PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Disusun Oleh:

1. Devi Aprilia N.(120210102015)2. Defrin Yuniar K.S.(120210102027)3. Desi Rahmawati(120210102071)4. Rizka Hartami P.(120210102107)5. Iswatul Hasanah(120210102111)6. Widya Nur Imami(120210102121)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS JEMBER2014PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran-besaran yang terlibat didalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Secara umum, proses fisika yang bergantung pada dua atau lebih variabel bebas terumuskan dalam pernyataan persamaan diferensial parsial, disingkat PDP. Sebagai contoh, bila kita meninjau gelombang tali, besaran simpangan tali y dan rentangan setimbangnya, selain bergantung pada waktu t juga pada tempat peninjauannya, yakni kedudukan x bagian tali tertentu. Penerapan hukum kedua Newton memberikan persamaan diferensial parsial bagi simpangan y dalam variabel bebas x dan t.Pada pembahasan kali ini kita akan membahas beberapa jenis persamaan differensial parsial bagi sejumlah proses fisika tertentu, metode pemecahan, dan penafsiran fisika pernyataan fungsi pemecahannya. Pemecahannya akan lebih dititik beratkan fungsi pemecahan khususnya, yang memenuhi sejumlah syarat batas (bagi ruang) dan syarat awal (bagi waktu) yang diberikan dengan menerapkan metode pemecahan pemisahan varibel pada beberapa koordinat diantaranya koordinat kartesis, koordinat silinder dan koordinat bola.

1.1 Metode Sparasi Variabel untuk Penyelesaian PDP Secara UmumPenyelesaian PDP dengan metode pemisahan variabel, dapat diasumsikan bahwa bentuk solusi dari PDP dapat dipecah atau dipisahkan menjadi suatu hasil kali pada fungsi dari setiap variabel independen. Penyelesaian PDP dengan pemisahan variabel banyak digunakan dalam berbagai aplikasi misalnya dalam masalah perpindahan panas, getaran dan lain-lain. Metode variable terpisah sendiri merupakan metode penyelesaian persamaan diferensial parsial yang sering digunakan karena fleksibel, dan relatif mudah. Penyelesaian PDP dengan metode pemisahan variabel dapat dituliskan dalam bentuk :U = X . Y

dengan, X = X(x) ; Y = Y(y)sehingga :U(x,y) = X(x) Y(y)di mana X(x) dan Y(y) masing-masing adalah fungsi x dan y, yang kita akan coba tentukan. Karena alasan ini metode tersebut sering kali disebut metode pemisahan variabel.Contoh Soal1. Selesaikan PD Parsial

Dimana, Penyelesaian

Sehingga PDP menjadi : X(x) Y(y) = 4 X(x) Y(y)Atau,

Sehingga,

Karena,

Dari identitas diperoleh :C = 8 , k/4 = -3 k = -12

Jadi penyelesaian akhir PDP adalah :

Latihan Soal1. Selesaikan PD Parsial

Dimana, Penyelesaian

Sehingga PDP menjadi : X(x) T(t) + X(x) T(t) = X(x) T(t)Atau,

Sehingga,

Karena,

Dari identitas diperoleh :C = 4 , k - 1 = -3 k = -2

Jadi penyelesaian akhir PDP adalah :

1.2 Persamaan Perambatan GelombangPada pasal ini kita akan meninjau perambatan gelombang dalam medium 1-dimensi, yakni pada seutas dawai yang kedua ujungnya diikat, seperti pada senar gitar atau piano. Jika seutas tali (benang, senar gitar dan sebagainya) yang panjangnya L direntang sampai mencapai tegangan maksimum dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap di x = 0 dan x = L. PDP yang memenuhi fungsi gelombang y (x,t) adalah :

dengan

1.2.1 Solusi Persamaan Gelombang 1-Dimensi Persamaan gelombang dimensi satu yang menyatakan getaran senar yang direntangkan sejajar sumbu-x dengan panjang L dinyatakan oleh persamaan

Karena ujung-ujung dawai simpangannya nol maka kita mempunyai dua syarat batas yaitu

Bentuk gerakan dawai akan bergantung pada simpangan awal dan kecepetan transversal awal. Diandaikan simpangan awal adalah f(x) dan kecepatan transversal awal adalah g(x). Dengan demikian kita mempunyai dua syarat awal, yaitu a) Simpangan awal dengan . . . (3)b) Kecepatan transversal awal

karena kedua ujung dawai terikat sehingga selalu diam.Terapkan metode pemisahan variabel dengan menuliskan: . . . (5)Ke dalam persamaan (1) sehingga menghasilkan

Atau

Dengan k sebuah tetapan real positif. Penyelesaian persamaan differensial (6) berturut-turut adalah Pemecahan umumnya adalah :

Perhatian: Pada Pers. (6) kita memilih tetapan persamaan terpisahnya k2, karena alasan fisika, bahwa getaran dawai dinyatakan oleh fungsi cosinus dan sinus, ketimbang fungsi eksponensial real. Jika seandainya kita memilih tetapannya 2, maka syarat batas pada ujung tali di x = 1 hanyalah dipenuhi untuk = 0; jika 0 maka haruslah imajiner, atau 2 = k2, dengan k sebuah tetapan real positif seperti di atas.Dengan menerapkan syarat batas persamaan (2.a) : , kita dapati P = 0 sehingga pemecahan (7) menjadi : . . . (8)Di mana tetapan Q,R dan S setelah diserap di dalam tetapan A dan B. penerapan syarat batas (2.b) : , memberikan :

Sehingga pemecahan (8) menjadi : . . . (9)Tetapan An dan Bn ditentukan oleh kedua syarat awal persamaan (8). secara sederhana, kedua syarat awal ini berkaitan dengan cara bagaimana kita menyembunyikan dawai pada awalnya.Contoh Soal1. Tentukan persamaan defleksi (x,t) dari senar yang panjangnya dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) = (0,01 sin x), c2 =T/ =1.Penyelesaian :Persamaan Gelombang :

Syarat batas : (0, t) = (, t) = 0 ; t 0 Syarat awal : (x,0) = 0,01 sin x ; 0 x L

PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :

Sehingga, PD menjadi : =

Persamaan differensial menjadi :

Untuk syarat batas : y (0,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat batas : y (,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0,01 sin x

Penyelesaian khusus PD : Latihan Soal1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya dan kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) = (0,25 sin x), c2 =T/ =1.Penyelesaian Persamaan Gelombang :

Syarat batas : (0, t) = (, t) = 0 ; t 0 Syarat awal : (x,0) = 0,01 sin x ; 0 x L

PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :

Sehingga, PD menjadi : =

Persamaan differensial menjadi :

Untuk syarat batas : y (0,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat batas : y (,t) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0

Penyelesaian PD menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = 0,25 sin x

Penyelesaian khusus PD : 2. Tentukan defleksi (x,t) dari tali yang panjangnya L. Kedua ujungnya dipasang tetap, kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi awalnya :

Penyelesaian :Persamaan differensial gelombang untuk syarat batas adalah : Selanjutnya dengan meninjau syarat awal pada kasus diatas Untuk syarat awal :

Sehingga persamaan diferensialnya menjadi :

Untuk syarat awal : (x,0) = f (x)

Dengan koefisien An dapat dihitung melalui persamaan deret fourier sinus :

Substitusi An pada penyelesaian persamaan diferensial :

1.3 Pemecahan PDP dengan Metode Sparasi Variabel Koordinat Kartesis, Koordinat Bola dan Koordinat Silinder

1.2.1 Penyelesaian persamaan Laplace dalam berbagai koordinat1. Persamaan Laplace di dalam koordinat kartesianDapat dituliskan:

Dapat dituliskan penyelesaiannya dengan sparasi variabel :

Dapat dituliskan persamaan lain dalam bentuk diferensial:

Apabila penyelesaian komponen X, Y, dan Z dapat dituliskan:

Dengan penyelesaiannya selengkapnya dengan penurunan matematis dapat dituliskan:

2. Persamaan Laplace di dalam koordinat silinderPersamaan Laplace dalam koordinat silinder:

Dapat dituliskan penyelesaiannya:

Dibagi pada R, Z, persamaan Laplace di dalam koordinat silindris:

Menghasilkan variabel terpisah membentuk:

Karena antara satu suku dengan yang lain tidak bergantung satu sama lain:

Dapt dituliskan identik dengan persamaan diferensial:

Dengan mensubstitusikan n = x maka dapat dikenal sebagai Persaman Bessel:

Dengan metode Frobenius, dengan mencoba penyelesaian:

Dengan menentukan persamaan indisial:

Untuk k = m menghasilkan hubungan berurutan untuk koefisien:

Dapat diperoleh penyelesaian:

Dengan:

Dari persamaan 28 dikenal sebagai fungsi Bessel orde ke-m, apabila k = -m , kita dapat menuliskan J-m x dapat dituliskan persamaan lengkapnya:

Dengan demikian dapat diperoleh penyelesaian adalah sebuah deret:

3. Persamaan Laplace di dalam koordinat bolaPersamaan Laplace dalam bentuk bola adalah:

Dapat dituliskan penyelesaiannya:

Dibagi pada persamaan Laplace di dalam koordinat bola:

Yang harus berarti suku pertama ruas kiri sama dengan suatu tetapan K misalnya, dan sisa suku lainnya adalah K, suku pertama kita selesaikan dengan menulis :r2 = 0Yang menghasilkan persaman euler :r = ezMenghasilkan penyelesaian :R = Arn + Br-n-1untukn -R = A ln r + B r- untukn = - Dimana n = m1 yang akar persamaan karakteristik memenuhi :K = n (n+1)Adanya penyelesaian untuk S Menghasilkan persamaan dengan variabel terpisah : = m2Dengan penyelesaian persamaan berikut : = A cos m + A sin mserta :sin2 + cot n (n + 1) = m2Dengan mensubtitusikan :u = cos Didapatkan : = = - sin serta = sin2 - cos Melalui perhitungan menghasilkan Persamaan Differensial Lagendre secara umum :

Untuk m = 0 dinamakan persamaan diferensial Lagendre orde ke n, dengan menerapkan metode Frobensius, kita dapat mencoba penyelesaian : = a u+kDengan menentukan persamaan indisial :k(k 1) = 0Untuk k = 0 menghasilkan hubungan berurutan untuk koefisien a :a = - a-2Dapat diperoleh penyelesaian : = a0 1 cos2 + cos4 + . a1 cos - cos3 + . = 0 + 1dengan menguji setiap komponen n baik pada 0 dan 1 :0 untuk n yang bernilai genap 1 untuk n yang bernilai ganjilDari ketentuan yang diperoleh dari persamaan didapatkan :0 = a0 1- + = 1 yang berarti a0 = Sehingga :P4 cos = - cos2 + cos4Dengan demikian untuk m = 0 penyelesaian persamaan Laplace di dalam koordinat bola adalah : (r,,) = Anenz + Bne-nz Pn cosContoh Soal :1. Pecahkan persoalan nilai batas dari persamaan laplace

dengan metode pemisahan variabel dengan syarat batas berikut :

Penyelesaian :Substitusi solusi sparasi variabel u(x,y) = X(x) Y(y) dalam Persamaan

sehingga menghasilkan persamaan : X + kX = 0, Y kY = 0 pers (1)Gunakan syarat batas, maka diperoleh : u(x,0) = X(x)Y (0) = 0 Y (0) = 0 u(0,y) = X(0)Y (y) = 0 X(0) = 0 u(a,y) = X(a)Y (0) = 0 X(a) = 0 Persamaan 1 memiliki 3 macam solusi yang bergantung pada nilai k. Untuk k=0 diperoleh X= 0, solusinya :Substitusi syarat batas u(x,0) , sehingga memberikan solusi, untuk k < 0, misal k = -2, suku pertama persamaan 1 menjadi :Yang mempunyai solusi

Substitusi syarat batas untuk u(0,y) dan u(a,y), diperoleh :

untuk, k = 2 > 0, diperoleh solusi :Dengan substitusi syarat-syarat batas pada X, membuat c1 = 0,

Kembali lagi ke Y dengan , kita mendapat :

Dengan menyelesaikan Y(0) = 0, diperoleh An = 0, dan jadi

Dari persamaan 3 dan 4, kita memperoleh solusi :Dengan prinsip superposisi solusi, kita memperoleh bentuk umum solusi :

Akhirnya syarat batas u(x,b) = f2(x) mengakibatkan bahwa

Kalikan persamaan diatas dengan kemudian integrasikan atas interval 0 < x < 0, kita punya :

1.2.2 Penyelesaian Persamaan Gelombang dalam Berbagai Koordinat :1. Persamaan Gelombang 2 Dimensi dalam system koordinat CartesianSecara umum persamaan gelombang dituliskan : = v22Dengan proses faktorisasi sparasi variabel : x,y,z. t = X (x) Y (y) Z (z) T (t)Persamaan gelombang dua dimensi di dalam system koordinat cartesian :

Dengan membaginya persamaan 61 dengan variabel X T diperoleh persamaan :

Dengan menuliskan ruas kiri sama dengan W2 serta suku pertama dan kedua ruas kanan sama dengan v2p2 dan v2q2 :

Memiliki penyelesaian secara umum :T = A cos wt + B sin wtX = C cos px + D sin pxY = E cos qy + F sin qt Dengan tetapan-tetapan A, B, C, D, E, F, yang ditentukan oleh syarat batasnya. Misalnya gelombang itu ialah gelombang di permukaan bidang segi empat yang beretepikan x = 0, y = 0, x = a dan y = b Dalam hal ini syarat batasnya adalah f (x,y,t) = 0 di tepi-tepi tersebut. Syarat batas demikian akan memberikan hubungan :C = 0D sin pa = 0 yang berarti pa = m dengan m = 0,1,2, 3, . . . .E = 0F sin qb = 0 yang berarti qb = n dengan n = 0,1,2, 3, . . . .Sehingga penyelesaiannya dapat dituliskan :

Seandainya pada saat t = 0, f (x,y,0) = f0 dan df/dt = f (x,y,0) = u0 maka Gmn dan Hmn dapat diperoleh dari persamaan :

Yang dengan menerapkan rumus Euler-Fourier didapat :

2. Persamaan Gelombang dalam system koordinat sferis (bola)Merupakan gelombang yang memancar dari suatu titik sumber gelombang di dalam medium yang isotroop, sehingga medannya berbentuk permukaan bola, berarti amplitudonya adalah simetri bola (hanya tergantung pada jari dari titik pusat/sumber), sehingga dipakai koordinat sferis untuk menyelesaikan persamaan differensialnya.Secara umum persamaan gelombang dituliskan : = v2 r2Dengan proses faktorisasi sparasi variabel untuk menentukan penyelesaian :( r, t ) = R (r) T (t)Dengan proses faktorisasi sparasi variabel untuk menentukan penyelesaian :W2 = v2k2Persamaan differensialnya akan terpecahkan seperti :

Contoh Soal :1. Sebuah membran bujur sangkar dengan a = b =1 dan c = 1/ ditempatkan pada bidang xy. Membran tersebut direntangkan dengan fungsi f (x,y) = x(x -1)y(y -1), 0 < x < 1, 0 < y < 1. tentukan posisi setiap titik pada membran untuk t > 0 Penyelesaian :Kita mempunyai g(x,y) = 0, dan sehingga Bm,n = 0. untuk m,n = 1,2,3, . . . , kita punya :

Jika salah satunya m atau n genap, Bmn = 0Jika keduanya m dan n adalah ganjil, Jadi solusinya adalah

Latihan Soal :1. Sebuah membran bujur sangkar dengan a = 4 cm dan b = 2 cm dan c2 = 12,5 dyne/cm ditempatkan pada bidang xy. Membran tersebut direntangkan dengan fungsi f (x,y) = 0,1(4x-x2)(2y-y2). Tentukan posisi setiap titik pada membran untuk t > 0

Gelombang Permukaan Bidang Segi empatPenyelesaian :

1.1.3 Penyelesaian Persamaan Difusi dalam Berbagai Koordinat :Persamaan difusi sangatlah banyak dalam kehidupan masyarakat yaitu difusi debu dan gas difusi panas (konduksi panas).1. Persamaan Difusi dalam system koordinat Cartesian :Di dalam sistem koordinat kartesian, persamaan difusi dapat dituliskan Dengan mengingat gejala difusi adalah gejala yang tidak stabil sehingga mengalami penurunan nilai eksponensial, sehingga kita dapat menentukan penyelesaian :(x, y, z, t) = e-at X(x) Y(y) Z(z)Dengan mensubtitusikan persamaan 1 kepersamaan 2 :Yang menghasilkan penyelesaian yang berbentuk :

Dengan :

Sehingga penyelesaian lengkapnya :

2. Persamaan Difusi dalam Sistem Koordinat Silindris :

Dengan mengingat gejala difusi adalah gejala yang tidak stabil sehingga mengalami penurunan nilai eksponensial, sehingga kita dapat menentukan penyelesaian :

Dengan mensubtitusikan persamaan 82 ke 81 :

Dengan menuliskan :

Yang menghasilkan penyelesaian berbentuk :

Didapatkan persamaan :

Yang berarti masing-masing ruas harus sama dengan tetapan m2 misalnya ruas kiri sesudah disamakan dengan m2 merupakan persamaan Bessel yang penyelesaiannya diberikan oleh fungsi Bessel Jm x dengan :

Begitu pula untuk ruas kanan sama dengan m2 akan menghasilkan penyelesaian yang berupa fungsi harmonic.Sehingga penyelesaian lengkapnya :

Contoh Soal :1. Tentukan distribusi suhu u(x,t) pada logam yang lebarnya l dimana logam mula-mula mempunyai distribusi suhu mantap yaitu 0 dan 100 pada x = l. jika pada keadaan tak mantap, t C, kedua ujung logam dipertahankan bersuhu 0Penyelesaian :Syarat batas untuk keadaan mantap :U0(0,0) = 0 dan U0 = (l,0)= 100 Karena keadaan awal adalah keadaan mantap maka U0 = (x,0) memenuhi pers. laplace

Penyelesaian PD sebelumnya adalah U0 = ax + bDengan menerapkan syarat batas, diperoleh b = 0 dan a = 100/l. jadi penyelesaian keadaan mantap :

1.4 Tinjauan Umum Bentuk PDP untuk Aliran Fluida