Probabilitas

Bagian 2

Hukum Penjumlahan

Mutually Exclusive EventsProbabilitas di mana 2 atau lebih

peristiwa/kejadian/hasil tidak dapat terjadi secara bersamaan

P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B)

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)

2

Lanjutan….

• Non Mutually Exclusive Events Probabilitas di mana dua atau lebih

kejadian dapat terjadi bersama-sama P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

3

Contoh

Probabilitas Badu harus menjalani operasi katup jantung adalah 0,8 dan probabilitas Badu harus menjalani operasi pelebaran pembuluh darah 0,6 serta probabilitas Badu harus menjalani keduanya adalah 0,5. Berapa probabilitas Badu harus menjalani minimal salah satu operasi di atas?

Hukum Perkalian

• Independent Events: peristiwa yang satu tidak berhubungan dengan peristiwa yang lainMarginal ProbabilityProbabilitas sederhana dari terjadinya

suatu peristiwaContoh:

Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 1 kali, berapa probabilitas muncul sisi dadu yang bermata dua?

5

Lanjutan….

Joint Probability untuk peristiwa yang independen

• Simbol joint probability: P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B)

P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)

6

Peluang Bersyarat

8

Jadi…

• Dua kejadian A dan B adalah independen jika dan hanya jika

P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)

• Kejadian munculnya jenis gambar pada 2 pengambilan kartu adalah independen jika pada pengambilan pertama dilakukan pengembalian dan tidak indenpenden jika pada pengambilan pertama tidak dilakukan pengembalian.

Contoh 1

Sepasang dadu dilempar bersama. Jika diketahui jumlah kedua mata dadu keluar adalah 6, maka hitunglah peluang bahwa satu di antara dua dadu tersebut adalah mata dadu 2.

B={jumlahan mata dadu adalah 6}

={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

C={salah satu mata dadu tsb adalah 2}

={(2,4),(4,2)}

5

2

)()()()(

)(

Bn

BAn

SnBnSnBAn

BP

BAPBAP

Contoh 2

Teorema Probabilitas Total

• Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space

• Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas

• Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i

Teorema Bayes

• Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space • Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i

• Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh

• Ini merupakan teorema Bayes– Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi

– Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)

ContohSebuah pabrik mempunyai 3 mesin A, B dan C yang memproduksi berturut turut 60%, 30% dan 10% dari total banyak unit yang diproduksi pabrik. Persentase kerusakan produk yang dihasilkan dari masing-masing mesin tersebut berturut turut adalah 2%, 3% dan 4%. Suatu unit dipilih secara random dan diketahui rusak. Hitung probabilitas bahwa unit tersebut berasal dari mesin C.

Misal kejadian R adalah unit yang rusak, maka akan dihitung P(C|R) yaitu probabilitas bahwa suatu unit diproduksi oleh mesin C dengan diketahui unit tersebut rusak

Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event)

• Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika

• Dengan demikian

• Demikian pula

16

Permutasi

• suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari data.

• Banyaknya permutasi n benda adalah n !• Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda

dari n dari benda yang berbeda

• Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran :

• Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis I, n2 berjenis II

Kombinasi

• Adalah banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya.

Contoh Soal Peluang

1. Peluang seorang mahasiswa lulus matematika adalah 2/3 dan peluang ia lulus statistik dasar adalah 4/9 . Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah adalah 4/5 , berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut ?

2. Populasi sarjana dalam suatu kota dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan.

Berapa peluang seorang laki-laki yang telah bekerja untuk menjadi duta dalam pertemuan nasional ?

Latihan 3

22

Suatu survey dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap 3 produk yang dihasilkan perusahaan, yaitu produk A, B, dan C. Responden diminta untuk menjawab pertanyaan mengenai produk mana yang pernah ia beli. Berdasarkan sampel sebanyak 70 responden di daerah tersebut diperoleh informasi sebagai berikut: 30 responden menyatakan pernah membeli A 20 responden menyatakan pernah membeli B 25 responden menyatakan pernah membeli C 7 responden menyatakan pernah membeli A dan B 11 responden menyatakan pernah membeli A dan C 8 responden menyatakan pernah membeli B dan C 3 responden menyatakan pernah membeli A dan B dan C

Lanjutan soal

Berdasarkan sampel hasil survey tersebut, tentukan probabilitas seorang responden:

a.pernah membeli 1 barang

b.tidak pernah membeli barang A atau B atau C.

23

Latihan 4

Suatu perusahaan melakukan survey mengenai pendapat konsumen terhadap produk yang ia hasilkan. Data berikut ini menunjukkan pendapat responden terhadap produk tersebut.

Jika dipilih seorang responden secara random, tentukan probabilitas bahwa ia:a. remaja atau berpendapat sangat puasb. dewasa atau remajac. dewasa atau berpendapat kurang puas. 24

Sangat Puas (SP) Puas (P) Kurang Puas (KP)Dewasa (D) 40 20 30Remaja (R) 20 40 10

Anak-anak (A) 30 10 50

RespondenPendapat

25

5.Terdapat dua buah kantong berisikan bola biru dan merah. Kantong pertama terdiri atas 3 bola merah dan 3 bola biru. Pada kantong kedua terdapat 2 bola merah dan 1 bola biru. Jika diambil satu bola dari kantong pertama secara acak dan tanpa melihat warnanya lalu bola tersebut dimasukkan ke dalam kantong kedua, berapa probabilitas jika diambil satu bola acak dari kantong kedua, warna bola ini adalah biru?

26

6. Sebuah koin tidak seimbang sehingga probabilitas munculnya angka adalah dua kali lebih besar dari probabilitas munculnya gambar. Dari 3 kali pelemparan, berapa probabilitas munculnya 2 gambar?

7. Suatu perusahaan memiliki 3 buah pabrik B1, B2, dan B3 yang masing-masing memasok sebanyak 30%, 25%, dan 45% kebutuhan perusahaan. Dari data masa lalu diketahui tingkat cacat produk yang dihasilkan masing-masing pabrik berturut-turut adalah 2%, 3%, dan 2%.– Jika diambil sebuah produk jadi di kantor perusahaan,

berapa probabilitas produk tersebut adalah cacat?– Jika produk yang diambil adalah cacat, berapa

probabilitas produk tersebut berasal dari pabrik B2?