TEORA DE CONJUNTOS

12ISP N3 - Profesorado de Matemtica - Matemtica GeneralProf. Lorena Gambini

PROFESORADO DE MATEMTICA

PRIMER AO

UNIDAD N 1 : LGEBRA DE CONJUNTOS

PROFESORA: LORENA GAMBINIALGEBRA DE CONJUNTOS

NOCIN DE CONJUNTOS

El concepto de conjunto aparece en todas las ramas de la matemtica. En este contexto, la palabra conjunto, es un trmino primitivo; es decir, un concepto que todos entendemos intuitivamente de la misma manera y que no requiere ser definido en trminos de conceptos ms elementales.

As, en lugar de intentar definir dicho concepto, presentamos a continuacin algunos ejemplos y observaciones que contribuyen a precisar lo que habremos de entender por conjunto:

La totalidad de libros de la biblioteca de la facultad.

Las personas de este saln menores de 20 aos.

Los puntos de una recta.

Los tringulos issceles.

Los libros de la biblioteca, las personas, los puntos, los tringulos, son los elementos de los diversos conjuntos mencionados.

Los conceptos conjuntos y elementos se explican mutuamente y no es posible concebirlos por separado: un conjunto est formado por elementos y a la vez ciertos elementos constituyen un conjunto.

Una caracterstica importante de los conjuntos es la siguiente: siempre se debe poder afirmar, categricamente, si un ente u objeto dado pertenece o no pertenece a un conjunto determinado.

SIMBOLOGA Y DESCRIPCIN

Como smbolos para representar a los conjuntos usaremos letras maysculas y para representar los elementos letras minsculas.

Para indicar que x es un elemento del conjunto S (se dice tambin que pertenece a S) escribimos: x ( S. Si x no pertenece al conjunto S, se escribe x ( S.

1) Dar una lista completa de los elementos del conjunto, o sea enumerando los elementos del mismo (definicin por enumeracin o extensin).

Ej.: A = {a ; e ; i ; o ; u} es el conjunto de vocales del alfabeto.

Denota el conjunto A cuyos elementos son las letras a, e, i, o, u. Notemos que los elementos van separados por comas y encerrados entre llaves { }.

2) Dar una propiedad caracterstica indicando las condiciones que deben satisfacer los elementos (definicin por comprensin o por propiedad).

Por ejemplo, B = {x / x son los nmeros enteros, x ( 0} que se lee B es el conjunto de los x tales que x son enteros y mayores que cero, describe el conjunto B cuyos elementos son los enteros positivos. Una letra, generalmente x, se emplea para identificar el elemento representativo del conjunto; el smbolo / se len como tal que y la coma como y. Veamos otro ejemplo: A = {x / x = 2 n ( 1 ( n ( (}.Nota: la barra que est a continuacin del elemento genrico significa tal que y ( es el conjunto de los nmeros enteros.

Ejemplo 1: El conjunto B dado anteriormente se puede escribir como B = {1; 2; 3; ...}.

Observemos que -6 ( B, 3 ( B y ( ( B.

Ejemplo 2: El conjunto A dado anteriormente tambin se puede escribir como

A = {x / x es una letra del alfabeto, x es una vocal}

Observemos que b ( A, e ( A y p ( A.

Ejemplo 3: Sea E = {x / x2 3 x + 2 = 0}. En otras palabras, E consta de aquellos nmeros que son soluciones de la ecuacin x2 3 x + 2 = 0, denominado algunas veces el conjunto solucin de la ecuacin dada. Ya que las soluciones de la ecuacin son los nmeros 1 y 2, podemos tambin escribir E = {1; 2}.

CONJUNTO VACIO Y CONJUNTO UNIVERSAL

Un concepto quiz no tan intuitivo, pero s indispensable, es el conjunto vaco. Se llama as a un conjunto sin elementos, al cual se representa mediante unas llaves {} o tambin mediante el smbolo (.

Por otra parte, un conjunto que contiene a todos los elementos posibles, o al menos a todos los que van a considerarse en una situacin dada, se llama conjunto universal y se representa con la letra . Ejemplo: si A = {x / 2 x = 5 ( x = 0}, es importante especificar el conjunto :Si tomamos = R, entonces A =

Si tomamos = (, entonces A = {0}

Si tomamos = (, entonces A =(R es el conjunto de los nmeros reales.

( es el conjunto de los nmeros enteros.

( es el conjunto de los nmeros naturales.

(0 es el conjunto de los nmeros naturales y el cero.

( es el conjunto de los nmeros racionales.

( es el conjunto de los nmeros irracionales.

Veamos ms ejemplos:

Ejemplo 1: En geometra plana, el conjunto consta de todos los puntos en el plano.

Ejemplo 2: En estudios de poblacin humana, el conjunto tiene toda la gente del mundo.

Ejemplo 3: Sea A = {x / x2 = 4, x es impar}. Entonces A es vaco, A = (.

Ejemplo 4: Sea B el conjunto de personas de ms de 200 aos de edad. De acuerdo con las estadsticas, B es el conjunto vaco.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Un conjunto es finito si consta exactamente de n elementos diferentes, donde n es algn entero positivo; de otra manera es infinito.

Ejemplo 1: Sea M el conjunto de los das de la semana. En otras palabras

M = {lunes ; martes ; mircoles ; jueves ; viernes ; sbado ; domingo}

Entonces M es finito.

Ejemplo 2: Sea Y = {2; 4; 6; 8; ....}. Entonces Y es infinito.

Ejemplo 3: Sea P = {x / x son los ros de la Tierra}. Aunque sea difcil contar el nmero de ros en la Tierra, P es un conjunto finito.

SUBCONJUNTO

Ejemplo: Si A= {tringulos equilteros}; B = {tringulos} A ( B

Nota: Si A no est incluido en B, se escribe A ( B. y nos dice que existe una x ( A tal que x(B.

Ejemplo 1: Consideremos los conjuntos A = {1; 3; 5; 7; ....}, B = {5; 10; 15; 20; ....}

C = {x / x es primo, x ( 2} = {3; 5; 7; 11; ....}

Entonces C ( A ya que todo nmero primo mayor que 2 es impar. Por otra parte, B ( A ya que 10 ( B pero 10 ( A.

Ejemplo 2: Sea ( el conjunto de los enteros positivos, ( el conjunto de los enteros, ( el conjunto de los nmeros racionales y ( el conjunto de los nmeros reales. Entonces

( ( ( ( ( ( (Ejemplo 3: El conjunto E = {2; 4; 6} es un subconjunto del conjunto F = {6; 2; 4}, ya que cada nmero 2; 4; 6 que pertenece a E tambin pertenece a F. En efecto, E = F. De una manera semejante puede demostrarse que todo conjunto es un subconjunto de s mismo.

Como se anot en el ejemplo precedente, A ( B no excluye la posibilidad de A = B.

IGUALDAD DE CONJUNTOSSe considera que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, sin importar el orden en que estos se encuentran expresados o que algunos de ellos est considerado ms de una vez.

As, por ejemplo, son iguales los conjuntos A = {a ; b ; c} y B = {a ; c ; b}

Como tambin lo son los conjuntos A = {a ; b ; c} y C = {a ; b ; a ; c ; b}

Apoyndonos en el concepto de subconjunto, podemos definir la igualdad as:

Si A y B no son iguales, se dicen distintos y se escribe A ( B.

De esta manera, para los conjuntos A, B y C descriptos anteriormente, se tiene que

A = B A = C y B = C

Mientras que, si D = {a; b} se tendr que:A ( D , B ( D y C ( D Para los conjuntos A y D se cumplen tambin las siguientes relaciones

D ( A A = D y D ( A

Ejemplo: Sea E = {x / x2 3 x + 21 = 0}, F = {2 ; 1} y G = {1; 2; 2; 1; }.

Entonces E = F = G. Observemos que un conjunto no depende de la manera como se presentan sus elementos. Un conjunto queda igual aunque sus elementos se repitan o reagrupen.

DIAGRAMA DE VENN

Los conjuntos pueden ser interpretados grficamente por medio de los llamados diagramas de Venn. En tales diagramas, los conjuntos estn representados por regiones cerradas al plano, cuyos puntos interiores corresponden a los elementos del conjunto. Dichas regiones se dibujan usualmente dentro de un rectngulo que represntale conjunto universal.

De esta forma los conjuntos:

A = {x / x es una letra del alfabeto castellano}

B = {a; e; i; o; u}

C = {a; b; c; d; e}

P = {2 n / n es un entero positivo}, es decir, P es el conjunto de los nmeros enteros positivos pares. Pueden quedar representados mediante el siguiente diagrama de Venn.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: unin, interseccin, diferencia y complementoLa unin de dos conjuntos es agrupar los elementos de ambos en un solo conjunto, llamado la unin de estos, como se establece a continuacin.

En esta definicin la o est empleada en un sentido no excluyente; es decir, en la unin se consideran tanto los elementos que pertenecen a algunos de los dos conjuntos como los que pertenecen a ambos.

En el siguiente diagrama la unin de A y B est representada por la regin sombreada.

A ( B A ( B = A si B ( A A ( B

La interseccin de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos, es decir, por los elementos comunes.

En el siguiente diagrama la interseccin de A y B corresponde el rea sombreado.

A ( B A ( B = B si B ( A A ( B = (

A y B se dicen

conjuntos disjuntos

La diferencia A menos B de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B, como lo indica la siguiente definicin:

Es importante observar que, en general, la diferencia A - B y la diferencia B - A son dos conjuntos diferentes.

Para los conjuntos A y B representados en el siguiente diagrama, la diferencia A - B corresponde a la regin rayada y la diferencia B - A a la regin punteada.

El complemento de un conjunto est constituido por todos los elementos que no pertenecen a dicho conjunto (y que pertenecen, claro est, al conjunto universal). As, apoyndonos en la definicin de diferencia, podemos establecer el concepto de complemento de la siguiente manera:

El complemento de A est representado en el siguiente diagrama por la regin rayada.

Existe otra operacin llamada diferencia simtrica:

El diagrama correspondiente es:

Otra identificacin de la diferencia simtrica es:

A ( B = (A ( ) ( (B ( )

Que se deduce como consecuencia inmediata de la definicin, teniendo en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es igual a la interseccin del primero con el complemento del segundo. Resulta tambin:

A ( B = (A ( B) - (A ( B)

Para ilustrar el empleo de las operaciones que acabamos de definir, consideramos nuevamente los conjuntos

A = {x / x son las letras del alfabeto castellano}

V = {a ; e ; i ; o ; u}

C = {a ; b ; c ; d ; e}

P = {2 n / n son los enteros positivos}

y sea el conjunto de todas las letras y todos los nmeros.

Ejercicio: verificar que para tales conjuntos se tiene:

V ( C = {a ; b ; c ; d ; e ; i ; o ; u}

V ( C = {a ; e}

A ( V = A

A ( V = V

A ( P = ( (por lo tanto, se dice que A y P son conjuntos disjuntos)

V - C = {i ; o ; u}

C - V = {b ; c ; d}

A - V = {x / x son las consonantes del alfabeto castellano}

V - A = (A - P = A

( P =

( P = P

( C = ((V ( C) ( A = A

(V - C) ( (A - V) = (A continuacin, se presentan varias igualdades las que se cumplen para conjuntos A, B y C cualesquiera, por lo que ellas constituyen leyes de la teora de conjuntos.

A ( ( = A

A ( = A ( A = A

A ( = A - A = ( A - ( = A

= A = A ( ( = ( A ( = A

A ( A = A

A ( = ( A - B = A (

= (Leyes conmutativas:

A ( B = B ( A ( A ( B = B ( A

Leyes asociativas:

(A ( B) ( C = A ( (B ( C) ( (A ( B) ( C = A ( (B ( C)

Leyes distributivas:

A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C) ( A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C)

(B ( C) ( A = (B ( A) ( (C ( A) ( (B ( C) ( A = (B ( A) ( (C ( A)Leyes de De Morgan:

(

A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C) ( A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C)

Nota: cada una de las leyes anteriores proviene de la ley lgica anloga de la unidad N 1.

Teorema Cada una de las condiciones siguientes es equivalente a A ( B. 1) A ( B = A 3 ) ( 5 ) B ( = 2 ) A ( B = B 4 ) A ( = (Entonces podemos realizar el siguiente resumen: ( ( ( y ( ( (CARDINAL DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto cualquiera, llamaremos cardinal de A al nmero de elementos de A y lo notaremos como # A.

Ejemplos: Si V = {x/x son las estaciones del ao} entonces # V = 4

Si P = {x/x es un nmero primo par} entonces # P = 1

Si L = {x/x son los nmeros pares menores de 20} entonces # L = 9Conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dados, podemos obtener el cardinal de otros conjuntos que son unin, interseccin, diferencia o complementos de los conjuntos dados. Si tenemos dos conjuntos A y B definimos el cardinal de la unin de estos conjuntos de la siguiente forma:

# (A ( B) = # A + # B ( # (A ( B)

En el caso de ser tres conjuntos:

# (A ( B ( C) = # A + # B + # C ( # (A ( B) ( # (B ( C) ( # (C ( A) + # (A ( B ( C)

Si los conjuntos son disjuntos (A ( B = (), entonces la relacin anterior se reduce a:

# (A ( B) = # A + # B

Ejemplo 1: Se realiza una encuesta entre 42 personas y se observa que 26 de ellas tienen registro para conducir autos, 14 registros para conducir motos y 8 registros para conducir ambos vehculos.

Analizamos la situacin presentada:42 personas encuestadas = {x / x es persona encuestada}

26 tienen registro para A = {x / x es persona encuestada con registro

conducir autos para conducir autos}

14 tienen registro para M = {x / x es persona encuestada con registro

conducir motos para conducir motos}

8 tienen registro para A ( M = {x / x es persona encuestada con

conducir autos y motos registro para conducir autos y motos}Graficamos a partir de los datos anteriores sabiendo que:

# U = 42 # M = 14 # A = 26 # (A ( M) = 8

Si # A = 26

# (A ( M) = 8 # (A M) = # A - # (A ( M) = 18

Si # M = 14

# (A ( M) = 8 # (M A) = # M - # (A ( M) = 6

Ahora podemos contestar todas las preguntas que quieran hacernos sobre esta situacin problemtica.

CONJUNTO POTENCIASe llama conjunto potencia de un conjunto dado, al conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A y se indica P(A).Ejemplo: El conjunto A = {a ; b ; c}, entonces el conjunto potencia de A es:

P(A) = {( ; {a} ; {b} ; {c} ; {a ; b} ; {a ; c} ; {b ; c} ; {a ; b ; c}}

El nmero de subconjuntos del conjunto dado, se calcula con:

|P(A)| = 2n siendo n el nmero de elementos del conjunto A.

Entonces, en el caso del ejemplo dado, se tiene: 23 = 8 subconjuntos

TRABAJO PRCTICO N 1

1- Cules de los conjuntos siguientes son iguales:

{r; t; s}, {s; t; r; s}; {t; s; t; r}; {s; r; s; t}?

2- Determinar si alguno de los conjuntos siguientes es vaco:

a) X = {x / x 2 = 9 ( 2 x = 4} ; b) Y = {x / x ( x} ; c) Z = {x / x + 8 = 8}

3- Expresar los siguientes conjuntos por el mtodo de extensin

a) A = {x / x ( N , 5 ( x ( 18 ( x es par}

b) B = {Las letras de la palabra matemtica}

c) C = { x / x 2 16 = 0}

4- Sean V = {d}; W = {c ; d} ; X = {a ; b ; c}; Y = {a ; b} y Z = {a , b , d}.

Determinar cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules falsos:

a) Y ( X, b) W ( Z, c) Z ( V, d) V ( X, e) X = W, f) W ( Y.

5- Dados los conjuntos M, N y P no vacos, se sabe que:

M (N ( P) = {a,b,c} y M ( (N ( P) = {d ,e}

Hallar el conjunto M.

6- Sean los siguientes conjuntosP = {r ; s ; t ; u ; v ; w}

Q = {u ; v ; w ; x ; y ; z}

R = { s; u ; y ; z}

S = {u ; v}

T = {s ; u}

V = {1}

Z = (

Determinar cul de estos conjuntos: a) es subconjunto de P y Q nicamente (propio).

b) es subconjunto de R pero no de Q.

c) no es subconjunto de P ni de R.

d) no es subconjunto de R pero si de Q.

e) es subconjunto de todos los dems.

7- Sean = {1; 2; ..... ; 8; 9}, A = { 1; 2; 3; 4}, B = {2; 4; 6; 8} y C = {3; 4; 5; 6}.

Encontrar: a) b) A ( C c) d) A ( B e) B C

8- Sea el conjunto universal = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Y los subconjuntos A = {1; 3; 5; 7} ; B = {2; 4} ; C = {1; 2; 3}

Especificar por extensin los siguientes conjuntos ; ; 9- Especificar por extensin el conjunto si = {Administracin, Contabilidad, Finanzas, Informtica, Mercadotecnia, Produccin, Relaciones Humanas} y el subconjunto A = {Mercadotecnia, Produccin}

10- Sombrear en cada uno de los siguientes diagramas A ( B

A B A B A B A B

11- Sombrear en cada uno de los siguientes diagramas A ( B.

A B B A B A B A

12- Sombrear: a) b) c)

13- Sea A = {a ; e ; i ; o ; u} B = {a ; b ; c ; d ; e ; u}

Hallar: A B y B A

14- Sea P = {1; 2; 3; 5; 7} Q = {2; 3; 4; 6} R = {1; 2; 9; 11}

Encontrar los siguientes conjuntos:

a) P Q ; b) (P Q) R ; c) Q R ; d) P (Q R) ; e) ( ( (P ( Q ( R)

15- Sombrear:

a) A ( (B ( C) b) (A ( B) ( (A ( C) c) (A C) ( B

16- Sea = {a; b; c; d; e; f; g} P = {a; c; d; e} y Q = {a; b; f}

Hallar: P ( Q ; ; ( Q ; P ( Q ; ( P

17- Observar las siguientes proposiciones y decir si son correctas o falsas. Justificar.

a) A ( (b) 3 ( {3; 5}

c) {4; 8; 23 ; 3} = {(( 2) 2 ; 8; 3}

d) {a; b; c} = {c; b; d; e; a}

e) ( ( {1; 2; a; b}

f) 0 ( (g) ( ( h) {2; 4} = {{2} ; {4}}

18-- En una encuesta de 60 personas, se observ que 25 leen "El Tiempo", 26 leen "La Prensa" y 26 leen "El Mundo". Tambin 9 leen tanto "El Tiempo" como "El Mundo", 11 leen tanto "El Tiempo" como "La Prensa", 8 leen tanto "La Prensa" como "El Mundo" y 8 no leen ninguno de los 3 peridicos.

a) Encuentre el nmero de personas que leen los tres peridicos.

b) Confeccione el diagrama de Venn llamando a los conjuntos T, P y M

c) Determine el nmero de personas que leen exactamente 1 peridico

19- En una encuesta realizada en algunos pases acerca de los productos de mayor exportacin se encontr que: 8 pases exportan caf, 15 pases exportan petrleo, 13 pases exportan frutas, 6 exportan slo frutas y petrleo, 4 slo frutas, 3 exportan los 3 productos y slo caf y petrleo ninguno.

a) Cuntos pases fueron encuestados?

b) Cuntos exportan slo caf?

c) Cuntos pases exportan slo petrleo?

20- 100 personas respondieron a un cuestionario formado por 3 preguntas. Se sabe que: 8 contestaron bien las 3 preguntas, 9 contestaron bien slo la primera y la segunda, 11 contestaron bien slo la primera y la tercera, 6 contestaron bien slo la segunda y la tercera, 55 contestaron bien la primera por lo menos, 32 contestaron bien la segunda por lo menos y 49 contestaron bien la tercera por lo menos.

Cuntas personas contestaron negativamente las tres preguntas?21-Puede creerse a un investigador que informa que, de cada 1000 habitantes, a 816 les gusta el azcar, a 723 el helado, a 645 los pasteles, y as mismo que a 562 les gusta el azcar y el helado, a 463 el azcar y los pasteles y a 470 los pasteles y el helado, y slo a 310 les gustan las tres cosas?

22- Simplificar las siguientes expresiones:

a)

b)

c) [(A ( ) ( A] ( d)

23- Considere el siguiente Diagrama de Venn.

Poner en el parntesis de cada uno de los incisos una V o F segn corresponda:a) F ( (C D)

b) E ( D

c) E ( (C ( D)

d) (A ( B) = (

e) (D C) ( (B A)

f) D = {1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 13 ; 14}

g) = {14 ; 15 ; 16}h) (C ( D) = {4 ; 15 ; 16}

i) E (C ( D) = {6}

j) (C ( D) = {1; 2; 3 ; 5 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14}(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)k) B ( A

l) D = (m) (B A) ={5 ; 8}

n) 3 ( (A ( B)o) 11 ( (C D)

p) (F ( E) ( C

q) (C ( D) ( r) (C ( E) = (s) (E F) ( D

t) (B E) ( (D C)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

(.)

24- Demuestra que para los conjuntos arbitrarios A, B y C se cumple:

a) A-B = A

b)

c)

25- Dado K=, calcula el nmero de subconjuntos que se pueden formar e indica cules son.

26- En una pequea ciudad rabe con 300 habitantes, 110 son hombres, 120 musulmanes y 50 son hombres musulmanes. Calcula el nmero de habitantes que son: a) mujeres, b) mujeres musulmanes y c) son mujeres no musulmanes.27-Sea A el conjunto de los nmeros en forma 4n+1, n y B el conjunto de los nmeros pares. Son A y B mutuamente excluyentes?

28-Sean A el conjunto de los nmeros naturales divisibles por 6, B el conjunto de los nmeros naturales divisibles por 2 y C el conjunto de los nmeros naturales divisibles por 5. Encuentra:

a)

b)

c)

d) e) A

EMBED Equation.3 f) B

g) A-C

h) A-B

i) B-A

j)

k)

29-Sea A el conjunto de los nmeros impares y B el conjunto de los nmeros de la forma 4n, siendo que n pertenece al conjunto de los nmeros Naturales. Encuentra A

30- Determina las cardinalidades siguientes:

a) n(A)

b) n(B)

c) n(C)

d) n(

e) n(B-C)

f) n((

g) n((

BIBLIOGRAFA De Corts, Graciela, Matemtica 1 , Editorial Stella

Allendoerfer y Oakley, Matemtica Universitaria, Ed. Mc Graw Hill

Oubia, La, Introduccin a la Teora de Conjuntos, Ed. Eudeba.

Lipstchutz, Teora de Conjuntos y temas afines Serie Schaum, Ed. Mc Graw Hill

Ralph Grimaldi, Matemticas Discreta y Combinatoria, Ed. Addison Wesley Longmann Wisniewski, Banegas, Martnez Hernndez. Indroduccin a las Matemticas Universitarias. Ed. Mc Graw Hill.

Apunte de la Prof. Mnica Rinke.

# = 42

# A = 26

C

C

C

A B

A B

# M = 14

8

8

# M = 14

# A = 26

# = 42

18

# (A M) = 18

autos y no motos

6

# (M A) = 6

motos y no autos

# EMBED Equation.3 = 10

no autos ni motos

Definicin: Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es subconjunto de B y se escribe A ( B, si:

(a ( A se cumple que a ( B.

Tambin se dice que A est incluido en B.

P

A

B

C

, es el conjunto de todas las letras del alfabeto y de todos los nmeros

Definicin: Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es igual a B, y se escribe A = B, si:

A ( B y B ( A

Definicin: Sean dos conjuntos, la unin de A y B es el conjunto

A ( B = {x / x ( A o x ( B}

A

B

A

B

10

Definicin: Sean A y B dos conjuntos, la interseccin de A y B es el conjunto

A ( B = {x / x ( A y x ( B}

A - B B - A = ( A - B = A B - A = B

A y B disjuntos

A

B

# A ( M = 8 autos y motos

Definicin: Sean A y B dos conjuntos, la diferencia A menos B es el conjunto

A - B = {x / x ( A y x ( B}

A

B

A

B

A

B

Definicin: Sean A un conjunto cualquiera y el conjunto universal, el complemento de A es el conjunto EMBED Equation.3 = - A

A

B - A

A - B

A B

A B

A B

EMBED Equation.3

Definicin: La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es la unin de los conjuntos A B y B A.

A ( B = (A B) ( (B A)

A

B

# (A ( M) = 8 (autos y motos)

A B

C

D

A

B

E

F

4

15

12

9

11

10

13

7

6

1

2

3

5

8

14

16

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