AnalisaDinamikaStruktur 

 

SOAL 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DIKETAHUI : 

Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut :

L = 6 m q1 = 3 t/m g = 980 cm / detik2

h1 = 6 m q2 = 3 t/m k1 = 5 x 103 kg/cm

h2 = 5 m q3 = 2,5 t/m k2 = 4 x 103 kg/cm

h3 = 4 m k3 = 3 x 103 kg/cm

DIMINTA :

Tentukan Respon struktur tersebut diatas akibat gempa El Centro

q1

q2

q3

h3

h2

h1

L

AnalisaDinamikaStruktur 

 

PENYELESAIAN :

Perhitungan Massa :

ω1 = q1 . L

= ( 3 x 103 ) x 6

= 18.000 kg

ω2 = q2 . L

= ( 3 x 103 ) x 6

= 18.000 kg

ω3 = q3 . L

= ( 2,5 x 103 ) x 6

= 15.000 kg

cmkgg

m /det367,18980

18000 211

cmkgg

m /det367,18980

18000 222

 

cmkgg

m /det306,15980

15000 233

 

Model Matematik

AnalisaDinamikaStruktur 

 

Free Body

Berdasarkan keseimbangan gaya – gaya pada freebody diagram, maka dapat disusun PD

(Persamaan Differensial ) gerakan sebagai berikut :

m1 . y1 + k1 . y1 – k2 ( y2 – y1 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 1 )

m2 . y2 + k2 ( y2 – y1 ) – k3 ( y3 – y2 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 )

m3 . y3 + k3 ( y3 – y2 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 3 )

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

m1 . y1 + ( k1 + k2 ) y1 – k2 . y2 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 4 )

m2 . y2 – ( k2 . y1 ) + ( k2 + k3 ) y2 – k3 . y3 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 5 )

m3 . y3 – k3 . y2 + k3 . y3 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 6 )

Atau bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi :

0

0

0

3

2

1

330

3)32(2

0221

3

2

1

300

020

001

y

y

y

kk

kkkk

kkk

y

y

y

m

m

m

 

Jika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks

massa dan matriks kekakuan struktur 3 DOF diatas adalah :

5306,100

08367,10

008367,1

m 

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 7 )

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 8 )

AnalisaDinamikaStruktur 

 

kk

kkk

kk

k

330

374

049

 

Persamaan Eigen Problem yang dapat diperoleh dari matriks [ m ] dan matriks [ k ] adalah :

2

2

2

5306,1330

38367,174

048367,19

mkk

kmkk

kmk

 

Sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi :

0

0

0

5306,1330

38367,17

4

048367,19

3

2

1

2

2

2

mk

kk

k

mk

kk

k

mk

k

Penyederhanaan persamaan ( 11 ), menjadi :

( 9 – 1,8367 λ ) ø1 - 4 ø2 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 12 )

-4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 13 )

-3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 14 )

Dengan mengambil nilai ø1 = 1, maka pada persamaan ( 12 ) dan persamaan ( 13 ) akan menjadi:

Persamaan ( 12 )

( 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2 = 0

( 9 – 1,8367 λ ) 1 – 4 ø2 = 0

9 – 1,8367 λ – 4 ø2 = 0

4 ø2 = 9 – 1,8367 λ

ø2 = 2,25 – 0,4592 λ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 15 )

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 9 )

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 10 )

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 11 )

AnalisaDinamikaStruktur 

 

Persamaan ( 13 )

-4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3 = 0

-4 x 1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ( 2,25 – 0,4592 λ ) – 3 ø3 = 0

-4 + 15,75 – 4,1326 λ – 3,2144 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3 = 0

11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3 = 0

3 ø3 = 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2

ø3 = 3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 16 )

Substitusi Persamaan ( 15 ) dan persamaan ( 16 ) ke dalam persamaan ( 14 )

-3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3 = 0

-3 (2,25 – 0,4592 λ ) + (3 – 1,5306 λ ) (3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 ) = 0

-6,75 + 1,3776 λ + 11,7501 – 7,347 λ + 0,8433 λ2 – 5,995 λ + 3,748 λ2 – 0,4302 λ3 = 0

5,001 – 11,9644 λ + 4,5913 λ2 – 0,4302 λ3 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 17 )

Cara paling sederhana mencari nilai λ adalah dengan cara coba – coba dan diperoleh :

det/581,14367,18

5000781,0781,0 11 rad

 

det/972,29367,18

4000125,4125,4 22 rad

 

det/205,38306,15

3000447,447,7 33 rad

 

 

AnalisaDinamikaStruktur 

 

No Nilai Fungsi øi Nilai Fungsi øi

Mode I = 0,781 Mode II = 4,125 Mode III = 7,447

1 ø1 = 1 ø11 = 1 ø12 = 1 ø13 = 1

2 ø2 = 2,25 – 0,4592 λ ø21 = 1,891 ø22 = 0,3558 ø23 = -1,1696

3 ø3 = 3,9167–2,449λ + 0,2811 λ2 ø31 = 2,1755 ø32 = -1,4023 ø33 = 1,2682

Ø31

Ø21

Ø11 Ø12

Ø22

Ø32

Ø13

Ø23

Ø33

Mode I Mode II Mode III

Gambar Normal Mode