Percobaan Satu Faktor: RancanganPercobaan Satu Faktor: RancanganAcak Kelompok Lengkap

(Randomized Block Design)

Arum H. Primandari, M.Sc.

Latar belakang

• Rancangan Acak kelompok adalah suatu rancangan acak yangdilakukan dengan mengelompokkan satuan percobaan ke dalamgrup-grup yang homogen yang dinamakan kelompok dankemudian menentukan perlakuan secara acak di dalam masing-masing kelompok.

• Melalui pengelompokkan yang tepat atau efektif, makarancangan ini dapat mengurangi galat percobaan yang manadengan adanya pengelompokkan, maka dapat membuatkeragaman satuan-satuan percobaan di dalam masing-masingkelompok sekecil mungkin sedangkan perbedaan antar kelompoksebesar mungkin

Perhatikan kasus berikut

• Ingin mengetahui pengaruh jenis obat terhadapkecepatan penyembuhanFaktor : jenis obat

• Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatanpenyembuhan selain jenis obat?penyembuhan selain jenis obat?Mungkin saja: umur pasien, jenis kelamin(Bila umur pasien sama atau jenis kelamin sama makagunakan saja RAL)

• Bila faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhikeragaman respon (selain faktor yang diteliti) tidakdapat diseragamkan (dikendalikan) oleh peneliti, makaRAL tidak dapat diterapkan.

Mengapa RAKL?

• Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumberkeragaman

• Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaandalam jumlah besardalam jumlah besar

• Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dariunit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkankeragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi

Ciri – ciri RAKL

• Pada satuan percobaan/media/bahan percobaan terdapatfaktor yang tidak seragam (heterogen)

• Terdapat 2 sumber keragaman yaitu perlakuan dan kelompok(plus galat percobaan)

• Keragaman respons disebabkan oleh Perlakuan, Kelompok danGalat

Keuntungan / kelebihan RAK

• Lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan RAL

- Pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlahkuadrat galat, sehingga akan meningkatkan tingkat ketepatanatau bisa mengurangi jumlah ulangan

• Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlah• Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlahulangan/kelompok

• Penarikan kesimpulan lebih luas, karena kita juga bisa melihatperbedaan antar kelompok

Kekurangan RAK

• Memerlukan asumsi tambahan untuk beberapa uji hipotesis

• Interaksi antara kelompok dan perlakuan sangat sulit

• Peningkatan ketepatan pengelompokan akan menurun dengansemakin meningkatnya jumlah satuan percobaan dalamkelompok

• Derajat bebas kelompok akan menurunkan derajat bebas galat,sehingga sensifitasnya akan menurun terutama apabila jumlahperlakuannya sedikit atau keragaman dalam satuan percobaankecil (homogen)

• Jika ada data yang hilang memerlukan perhitungan yang rumit

Pengacakan dan bagan percobaan

• Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan setiapperlakuan diulang dalam 3 kelompok.

• Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok

• Total unit percobaan ada 6 × 3 = 18 unit percobaan

• Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok

• Salah satu bagan percobaan :

P1 P3 P2 P4 P6 P5 Kelompok 1

P3 P5 P6 P4 P1 P2 Kelompok 2

P1 P5 P3 P4 P2 P6 Kelompok 3

Tabulasi Data

• Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:

KelompokPerlakuan Total

KelompokA B C

1 Y11 Y21 Y31 Y1 Y11 Y21 Y31

2 Y12 Y22 Y32

3 Y13 Y23 Y33

Total

Rata-rata

1Y 2Y 3Y

1Y 3Y 2Y

Y

Y

2Y

1Y

2Y

Model linier aditif RAKL

Model linier aditif dari RAKL yaitu:

Dimana:

Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j

μ: rataan umum

ij i j ijY

iid2

ij

i 1,2,...,t

j 1,2,...,r

N 0,

μ: rataan umum

τi: pengaruh perlakuan ke-i

ßj: pengaruh kelompok ke-j

εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, kelompok ke-j

Asumsi untuk model tetap adalah

Asumsi untuk model acak adalah

t r

i ji 1 j 1

0 dan 0

iid iid

2 2i jN 0, dan N 0,

• Hipotesis pengaruh perlakuan

Hipotesis model tetap

0 1 2 t

1 i

H : ... 0

H : 0,(i 1,2,...,t)

Perlakuan tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

• Hipotesis pengaruh kelompok

0 1 2 r

1 j

H : ... 0

H : 0,( j 1,2,...,r)

Kelompok tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

Hipotesis model acak

• Hipotesis pengaruh perlakuan2

0

21

H : 0

H : 0

Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

Keragaman perlakuan berpengaruh positifterhadap respon yang diamati

• Hipotesis pengaruh kelompok2

0

21

H : 0

H : 0

Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

Keragaman kelompok berpengaruh positifterhadap respon yang diamati

Perhitungan analisis variansi

2

t r2ij

i 1 j 1

YFK

tr

JKT Y FK

i 1 j 1

2ti

i 1

2rj

j 1

YJKP FK

r

YJKK FK

t

JKG JKT JKP JKK

Tabel analisis variansi

SV db JK KT Fhitung

Perlakuan t-1 JKP KTP KTP/KTG

Kelompok r-1 JKK KTK KTK/KTG

Galat (t-1)(r-1) JKG KTG

Kriteria keputusan :

1. H0 ditolak jika: (untuk perlakuan)

2. H0 ditolak jika: (untuk kelompok)

Total tr-1 JKT

hitung ,t 1,(t 1)(r 1)F F

hitung ,r 1,(t 1)(r 1)F F

Efisiensi relatif (ER) dari RAK terhadap RAL

• Ukuran kebaikan RAK dengan RAL

2b r r

2b r b

db 1 db 3 ˆER

ˆdb 3 db 1

• Ragam galat dari RAK dan RAL diduga dengaan rumus:

• Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL samadengan RAK maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2kali dari ulangan (kelompok) RAK.

2b

2r

ˆ KTG

r 1 KTK r t 1 KTGˆ

tr 1

Contoh penerapan

Dalam suatu percobaan di bidang peternakan terdapat suatupengaruh tentang berbagai campuran ransum (makanan),katakanlah campuran A, B, C, D terhadap pertambahan bobotbadan selama masa percobaan (diukur dalam kg). Hewanpercobaan yang digunakan adalah domba jantan yang terdiri dariumur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukanumur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukanpengelompokkan dan terdapat empat kelompok berdasarkantingkat umur domba tersebut.

Kelompokumur

Perlakuan

A B C D

Data pertambahan bobot badan (kg)dari 16 domba jantan yangmemperoleh makanan yang berbeda

A B C D

1 2 5 8 6

2 3 4 7 5

3 3 5 10 5

4 5 5 9 2

Penyelesaian

1. Model

Dimana :

Yij: pertambahan bobot badan dari domba ke-j yang

ij i j ijY ;i 1,2,3,4; j 1,2,3,4

Yij: pertambahan bobot badan dari domba ke-j yangmemperoleh campuran makanan ke-i

μ: nilai tengah umum (rata – rata) pertambahan bobot badan

τi: pengaruh perlakuan makanan ke-i

βj: pengaruh kelompok domba (kelompok umur) ke-j

εij: pengaruh galat percobaan pada domba ke-j yangmemperoleh perlakuan makanan ke-i

2. Asumsi

• Komponen-komponen µ, τi, βj, dan εij bersifat aditif

• Nilai-nilai τi (i= 1,2,3,4) tetap,

• Nilai-nilai βj (j = 1,2,3,4) tetap,

i i ii

0 dan E

j j jj

0 dan E

• εij timbul secara acak, menyebar normal dengan nilai tengahsama dengan nol dan ragam σ².

j

3. Hipotesis

0 1 2 3 4

1 i

H : 0

H : 0,(i 1,2,3,4)

Yang berarti tidak ada pengaruh perlakuanmakanan terhadap pertambahan bobotbadan domba jantan.

H : ... 0 Yang berarti tidak ada pengaruh kelompok

0 1 2 r

1 j

H : ... 0

H : 0,( j 1,2,...,r)

Yang berarti tidak ada pengaruh kelompokumur terhadap pertambahan bobot badandomba jantan.

4. Taraf signifikasi

5. Statistik uji

6. (Kriteria keputusan)

7. Perhitungan– perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG– perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG

– tabel analisis variansi

8. Kesimpulan

Hitung pula:

1. Koefisien Keragaman (KK)

2. Sensifitas RAK terhadap RAL (ER)

Data Hilang dalam RAK

• Terkadang data dalam satuan percobaan tertentu hilang atautidak dapat dipergunakan, misalkan pada kasus percobaanpemberian ransum pada domba jantan, ada domba yang sakitatau mati.

• Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933)• Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933)memungkinkan kita untuk menduga data yang hilangtersebut.

• Suatu dugaan terhadap data yang hilang tidak akanmemberikan tambahan informasi kepada peneliti, tetapihanya sebagai fasilitas untuk analisis dari data yang tersisatersebut.

Kehilangan Data tunggal (Single value)

• Untuk data tunggal dalam RAK yang hilang, maka dugaannyadihitung dengan formula:

Dimana:

rB tT G

Yr 1 t 1

Dimana:

r dan t: jumlah kelompok dan perlakuan

B dan T: total nilai pengamatan dalam kelompok danperlakuan yang kehilangan satuan percobaannya.

G: total seluruh nilai pengamatan.

• Kemudian nilai dugaan tersebut dimasukkan dalam tabelpengamatan dan dilakukan analisis variansi.

• Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehinggajumlah kuadrat galat dalam analisis variansi menjadiminimum. Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias ke atassebesar:

2

B t 1 Y

B t 1 YBias

t t 1

• Contoh

Kelompokumur

Perlakuan TotalkelompokA B C D

1 2 5 8 6 21

2 3 4 7 5 192 3 4 7 5

3 3 - 10 5 18

4 5 5 9 2 21

Totalperlakuan

13 14 34 18 79

rB tT G 4 18 4 14 79

Y 5.4r 1 t 1 (4 1)(4 1)

• Nilai dugaan 5.4 ini kemudian dicoba sebagai suatu nilaipengamatan untuk analisis variansi. Dengan demikian totalkelompok ketiga yang tadinya 18 menjadi 23.4 dan totalperlakuan B menjadi 19.4 dan total keseluruhan 84.4.

• Biasnya:• Biasnya:

• Dengan demikian penduga tak bias bagi JKP yaitu:

JKP (hasil perhitungan) – bias

2 2

B t 1 Y 18 (4 1)5.4Bias 0.27

t t 1 4(4 1)

• Hasil analisis variansi dengan data hilang

SV db JK KT F

Kelompok 3 2.43 0.81

Perlakuan 3 61.13+ 20.38 9.39

Galat 9 – 1 = 8 17.39 2.17

Total 15 – 1 = 14 80.95

• Keterangan: +bias = 0.27 sehingga JKP tak bias = 61.13 – 0.27 = 60.86

• Analisis variansi alternatif

Total 15 – 1 = 14 80.95

SV db JK KT F

Kelompok 3 2.43 0.81

Perlakuan 3 60.86 20.38 9.35

Galat 8 17.39 2.17

Total 14 80.65

Kehilangan Data Lebih dari Satu

• Data Pertambahan Bobot Badan (kg) dari Domba Jantan yangMemperoleh Makanan Berbeda

Kelompokumur

Perlakuan TotalkelompokA B C D

1 2 5 8 6 21

• Prosedur pendugaan dilakukan dengan cara iterasi.

1 2 5 8 6 21

2 3 4 7 h1 14

3 3 h2 10 5 18

4 5 5 9 2 21

Totalperlakuan

13 14 34 13 74

• Prosedur iterasinya:

1. Pendugaan h1 melalui:

i j

1

Y Y 13 3 14 3h 4.5

2 2

2. Pendugaan h2 (iterasi pertama) dengan menggunakan rumushilang data tunggal sebelumnya.

2

rB tT G 4 18 4 14 (74 4.5)h 5.5

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

3. Pendugaan h1 (iterasi pertama) dengan rumus sama.

4. Pendugaan h2 (iterasi kedua) dengan cara sama.

1

rB tT G 4 14 4 13 (74 5.5)h 3.2

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

4. Pendugaan h2 (iterasi kedua) dengan cara sama.

2

rB tT G 4 18 4 14 (74 3.2)h 5.6

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

5. Pendugaan h1 (iterasi kedua)

6. Pendugaan h2 (iterasi kedua)

1

rB tT G 4 14 4 13 (74 5.6)h 3.2

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

6. Pendugaan h2 (iterasi kedua)

• Dari proses iterasi terlihat bahwa nilai h1 dan h2 telahkonstan di nilai h1 = 3.2 dan h2 = 5.6

2

rB tT G 4 18 4 14 (74 3.2)h 5.6

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

• Datanya menjadi:

Kelompokumur

Perlakuan TotalkelompokA B C D

1 2 5 8 6 211 2 5 8 6 21

2 3 4 7 3.2 17.2

3 3 5.6 10 5 23.6

4 5 5 9 2 21

Totalperlakuan

13 19.6 34 16.2 82.8

• Besarnya bias untuk dua data hilang

2 2

1 1 2 2B t 1 Y B t 1 YBias

t t 1

• Tabel analisis variansi

SV db JK KT F

Kelompok 3 5.21 1.74

Perlakuan 3 64.41 21.47 9.71

Galat 9 – 2 = 7 15.49 2.21

Total 15 – 2 = 13 85.11Total 15 – 2 = 13 85.11

2 2

14 (4 1)3.2 18 (4 1)5.6Bias 1.73

4(4 1)

• Tabel analisis variansi alternatif

SV db JK KT F

Kelompok 3 5.21 1.74

Perlakuan 3 62.68 20.89 9.49

Galat 7 15.49 2.21

Total 13 83.38Total 13 83.38

Referensi

• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam PenelitianPercobaan, Tarsito, Bandung.

• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPerancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPress, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis ofExperiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.

Thank YouThank You