SOAL UTS: TEORI MODUL

Semester Ganjil Tahun Akedemik 2013/2014

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA

Waktu: 120 Menit

Sifat: Buku Tertutup

KERJAKAN MULAI DARI SOAL YANG ANDA PANDANG MUDAH

DAHULU!!

1. Pada ruang vektor R2 = {

(a

b

)| a, b ∈ R}, didefinisikan transformasi linear T :

R2 → R2 dengan definisi

T

(a

b

)=

(2b

0

)

untuk setiap

(a

b

)∈ R2.

Perintah: Jelaskan bahwa R2 juga dapat dipandang sebagai modul atas ring polino-

mial R[x] terhadap operasi yang didefinikan sebagai berikut

p(x).v = p(T )(v), ∀p(x) ∈ R[x], ∀v ∈ R2.

2. Misalkan M merupakan modul atas ring dengan elemen sataun R dan I ideal di R.

Selanjutnya didefinisikan himpunan

IM = {n∑

i=1

rimi | n ∈ N, ri ∈ I,mi ∈ M}.

(a) Tunjukkan IM merupakan submodul dalam M .

(b) Jika I = {0}, hitung IM .

3. Misalkan M merupakan modul atas daerah integral R.

(a) Tunjukkan himpunan

MT = {m ∈ M | (∃r 6= 0 ∈ R)rm = 0},

merupakan submodul dalam M .

Page 1 of 2

(b) Tunjukkan himpunan

NR(M) = {r ∈ R | rm = 0,∀m ∈ M}

merupakan ideal dalam R.

4. Misalkan (G,+) adalah suatu grup abelian, maka G dapat dipnndang sebagai modul

atas daerah integral bilangan bulat (Z,+, )̇. Dengan memandang Z sebagai modul

atas dirinya sendiri maka dapat dibentuk himpunan semua homomorphisma modul

dari Z ke G yakni dapat dibentuk

HomZ(Z, G) = {f : Z → G | f homomorphisma modul atas Z}.

(a) Deskripsikan elemen-elemen dalam HomZ(Z, G).

(b) Tunjukkan fungsi

Ψ : HomZ(Z, G) → G

dengan definisi

Ψ(f) = f(1), ∀ f ∈ HomZ(Z, G)

merupakan homomorphisma yang bijektif.

– SELAMAT MENGERJAKAN DAN SEMOGA SUKSES!! –

Page 2 of 2