ... (b'+c)(b + c')

(e) w'x'+ x'y'+ yz + w'z'

(t) A'BCD + A'BC'D + B'EF + CDE'G + A'DEF + A'B'EF (kurangilahmenjadi jumJah tiga term)

(g) .(a'+ d'+ b'c)(b + d + ac')]'+b'c'd~+ a'c'd (kurangilah menjadi tigaterm)

114

Page 21: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

-- - - - - --. - -- - -- --

4.8 Sederhanakanlahmasing-masingkalimatberikutini:

(a) a'(b'+ c) + a + be'

(b) ab + a'be'+ be

(c) z(x'+ y)(x'y + z)

(d) w'x'(y'+ z) + wx'(y + z) + (y'+ z)(y + z')

(e) ab + a'c'+ b'd'+ c'd'(kurangilah menjadi jumlah tiga term)

(f) w'x'y'+ w'xz'+ [(x+ y + w'z)(x'+z'+wy'»' (kurangilahmenjadijumlahtiga term)

(g) ABC' + ABC'D' + ABD'E + A'EFG + CD'EG + CD'EG' (kurangilahmenjadi tiga term)

4.9 Sederhanakanlah masing-masing kalimat berikut ini :

(a) F =AB + AC + BC + B'C'

(b) AB + ABC + BCD' + AB'D + A'CD'+ A'BCD (kurangilah menjaditiga term)

(c) F= AB'+A'BC +AB'C' + A'BD'+ A'B'D'+BCD (kurangilahmenjaditiga term)

4.10 Sederhanakanlah menjadi jumJah tiga term :

(a) A'C'D'+ AC: + BCD + A'CD'+ A'BC + AB'C'

(b) A'B'C'+ ABD + A'C + A'CD'+ AC'D + AB'C'

4.11 Faktorkanla)t untuk mendapatkan hasil dari empat term dan kemudiankurangilat1 menjadi tiga term dengan mengaplikasikan teoremakonsensus : X'Y'Z' + XYZ

4.12 Faktorkanlah Z =ABC + DE + ACF + AD' + AB'E' dan sederhanakanlah

menjadi bentuk (X + X)(X + X)(X + X + X + X)(di mana masing-masingX mewakili sebuah literal). Sekarang buatlah Z sebagai jumlah hasil mini-mum dalam bentuk :

xx+xx+xx+xx

115

Page 22: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

4.13 Ulangilah Soal 4.12 untuk F =A'B + AC + BC'D'+ BEF + BDF.

4.14 Kurangilah menjadi jumlah hasil minimum:

F =WXY' + (W'Y' == X) + ( Y ~ WZ).

4.15 Sederhanakanlah: F =a'b ~ be ~ ab ~ b'e'.

4.16 Sederhanakanlah : F =ab ~ be ~ a'b' ~ be'.

4.17 Buktikan secara aljabar bahwa persamaan berikut ini valid :

(a) (A'+ B' + D')(A + B + D')(B + C + D)(A + C')(A + C'+ D)

= A'C'D + ACD' + BC'D'

(b) (A'+ B)(A + C + D)(A' + B + C)(B' + C'+ D')(B' + C'+ D)

=ABC'+ A'C'D + A'B'C

4.18 Manakah dari persamaan berikut ini yang selalu valid (berilah bukti seearaaljabar) :

(a) a'b + b'e + e'a =ab'+ be' + ea'

(b) (a + b)(b + e)(e + a) =(a'+ b')(b'+ e')(e'+ a')

(e) abe+ ab'e' + b'ed + be'd + ad =abe + ab'e'+ b'ed + be'd

4.19 Ulangilah soal 4.18 untuk :

(a) xy'+ x'z + yz'= x'y + xz' + y'z

(b) (x + y)(y + z)(x + z) =(x'+ y')(y'+ z')(x'+ z')

(e) abe'+ ab'e + b'e'd + bed =ab'e + abe'+ ad+ bed+ b'e'd

116

Page 23: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema

4.20 Buktikan secara alajab?r :

(a) (A E9 B)( + C) + (A == B)(B'+ C')= A'+ ( B E9 C).

(b) ABC + A'B'C'+ ABD + B'C'D =(B + C')(A + B')(A'+ C + D) (C)XZ +-Y'Z'+ WYZ + WX'Y

=(X + W + Y')(X + Y + Z')(X'+ Z + Y')

4.21 Buktikan secara aljabar :

(a) (X'+ Y')(X == Z) + (X + Y)(X E9Z) =(X E9Y) + Z'

(b) (X' + X + Y')(W + X'+ Y)(W + Y'+ Z)

=X'Y'+ WX + XYZ + W'YZ

(c) ABC + A'C'D'+ A'BD'+ ACD=(A'+C)(A + D')(B + C'+ D)

4.22 Manakah dari pemyataan berikut ini yang selalu benar ? Buktikan jawabananda.

(a) Jika x(y + a') =x(y + b'), kemudiana =b.

(b) Jika a =b kemudian x(y + a') =x(y + b').

4.23 Manakah dari pemyataan berikut ini yang selalu benar ? Buktikan jawabananda.

(a) Jika A + B =C, maka AD'+ BD' =CD.

(b) Jika A'B + AC =A'D, maka B + C =D.

(c) Jika A + B =C, maka A + B + D =C + D.

(d) Jika A + B + C= C + D, maka A + B = D.

117

Page 24: DENGAN ALJABAR - elearning.gunadarma.ac.idelearning.gunadarma.ac.id/docmodul/dasar_rangkaian_logika/bab4... · Sederhanakanlah kalimat switching dengan menggunakan hukum dan teorema