Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Hafiz Khusyairi

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Motivasi

Studi topologi diawali oleh studi terhadap graf danplatonic solid

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Motivasi

Studi topologi diawali oleh studi terhadap graf danplatonic solid

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Motivasi

Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids

Solids Vertices Edges FacesTetrahedron 4 6 4Cube 8 12 6Octahedron 6 12 8Icosahedron 12 30 20Dedocahedron 20 30 12

Pola tersebut adalah V − E + F = 2

Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum danjuga graf planar

Hal ini terjadi karena, secara topologi, semua polihedrondan graf planar adalah ekivalen

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Motivasi

Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids

Solids Vertices Edges FacesTetrahedron 4 6 4Cube 8 12 6Octahedron 6 12 8Icosahedron 12 30 20Dedocahedron 20 30 12

Pola tersebut adalah V − E + F = 2

Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum danjuga graf planar

Hal ini terjadi karena, secara topologi, semua polihedrondan graf planar adalah ekivalen

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Motivasi

Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids

Solids Vertices Edges FacesTetrahedron 4 6 4Cube 8 12 6Octahedron 6 12 8Icosahedron 12 30 20Dedocahedron 20 30 12

Pola tersebut adalah V − E + F = 2

Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum danjuga graf planar

Hal ini terjadi karena, secara topologi, semua polihedrondan graf planar adalah ekivalen

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Motivasi

Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids

Solids Vertices Edges FacesTetrahedron 4 6 4Cube 8 12 6Octahedron 6 12 8Icosahedron 12 30 20Dedocahedron 20 30 12

Pola tersebut adalah V − E + F = 2

Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum danjuga graf planar

Hal ini terjadi karena, secara topologi, semua polihedrondan graf planar adalah ekivalen

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Tentang Ekivalensi

Homotopi, secara kasar, adalah ekivalensi topologi saatsebuah bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain secarakontinu tanpa harus memotong atau menempel

Pada saat ini klasifikasi lengkap hanya ada untuk dimensi 2

Theorem

Jika M merupakan suatu permukaan, maka M pasti salah satudari berikut:Bola (+batas)Bola ditambah beberapa ”pegangan” (+batas)Bola ditambah beberapa crosscaps (+batas)

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Tentang Ekivalensi

Homotopi, secara kasar, adalah ekivalensi topologi saatsebuah bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain secarakontinu tanpa harus memotong atau menempel

Pada saat ini klasifikasi lengkap hanya ada untuk dimensi 2

Theorem

Jika M merupakan suatu permukaan, maka M pasti salah satudari berikut:Bola (+batas)Bola ditambah beberapa ”pegangan” (+batas)Bola ditambah beberapa crosscaps (+batas)

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi?

Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuksama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi

Contoh: Apakah R3 berbeda dengan S3? Apakah R3

berbeda dengan R4?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi?

Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuksama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi

Contoh: Apakah R3 berbeda dengan S3? Apakah R3

berbeda dengan R4?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi?

Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuksama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi

Contoh: Apakah R3 berbeda dengan S3? Apakah R3

berbeda dengan R4?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy GroupHomologyCohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy GroupHomologyCohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler Characteristic

Genus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy GroupHomologyCohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti Number

Fundamental Group → Homotopy GroupHomologyCohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy Group

HomologyCohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy GroupHomology

CohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy GroupHomologyCohomology

K-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Salah satu ide dasar di Matematika adalahmencari/mendefiniskan invariant

Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Euler CharacteristicGenus → Betti NumberFundamental Group → Homotopy GroupHomologyCohomologyK-Theory

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Misalkan terdapat bentuk Topologi X ,Y dan fungsikontinu f : X → Y , maka terdapat:

Grup πn(X ) dan πn(Y ) serta homomorfisma grupπn(f ) : πn(X )→ πn(Y )

Grup abel Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(X )→ Hn(Y )

Ring Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(Y )→ Hn(X )

Familiar dengan konsep di atas?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Misalkan terdapat bentuk Topologi X ,Y dan fungsikontinu f : X → Y , maka terdapat:

Grup πn(X ) dan πn(Y ) serta homomorfisma grupπn(f ) : πn(X )→ πn(Y )

Grup abel Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(X )→ Hn(Y )

Ring Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(Y )→ Hn(X )

Familiar dengan konsep di atas?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Misalkan terdapat bentuk Topologi X ,Y dan fungsikontinu f : X → Y , maka terdapat:

Grup πn(X ) dan πn(Y ) serta homomorfisma grupπn(f ) : πn(X )→ πn(Y )

Grup abel Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(X )→ Hn(Y )

Ring Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(Y )→ Hn(X )

Familiar dengan konsep di atas?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Misalkan terdapat bentuk Topologi X ,Y dan fungsikontinu f : X → Y , maka terdapat:

Grup πn(X ) dan πn(Y ) serta homomorfisma grupπn(f ) : πn(X )→ πn(Y )

Grup abel Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(X )→ Hn(Y )

Ring Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(Y )→ Hn(X )

Familiar dengan konsep di atas?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Ide Dasar Algebraic Topology

Misalkan terdapat bentuk Topologi X ,Y dan fungsikontinu f : X → Y , maka terdapat:

Grup πn(X ) dan πn(Y ) serta homomorfisma grupπn(f ) : πn(X )→ πn(Y )

Grup abel Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(X )→ Hn(Y )

Ring Hn(X ) dan Hn(Y ) serta homomorfisma grupHn(f ) : Hn(Y )→ Hn(X )

Familiar dengan konsep di atas?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

Pada geometri diferensial, diperlukan suatu caramendefinisikan integral pada differentiable manifolds

Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx)disebut diffential forms

Contoh pada R3: 0-form, fungsi yang memiliki turunan1-form, f (x , y , z)dx + g(x , y , z)dy2-form, f (x , y , z)dxdy + g(x , y , z)dydz3-form, f (x , y , z)dxdydz

Turunan: d(fdx) = fxdx ∧ dx + fydy ∧ dx + fzdz ∧ dx =−fydxdy − fzdxdz

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

Pada geometri diferensial, diperlukan suatu caramendefinisikan integral pada differentiable manifolds

Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx)disebut diffential forms

Contoh pada R3: 0-form, fungsi yang memiliki turunan1-form, f (x , y , z)dx + g(x , y , z)dy2-form, f (x , y , z)dxdy + g(x , y , z)dydz3-form, f (x , y , z)dxdydz

Turunan: d(fdx) = fxdx ∧ dx + fydy ∧ dx + fzdz ∧ dx =−fydxdy − fzdxdz

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

Pada geometri diferensial, diperlukan suatu caramendefinisikan integral pada differentiable manifolds

Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx)disebut diffential forms

Contoh pada R3: 0-form, fungsi yang memiliki turunan1-form, f (x , y , z)dx + g(x , y , z)dy2-form, f (x , y , z)dxdy + g(x , y , z)dydz3-form, f (x , y , z)dxdydz

Turunan: d(fdx) = fxdx ∧ dx + fydy ∧ dx + fzdz ∧ dx =−fydxdy − fzdxdz

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

Pada geometri diferensial, diperlukan suatu caramendefinisikan integral pada differentiable manifolds

Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx)disebut diffential forms

Contoh pada R3: 0-form, fungsi yang memiliki turunan1-form, f (x , y , z)dx + g(x , y , z)dy2-form, f (x , y , z)dxdy + g(x , y , z)dydz3-form, f (x , y , z)dxdydz

Turunan: d(fdx) = fxdx ∧ dx + fydy ∧ dx + fzdz ∧ dx =−fydxdy − fzdxdz

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

0-form(X )→ 1-form(X )→ 2-form(X )→ 3-form(X )→

Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d2 = 0,akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂Ker d)

Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untukmengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpangdari barisan eksak, kita definisikan Hn = Kerd/Imd

Darimana struktur ring dan kontravarian De Rhamcohomology berasal?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

0-form(X )→ 1-form(X )→ 2-form(X )→ 3-form(X )→

Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d2 = 0,akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂Ker d)

Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untukmengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpangdari barisan eksak, kita definisikan Hn = Kerd/Imd

Darimana struktur ring dan kontravarian De Rhamcohomology berasal?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

0-form(X )→ 1-form(X )→ 2-form(X )→ 3-form(X )→

Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d2 = 0,akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂Ker d)

Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untukmengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpangdari barisan eksak, kita definisikan Hn = Kerd/Imd

Darimana struktur ring dan kontravarian De Rhamcohomology berasal?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

De Rham Cohomology

0-form(X )→ 1-form(X )→ 2-form(X )→ 3-form(X )→

Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d2 = 0,akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂Ker d)

Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untukmengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpangdari barisan eksak, kita definisikan Hn = Kerd/Imd

Darimana struktur ring dan kontravarian De Rhamcohomology berasal?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisadipecah menjadi simplex

n-simplex [v0, v1, ..., vn] didefinisikan sebagai himpunankonveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebaslinear)

0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuahsisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalahsebuah tetrahedron, dst

batas dari 1-simplex didefinisikan sebagai 0-simplex, batasdari 2-simplex adalah 2 buah 1-simplex, batas dari3-simplex adalah 3 buah 2-simplex, dst

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisadipecah menjadi simplex

n-simplex [v0, v1, ..., vn] didefinisikan sebagai himpunankonveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebaslinear)

0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuahsisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalahsebuah tetrahedron, dst

batas dari 1-simplex didefinisikan sebagai 0-simplex, batasdari 2-simplex adalah 2 buah 1-simplex, batas dari3-simplex adalah 3 buah 2-simplex, dst

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisadipecah menjadi simplex

n-simplex [v0, v1, ..., vn] didefinisikan sebagai himpunankonveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebaslinear)

0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuahsisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalahsebuah tetrahedron, dst

batas dari 1-simplex didefinisikan sebagai 0-simplex, batasdari 2-simplex adalah 2 buah 1-simplex, batas dari3-simplex adalah 3 buah 2-simplex, dst

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisadipecah menjadi simplex

n-simplex [v0, v1, ..., vn] didefinisikan sebagai himpunankonveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebaslinear)

0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuahsisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalahsebuah tetrahedron, dst

batas dari 1-simplex didefinisikan sebagai 0-simplex, batasdari 2-simplex adalah 2 buah 1-simplex, batas dari3-simplex adalah 3 buah 2-simplex, dst

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai:d [v0, v1, ..., vn] =

∑(−1)i [v0, ..., v̂ i , ..., vn]

Dapat diperiksa bahwa d2 = 0, sehingga rantai di bawahmerupakan chain complex

→ ∆3(X )→ ∆2(X )→ ∆1(X )→ ∆0(X )

Grup Homologi didefinisikan sebagai Hn(X ) = Kerd/Imd

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai:d [v0, v1, ..., vn] =

∑(−1)i [v0, ..., v̂ i , ..., vn]

Dapat diperiksa bahwa d2 = 0, sehingga rantai di bawahmerupakan chain complex

→ ∆3(X )→ ∆2(X )→ ∆1(X )→ ∆0(X )

Grup Homologi didefinisikan sebagai Hn(X ) = Kerd/Imd

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai:d [v0, v1, ..., vn] =

∑(−1)i [v0, ..., v̂ i , ..., vn]

Dapat diperiksa bahwa d2 = 0, sehingga rantai di bawahmerupakan chain complex

→ ∆3(X )→ ∆2(X )→ ∆1(X )→ ∆0(X )

Grup Homologi didefinisikan sebagai Hn(X ) = Kerd/Imd

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai:d [v0, v1, ..., vn] =

∑(−1)i [v0, ..., v̂ i , ..., vn]

Dapat diperiksa bahwa d2 = 0, sehingga rantai di bawahmerupakan chain complex

→ ∆3(X )→ ∆2(X )→ ∆1(X )→ ∆0(X )

Grup Homologi didefinisikan sebagai Hn(X ) = Kerd/Imd

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Contoh, grup homologi dari torus adalah:

Hn(T ) = 0 untuk n > 2, H2(T ) = Z , H1(T ) = Z⊕ Z,H0(T ) = Z

Simplicial Topology memang relatif mudah dihitung, tapiapakah peta dari simplex juga merupakan simplex?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Contoh, grup homologi dari torus adalah:

Hn(T ) = 0 untuk n > 2, H2(T ) = Z , H1(T ) = Z⊕ Z,H0(T ) = Z

Simplicial Topology memang relatif mudah dihitung, tapiapakah peta dari simplex juga merupakan simplex?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Simplicial Homology

Contoh, grup homologi dari torus adalah:

Hn(T ) = 0 untuk n > 2, H2(T ) = Z , H1(T ) = Z⊕ Z,H0(T ) = ZSimplicial Topology memang relatif mudah dihitung, tapiapakah peta dari simplex juga merupakan simplex?

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Aplikasi Aljabar di Algebraic Topology

Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudahdibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology

Singular Homology secara definisi sangat cocok untukpembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homologydan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma

Peralatan utama dalam perhitungan grup homologi adalahbarisan Mayer-Vietoris yang pada dasarnya adalahSnake-lemma

Theorem

Jika A adalah subruang (tutup) topologi dari X maka terdapatbarisan eksak

→ Hn(A)→ Hn(X )→ Hn(X/A)→ Hn−1(A)→ Hn−1(X )→

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Aplikasi Aljabar di Algebraic Topology

Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudahdibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology

Singular Homology secara definisi sangat cocok untukpembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homologydan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma

Peralatan utama dalam perhitungan grup homologi adalahbarisan Mayer-Vietoris yang pada dasarnya adalahSnake-lemma

Theorem

Jika A adalah subruang (tutup) topologi dari X maka terdapatbarisan eksak

→ Hn(A)→ Hn(X )→ Hn(X/A)→ Hn−1(A)→ Hn−1(X )→

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Aplikasi Aljabar di Algebraic Topology

Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudahdibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology

Singular Homology secara definisi sangat cocok untukpembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homologydan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma

Peralatan utama dalam perhitungan grup homologi adalahbarisan Mayer-Vietoris yang pada dasarnya adalahSnake-lemma

Theorem

Jika A adalah subruang (tutup) topologi dari X maka terdapatbarisan eksak

→ Hn(A)→ Hn(X )→ Hn(X/A)→ Hn−1(A)→ Hn−1(X )→

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalahHomology dari dual sebuah chain complex bukan dual dariHomology sebuah chain complex, karena pengambilanhomology tidaklah double dual.

Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homologymengurangi informasi

Ide dari derived category adalah tidak mengambil(co)homology tapi mengamati (co)chain complex

Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadaphomotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalahHomology dari dual sebuah chain complex bukan dual dariHomology sebuah chain complex, karena pengambilanhomology tidaklah double dual.

Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homologymengurangi informasi

Ide dari derived category adalah tidak mengambil(co)homology tapi mengamati (co)chain complex

Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadaphomotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalahHomology dari dual sebuah chain complex bukan dual dariHomology sebuah chain complex, karena pengambilanhomology tidaklah double dual.

Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homologymengurangi informasi

Ide dari derived category adalah tidak mengambil(co)homology tapi mengamati (co)chain complex

Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadaphomotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex?

Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telahdipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jikaterdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yangmenginduksi (∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y )

Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semuapemetaan yang invarian terhadap homotopy

Yaitu, jika terdapat (∆)n(Z ) sehingga terdapat chain map(∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y ) maka ”dianggap”terdapat isomorfisma g : (∆)n(X )→ (∆)n(Y )

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex?

Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telahdipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jikaterdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yangmenginduksi (∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y )

Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semuapemetaan yang invarian terhadap homotopy

Yaitu, jika terdapat (∆)n(Z ) sehingga terdapat chain map(∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y ) maka ”dianggap”terdapat isomorfisma g : (∆)n(X )→ (∆)n(Y )

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex?

Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telahdipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jikaterdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yangmenginduksi (∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y )

Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semuapemetaan yang invarian terhadap homotopy

Yaitu, jika terdapat (∆)n(Z ) sehingga terdapat chain map(∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y ) maka ”dianggap”terdapat isomorfisma g : (∆)n(X )→ (∆)n(Y )

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Dari AlgebraicTopology ke

Aljabar

HafizKhusyairi

Derived Categories

Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex?

Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telahdipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jikaterdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yangmenginduksi (∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y )

Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semuapemetaan yang invarian terhadap homotopy

Yaitu, jika terdapat (∆)n(Z ) sehingga terdapat chain map(∆)n(X )← (∆)n(Z )→ (∆)n(Y ) maka ”dianggap”terdapat isomorfisma g : (∆)n(X )→ (∆)n(Y )

Hafiz Khusyairi Dari Algebraic Topology ke Aljabar