Cuadernillo de Matemática para 1º añoProf. Guadalupe Villa del Prat 1 Nombre: Cuadernillo de...

E.T. “Cristóbal M. Hicken” Matemática – 1º año

Prof. Guadalupe Villa del Prat 1

Nombre:

Cuadernillo de Matemática para 1º año

2016



Contenidos: Aritmética: Números Naturales Números primos y no primos. Factores. Múltiplos de un número. Múltiplos comunes de varios números. Mínimo común múltiplo. Criterios de divisibilidad. Divisores comunes de varios números. Máximo común divisor. Números enteros Propiedad asociativa y conmutativa de la suma y la multiplicación. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Representación de números enteros en la recta numérica. Orden. Adición y sustracción. Multiplicación y división de números enteros. Potenciación y radicación de números enteros. Propiedades de las operaciones. Cálculos combinados. Orden algebraico. Números racionales El orden en Q. Relación entre escritura fraccionaria y escritura decimal. Expresión decimal finita y periódica de un número racional. Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.

Álgebra: Uso de las letras Lenguaje coloquial y algebraico. Fórmulas en N: Producción de fórmulas que permitan calcular el paso n de un proceso que cumple una cierta regularidad Fórmulas y Ecuaciones Equivalencia entre las diferentes escrituras de las fórmulas. Propiedad asociativa y conmutativa de la suma y la multiplicación. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Ecuaciones. Gráficos cartesianos: Lectura, interpretación y producción de gráficos cartesianos. Ubicación de puntos en el plano. Tablas y pares ordenados. Geometría: Perímetro y área. Perímetro. Longitud de la circunferencia. Figuras equivalentes. Áreas de triángulos y cuadriláteros. Área del círculo y de las figuras circulares. Áreas laterales y totales de prismas, cilindros y pirámides. Volumen

Ángulos Clasificación de ángulos según su amplitud. Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y ángulos adyacentes. Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos entre paralelas cortados por una transversal. Sistema de medición de ángulos. Suma y resta de ángulos en el sistema sexagesimal. Triángulos Suma de ángulos interiores de un triángulo. Propiedad del ángulo exterior de un triángulo. Relación entre los ángulos de un triángulo y el lado opuesto. Teorema de Pitágoras. Relación entre los lados y la diagonal de un rectángulo. Rectas y puntos notables del triángulo.



Aritmética



NÚMEROS NATURALES MÚLTIPLOS Y DIVISORES Elementos de la multiplicación:

Elementos de la división entera

División exacta: Una división es exacta cuando su resto es cero. 6 2 6 3 0 3 0 2 Un número es divisor de otro cuando al hacer la división, el resto es cero. 2 3 = 6 2 “es divisor de” 6 2 “divide a” 6 3 “es divisor de” 6 3 “divide a” 6 6 “es múltiplo de” 2 6 “es divisible por” 2 6 “es múltiplo de” 3 6 “es divisible por” 3

Actividad 1: Encontrar al menos dos divisores para cada número. Para ello, Escribirlos como producto entre otros dos: Ejemplo: 36 = 9 x 4 9 es divisor de 36 y 4 es divisor de 36

a) 72 b) 28 c) 150

d) 143 e) 12 f) 120

g) 1024 h) 75 i) 73

j) 459 k) 17 l) 16

Divisores Para encontrar todos los divisores de un número, hay que escribir todas las multiplicaciones posibles. Ejemplo: 70 = 1 . 70 2 . 35 5 . 14 7 . 10 Los divisores de 70 son: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35 y 70



Actividad 2: Encontrar todos los divisores de:

a) 12 b) 18 c) 35 d) 67

Todo número es divisible por 1

Todo número es divisible por sí mismo (salvo el 0)

Números primos y compuestos

Si un número natural tiene sólo dos divisores, ese número es primo.

Si un número natural tiene más de dos divisores, ese número es compuesto.

El 1 no es ni primo ni compuesto. Actividad 3: Encontrá multiplicaciones, con la mayor cantidad posible de factores, que den:

a) 24 b) 44 c) 45

d) 60 e) 36 f) 14

g) 13 h) 130 i) 1

j) 12 k) 17

FACTOREO Factorear un número es escribirlo como producto entre factores primos.

28 2

14 2 7 7 1

28 = 22 7 36 = 22 32

Actividad 4: Descomponer los siguientes números como producto entre factores primos: a) 25 b) 144 c) 225

d) 75 e) 29 f) 245

g) 113 h) 735 i) 84

j) 495 k) 35 l) 27

Propiedad fundamental de la aritmética: Todo número natural puede

escribirse de manera UNICA como producto entre factores primos (salvo por

el órden)

36 2

18 2 9 3 3 3 1



Algunos criterios de divisibilidad Un número es divisible por 2 cuando la última cifra es par Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3, 6 o 9 Un número es divisible por 4 cuando las dos últimas cifras son múltiplo de 4 Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 Un número es divisible por 7 cuando el resultado de separar la última cifra, multiplicarla por dos

y restarla al resto del número, da como resultado un múltiplo de 7 Un número es divisible por 9, cuando la suma de sus cifras es 9 Un número es divisible por 10 cuando termina en 0

Actividad 5: Criba de Eratóstenes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



Actividad 6: Encontrar la mayor cantidad de divisores de: a) 72 = b) 100 =

c) 54 = d) 48 =

e) 135 =

Actividad 7: Indicar V o F

Es divisible por… 2 3 5 7

273

1.540

210

385

474.747

Problema 8: Encontrá todos los divisores de 210

Problema 9: Encontrá todos los divisores de los siguientes números: a) 144 c)64 e) 280 b) 61 d)625 f) 120 Problema 10: Encontrar los divisores comunes para cada par de números: c) 84 y 105 c)80 y 72 e) 40 y 63 d) 36 y 84 d) 180 y 216 f) 256 y 56

Múltiplos y divisores comunes

Ejemplo

72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 60 = 6 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5

El divisor común mayor entre 72 y 60 es 2 x 2 x 3 = 12

Ejemplo

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 60 = 2 x 3 x 2 x 5

El múltiplo común menor entre 72 y 60 es 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360 Problema 11: Para su cumpleaños María compró dos tipos de caramelos: 48 de frutilla y 54 de ananá. Quiere repartirlos en bolsitas de la siguiente manera: Todas las bolsitas deben contener la misma cantidad de caramelos de frutilla.

Para encontrar el DCM (divisor común mayor) entre dos números, hay que multiplicar los factores que aparecen en ambas descomposiciones.

Para encontrar el MCM (múltiplo común menor) entre dos números, hay que multiplicar todos los factores que aparecen en alguna de las dos descomposiciones.



T odas las bolsitas deben contener la misma cantidad de caramelos de ananá. No es necesario que en cada bolsita haya la misma cantidad de caramelos de cada gusto. ¿Cuántas bolsitas necesita y cuántos caramelos de cada gusto podría poner en cada uno? ¿Hay una única respuesta? Problema 12: José tiene en su colección, 56 monedas nacionales y 32 monedas importadas. Las quiere acomodar en cajitas por separado, y que en cada cajita haya la misma cantidad de monedas ¿Cuántas monedas debe poner en cada cajita para que no quede ninguna afuera y que cada caja tenga la mayor cantidad de monedas posible? ¿Cuántas cajitas necesita?

Propiedad: La suma de un múltiplo de un número A, es múltiplo de A

Propiedad: Si se multiplica un múltiplo de B por un número natural, el resultado es múltiplo de B

Actividad 13: Sin hacer la cuenta, indicá cuales de las siguientes divisiones tienen resto cero. Justificá tu respuesta. a) 33.334.621 : 3 c) 66.344.120 : 6 e) 89.977 : 5 b) (15 x 8 + 2) : 3 d) 1.350 : 3 f) 3.234 : 6 Actividad 14: Sin hacer los cálculos, averiguá cuál será el resto al dividir por 5 el resultado de

los siguientes cálculos:

a) 34 x 5 = b) 34 x 5 + 1 = c) 34 x 5 + 5 =

d) 34 x 5 + 10 = e) 34 x 5 + 11 = f) 34 x 5 + 15 = g) 34 x 5 + 17 = h) 34 x 5 + 12 x 5 = i) 3 x 15 + 10 x 11=

Actividad 15: Sin hacer los cálculos, averiguá cuál será el resto de las siguientes divisiones:

a) (18 x 20 + 15) : 3 b) (18 x 20 + 15) : 4 c) (18 x 20 + 15) : 5

d) (18 x 20 + 15) : 6 e) (18 x 20 + 15) : 8 f) (18 x 20 + 15) : 9

g) (18 x 20 + 15) : 10 h) (18 x 20 + 15) : 12 i) (18 x 20 + 15) : 15



NÚMEROS ENTEROS. Problema 1: Completá el siguiente cuadro de modo que la suma de los números de cada fila, columna o diagonal sea siempre la misma.

19 6 16

8 14 11

10 9

7 18 4

Problema 2: Melisa fue a la librería. Compró 3 marcadores que costaban $2 cada uno, 2 cajas de hojas de $20 y 4 mapas de $1. Vio que la docena de lápices costaba $10, y decidió llevar media. Al llegar a la caja presentó 2 cupones que decían “$5 de descuento en tu próxima compra” Siempre muy ordenada con su economía, en su casa quiso revisar la cuenta. Para esto planteó sus gastos en un cálculo. Lo que escribió fue: 3 . 2 + 2 . 20 + 4 . 1 + 10 : 2 – 5 . 2 = Hizo la cuenta con su celular y le dio…

a) ¿Es posible este resultado? b) ¿Cuál fue el error?

En general, cuando hay que resolver cálculos donde aparecen varias operaciones sin tener la referencia de un problema, se resuelve en el siguiente orden

En el caso en que se necesite modificar este orden, se utilizan paréntesis y lo que está dentro de éstos se debe resolver primero. Por ejemplo, para indicar que a 2 se le suma 3 y el resultado se multiplica por 4, se escribe (2 +

3) x 4, que es igual a 20.



Problema 3: Resolver los siguientes problemas planteando un solo cálculo en cada caso

a) Marcos recibió $ 500. Le dio la mitad a su hermano y luego compró 2 libros

que costaban $15 cada uno ¿Cuánto dinero le queda? b) Facundo colecciona revistas de historieta. Tenía 45. Luego su abuela le

regaló una cantidad igual a la tercera parte de las que tenía. Como algunas estaba repetidas, decidió regalárselas a dos de sus amigos (les dio 4 a cada uno) ¿Cuántas revistas tiene ahora?

c) Después de cobrar una deuda, Nico utilizó ese dinero para comprarse ropa. Vio pantalones a $50 y compró 2. Las remeras costaban $12 y eligió 3. A la vuelta viajó en taxi y pagó $14. Al llegar a su casa todavía tenía $135 ¿Cuánto dinero había cobrado?

Problema 4: Uno solo de estos cálculos da como resultado 900. ¿Cuál es? ¿Cuál es el resultado de los otros cálculos?

a) 99 - 9 x 4 + 6 c) 99 - 9 x (4 + 6) b) (99 - 9) x (4 + 6) d) (99 - 9) x 4 +

Problema 5: Colocá paréntesis donde sean necesarios para que la igualdad sea verdadera en cada caso

a) 36 + 4: 4 - 5 = 5 c) 36 + 4 : 4 – 5 = 32 e) 49 + 7: 7 -7 = 1 b) 7-7 x 15 + 6 = 0 d) 12 : 3 x 2 = 8 Actividad 6: Resolvé: A: (25 – 13 ) : 2 + 4 . 2 = B: 7. 2 – 2 . ( 8 – 2 . 3 ) + 9 : ( 5 – 2) = C: 16 : 4 : 2 + 16 : 4 . 2 – 16 : ( 2 + 2 ) : 2 = D: 18 . ( 7 – 3 . 2 ) – 6 . ( 5 – 1 ) : 8 = E : 9 + 3 . ( 4 . 3 – 6 . 2 ) + 2 . 9 : 3 = Actividad 7: Coloca paréntesis en el lugar indicado para que dé el resultado exacto.

12 – 2 . 2 + 3 = 23 12 – 2 . 2 + 3 = 50

12 – 2 . 2 + 3 = 5 12 – 2 . 2 + 3 = 2



El hombre que Calculaba

El Hombre que Calculaba es una novela de Malba Taham que cuenta la historia de dos beduinos que, camino a Bagdad, se enfrentan con diferentes problemas. En el capítulo 7, llama la atención de Beremis Samir, El Hombre que Calculaba, el nombre de una tienda: “Los Cuatro Cuatros” Beremis observa que, con cuatro cuatros, haciendo operaciones sencillas se pueden obtener todos los números del 0 al 10 Acá te presentamos un fragmento de ese capítulo.

Leelo y resolvé la actividad propuesta:

CAPÍTULO VII (fragmento) En el cual vamos a la calle de los mercaderes. Beremís y el turbante azul. El caso de los cuatro cuatros. El problema del mercader sirio. Beremís explica todo y es generosamente recompensado. Historia de la “prueba real” del rey de Yemen. Algunos días después, terminados los trabajos que diariamente hacíamos en el palacio del visir, fuimos a pasear por el suque de los mercaderes. Aquella tarde, la ciudad presentaba un aspecto febril, fuera de lo común. Era que por la mañana habían llegado dos grandes caravanas de Damasco. Los bazares aparecían llenos de gente; los patios de los almacenes estaban atestados de mercaderías; los fieles rezaban en las puertas de las mezquitas. Por todas las calles se veían los turbantes blancos de los forasteros, y no eran solo los turbantes los que nos parecían blancos, sino que todo se nos presentaba de ese color; daba la impresión de que la gente caminara en puntas de pies. Todo estaba impregnado de un fuerte aroma de áloe, de especias, de incienso, de mirra; parecía que se anduviera por una inmensa droguería. Los vendedores pregonaban sus mercaderías, aumentando su valor con elogios exagerados, para los que es tan fértil la imaginación árabe. - ¡Este rico tejido, es digno del profeta! - Amigo. ¡Es un delicioso perfume, que aumentará el cariño de vuestra esposa! - Reparad, oh sheik, en estas chinelas y en este lindo “cafetán” que los dijins recomiendan a los ángeles. Se interesó Beremís por un elegante y armonioso turbante azul claro, que un sirio, medio jorobado, ofrecía por 4 dracmas. La tienda de ese mercader era muy original, pues todo allí (turbantes, cajas, pulseras, puñales, etc.) se vendía por 4 dracmas. Había un letrero que, en caracteres árabes decía: Los cuatro cuatros Al ver a Beremís interesado en adquirir el turbante azul, objeté: - Juzgo una locura el comprar ese lujo. Tenemos poco dinero y no hemos pagado aún el hospedaje. - No es el turbante lo que me interesa –retrucó Beremís-; observo que la tienda de este mercader se llama “Los cuatro cuatros”. Hay en ello una gran coincidencia, digna de mi atención. - ¿Coincidencia? ¿Por qué?



- En este momento, “bagdalí” –replicó Beremís- la leyenda que figura en ese letrero me recuerda una de las maravillas del cálculo. Podemos formar un número cualquiera, empleando solamente cuatro cuatros, ligados por signos matemáticos. Y antes de que le interrogase sobre aquel enigma, Beremís explicó, dibujando en la fina arena que cubría el piso: - Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir: 04444 Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero. Pasamos ahora al número 1. Esta es la forma más cómoda: 14444 - ¿Quiere ver ahora el número 2? Fácilmente se usan los cuatro cuatros escribiendo: 24444 - El 3 es más fácil todavía. Basta escribir la expresión: 34444

Repare en que la suma de 12 dividida por 4, da un cociente 3. Resulta así el número 3 formado por cuatro cuatros. - ¿Cómo formareis el número 4? –pregunté. - Muy fácilmente –dijo Beremís-. El número cuatro puede formarse de varias maneras; una de ellas sería la siguiente: 44444

En la que el segundo sumando vale cero, y su suma, por lo tanto, vale 4. Noté entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder palabra, la explicación de Beremís, como si mucho le interesasen las expresiones aritméticas formadas por los cuatro cuatros. Beremís continuó: - Para formar el número 5, por ejemplo, no hay dificultad. Escribimos: 54444 x

En seguida pasamos al 6: 64444

Una pequeña alteración de la expresión anterior la convierte en 7: 74444 Y de manera más simple logramos el 8: 84444 El nueve no deja de ser interesante: 94444 Y ahora una expresión igual a 10 formada por los cuatro cuatros: 104444

Actividad 8: Escribí los números del 0 al 10 con cinco cincos



32

01

23

21

OPERACIONES EN Z: Números opuestos:

Se encuentran a la misma distancia respecto del cero

La suma de dos números opuestos da cero, es decir que al resolver una suma en la que hay números opuestos, se puede cancelar Ejemplo: cbbcbaa

bcbbcbaa

Actividad 1: Resolvé: a) – 4 + 8 – 5 + 3 + 5 – 8 = b) 2 + 37 + 5 – 15 +12 – 17 + 15 – 36 =

Recuerda… Si el opuesto de a es – a, entonces el opuesto de – a es –(-a) = a

+ delante del ( ) confirma su interior – delante del ( ) es el opuesto del interior Ejemplo:

8– ( 2 – 5 ) = O lo que es lo mismo… 8– ( 2 – 5 ) = El opuesto de 2 es – 2 y 8– (– 3) = 8 – 2 + 5 = el opuesto de – 5 es + 5 8+3 8 + 3 =

VALOR ABSOLUTO: El VALOR ABSOLUTO de un número, o MÓDULO es la distancia desde ese número a cero

33

33

Todo número que se encuentre a la derecha de otro en la recta numérica es MAYOR que ese otro: Actividad 3: En el hall de un edificio (planta baja) dos personas llaman simultáneamente respectivos ascensores, el de la izquierda (A) se encuentra en el séptimo subsuelo (piso -7) y el de la derecha (B) en el tercer piso (piso 3).

a) ¿Cuál de ellos llegará antes? b) ¿Cómo puedes justificarlo? c) Si el ascensor A se encuentra en el quinto subsuelo (-5) y el de la derecha (B) en

el 5º piso. ¿Cuál llega antes? Justificarlo.



Suma Algebraica

Observa el corte de la siguiente costa: Parte del terreno se encuentra sobre el nivel del mar y parte debajo de él. El nivel del mar es origen de medición.

Si trepamos veinte metros de la colina y luego 30 metros llegaremos al metro 50.

Si descendemos diez metros y luego descendemos otros 30 metros llegaremos a los 40 metros por debajo del nivel del mar.

signo mismo el lleva resultado ely suman se signo igualcon números Dos403010 *

50300*

Si trepamos 50 m. y descendemos 20 m., llegaremos a los 30m por sobre el nivel del mar.

Si descendemos 60 m. y luego trepamos 25 metros, llegaremos a los 35m por debajo del nivel del mar.

Si trepamos 20 m. y descendemos 60 m., llegaremos a los 40m por debajo del nivel del mar.

absolutor mayor valo de del

signo el lleva resultado ely restan se signo diferentecon números Dos

406020

352560

302050

- - *

-* -

- *

Actividad 4: Resolver: a) 7 – 5 = b) 1 – 10 = c) 20 + 20 =

d) 30 – 40 = e) 30 – 10 = f) 4 – 20 =

g) 5 – 5 = h) 1 + 3 – 1 = i) 8 + 3 – 2 = j) 12 – 12 =

k) 5 – 20 = l) 20 + 30 = m) 30 – 20 = n) 20 – 20 =

Actividad 5: Completar con >, < o = resolviendo previamente cada cálculo

– 8 + 2 5 – (–2)

Siguiente de 2 Siguiente de – 2

|–2| |2|

5 – (– 2 + 5) 5 + (– 2 + 5)

Anterior de – 8 – 7

Opuesto de 4 |–4|

Actividad 6: Resolver: a) |3| = b) | – 8 + 2| =

c) 5 – (– 2 + 4) = d) – ( 3 – 5) + (– 2 – 3) =

e) 5 + (– 2) – (– 2) = f) Anterior de – 4 =



Actividad 7: Resolver: a) 13 – ( – 5 ) + ( – 16 + 3 ) = b) 27 – ( – 8 – 8 ) + ( 15 – 16) = c) 27 – ( – 8) + ( – 8 ) – ( + 8 ) = d) 27 – ( 8 – 15 – 16 ) =

e) 27 – [ 8 – ( 15 – 16) ] = f) – 14 – [ – 3 + (– 8 + 3 ) – 2] + 4 = g) – ( 4 – 5 ) – [ – 9 – (– 3 + 6 ) – 1] + 2 = h) – [ 30 – ( 4 + 16 ) – 1 ] – (– 36 + 96) =

Actividad 8: Resolver:

a) – 3 + ( - 2) – (- 4) = b) (- 17) + (- 6) – 5 = c) (- 4) – 5 + ( -3) =

d) 25 + (-9)- (-3) = e) – 12 – (-15) – 18 = f) (-21) - 37 + 18 =

Multiplicación y división con números enteros

Regla de los signos para la multiplicación

Si se multiplican dos números positivos, el producto es positivo

Ejemplo: 5 . 8 = 40 + . + = +

Si se multiplican dos números negativos, el producto es positivo

Ejemplo: –3 . (–5) = 15 – . – = +

Si se multiplica un número positivo con un número negativo, el producto es negativo. Ejemplo: –3 . 4 = –12

– . + = –

+ . – = –

Actividad 9: Completar con el número entero negativo o positivo que falta

a) (– 4) . ____= –8 b) ____ . (–2) = 0 c) ____ . (–10) = 20

d) ____ . (–6) = –24 e) ___ . 8 = –32 f) 5 . ____ = –15

División La regla de los signos para la multiplicación de números enteros, es la misma que para la división. Actividad 10: Completar: a) (–20) : (–5) = ____ d) 30 : (–6) = ____ b) 22 : ____ = – 11 e) 15 : ____ = –5 c) 40 : (–4) = ____ f) 33 : 3 = ____ Actividad 11: Resolver los siguientes cálculos combinados: a) 5 . (– 3) – 7 + 1 0 : 2 + 3 = b) 30 – 22 + 5 . (– 4) = c) – 18 : 3 - √4 + 0 . 8 = d) 4 . 9 : 3 + 1 . 2 . 5 = e) 2 + 33 . 2 – 1 5 : (– 3) =

f) 5 . (10 – 7) – 1 0 : (– 2 – 3) = g) 30: (– 2) – (22 + 5) . (– 4) = h) 18 : (3 - √4) + 0 . 8 = i) (2 + 33) . 2 – 1 5 : 3 =



Potenciación y radicación con números enteros Potenciación Si en una multiplicación todos los factores son iguales, se puede escribir en forma abreviada utilizando la potenciación. Ejemplo: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

Signos de las potencias:

6255.5.5.554 81)3)·(3(·)3)·(3()3( 4

Propiedad: Si en una potencia el exponente es par, el resultado es siempre positivo

644.4.443 32)2·()2)·(2(·)2)·(2()2( 5

Propiedad: Si en una potencia el exponente es impar, el resultado tiene el mismo signo que tiene la base

Actividad 14: Resolver a) (-3)5 = b) 44 = c) (-2)6 = d) 53 =

Radicación

La radicación es la operación inversa de la potenciación

4643 porque 43 = 64

Ejemplos:

1) 4643 porque 43 = 64

2) 51253 porque (-5)³ = -125

3) 162 porque 216 44

4) 4 81 no existe porque 34 = 81 y (-3)4 = 81

No hay ningún número que elevado a la cuarta dé 81



Actividad 15: Resolver

a) 81

b) 3 125

c) 3 64

d) 4 000.10

e) 3 27

f) 4

g) 121

h) 3 1

i) 169

j) 400

k) 4 625

l) 8136

Propiedades de la potenciación 1)

aa 1 2)

10 a con 0a 00

3) Distributividad

42·3 = 44 2·3 24:12 = 22 4:12

3)23( 33 23 226 22 26


a) 5 · 3 – 2 · (1 – 3)0 – 1 = c) (27 : 32) : 3 + 5 + 3 – 7 = b) (17 – 5 + 8)² : 2 = d) (12 · 2 : 8)4 – (5 – 2)³ = 4) Producto de potencias de igual base.

Ejemplo: 3² · 35 = 7

veces5 veces2

33·3·3·3·3·3·3

5) Cociente de potencias de igual base.

48 : 43 = 5

3

8

44·4·4

4·4·4·4·4·4·4·4

4

4

Todo número (que no sea cero) elevado a la 0, da 1

Todo número elevado a la 1, da el mismo número

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división

La potenciación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta

En el producto de potencias de igual base, se suman los exponentes

En el cociente de potencias de igual base, se restan los exponentes



6) Potencia de potencia: 332 5·55

6

3

222

355·5·5·5·5·55·5

veces

vecesvecesveces

Potencia Exponentes Ejemplo

Producto Se suman 624 33·3

Cociente Se restan 347 55:5

Potencia Se multiplican 842 22

Actividad 17: Expresar como una sola potencia

a) 6232 2:)2.2(

b) 6623 5:5.5

c)

23

452

3

3.3.3

d)

22

46

10

10.10

e) 3

24 .

a

aa

f)

37

35

2:2

2·2


a) 33 )25()2.6:12(

b) 2258 )2(3:3)3.(2

c) )2.(5)4(:8)3.(2

d)

232

2

5

)2:4()2(

)2(

e) )2(:)5.(4)3:3(:27 25

f) 23 2.2)5).(3).(2(


a)

7

252

3

3·2 d) 54 3:9 g)

5234 6:6

b) 522

2·5·3 e)

2

332

2

2·5 h) 3524 6:62·2

c)

234

2

5

2:22

2 f)

23

753

2

2·2·2

Propiedades de la radicación

1) Distributividad

6436 6436 1625 1625

9·25 = 9·25 9:36 = 9:36

En la potencia de potencias se multiplican los exponentes.

La redicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

La redicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.



Recíproco:

Ejemplo: 363·123.12 45:205:20

2) Raíz de raíz

84 256256


a) 22 35

b) 81

c) 4·95·20

d) 13·9:45

e) 223·7

f) 3 5·43·4

g) 3 2·1730

h) 100:16·25

i) 169169

j) 16·916·9

k) 2:50

l) 3·12


a) 5:2532·3 2 16 b) 2:415 23-24

c) 05 3416:249 -2 d) 02 6324·6 4

e) 52:43·33

40 f) 2:886 22 14

g) 23

29:368·2 -9 h) 5·3:1163·4 -7

i) 333 6831:27 -8 j)

232 22·3:274·212 66

k) 23

52125:94 9

l) 2022 108·1683:611 72

m) 218:62·52

4

n) 21:275:5 3485026

o) 8·2125·545 330 = -600

p) 8524·35522·523223

q) 7)5).(8(107·3.7100

r) 4125:1552:3·21 32

s) 742·6:6410021·642

t) 5821·615:203:15323

u) 123:2·5425·512:3·92 332

v) 84:43·3·979110..4 w) 6)108(2).100121( 3

x) 335:)15.(3612 2 y) 47:43·4134 222

z) 24)23(25·36074

El producto y el cociente entre raíces de igual índice es asociativo

En la raíz de raíz, se multiplican los índices



Números Racionales Trabajo Práctico: Problema 1: Escribí fracciones equivalentes a las dadas en las que el denominador sea 10, 100 o 1.000

a) 3/8 b) 33/40 c) 6/20 d) 5/4 e) 7/5 f) 7/2 g) 3/25 Problema 2: a) Escribí dos fracciones que estén entre 1/5 y 6/5 ¿hay más? ¿Por qué? ¿Cuántas hay? b) Escribí dos fracciones que estén entre 2/3 y 1 ¿Cuántas hay? ¿Por qué? c) Escribí dos fracciones que estén entre ½ y 2/3 ¿Cuántas hay? ¿Por qué? d) Escribí dos números decimales que estén entre 3,4 y 3,5 ¿Cuántos hay? ¿Por qué? e) Escribí dos números decimales que estén entre 5,2 y 5,21 ¿Cuántos hay? ¿Por qué? Problema 3: Ordená de menor a mayor las siguientes fracciones:

3/4 3/5 2/5 1/2 5/9 3/7 6/5 4/5

Problema 4: Ordená de menor a mayor los siguientes números decimales:

1,5 1,05 1,50 1,51 5,1 1,501 1,55 1,005

Problema 5: Una hormiga camina sobre esta recta. Para ir del 1 al 2, da 3 pasos.

a) Si está parada en el 3 y da un solo paso hacia a la derecha ¿a qué punto llega? b) Si está parada en el 7 y da 2 pasos hacia la izquierda ¿A qué punto llega? c) ¿Cuántos pasos dará para ir del 0 a 7/3? Problema 6: Ubicá en la siguiente recta los números: ½, 9/10 y ¼

Problema 7: Ubicá en la siguiente recta los números 5/3, 7/6, 10/3, 11/6 y 3

Problema 8: Estos números se encuentran entre 0 y 3, colocalos en la columna que corresponda:

7

3;

3

8;

5

4;

4

11;

35

21;

7

51 ;

5

9;

7

17;

5

14 y

9

11

Problema 9: ¿Entre qué números enteros se encuentran las siguientes fracciones?

4

47;

3

28;

7

33;

9

84;

5

9;

12

85 y

10

125

Problema 10: Indicá con el signo mayor (>); menor (<) o igual (=)

a) 25

18

10

25 d)

45

15

16

8

b) 48

47

35

34 e)

100

35

10

25

c) 32

16

80

40 f)

18

11

20

11

Entre 0 y 1 Entre 1 y 2 Entre 2 y 3



Elementos de las fracciones

2 . numerador 3 denominador

Fracciones equivalentes:

Ejemplo:

Actividad 1: Simplificar:

a) 10

125

b) 10

4

c) 10

15

d) 100

2

e) 5

30

f) 4

14

g) 14

21

h) 28

21

i) 18

12

Actividad 2: Para cada par de fracciones, encontrar otras equivalentes que tengan igual denominador.

a) 3

2 y

2

3 b)

6

2 y

2

5 c)

7

4 y

5

3 d)

5

2 y

3

2

Suma y resta de fracciones Si las fracciones tienen igual denominador, se suman o se restan los numeradores:

Ejemplo: 5

3

5

1

5

2

7

2

7

3

7

5

Si las fracciones tienen diferente denominador hay que buscar fracciones equivalentes que tengan igual denominador:

15

19

15

9

15

10

5

3

3

2

El nuevo denominador debe ser un múltiplo de los otros denominadores Actividad 3: Resolver:

a) 3

1

3

5

b) 2

3

2

5

2

1

c) 5

7

5

3

d) 5

3

5

1

5

4

e) 6

1

3

4

f) 2

1

5

2

3

1

g) 6

1

2

1

3

7

h) 2

1

5

1

10

3

En una fracción, si se multiplica (o divide) el numerador y el denominador por el mismo número, se obtiene una fracción equivalente.



Multiplicación de fracciones Para multiplicar fracciones se multiplica el numerador con el numerador y el denominador con el denominador. Ejemplo:

Actividad 4: Resolver los siguientes cálculos:

a) 5

3·

2

1 c)

5

2·

5

3 e)

3

5·

2

1

4

1

b) 2

3.

2

1

8

5 d)

3

1.

4

1

3

7·

2

1 f)

3

2·2

3

2·

4

1

División de fracciones Se invierte la segunda fracción y se multiplica derecho

Ejemplo: Actividad 5: Resolver los siguientes cálculos:

a) 3

2·2

3

2:

9

2

3

5·

2

1

b)

1

4

32:

3

42:

5

2

c)

4

2

1

3

5·

5

1

3

1

d)

4:

3

1

3

2·

4

31

e)

2

2

3·

2

1

5

6:3

f)

5:

3

23

3

4

15

2

g)

1

2

31·

3

2

6

1

Potenciación y radicación de fracciones Recordamos… Se distribuye la potencia o la raíz, entre el numerador y el denominador de la fracción.

Ejemplos: 9

16

3

4

3

42

22

3

2

27

8

27

83

3

3

Actividad 6: Resolver los siguientes cálculos:

a)

2

3

2 e)

32

2

5

4

3 i)

3

2

18

7

10

1:

5

3

2

13

b) 100

9 f) 5

18.

20

8 j)

3

3

2:

9

7

4

3

c) 3

16

54 g)

2

1

10

7

4

5 k)

9

25

4

3:

2

1

2

1.

3

22

d) 3

8

125 h)

2

1

10

9

9

4



Fracciones y números decimales

3,02

1 ¿Cómo se resuelve?

Cuando en un cálculo combinado aparecen números decimales y fracciones, hay que expresar todos los números del mismo modo para resolvelo.

8,03,05,0

5

4

10

8

10

35

10

3

2

1

3,02

1

Para pasar de fracción a decimal… Hay que dividir el numerador de la fracción por el denominador.

Ej: 8

3 hago

Actividad 7: Escribir como número decimal las siguientes fracciones

a) 4

3

b) 2

5

c) 10

8

d) 50

16

e) 8

7

f) 125

21

g) 14

21

h) 20

13

i) 12

15

j) 25

36

Números periódicos

11

2 entonces ...1818,0

11

2

Cuando una cifra o un conjunto de números se repite infinitamente después de la coma, se indica con un arco sobre los números que se repiten Actividad 8: Encontrar la expresión decimal de

a) 6

5

b) 9

38

c) 33

23

d) 15

22

e) 99

25

f) 18

39



Expresión decimal de números racionales Un número racional puede tener una expresión decimal:

a) FINITA: Cuando el número NO es periódico. Ejemplo: 5,12

3

b) PERIÓDICA PURA: Tiene infinitas cifras que se repiten después de la coma. Ejemplos:

6,16666,13

5

c) PERIÓDICA MIXTA: Tiene una parte periódica y una no periódica. Ejemplo:

38,0...8333,06

5

Actividad 9: Hallar la expresión decimal de las siguientes fracciones e indicar de qué tipo es

a) 11

16

b) 3

4

c) 3

2

d) 8

7

e) 6

7

f) 11

8

Transformación de expresiones decimales en fracción

Transformación de expresiones decimales Finitas

Ejemplos: * 100

2525,0 *

10

255,2 *

000.1

25025,0

Actividad 10: Pasar a fracción y simplificar a) 0,24 = b) 2,05 =

c) 0,025 = d) 1,5 =

e) 3,43 = f) 1,125 =

Actividad 11: Pasar a fracción y resolver

a) 2

1

4

13,0

b) 5,04

1

4

1

c) 8,05

24,0

d) 2

3·5,0

4

1

3

2

e) 5,1·2,03·5

2

f) 4

15,0:2,0

g) 2

1·32,0·2

h)

75,0

2

1·5,2

i)

5

1:

4

1

3

1

2

1

Para pasar un número decimal finito a fracción, se escribe en el numerador, el número completo (sin la coma) y en el denominador un 1 con tantos ceros como lugares hay después de la coma.



Transformaciones de expresiones periódicas puras

Ejemplo: = 11

5

99

45

Si el número decimal tiene una parte entera, primero se escribe como suma entre la parte entera y la parte decimal y luego se pasa a fracción.

Ejemplo: 9

25

9

718

9

727,027,2

Actividad 12: Expresar como fracción los siguientes números decimales: a) 2,02 b) 0,02 c) 0,35

d) 53,0

e) 0,103 f) 0,50

g) 0,01

h) 10,0

i) 3,001 Actividad 13: Pasar a fracción y resolver

a) 5,2:3,03,0

b) 7,04

31.3,04:64,0

c) 6,0.3

25,05,0

d) 25,15,03,01

Transformaciones de expresiones periódicas mixtas

Ejemplos: ** 90

113

90

1212552,1

* 15

1

90

0660,0

Resumiendo…

Expresión Numerador Denominador Ejemplo

FINITA Todo el número sin la coma

Un 1 con tantos ceros como lugares haya después de la coma

0,38100

38

PERIÓDICA PURA

Un período completo

Un 9 por cada cifra del período 99

3223,0

PERIÓDICA MIXTA

Todo el número restando la parte No periódica

Un 9 por cada cifra decimal periódica y un cero por cada cifra decimal No periódica

90

192

90

2121331,2

Para pasar una expresión decimal periódica pura a fracción se coloca el un período completo en el numerador y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el período.

Para pasar una expresión periódica mixta hay que escribir: En el numerador El número completo, restándole la parte No periódica En el denominador un 9 por cada cifra periódica y un cero por cada cifra decimal NO periódica.



Actividad 14: Pasar a fracción y simplificar si es posible:

a) 84,3

b) 83,0

c) 844,0

d) 80,5

e) 61,0

f) 601,0

Actividad 15: Pasar a Fracción y resolver:

a) 25,13

13,2

b)

6

5

3

2.

4

38,2

2

c) 23,02.4,04,0

d)

51,0:4,25,0

16

13.25,1

e) 2

6,12,0:7,07,0

f) 6,0.3,23,0:5

23,0.4,0

g) 62,05,1.5,07,0

h) 5,0.6,275,01

i) 4,22,0.5,23,02

Trabajo Práctico

1) Pasar a fracción y simplificar si es posible:

a) 25,0 b) 52,0

c) 5,2

d) 52,0

e) 5,2

2) Pasar a fracción y resolver:

a) 2

5,12,0:5,05,0

b)

5,0

3

2.25,08,1

2

c) 6,03,0.3,07,0

d) 4,06,02.90,0:52.0



Álgebra



Producción de fórmulas

Actividad 1: Se tiene diseños para umbrales de distintas puertas, con baldosas blancas y grises como las siguientes:

El ancho de la puerta puede ocupar 2, 3, 4, 5, etc. baldosas grises y se rodean con baldosas blancas como lo muestran las figuras. 1.- Averiguar la cantidad de baldosas blancas si hay 11 baldosas grises. 2.- Si se conoce que hay 25 baldosas blancas ¿Se puede conocer la cantidad de baldosas grises? 3.- Encontrar una fórmula que permita conocer la cantidad de baldosas blancas si se conoce la cantidad de baldosas grises.- 4.- ¿Es posible que un diseño tenga 10 baldosas blancas? ¿Cuál sería el ancho de la puerta? 5.- ¿Y para 4 baldosas blancas?

Actividad 2: Con fósforos se construye la siguiente secuencia:

a) ¿Cuántos fósforos serán necesarios para construir la figura que ocupa el sexto lugar? b) Y para la figura que ocupa el lugar 100? c) Buscá una forma de calcular la cantidad necesaria de fósforos para cualquier cantidad de cuadraditos.

Actividad 3: Dada la siguiente secuencia construida con fósforos:

Completá la tabla:

Cantidad de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100

Cantidad de fósforos

¿Cómo calcularías la cantidad de fósforos necesarios para n triángulos?

Una Fórmula o expresión algebraica es una expresión que contiene números y letras,

vinculados mediante las operaciones aritméticas.

Expresiones algebraicas equivalentes: Al expresar una situación mediante una fórmula

pueden surgir expresiones que parecen diferentes, pero que no lo son.

Dos o más expresiones son equivalentes cuando al reemplazar la letra por un mismo

número, se obtiene el mismo resultado.

Para demostrar que dos expresiones algebraicas son equivalentes, pueden utilizarse las

definiciones y las propiedades de las operaciones.



Actividad 4:

a) Calcular el área de la siguiente figura, formada por un cuadrado y un rectángulo:

15 cm 3 cm b) ¿Qué cuentas se pueden hacer para calcular el área de una figura similar a la

anterior si el lado del cuadrado es de 56 cm? c) Dar una fórmula que sirva para calcular el área de la figura para cualquier

longitud del lado del cuadrado:

d) ¿Cuál será el valor del área si a vale 8?

a 3

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta:

La multiplicación es distributiva con respecto de la suma.

La multiplicación es distributiva con respecto a la resta.

Actividad 12: Separar en términos y resolver:

a) (3 + a) 4 + (5 + 2 a) 3 =

b) (a - b) 3 + 4 (a + b) + 7 (a + b + c) =

c) (3 + 4 a) 2 + (a - 2 2) 3 = d) 5 (m + 1) + 8 (-2 - m) - 3 (-m - 1) = e) 4 . ( a + 5 + 3.a – 2.a ) + 2 . (a – 3) =

Actividad 13: Aplicar la propiedad distributiva.

a) (10 + b + c) 5 =

b) (m + n + p) 3 =

c) (m + 8) (2 - x) =

d) 2 a - (c - 4) 2 - 5 a x =

e) (-5 + a - m) (-3) =

f) - (7 - x + d - e) 4 =

g) (- 5 a + 3 m - 4 h - c) (-2) =

h) - (3 x - 2 + 5 a) (-3) =

i) (5 a - 2 m) (4 x - 2) =

j) (3 a - 2) (5 m - 4 + 3 m) =

k) (-5 + a) (- 3 - m - 2) =

l) (- 2 a + 6 m) (- 4 - 5 h) =

Actividad 5:

a) ¿Cuáles de las siguientes fórmulas sirven para calcular el área de la figura?

Justificá. A1= 36 + b2 A2 = 36 + 6. b A3 = 6 . (6+b) A4 = 6 b + b2

6 b

b) ¿Cuál será el valor del área si b toma el valor 5?



c) ¿Puede ser que el área de la figura sea 105? En caso que sea posible ¿cuánto deberá valer b para que el área sea 105? Actividad 6:

a) En la actividad 4 analizar el perímetro de la figura; para eso resolver nuevamente todos los ítems, pero en donde dice área cambiar por perímetro.

Actividad 7:

Para la actividad 5, ¿cuáles de las siguientes fórmulas sirven para calcular el perímetro de la figura? Justificá tu respuesta. P1= 30 + 2.b P2 = 2 .(6+b) + 12 P3= 6+2b +18 P4= 2b +24

Actividad 8: 1) Dada la siguiente figura, averiguar qué cantidad de cuadraditos están sombreados:

2) ¿Cuántos cuadraditos se pintarán en un cuadrado de 37 x 37? 3) ¿Cuántos cuadraditos sombreados tendrá un cuadrado de 512 x 512? ¿Es posible que un cuadrado tengo 1321 cuadraditos sombreados? ¿y 326? ¿y 512? Si es posible indicá las dimensiones del cuadrado, si no es posible explicá por qué Actividad 9: Para separar un patio de un lavadero, se colocan en línea canteros cuadrados rodeados de baldosas de la misma forma como indica el dibujo:

1.- ¿Cuántas baldosas serán necesarias si se colocan 8 canteros? 2.- ¿Cuántas baldosas se necesitarán para 30 canteros? 3.- Escribí una fórmula que relacione la cantidad de canteros con la cantidad de baldosas.

El uso de las letras para representar situaciones Actividad 11:

1.- ¿Cuál deberá ser el valor del número a para que 3 . (a + 2) sea múltiplo de 5? 2.- ¿Cuánto debe valer c para que 4 . (c + 3) sea múltiplo de 4? 3.- ¿Cuánto debe valer n para que 4 . (n + 4) + 3 sea múltiplo de 4?

4.- Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificá tus respuestas. * La suma de tres números consecutivos siempre es múltiplo de 3. * Si se suma un número más su doble, más su triple, más su cuádruple, el resultado es un número terminado en cero.



Actividad 12: 1.- Si b es un número natural ¿cuáles son los valores de b que verifiquen que el número 5 x ( 2 x b + 1 ) sea un número par? 2.- Indiquen si es posible valores de n para los cuales el número 8 x n + 8 sea múltiplo de 2,

4, 5 y 8 3.- ¿Cuáles son los valores de n para los cuales 4 x n + 8 es múltiplo de 8? 4.- Es cierto que la expresión 5 x t + 5 nunca es múltiplo de 4? Explicá tu respuesta. Algunas claves para escribir fórmulas

En forma Coloquial En forma simbólica

El doble del número n 2 x n

El numero siguiente de n n + 1

La mitad de n n : 2

El triple de n 3 x n

El número anterior a n n – 1

El doble del siguiente de n 2 x (n + 1)

El siguiente del doble de n 2 x n + 1

Actividad 13: Con la ayuda de los ejemplos de la tabla, resolvé

Si s es la edad de Ramiro, expresá simbólicamente: a) La edad de Ramiro dentro de 6 años b) La edad de Ramiro hace dos años c) La mitad de la edad de Ramiro

Actividad 14: Uní con flechas El doble de un número La mitad de un número El siguiente de un número El número aumentado en cinco unidades El quíntuplo de un número Un número menos cinco Cinco menos un número Un número que supera en dos a cinco La edad de Noelia es cinco años La edad de Noelia dentro de cinco años será como la de Mara La suma entre cinco y dos veces un número La suma entre un número y otro distinto La diferencia entre cinco y un número El doble del siguiente de un número El producto de dos números iguales La altura de Natalia es menor que el doble de la de Malena La resta de las edades de Noemí y Malen da cinco Un número menor que cinco Cinco veces el peso de Nancy más cinco kilos Cinco veces, el peso de Nancy más cinco kilos

N – M = 5 5 – N 5 + 2.N N – 5 N + 1 5 . N 2 . N N + 5 = M N = 5 5 – N 2 . (N + 1) N < 2 . M 5 . N + 5 N < 5 5 . (N + 5) ½ N N . N N + M N + 5 N = 5 + 2



Actividad 15: Uní con flechas las fórmulas equivalentes (Anotá los cálculos que hacés y las propiedades que utilizás) A = 3 . (M + 1) + M A = 4 . M + 8 A = 4 . (M – 1) A = 4 . M + 3 A = 4 . (M + 3) – 4 A = 3 . M – 3 A = 4 . M – (M + 3) A = 4 . M – 4 Actividad 16: Uní con flechas las fórmulas equivalentes (Anotá los cálculos que hacés y las propiedades que utilizás) B = 2.(x+1) – x B = 4.x+2 B = x+ 3.(x – 2) B = 4.x – 6 B = 2.(2.x – 2) + 6 B = x+2 B = 3.(x+1) + 1 B = 4.x+3 B = 3.(x+1) + x B = 3.x+4 Actividad 17: Para calcular el sueldo de los empleados de una empresa, el contador escribió una fórmula. Cada empleado cobra un sueldo básico de $ 3500 y $ 80 por cada hora extra.

a) Escribir una fórmula que calcule el sueldo de cada empleado según la cantidad de horas extras que realizó.

b) Si un empleado realiza 21 horas extra ¿Cuánto cobrará?

c) Un empleado cobró $ 4220 ¿Cuántas horas extras realizó?

d) ¿Cuántas horas extras trabajó un empleado que cobró $ 5100?

Actividad 18: Entre triciclos y bicicletas hay 100 ruedas ¿Cuántos hay de cada uno? Actividad 19: Marcela tiene monedas de 10 c y de 50 c. Si en total tiene $20 ¿Cuántas monedas de cada una tiene? Actividad 20: Traducir al lenguaje simbólico los siguientes enunciados y resolver: a) Si a un número k se le suma 6, se obtiene como resultado 10 ¿Cuánto vale k? b) Si a un número t se le resta 6, se obtiene como resultado 10 ¿Cuánto vale t? c) Si a un número l se le suma 10, se obtiene como resultado 6 ¿Cuánto vale l? d) Si a un número m se lo multiplica por 4, el resultado es 24 ¿Cuánto vale m? e) Si a un número p se lo divide por 3, el resultado es 18 ¿Cuánto vale p? f) Si al doble del número n se le suma 7, se obtiene como resultado 15 ¿Cuánto vale n? g) Si a la suma del número r más 2 se la duplica, el resultado es 10 ¿Cuál es el valor de r? Para cada caso, explicá cómo encontraste el valor que lo verifica.



Ecuaciones

3 + x – 8 no es una ecuación. 2 . a – 1 = 5 sí es una ecuación.

Ejemplo 1: Si al número A se le suma 3, se obtiene como resultado 8 ¿Cuánto vale A? Este enunciado se puede representar por la ecuación:

A + 3 = 8 Para saber cuánto vale A, despejo: A = 8 – 3

A = 5 ¿Es verdad? Verifico (reemplazando A por el valor encontrado) 5 + 3 = 8 el valor 5 verifica la igualdad Ejemplo 2: Si al número B se le resta 3, se obtiene como resultado 11 ¿Cuánto vale B? Este enunciado se puede representar por la ecuación:

B – 3 = 11 Para saber cuánto vale B, despejo: B = 11 + 3

B = 14 Verifico: 14 – 3 = 11 el valor 14 verifica la igualdad

Actividad 1: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar:

Una ecuación es una igualdad en la que uno de los valores (representado por una letra) es variable.

Resolver una ecuación, es encontrar el valor de la variable para el cual la igualdad se hace verdadera. Por ejemplo: ¿Para qué valores de M se cumple que M+3 =8? Esta igualdad se cumple cuando M vale 5 Para resolver una ecuación hay que despejar (dejar sola) la variable deshaciendo los cálculos que se hicieron con las operaciones inversas.

Los números que están sumando, se despejan restando + –

Los números que están restando, se despejan sumando – +



a) M + 15 = 26 b) S + 12 = 6 c) T – 10 = 8

d) R – 7 = – 1 e) V + 312 = 500 f) X – 38 = 620

Ejemplo 3: Si al número M se lo multiplica por 4, el resultado es 28 ¿Cuánto vale M? Este enunciado se puede representar por la ecuación:

M · 4 = 28 Para saber cuánto vale M, despejo: M = 28 : 4

M = 7 Verifico: 7 . 4= 28 el valor 7 verifica la igualdad

Actividad 2: Planteá una fórmula para cada enunciado: a) Si al doble de un número se le resta 325 se obtiene 205 ¿De qué número se trata? b) Marina compró para su oficina una resma de hojas a un precio de $ 16; una

abrochadora por $ 27 y tres cajas de biromes. Si en total gastó $ 70 ¿Qué precio pagó por cada caja de birome?

c) La abuela tiene 59 años. Su edad es igual a la suma de las edades de sus cuatro nietos. El nieto mayor tiene 20 años, el del medio tiene 15 y luego vienen los mellizos ¿Cuántos años tienen cada uno de los mellizos?

d) Si al triple de un número n se le suma 18 el resultado es 180 ¿De qué número se trata?

e) Si al triple del siguiente de un número natural n, se le suma 18 se obtiene 291. Calculá el número n

Ejemplo 4: Si al número X se lo divide 3, el resultado es 5 ¿Cuánto vale X? Representando: X : 3 = 5 Para saber cuánto vale A, despejo: X = 5 · 3 X = 15 Verifico: 15 : 3 = 5 el valor 15 verifica la igualdad

ATENCIÓN: Si el que está, es la variable, es necesario despejarlo en dos pasos: Ejemplo: 20 : y = 4 20 = 4 . y Verifico: 20 : 4 = y 20 : 5 = 4 5 = y

¡ATENCIÓN! Cuando un número negativo está multiplicando o dividiendo a la x, se realiza el pasaje del número con su signo. Ejemplo: – 2 · x = 8 x = 8 : (– 2) x = – 4

Los números que están multiplicando, se despejan dividiendo · :

Los números que están dividiendo, se despejan multiplicando : ·



Ejemplo 5: Si al número K se lo eleva al cubo el resultado es 27 ¿Cuál es el número K? Representando: K3 = 27

Para saber cuánto vale K, despejo: K = 3 27 K = 3

Verifico: 33 = 27 el valor 3 verifica la igualdad

¡ATENCIÓN! Como toda potencia de exponente par, tiene resultado positivo, al despejarla como raíz, lo que obtenemos es el valor absoluto del número que lo verifica.

Por ejemplo: 814 L , hay dos números que verifican esta igualdad, uno positivo y otro negativo.

4 81L 3L 3L ó 3L

Pues 8134 y 81)3( 4

Ejemplo 6: la raíz cuadrada de M es 7 ¿Cuánto vale M?

Representando: 7M Para saber cuánto vale M, despejo: M = 72 M = 49

Verifico: 749 el valor 49 verifica la igualdad

Un ejemplo combinando lo que vimos

Si al doble de un número K se le suma 36 se obtiene 50 ¿Cuánto vale K? Tenemos: 2 . K + 36 = 50 Analicemos la fórmula… ¿Qué número teníamos antes de sumarle 36? Es decir ¿Cómo podemos averiguar cual es el doble del número sin sumarle 36? 2 . K = 50 – 36 2 . K = 14

Los números que están como potencia, se despejan como raíz

pot

Los números que están como raíz, se despejan como potencia

pot



Si el doble del número K es 14 ¿Cuál es ese número? K = 14 : 2 Entonces, K = 7 Verifiquemos… ¿Es verdad que si al doble de 7, se le suma 36, se obtiene 50? El doble de 7 es 14 A 14 le sumo 36 14 + 36 = 50

Actividad 3: Escribe en lenguaje simbólico y resuelve:

a) Si al triple de un número M se le resta 10 se obtiene 23 ¿Cuánto vale M?

b) Si al doble del siguiente de un número P se le suma 8 se obtiene 14 ¿Cuánto vale P?

c) Si a la mitad de un número S se le suma 5 se obtiene 8 ¿Cuánto vale S?

d) Si al doble del anterior de un número N se le resta 2 se obtiene 6 ¿Cuánto vale N?

e) Si a un número R se le suma 4 y luego se lo multiplica por 5, se obtiene 30 ¿Cuánto vale R? Algo más sobre ecuaciones Traducir los siguientes enunciados a lenguaje simbólico y hallar el valor que lo verifica.

Si al doble de un número M, se le suma el triple de M y luego se el suma 18, se obtiene como resultado 33

2.M + 3.M + 18 = 33 primero hay que “acumular” todas las letras

5.M + 18 = 33

Si al cuádruplo de un número N se le suma 3, se obtiene el mismo resultado que sumando 11 al doble de N

4.N + 3 = 2.N + 11 hay que pasar todas las letras al mismo miembro

Para eso, se pasa todo el término que la contiene 4.N – 2.N + 3 = 11

Para averiguar el valor de un número que verifique la igualdad, hay que deshacer las operaciones que se hicieron despejándolas. Lo que está sumando se despeja restando Lo que está restando se despeja sumando Lo que está multiplicando se despeja dividiendo Lo que está dividiendo se deshace multiplicando Lo que está como potencia se despeja con raíz Lo que está como raíz se despeja con potencia



Actividad 4: Resolver las siguientes ecuaciones:

3.s – s + 15 = 31 Rta: s = 8

1.220.525.3 nnn Rta: 3n

9.3524.4 xx Rta: 16x

2.440.10410.6 yyy Rta: 3y

6.23024.3 zzz Rta: 12z A veces, al resolver una ecuación, es necesario aplicar la propiedad distributiva Ejemplo:

xx ·53·2

xx ·53·2·2 xx ·2·56

x·36 x3:6 2x

Actividad 5: Hallar el valor de x y verificar

a) 5257.53.8 23 xxx

b) 2.440.10410.6 xxx

c) )4(23

·2)15·(22

x

x

d) 1.220.525.3 xxx e) 6.23024.3 xxx

f) 42

1

x

g) 10255 x

h)

1695

12

x

i) 23

63 xx



Lectura e interpretación de gráficos: Actividad 1: Ana María está engripada. Por suerte, Yoly está a su lado. No deja de tomarle la

temperatura y carga los datos que revela el termómetro en su computadora. De la impresora sale

impreso el siguiente gráfico:

Respondé: a) ¿En qué momento Ana María tuvo39ºC?

b) ¿Qué temperatura registró Ana María a las 15 hs?

c) ¿En qué momento se registró la mayor temperatura?

d) ¿En qué momentos la temaperatura fue de 37 º C? e) ¿en qué períodos la temperatura superó los 37º C?

f) ¿En qué períodos la temperatura fue en ascenso?

Actividad 2: El departamento de marketing de la empresa importadora La Marítima” hizo un

estudio de la variación del precio de las latas de caviar de 200 gr que comercializó su

competidora “La Rioplatense” a lo largo de su existencia. Para que el nuevo gerente de comercialización comprenda la evolución del precio del producto, confeccionaron el siguiente

gráfico:

Escribí 6 preguntas no repetitivas que se puedan responder observando el gráfico.

Puntos en el plano

Para ubicar puntos en un plano los datos pueden estar presentados de diferentes formas,

algunas son:

1.- Con una tabla

2.- Con pares ordenados



Con una tabla…

En la tabla se indican los valores de x y de y que se relacionan. Por convención, en el

gráfico se indica con x al eje horizontal y con y al eje vertical.

Ejemplo:

A

B

C

D

x y

2 3

4 6

5 1

3 5

Con pares ordenados…

Con un par de números entre paréntesis separados por punto y coma, en donde el

primero de los números corresponde al eje x (horizontal) y el segundo corresponde al

eje y (vertical)

¡¡¡OJO!!! (2;5) (5;2)

Ejemplo:

A = (3; 1)

B = (4; 6)

C = (6; 4)

D = (2; 3)

Actividad 2: Construí un gráfico y ubicá los siguientes puntos:

A= (2; 5) B= (-3; 2) C= (3; -2) D= (2; 3)

E= (-2; 3) F= (-2; -3) G= (0; 4) H= (-4; 0)

I= (0; 0) J= (3; 3) K= (6; 0) L= (0; -6)



Geometría



Perímetro y área Recordamos estas definiciones:

Perímetro: Es la suma de las medidas de todos los lados de una figura.

Área: Es la medida de la superficie de una figura.

Volumen: Es el espacio ocupado por un cuerpo.

Magnitudes - SIMELA Magnitudes: Son aquellas propiedades que pueden medirse (peso, capacidad, longitud, área, etc) Una medida de una magnitud está definida por una cantidad (número), acompañada de una unidad de medida. La unidad principal para medir longitudes es el metro. Sin embargo, para algunas ocasiones, otras unidades son más adecuadas. Por ejemplo, para medir la longitud de una hoja, el largo de una aguja de coser, etc. se utilizan las siguientes:

decímetro (dm): 0,1 m o 10

1m

centímetro (cm): 0,01 m o 100

1m

milímetro (mm): 0,001m o 000.1

1m

Para medir distancias en las rutas, campos, etc. se usan:

decámetro (dam): 10 m

hectómetro (hm): 100 m

kilómetro (km): 1.000 m

Actividad 1: Averiguá el significado de los prefijos: “deci”, “centi”, “mili”, “deca”, “hecto” y “kilo” Éstos prefijos se utilizan para los múltiplos y submúltiplos de las diferentes unidades de medida. Unidad de longitud: metro Unidad de capacidad: litro Unidad de peso: gramo Así, un kilogramo son mil gramos, un mililitro es la milésima parte de un litro, etc.



Área de un rectángulo Para calcular la medida del área de un rectángulo hay que multiplicar la medida de la base por la medida de la altura. Ej: Éste rectángulo tiene 4 filas con 6 cuadraditos (de 1cm x 1cm) cada fila. En total tiene: 4 cm X 6 cm = 24 cm2 Para calcular la medida de cualquier rectángulo hay que multiplicar la base por la altura

Área del rectángulo B X A

Actividad 2: Calculá el área y el perímetro de los siguientes rectángulos:

a) Base 12 cm, Altura: 3 cm. b) Base 6 cm, Altura: 6 cm. c) Base 8 cm, Altura: 4 cm.

Actividad 3: Construí tres rectángulos diferentes que tengan 18 cm2 de área. Hallar el perímetro de cada uno de ellos Actividad 4: Construí tres rectángulos diferentes que tengan 14 cm de perímetro. Hallar el área de cada uno de ellos

Área de un paralelogramo

Consideremos el siguiente paralelogramo:

. El rectángulo del siguiente dibujo que se obtiene colocando el triángulo PCD sobre el lado AB del paralelogramo dado, tiene el mismo lado y la misma altura que el paralelogramo. Además, tiene la misma área. Entonces el área del ABCD = 5 cm x 2 cm = 10 cm2

Área del paralelogramo B X A

Actividad 5: sabiendo que P y Q son rectas paralelas indicá cuáles de los siguientes paralelogramos tiene mayor área y cuál mayor perímetro. Justificá tu respuesta.



Área de un triángulo

Si tenemos un triángulo cualquiera:

BD es la altura

Hemos construido un paralelogramo en el cual uno de los lados coincide con la base AC del triángulo y la altura del paralelogramo correspondiente a ese lado coincide también con la altura del triángulo. El área del paralelogramo es el doble que el área del triángulo, entonces: Área del triángulo =

Actividad 6: Calculá el área de las siguientes figuras:

Actividad 7: Se sabe que m es punto medio de ab y que las rectas P y Q son paralelas. ¿Cuál de los triángulos sombreados tiene mayor área? Justificá tu respuesta.

Actividad 8: Calcular el área de las siguientes figuras:

MNPQ es un cuadrado de 3 cm de lado

Área del triángulo

2

ACxBD



ABCDE es un pentágono regular de lado 3,6 cm y apotema (MO) de 5 cm

ACDE es un cuadrado de 4 cm de lado y la altura del triángulo BCA mide 3 cm

ABCD es un cuadrado de 6 cm de lado. O es el centro del cuadrado

Actividad 9: Una hoja de papel tiene 20 cm de largo y 25 cm de ancho. Si se recorta alrededor de ella un borde de 0,3 dm ¿En cuánto disminuye el área primitiva?

Actividad 10: La longitud de la circunferencia es: r2 ¿Cuál será la longitud de una circunferenciade:

a) 3 cm de radio? b) 8 cm de diámetro? c) 35 mm de radio?

Actividad 11: Calculá el perímetro de las siguientes figuras: 1)ABCD es un cuadrado de 4 cm de lado

2) FGH es un triángulo isósceles rectángulo, JK es un arco de circunferencia con centro en F, K es punto medio de FH y J es punto medio de FG mide 5 cm

área del círculo es: 2.r Actividad 12: El Calculá el área de un círculo de:

a) 3 cm de radio. b) 8 cm de diámetro. c) 35 mm de radio

Calculá el área de las siguientes figuras: Actividad 13:



ÁNGULOS

Dadas dos rectas A y B que se cortan en un mismo plano,

determinan en 4 ángulos: ˆˆ,ˆ,ˆ .

Los ángulos pueden nombrarse con:

Letras griegas.

Números.

ternas de puntos. Elementos de un ángulo

Clasificación:

Si trazamos en el plano dos rectas que al cortarse forman cuatro ángulos congruentes (iguales) dichas rectas son perpendiculares y cada uno de los ángulos se los llama recto, cuya amplitud se la mide en grados y es de 90º

Se llama ángulo agudo, a todo ángulo menor que un recto

º90º0

Se llama ángulo llano al ángulo determinado por dos semirrectas opuestas. Su amplitud equivale a la de dos ángulos rectos, es decir 180º

Se llama ángulo obtuso, a todo ángulo mayor que un recto y menor que un llano

º180º90

Se llama ángulo nulo, al ángulo de 0º grados,



Actividad 1: Medir y clasificar los siguientes ángulos

Actividad 2: Construír con transportador y clasificar los siguientes ángulos

a) 30º d) 250º g) 210º b) 120º e) 45º h) 90º c) 75º f) 150º i) 200º

Relaciones entre ángulos: Ángulos Consecutivos Dos ángulos son consecutivos cuando poseen sólo el vértice y un lado en común. Indicar si los siguientes pares de ángulos son consecutivos entre sí.

Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes coincide con la amplitud del recto (90º). Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes coincide con la amplitud de un llano (180º). Ángulos Adyacentes

Dos ángulos son adyacentes cuando poseen sólo los puntos de un lado en común y los otros dos lados son semirrectas opuestas (son consecutivos y suplementarios).



Ángulos Opuestos Por El Vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas de los lados del otro.

y son opuestos por el vértice

Los ángulos opuestos por el vértice son

CONGRUENTES

Actividad 3: Dada la siguiente figura en la que las rectas AD y FC son perpendiculares:

Nombrá: 1. Un ángulo obtuso 2. Un ángulo agudo. 3. Un ángulo llano. 4. Un par de ángulos consecutivos. 5. Un par de ángulos adyacentes. 6. Dos ángulos que sean

complementarios. 7. Dos ángulos que sean

suplementarios. 8. Dos ángulos opuestos por el vértice. 9. Dos ángulos complementarios no

consecutivos. 10. Dos ángulos suplementarios no

consecutivos.

Actividad 4: Sabiendo que el ángulo FGE de la figura anterior mide 50º, hallar las siguientes medidas sin usar transportador. Justificá tus respuestas.

a) EGD c) AGB e) EGB b) FGB d) EGC f) FGC

Medición de ángulos – Sistema sexagesimal.

La unidad del sistema de medida de ángulos es el grado sexagesimal que está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° y sus submúltiplos son:

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Suma de ángulos en el sistema sexagesimal. La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente problema:



Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días? Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:

2 h 48 min 35 s + 2 h 45 min 30 s 4 h 93 min 65 s

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:

4 h 94 min 5 s

De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es: 5 h 34 min 5 s

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

Actividad 5: Resolvé a. 56º 20' 40" + 37º 42' 15" b. 125º 15' 30" + 24º 50' 40" c. 33º 33' 33" + 17º 43' 34" Resta de ángulos en el sistema sexagesimal En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos? Debemos hacer la siguiente operación:

3 h 0 min 0 s − 2 h 48 min 35 s

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas, los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".

2 h 59 min 60 s − 2 h 48 min 35 s

0 h 11 min 25 s

Actividad 5: Resolvé a. 56º 20' 40" - 37º 42' 15" b. 125º 15' 30" - 24º 50' 40" c. 33º 33' 33" - 17º 43' 34" Multiplicación de un ángulo por un número natural. Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de



los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

18º 26' 35" X 3 54º 78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego +1' -60'' 54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego +1º -60' 55º 19' 45"

Actividad 7: Realiza los siguientes productos: a. 56º 20' 40" x 2 b. 37º 42' 15" x 4 c. 125º 15' 30" x 2

d. 24º 50' 40" x 3 e. 33º 33' 33" x 3 f. 17º 43' 34" x 2

División de un ángulo por un número natural. Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

Actividad 8: Realiza las siguientes divisiones: a. 56º 20' 40" : 5 b. 37º 42' 15" : 4 c. 125º 15' 30" : 5

d. 25º 50' 40" : 6 e. 33º 33' 33" : 2 f. 17º 43' 24" : 12

Actividad 9: Si ´´30´48º65ˆ y ´´50´20º30ˆ , calcular:

a) ˆˆ

b) ˆˆ

c) .2

d) 5:

e) 5:ˆˆ.2

Actividad 10: Si ´´48´35º50ˆ , calcular que cumpla las siguientes condiciones:

a) Si y son complementarios b)Si y son suplementarios

Actividad 11: Dado el =60º, representar

a) y su complementario c) y su suplementario

b) y su consecutivo de modo que º150ˆˆ

Actividad 12: hallar el valor de y

a) Si = y además y son complementarios

b) Si = y además y son suplementarios



c) Si = 2. y además y son complementarios

d) Si = 3. y además y son suplementarios

e) Si = + 9º 30´ y además y son complementarios

f) Si = – 9 º 30´ y además y son suplementarios

Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal Al trazar en cierto plano dos rectas paralelas entre sí y un tercera recta transversal (secante) a ellas, quedan determinados ocho ángulos como muestra el siguiente dibujo geométrico.

Las rectas A y B dividen al plano en dos regiones: una interior, formada por los puntos ubicados entre ambas rectas, y otra exterior constituida por los puntos que se encuentran más allá de las paralelas.

La recta C divide al plano en dos semiplanos.

Por lo tanto cada ángulo estará ubicado en una región respecto a las paralelas y en un semiplano respecto a la transversal.

Los ángulos 8y 4 ,7y 3 ,6y 2 ,5y 1 son correspondientes.

Ángulos alternos

Se encuentran en de distinto lado de la transversal y en la misma región respecto a las paralelas. Para nuestro ejemplo son los siguientes pares:

Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes entre sí.



,

1 7 2 8

alternos externos

3 5,4 6 alternos internos

Ángulos

conjugados Dos ángulos son conjugados cuando están de un mismo lado con respecto a la transversal y de una misma región con respecto a las paralelas. Serán conjugados internos cuando correspondan a la región interior y serán conjugados externos cuando correspondan ambos ángulos a la región exterior.

180=5+4

: tantoloPor

al) transversC

y BA // entre ientescorrespondser (por 5=1

)is entre adyacentesser (por 18041

Del mismo modo se puede demostrar para los otros pares de conjugados.

Actividad 13: Responder, justificando.

a) ¿El complemento de un ángulo cualquiera es siempre un ángulo agudo?

b) ¿El suplemento de un ángulo es siempre un ángulo agudo?

c) Si al suplemento del ángulo nulo se le resta el complemento del ángulo recto qué clase de ángulo se obtiene?

d) Si al suplemento del ángulo llano se le resta el complemento del ángulo recto ¿Qué ángulo se obtiene?

e) Un ángulo mide la mitad de su complemento. ¿Cuánto mide ese ángulo?

f) Un ángulo mide la mitad de su suplemento. ¿Cuánto mide ese ángulo?

g) Un ángulo mide la tercera parte de su complemento ¿Cuánto mide ese ángulo?

h) Un ángulo mide la cuarta parte de su suplemento. ¿Cuánto mide ese ángulo?

Actividad 14: Sabiendo que y son complementarios: indicar el valor de en

cada caso.

a) = 37º => = c) =13º 15’ => =

b) = 48º 52’ 30” => = d) = 6º 17” => =

Los ángulos alternos internos y externos son congruentes entre sí.

Los ángulos conjugados (tanto internos como externos) son suplementarios entre sí.



Triángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Escaleno: tiene sus tres lados diferentes.

Isósceles: tiene al menos dos lados iguales.

Equilátero: tiene sus tres lados iguales.

Problema 1:

a) Construí un triángulo con un lado de 6 cm, otro de 4 cm y otro de 5 cm.

b) Indicá los pasos que seguiste para construirlo.

c) ¿con los mismos datos se puede construir un triángulo diferente?

Problema 2: a) Construí un triángulo con un lado de 7 cm, otro de 3 cm y otro de 4 cm

b) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir?

Problema 3: Construir los siguientes triángulos:

a) con un lado de 4 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 80º y 40º

b) con un lado de 4 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 110º y 70º

c) un lado de 4 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 120º y 80º

Demostración:

Trazamos una recta paralela a uno de los lados

c + (a + b´) = 180º por ser conjugados internos

y b = b´ por ser alternos internos

Entonces c + a + b = 180º

Propiedad Nº 1: En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.

Propiedad Nº 2: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º

a + b + c = 180º



Actividad 5: Hallar la medida del ángulo a:

a)

º80ˆ

º40ˆ

ˆ

c

b

a

b)

º47ˆ

º33ˆ

ˆ

c

b

a

c)

º120ˆ

º37ˆ

ˆ

c

b

a

d)

º105ˆ

º98ˆ

ˆ

c

b

a

e)

º84ˆ

º95ˆ

ˆ

c

b

a

Actividad 6: En un triángulo un ángulo mide 76º y los otros dos son iguales ¿cuál

es la medida de cada ángulo?

Actividad 7: Hallar la medida de cada ángulo de un triángulo sabiendo que: b mide

el doble que a y c mide el triple que a

Actividad 8: Construír los siguientes triángulos si es posible. Si no es posible

explicá por qué:

a) Con un lado de 10 cm, otro de 3 cm y otro de 9 cm.

b) Con un lado de 7 cm y los otros dos de 3 cm.

c) Con un lado de 5 cm y los ángulos que se apoyan sobre ese lado de 50º y 70º

d) Con un lado de 5 cm y los ángulos que se apoyan sobre ese lado de 90º y 110º

e) Con un lado de 5 cm, otro de 7 cm y el ángulo que forman esos dos lados de 60º

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Acutángulo: el ángulo mayor es agudo (<90º) su tres ángulos son agudos

Rectángulo: El ángulo mayor es recto (90º) Tiene un ángulo recto y los otros dos

agudos

Obtusángulo: El ángulo mayor es obtuso (>90º) Tiene un ángulo obtuso y los otros

dos son agudos

Altura de un triángulo

La altura de un triángulo es un segmento que va desde un vértice al lado opuesto y es

perpendicular a ese lado.

Como todo triángulo tiene tres vértices,

también tiene tres alturas:



Problema 9: Contruí un triángulo con un lado de 6 cm y los otros dos de 8 cm y tazá

sus alturas.

Problema 10: Contruí un triángulo con un lado de 6 cm otro de 7 cm y otro de 12 cm y

tazá sus alturas.

Problema 11: construí un triángulo con un lado de 5 cm y la altura correspondiente a

ese lado de 7 cm ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir?

Problema 12: Construí un triángulo con un lado de 6 cm y los ángulos que se apoyan

sobre él de 50º y 70º. Marcá sus tres alturas.

Problema 13: Construí un triángulo con in lado de 6 cm, otro lado de 8 cm y la altura

correspondiente a ese lado de 4 cm

Propiedad: las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

Teorema de Pitágoras

Si A y B son los catetos de un triángulo rectángulo y H la hipotenusa, se cumple la

relación: 222 HBA

Actividad 14: Averiguá la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes

triángulos rectángulos:

a)

Hipotenusa

CatetoB

CatetoA

15

8

b)

29

20

Hipotenusa

CatetoB

CatetoA

c)

Hipotenusa

CatetoB

CatetoA

16

12

d)

41

40

Hipotenusa

CatetoB

CatetoA

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa y recíprocamente.



Actividad 15: Calculá la medida de la altura de un triángulo isósceles cuya base

mide 16 cm y los lados miden 10 cm

Triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos

Sean A, B, y C los lados de un triángulo (C es el lado mayor)

Si se cumple: 222 BAC quiere decir que el ángulo opuesto al lado C es de

90º, por lo tanto con esas medidas se forma un triángulo rectángulo.

Si se cumple: 222 BAC quiere decir que el ángulo opuesto al lado C es

mayor de 90º, por lo tanto con esas medidas se forma un triángulo obtusángulo.

Si se cumple: 222 BAC quiere decir que el ángulo opuesto al lado C es

menor de 90º, por lo tanto con esas medidas se forma un triángulo acutángulo.

Actividad 16: Indicá si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo,

acutángulo u obtusángulo.

a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm

b) a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m

c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm

d) a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km

e) a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas

f) a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm

g) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm

Actividad 17: Se cae un poste de 14,5 m de alto sobre un edificio que se encuentra

a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que le golpea?

Actividad 18: Calculá el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y

uno de los lados, 4 cm.

Actividad 19: Calculá la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden

10 cm y 24 cm.



Cuadriláteros

Cuadrilátero Lados Ángulos Diagonales

Cuadrado

4 iguales

Opuestos

paralelos

4 rectos

Iguales,

perpendiculares y

se cortan en su

punto medio

Rectángulo

Opuestos iguales

y paralelos 4 rectos

Iguales y se cortan

en su punto medio

Rombo

4 iguales

Opuestos

paralelos

Dos pares

opuestos

iguales

Perpendiculares y

se cortan en su

punto medio

Romboide

Dos pares

consecutivos

iguales

Un par

opuesto

iguales

Perpendiculares y

una corta a la otra

en su punto medio

Paralelogramo

Opuestos iguales

y paralelos

Dos pares

opuestos

iguales

Se cortan en su

punto medio

Cuadernillo de Matemática para 1º añoProf. Guadalupe Villa del Prat 1 Nombre: Cuadernillo de...

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