Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.

in Suryakancana University Cianjur

Newton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang dini dari konsep integral tentu.Tetapi Riemannlah yang memberikan kita definisi modern. Dalam perumudan definisi integraltertentu, dipedomani oleh pemikiran yang dibahas sebelumnya. Gagasan pertama adalahjumlah Riemaan.

Contoh :

1. Halaman 275, Contoh 1 dan 2.

Contoh :

1. Tentukan suatu jumlah Riemann dari

f(x) = 𝑥3 + 2x pada [1, 5].

2. Tentukan suatu jumlah Riemann dari

f(x) = 𝑥2+ 1 pada [−1, 2] memakai 6

subinterval sama lebar dan titik

wakilnya adalah ujung kanan tiap

subinterval.

Secara umum, 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menyatakan batasan luas daerah yang tercakup diantara kurva

𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-x dalam selang [𝑎, 𝑏] , yang berarti bahwa tanda positif akandiberikan pada luas bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu-x, dan tandanegative diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Secarasimbolik,

Contoh :

1. Ilustrasikan sifat 3 s/d 5 di atas secara grafik !

Contoh :

3. Halaman 282, Contoh 1, 11, dan 21

Kita menghargai penemuan kalkulus oleh Issac Newton dan Gottfried

Leibniz secara bersamaan, tetapi saling bebas. Namun konsep garis

singgung (turunan) dan luas suatu daerah melengkung (integral tentu)

telah dikenal lebih dulu. Mereka memahami dan memanfaatkan hubungan

erat yang ada antara anti turunan dan intergral tentu, suatu hubungan yang

memungkinkan kita untuk menghitung secara mudah nilai yang

sebenarnya dari banyak integral tentu tanpa perlu memakai jumlah

Riemann. Hubungan ini sedemikian pentingnya sehingga ia disebut dengan

TEOREMA DASAR KALKULUS.

Contoh :

Halaman 289, Contoh 1, 7, 12, 15, dan 22

Selain kelinearan, integral tentu juga memenuhi :

𝑎

𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏

𝑐

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Sifat pembandingan: Jika 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) pada [a,b], maka :

𝑎

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < 𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Sifat keterbatasan: Jika𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 pada [a,b], maka :

𝑚 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀 𝑏 − 𝑎

Contoh :

3. Halaman 297, Contoh 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30

4. Halaman 305, contoh 5, 8, 17, 20, 25, 32.