Conditional ProbabilityBayes Theorem

And Independence

2

MACAM-MACAM EVENT

TWO EVENTSA and B

NOT MEE DEPENDENT( ) ( ) ( )P A B P A P B A

( ) ( )P B P A B( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

INDEPENDENT

( ) ( ) ( )P A B P A P B

MEE

( ) ( ) ( )P A B P A P B ( ) 0P A B

Conditional Probability

Definisi :

Peluang bersyarat, P(B│A), menyatakan bahwa peluang B akan terjadi dengan syarat A telah terjadi, didefinisikan sebagai

0)(;

)(

AP

AP

BAPABP

Conditional Probability

Contoh :

Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika

a. Tidak diberikan informasi lain

b. Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka ganjil

Conditional Probability

6

3

6

1

6

1

6

1)3()2()1()( PPPBP

Pemecahan :

a. Misalkan B menyatakan kejadian “kurang dari 4”, maka

b. Misalkan A menyatakan kejadian “bilangan ganjil”, maka

2

1

6

3

6

1

6

1

6

1)5()3()1()( PPPAP

3

1

6

2

6

1

6

1)3()1()( PPBAP

Conditional Probability

Sehingga

3

2

21

31

)(

)(

AP

BAPABP

Jadi, informasi tambahan bahwa pengundian tersebut menghasilkan angka ganjil membuat nilai peluangnya naik dari 1/2 menjadi 2/3

Conditional Probability

Sifat-sifat peluang bersyarat :

ABPABPABBP 2121

ABPABP 1

1. P(B│A) > 0

2. P(Ω│A) = 1

3. Jika B1 ∩ B2 = Φ, maka

4. Hukum komplemen

5. Hukum perkalian

BAPBPABPAPBAP

Contoh:Dalam peristiwa pelemparan sekeping matauang sebanyak 3x, misalkan:A= muncul sisi M sebanyak 2xB= muncul sisi B pada lemparan ke-3

, ,A MMB MBM BMM

, , ,B MMB BBB MBB BMBA B MMB

3( )

8P A

4( )

8P B

1( )

8P A B

( )

( )

P A BP A B

P B

118

4 48

maka:

Contoh

Dalam audisi Indonesian Idol diketahui bahwa 32% peserta berhasil dari tes pertama, sedangkan 20% peserta berhasil dari tes pertama dan kedua. Gayus adalah salah satu peserta yang berhasil dari tes pertama. Berapa peluang dia berhasil juga dari tes kedua?

( ) 0.32P I ( ) 0.20 P I II

( )( )

( )

P I IIP II I

P I0.20

0.6250.32

Sebuah kotak berisi 10 bola berwarna merah dan 40 bola berwarna biru, jika dua bola diambil tanpa pengembalian, tentukan peluang bola pertama adalah merah, bola kedua adalah biru:

( ). ( ) P M P B M10 40

.50 49

Contoh:

P(M B)=

SOAL 1

Misalkan diambil secara acak 100 pemuda dengan maksud untuk diperiksa oleh tim dokter, khusus kesehatan mata dan bentuk telapak kaki. Dari pemeriksaan diperoleh hasil 40 orang kakinya datar (kelainan telapak kaki) 50 orang hanya mata rabun jauh (kelainan mata) dan 20 orang menderita kedua-duanya serta 30 oran tidak menderita kedua-duanya (sehat). Secara statistik, apakah kelainan telapak kaki mempengaruhi rabun jauh dan sebaliknya ?

11

SOAL

Penyelesaian

Misalkan A peristiwa pemuda memiliki kelainan telapak kaki (datar) dan B peristiwa memiliki kelainan mata (rabun). Jika persentase kelainan dianggap sebagai peluang peristiwa, kita tunjukkan bahwa

N (A) = 40. N (B) = 50. N (A B) = 20

maka P(A) = 0,4. P(B) = 0,5.

P(A B) = 0,2. P(AC) = 0,6. P (BC) = 0,5.

Sehingga P(A B ) = 0,2 = 0,4 x 0,5 = P(A). P(B).

Ini memberi makna secara statistik bahwa kelainan telapak kaki datar tidak mempengaruhi kelainan mata. Begitu juga, bahwa telapak kaki baik tidak mempengaruhi mata baik.

12

SOAL 4

Seorang calon mahasiswa memiliki peluang bahwa ia lulus test masuk PT adalah 0,8. Jika ia lulus test masuk PT, peluang bahwa ia juga menjadi sarjana adalah 0,7. Berapa peluang calon mahasiswa tersebut lulus test masuk PT dan menjadi sarjana?

SOAL 5

Seorang mahasiswa mengambil 2 mata kuliah (FI dan KI). Peluang lulus kuliah FI adalah 3/5 dan peluang lulus kuliah KI adalah 2/3. Peluang lulus kedua mata kuliah tersebut adalah 5/6. Berapa peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah?

SOAL 6

Peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar adalah 0,7. Bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, bahwa pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasien menuntutnya ?

7. Suatu kuliah Teori Peluang diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke-2, 15 mahasiswa tahun ke-3 dan 10 mahasiswa tahun ke-4. Diketahui mahasiswa yang mendapat nilai A adalah 10 orang dari mahasiswa tahun ke-2, 8 orang dari mahasiswa tahun ke-3 dan 5 orang dari mahasiswa tahun ke-4. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapa peluang dia :– Mendapat nilai A, bila diketahui dia mahasiswa dari tahun

ke-3?– Mendapat nilai A?– Mahasiswa tahun ke-2, bila diketahui dia mendapat nilai A?

8. Kantong A berisi 3 bola biru, 2 bola merah dan 5 bola hijau. Kantong B berisi 1 bola biru, 4 merah dan 3 hijau. Sebuah bola diambil dari kantong A dan tanpa dilihat warnanya kemudian dimasukkan ke kantong B. Lalu dari kantong B diambil 1 bola. Berapa peluang terambilnya bola hijau.

9. Seorang calon mahasiswa memiliki peluang bahwa ia lulus test masuk PT adalah 0,8. Jika ia lulus test masuk PT, peluang bahwa ia juga menjadi sarjana adalah 0,7. Berapa peluang calon mahasiswa tersebut lulus test masuk PT dan menjadi sarjana?

Independent Events

Jika 2 events tidak berhubungan, dimana muncul (atau tidak munculnya) salah satu event tidak akan mempengaruhi kemungkinan event lainnya, maka events tersebut dinamakan independent.

Secara matematis, event A dan B dikatakan independent, jika dan hanya jika

BPAPBAP

Independent Events

Jika kita kombinasikan dengan hukum perkalian peluang bersyarat :

Dan event A dan B independent, maka

ABPAPBAP

BPABP

Dengan cara yang sama diperoleh

APBAP

Independent Events

Teorema :

Definisi : jika A, B, dan C independent, maka

BdanA

Jika A dan B independent, maka event berikut juga independent

BdanABdanA

CPBPAPCBAP

Independent Events

Terdapat kecenderungan untuk menyamakan makna “mutually exclusive” dan “probabilistically independent”

Mutually exclusive tidak akan pernah menjadi probabilistically independent, atau sebaliknya

Sebagai ilustrasi, misalkan A dan B adalah events dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.4

Jika A dan B mutually exclusive, maka A ∩ B = Φ dan P(A ∩ B) = P(Φ ) = 0

Dilain pihak, jika A dan B probabilistically independent, maka

P(A ∩ B) = P(A) P(B) = (0.3) (0.4) ≠ 0

p A B p A p B

Example on Independence

321

Case 1: Drawing with replacement of the ballThe second draw is independent of the first draw

1 1 11 2 1 2

3 3 9p E E p E p E

E1: Drawing Ball 1E2: Drawing Ball 2E3: Drawing Ball 3

Case 2: Drawing without replacement of the ballThe second draw is dependent on the first draw

1 1 11 2 1 2

3 2 6p E E p E p E

P(E1): 1/3P(E2):1/3P(E3): 1/3

11 2

2p E E

Misalkan B1, B2, … Bn merupakan bagian (partition) dalam sample space S, dan A adalah event dalam S

B1

B2

Bn

A

Disini kejadian A dapat dipandang sebagai paduan kejadian-kejadian B1

A, B2 A . . . Bn A yang saling terpisah satu sama lain ; dengan kata

lain A = (B1 A ) (B 2 A ) . . . (Bn A )

P(A) = P(B1 A ) P(B 2 A ) . . . P(Bn A ))

P(A) = P(B1) x P(A/B1) + P(B2) x P(A/B2) + . . . + P(Bn ) x P(A/Bn)

Contoh: Law of Total Probability

Contoh: Law of Total Probability

1 2 3{3}

0 {3} {2,3,6} 0 {3}

p A p p A B p A B p A B

p p

{1,2,3,4,5,6,7}S

2 {2,3,6}B 3 {4,7}B 1 {1,5}B

{3}A

Law of Total Probability

Sample Space

Partisi

Event/Kejadian

Bayes Theorem

Misalkan B1, B2, … Bn merupakan bagian (partition) dalam sample space Ω, dan A adalah event dalam Ω

B1

B2

Bn

A

maka

i

ii

iiii BAPBP

BAPBP

AP

BAPABP

Prior

Posterior

26

TEOREMA BAYES

B1

B2

Bi Bk

A

( )ABP k

( ) ( ) ( )( ) ( )å

=

=n

iii

kkk

BAPBP

BAPBPABP

1

27

DEFINISI : Probabilitas diagram pohon melukiskan events atau serangkaian event sebagai cabang dari suatu pohon

Diagram ini digunakan sebagai peraga untuk menyatakan gambaran mengenai kondisi probabilitas.

Coba analisa, probabilitas diagram pohon dibawah ini :

P(A) = (0,2)

P(B) = (0,7)

P(A) = (0,8)

P(B) (0,3)

P(B)=

(0,7)

P(B)= (0,3)

P (C)= (0,1)

P (D)= (0,2)

P(D)= (0,6)

P(C) =(0,9)P(D) =(0,4)

P(D)= (0,8)

PROBABILITAS DIAGRAM POHON

28

EVENT PROBSBILITAS

A1 R P (A1) P( R | A1)

A2 R P (A2) P( R | A2)

A3 R P (A3) P( R | A3)

PELUANG DIAGRAM POHON DUA TAHAP

R

R

R

R

P (A

1)

P (A3)

P (A2)

A1

A2

A3

TAHAP I TAHAP II

P (A1), P (A2), P(A3) Disebut prior probabilities

P(A1|R ), P(A2|R ), P(A3|R ) Disebut posterior probabilities

P( R | A1)

P( R | A2)

P( R | A3)

1 11

( ), ( )( ) ; 1,2,3

( )

P A P R AP A R i

P R

3

1 11

( ) ( ) ( )i

P R P A P R A

29

Contoh

Pada suatu kotak terdapat 4 kelereng kuning dan 3 kelereng merah. Akan dilakukan pengambilan secara acak beberapa kali, dimana setelah suatu pengambilan dilakukan kelerengnya tidak dikembalikan.

1. Pada pengambilan pertama:p(kuning) = 4/7p(merah) = 3/7

2. Bila pengambilan pertama didapat kelereng kuning, maka untuk pengambilan kedua:

p(kuning)=3/6p(merah)=3/63. Bila pengambilan pertama didapat kelereng merah, maka untuk

pengambilan kedua:p(kuning)=4/6p(merah)=2/6Kondisi ini bisa digambarkan sbb….

30

SOAL

No.1

Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari erusahaan X, 20% dari perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3% microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan 4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai di pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi atau mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu. Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acak dan ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari perusahaan Y?

SOAL 2Tiga orang dosen dicalonkan menjadi Rektor sebuah perguruan tinggi, yaitu Ahmad, Budi, dan Catur. Peluang Ahmad terpilih adalah 0.3, Budi 0.5, dan Catur 0.2. Bila Ahmad terpilih maka peluang SPP naik adalah 0.8, dan bila Budi yang terpilih peluang SPP naik adalah 0.1, dan bila Catur yang terpilih maka peluang SPP naik adalah 0.4.

Bila setelah pemilihan diketahui bahwa SPP telah naik (siapa yang terpilih tidak diketahui informasinya), berapakah peluang bahwa Catur yang terpilih?

CONTOH

No.3Suatu sistem komunikasi biner yang transmiter nya

mengirimkan sinyal hanya dua buah, yaitu sinyal 1 atau 0 yang dilewatkan kanal untuk mencapai penerima.

Kanal itu dapat mengakibatkan terjadinya kesalahan pengiriman. Misalnya pengiriman sinyal 1, ternyata disisi penerima menerima sinyal 0 (merupakan kesalahan).

Oleh karena itu ruang sampel berdasarkan kejadian komunikasi ini hanya mempunyai dua elemen, yaitu sinyal 1 dan sinyal 0

Misalnya himpunan B i , i=1,2 menyatakan event (kejadian) munculnya simbol sinyal 1 pada sisi pemancar. Sedangkan himpunan Ai , i = 1,2 menyatakan event munculnya sinyal 1 pada sisi penerima sesudah melewati kanal dan sinyal nilai 0 pada sisi penerima.

Kalau probabilitas munculnya sinyal nilai 1 dan nilai 0 dianggap memiliki probabilitas berikut:

0,4 BPdan 0,6 BP 21

Probabilitas bersyarat menggambarkan pengaruh kanal ketika sinyal-sinyal itu ditransferkan. Sinyal 1 yang dikirimkan dan diterima sebagai sinyal 1 dengan probabilitas 0,9.

0,1 B|AP

0,9 B|AP

12

11

Sedangkan Simbol dengan nilai 0 adalah:

0,9 B|AP

0,1 B|AP

22

21

DIAGRAM BINARY SYMMETRIC COMMUNICATION SYSTEM

)|( 22 BAP

)|( 21 BAP

)|( 12 BAP

)|( 11 BAP

0,1

0,9

0,1

0,9

A1

A2

B1

B2

P(B1)=0,6

P(B2)=0,4

No.3

CARILAH

1. Probabilitas sinyal dengan syarat yang dikirimkan benar pada sisi penerima A1 dan A2 dengan menggunakan teorema bayes

2. Probabilitas sinyal dengan syarat yang dikirimkan salah pada sisi penerima A1 dan A2 dengan menggunakan teorema bayes

38

No.4

Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu didaerah tengah kota, daerah kaki bukit dikota itu dan derah tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bila pemancar dibangun ditengah kota, peluang terjadi ganguan sinyal adalah 0.05. Bila pemancar dibangun dikaki bukit, peluang terjadinya ganguan sinyal adalah 0.06.Bila pemancar dibangun ditepi pantai, pelaung ganguan sinyal adalah 0.08.

A. Berapakah peluang terjadinya ganguan sinyal? B. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyal,

berapa peluang bahwa operator tsb ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai?

JawabMisal:A = Terjadi ganguan sinyalB1 = Pemancar dibangun di tengah kotaB2 = ----------------------------di kaki bukitB3 = ----------------------------di tepi pantaiMaka :A). Peluang terjadinya ganguan sinyal P(A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) = (0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)=0.001+0.018+0.04=0.068B).Diketahui telah terjadi ganguan pd sinyal, maka peluang bahwa operator

ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai: Dapat dinyatakan dgn: “Peluang bersyarat bahwa operator membangun

pemancar di tepi pantai bila diketahui telah terjadi ganguan sinyal”:

588.0068.0/))08.0)(5.0((

)(

)|()(

)(

)()|( 333

3

AP

BAPBP

AP

BAPABP