STATISTIKA DASAR Teori dan Praktek

Edisi Pertama

IMAM TAHYUDIN

Zahira Media Publisher

STATISTIKA DASAR Teori dan Praktek

Oleh : Imam Tahyudin

Penyunting : Qurrotul AYui Lay-out dan Desain Sampul : Fachry Diyo Asela

Cetakan Pertama, Februari 2012

Penerbit :

Zahira Media Publisher

Hak Cipta 2012 pada Penulis

Hak Cipta dilindungi oleh undang-undang. Dilarang mengutip atau memperbanyak

sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara elektronik

maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau dengan sistem

penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit.

Mother hold their childres hads a While, Ad their hearts forever Fady Tjiptoo, 2004

Buku ini didedikasikan untuk :

Mama, Mimi, Kakak dan Adiku

Laililyah Tahyudin

Amirah El-Zahira Tahyudin

Utuk egetahui jala pikira seseorag lihatlah ucapannya dan untuk mengetahui ide dan gagasan

seseorag lihatlah karya tulisaya

PRAKATA

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan YME. Berkat

pertolongannya Alhamdulillah buku ini dapat terbit. Ide penulisan buku ini

telah mengendap cukup lama. Berawal dari pengalaman dan pengkajian

mendalam penulis selama belajar dan mengajar.

Dalam penulisan buku ini, penulis mendapatkan bantuan dan

dukungan dari sejumlah pihak. Oleh sebab itu, penulis ingin menyampaikan

terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Istriku Lailiyah dan Putriku Amirah El-Zahira Tahyudin atas pengertian

dan dukungannya dengan cara-cara yang unik selama proses penulisan

buku ini.

2. Qurrotul Ayui atas batuaya egedit peulisa buku ii. 3. Fachry Diyo Asela atas bantunya merancang sampul dan lay-out buku

ini.

4. Dr. Idha sihwaningrum, M.Sc. (UNSOED), Dr. Mashuri (UNSOED), Dr.

Nunung Nurhayati (UNSOED) dan Jajang, M.Si (UNSOED) atas wawasan

dan inspirasi selama kuliah.

5. Berlilana, S.Kom., M.Si (Ketua STMIK Amikom Purwokerto) atas

wawasan dan inspirasi selama mengabdi mengajar.

6. Teman-teman di STMIK AMIKOM Purwokerto (Pa Amang, Pa Taqwa, Pa

Giat, dll) atas dukungan moral selama penulisan buku ini.

Penulis sangat mengharapkan buku ini bisa bermanfaat bagi semua

yang menaruh minat pada Statistika Dasar. Segala masukan dan kritik

konstruktif sangat Penulis harapkan. Selamat membaca dan mengkaji buku

ini.

Purwokerto,

Februari 2012

Imam Tahyudin

DAFTAR ISI

BAB I. PENDAHULUAN ....................................................... .01

BAB II. PENYAJIAN DATA............................................................ 24

BAB III. DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI ............................. 53

BAB IV. UKURAN PEMUSATAN ................................................. 78

BAB V. UKURAN PENYEBARANError! Bookmark not defined.

BAB VI. MODEL DISTRIBUSI DATAError! Bookmark not defined.

BAB VII. PROBABILITAS .............. Error! Bookmark not defined.

BAB VIII. PERMUTASI ................... Error! Bookmark not defined.

BAB IX. KOMBINASI ...................... Error! Bookmark not defined.

BAB X. POPULASI DAN SAMPELError! Bookmark not defined.

BAB XI. DISTRIBUSI PROBABILITASError! Bookmark not defined.

BAB XII. DISTRIBUSI NORMAL ... Error! Bookmark not defined.

BAB XIII. PENDUGAAN PARAMETERError! Bookmark not defined.

BAB XIV. PENGUJIAN HIPOTESISError! Bookmark not defined.

BAB XV. REGRESI.......................... Error! Bookmark not defined.

DAFTAR PUSTAKA

PENDAHULUAN

A. PERANAN STATISTIKA Dunia penelitian atau riset yang dilaksanakan melalui

penelitian laboratorium atau penelitian lapangan di manapun dilakukan, mendapat manfaat dengan menggunakan dan memecahkan masalah melalui statistika. Hal ini dilakukan para peneliti untuk mengetahui apakah hasil penelitian dengan suatu metode yang baru lebih baik jika dibandingkan dengan metode yang lama. Dalam pembuatan model dari suatu penelitian, untuk menyatakan bahwa model tersebut dapat dipakai atau tidak maka digunakan teori statistika. Bahkan statistika cukup mampu untuk menentukan apakah faktor yang satu dipengaruhi oleh faktor lainnya. Jika ada hubungan antara satu faktor dengan faktor lainnya, berapa kuat hubungan tersebut? apakah dapat faktor yang satu ditinggalkan dan faktor lainnya dipakai untuk studi lanjut?

Statistik yang diartikan dalam bahasa Latin sebagai status atau negara, sangat berperan di dalam pengelolaan semua manajemen baik manajemen yang besar maupun yang sekecil-kecilnya, manajemen negara pada umumnya, ekonomi, pertanian, perindustrian, kesehatan, farmasi, sampai ke manajemen rumah tangga pun dengan tidak disadari telah memanfaatkan statistik dan lain sebagainya.

Peranan statatistik di dalam dunia penelitian dan riset baik penelitian di bidang sosialmaupun sains, selalu menggunakan ilmu statistik, mulai dari persiapan penelitian, teknik pengambilan data, sampai ke pengolahan data agar informasi-informasi atau gambaran gambaran mengenai karateristik data dapat dipahami dengan mudah oleh pihak

lainnya. Salah satu contoh pemanfaatan statistik di dalam

pengelolaan negara, di waktu akan diadakan PEMILU oleh pemerintah, mulai membuat sensus penduduk yang akan digunakan sebagai data untuk mempersiapkan apa-apa yang akan diperlukan, baik bahan, tempat, waktu sampai keperkiraan biaya yang akan digunakan pada pelaksanaan pemilu tersebut.

Contoh yang lain di bidang farmasi misalnya, untuk membuat campuran obat-obatan harus terlebih dahulu membuat tabel mengenai takaran-takaran, jenis bahan yang diperlukan.

Di kantor-kantor khususnya di bagian personalia sering kita lihat tabel-tabel yang tergantung pada dinding mengenai nama pegawai, jumlah pegawai, jenis kelamin, golongan, masa kerja, alamat dan lain sebagainya, Ini juga merupakan statistic yang dinamakan dengan statistik kepegawaian.

Uraian singkat di atas menyatakan bahwa statistika sangat diperlukan bukan saja dalam bidang yang terbatas kepada dunia penelitian tetapi mencakup dunia ilmu pengetahuan. Mengingat hal tersebut di atas maka dalam penjelasan berikut diuraikan tentang metode statistika yang diharapkan dapat digunakan dalam berbagai bidang dan atau berbagai disiplin ilmu, bukan statistika teoritis, oleh sebab itu tidak diuraikan tentang penurunan rumus, pembuktian sesuatu sifat atau dalil-dalil.

B. STATISTIK DAN STATISTIKA 1. Statsitik

Statistik berasal dari bahasa Latin yang artinya adalah status atau negara. Pada mulanya statistika berhubungan dengan fakta dan angka yang dikumpulkan oleh pemerintah untuk bermacam-macam tujuan. Statistik juga diturunkan dari kata bahasa Inggris yaitu state atau pemerintah.

Pengertian yang sangat sederhana tentang statistic adalah sebagai suatu kumpulan data yang berbentuk angka dan tersusun rapi dalam suatu tabel, grafik, gambar, dan lain-lain. Misalnya tabel mengenai keadaan pegawai di kantor-kantor, grafik perkembangan jumlah penduduk dari waktu ke waktu, dan lain sebagainya.

Sedangkan pengertian yang lebih luas mengenai statistic adalah merupakan kumpulan dari teknik mengumpulkan, analisis, dan interpretasi data dalam bentuk angka. Dan statistic juga merupakan bilangan yang menunjukkan sifat-sifat (karakteristik) data yang dikumpulkan tersebut. 2. Statsitika

Statistika dapat didefinisikan sebagai suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan fakta/data, pengolahan data, kemudian menganalisis data tersebut sehingga dapat diperoleh suatu kesimpulan/keputusan.

Statistik dapat dibagi menjadi dua macam yaitu Statistik Deskriptif dan Statistik Induktif (inferiens). Kedua macam statistic tersebut sebagai suatu metode yang mengandung kegiatan-kegiatan dari suatu proses untuk lebih mudah dipahami dan dapat digambarkan dengan bagan alir seperti pada Gambar 1.2.

Yang dimaksud dengan statistik deskriptif adalah usaha penjelasan arti secara fisis (bentuk) atau gambaran tentang karakteristik data agar dapat dengan mudah dipahami oleh pihak lain. Misalnya setelah dikumpulkan data, kemudian diolah dan dianalisis data tersebut sehingga dapat diambil kesimpulan yang akan ditunjukkan kepada yang membutuhkannya.

Sedangkan statistik induktif (inferens) adalah usaha

pembuatan inferensi terhadap sekumpulan data yang berasal dari suatu sampel. Misalnya seorang dokter ingin mengambil suatu kesimpulan tentang penyakit seseorang tentunya disamping pemeriksaan secara komunikasi efektif juga berdasarkan data yang diperoleh dari laboratorium dapat memperkirakan penyakit apa yang dialami oleh orang sakit tersebut. Jadi dari sini dapat diterangkan inferensi adalah merupakan kerja perkiraan, peramalan kemudian pengambilan keputusan dan sebagainya.

C. D A T A Data dan statistik cukup banyak digunakan sebagai ilmu

pengetahuan yang diaplikasikan dalam kehidupan manusia sehari-sehari, baik di bidang eksakta maupun sosial. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa data dan statistik sangat erat hubungan antara keduanya.

Data adalah sekumpulan informasi atau nilai yang diperoleh dari pengamatan (observasi) suatu obyek, data dapat berupa angka dan dapat pula merupakan lambang atau sifat. Beberapa macam data antara lain; data populasi dan data sampel, data observasi, data primer, dan data sekunder.

Selain dari pada itu data juga dapat diterangkan dengan dua arti yaitu; arti secara kuantitatif dan arti secara kualitatif, data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau nilai, contohnya, 6, 40, 100, 250 dan sebagainya, sedangkan data kualitatif adalah data yang berupa kata-kata, contohnya, baik, sedang, buruk, dan lain sebagainya.

Kedua data tersebut dapat dikonversikan antara satu dangan lainnya, misalnya dalam bentuk kuantitatif nilainya 80, maka nilai 80 apabila dikonversikan ke dalam bentuk

kualitatif (dalam bentuk kata-kata) adalah baik (nilai 80 = nilainya baik).

1. Pengumpulan Data Untuk pengumpulan data dapat dilakukan dengan dua

cara yaitu sensus dan sampling. Sensus adalah pengumpulan data yang mencakup seluruh elemen atau seluruh anggota populasi yang diselidiki, dimana data populasi adalah merupakan sekumpulan informasi (elemen) atau angka yang menyeluruh pada suatu obyek. Misalnya data yang diperoleh melalui sensus penduduk, data yang diperoleh dari hasil penggerebekan di suatu tempat yang tidak menyenangkan, data ini juga dikatakan data populasi karena data tersebut adalah hasil pemeriksaan semua objek yang ada di tempat itu. Sedangkan sampling (data sampel) merupakan data perkiraan atau data yang berasal dari sebahagian kecil data populasi (elemen populasi).

Perlu diketahui bahwa di dalam suatu penelitian jarang sekali mempergunakan data populasi melainkan data sampel. Kenapa? karena jika mengambil data populasi akan banyak memerlukan tenaga ahli, banyak membutuhkan biaya, dan butuh waktu yang lebih lama dan lain-lain.

2. Macam-Macam Data Pengambilan data banyak sekali caranya, antara lain

dapat mendatangi langsung ke obyek yang akan diteliti, ataupun melalui kuesioner yang diisi oleh obyek penelitian ataupun melalui bacaan-bacaan yang dikutip dari artikel- artikel yang tersedia di perpustakaan maupun di kantor-kantor sebagai laporan yang telah diarsipkan.

Jika data yang diperoleh atau yang akan digunakan untuk tujuan penelitian disebut data observasi, sedangkan data yang diperoleh dengan datang langsung ke obyek ataupun melalui kuesioner terhadap obyek peneliti disebut data primer dan data yang diperoleh dari bacaan-bacaan atau yang dikutip dari laporan-laporan yang sudah ada baik di perpustakaan maupun di kantor-kantor disebut data sekunder.

3. Data dan Variabel Variabel/peubah: ciri yang menunjukkan keragaman

hubungan antara kepemimpinan dan iklim organisasi dengan kepuasan kerja. Skala: Nominal :

- paling rendah dalam level pengukuran - hanya berupa satu-satunya kategori - Contoh : data jenis kelamin, alamat pada KTP dll.

Ordinal : - levelnya lebih tinggi dari variabel nominal - terdapat tingkatan data/kategori - jarak antar kategori tidak pasti

- contoh : data tentang preferensi terhadap suatu hal, data peringkat

Interval: - Ada tingkatan data - Jarak antar kategori pasti - Tidak ada nol mutlak - Contoh: skala pada termometer, (preferensi?)

Rasio: - Ada tingkatan data - Jarak antar kategori pasti - ada nol mutlak - Contoh: berat badan, tinggi badan, kecepatan

LATIHAN SOAL 1. Sebutkan arti dan definisi statistik! 2. Sebutkan arti statistik diskriptif dan statistik induktif! 3. Apa yang dimaksud dengan data? 4. Jelaskan perbedaan anatara data populasi dan data sampel! 5. Apa yang dimaksud dengan observasi? 6. Jelaskan perbedaan antara data primer dan data sekunder! 7. Sebutkan apa manfaat statistik di dalam suatu pengelolaan

perusahaan dan berikan contohnya! 8. Berikan alasan-alasan pemanfaatan statistik dalam bidang

penelitian!

I. PENYAJIAN DATA

A. Tabel/Daftar : 1. daftar baris kolom 2. daftar distribusi frekuensi

B. Grafik/Diagram : 1. diagram batang 2. diagram garis 3. diagram lingkaran/pastel 4. diagram dahan daun 5. diagram pencar/titik 6. diagram lambang/simbol 7. Histogram dan poligon frekuensi 8. Ogive

DIAGRAM BATANG Cara penyusunan :

1. Buat sumbu datar dan sumbu tegak berpotongan tegak lurus 2. Bagilah sumbu datar dan tegak menjadi beberapa bagian

dengan skala yang sama. Perbandingan skala antara sumbu tegak tidak harus sama.

Contoh : Jumlah mahasiswa P.S Manajemen pendidikan Universitas Pakuan

010203040506070

I III V VIISemester

Jum

lah

Mah

asis

wa

DIAGRAM GARIS

1015202530354045505560

1998 1999 2000 2001

Tahun masuk

Jum

lah

Mah

asis

wa

DIAGRAM PASTEL/LINGKARAN

II. DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI

A. Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi 1. Tentukan Rentang

Rentang = data terbesar data terkecil 2. Tentukan banyak kelas interval Antara 5 15 aturan sturges : banyak kelas = 1 + (3.3) log n

dengan n adalah banyaknya data dan hasilnya dibulatkan. 3. Tentukan panjang kelas interval (p).

4. Buat kolom tabulasi dan tentukan batas-batas kelas interval dengan data terkecil sebagai batas bawah.

5. Hitunglah frekuensi dari masing masing kelas interval dan masukkan nilai-nilainya pada kolom tabulasi.

6. Buat tabel distribusi frekuensi berdasarkan hasil tabulasi data. Contoh :

Nilai ujian statistika 60 mahasiswa STMIK AMIKOM PURWOKERTO:

62 76 40 65 41 58 76 80 89 66

65 67 81 76 34 32 47 47 65 23

45 42 56 59 67 63 72 39 44 60

51 55 39 65 76 77 51 90 87 54

50 92 40 37 60 65 55 89 67 44

73 50 32 27 35 47 32 54 55 60

Rentang

p = -----------------

Banyak kelas

Rentang : 92 23 = 69 Banyak kelas interval : Banyak kelas = 1 + (3.3) log 60 = 1 + (3.3) . (1.7782) = 6.8679 dibulatkan menjadi 7 Panjang kelas interval : 69 p = -------- 7 = 9.86 dibulatkan menjadi 10 Batas-batas kelas dan tabulasi :

NILAI UJIAN TABULASI FREKUENSI 23 - 32 5 33 - 42 9 43 - 52 10 53 - 62 12 63 - 72 11 73 - 82 8 83 - 92 5

Tabel Distribusi frekuensi Hasil Ujian Statistika menjadi : NILAI UJIAN FREKUENSI

23 - 32 5 33 - 42 9 43 - 52 10 53 - 62 12 63 - 72 11 73 - 82 8 83 - 92 5

B. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Pada tabel distribusi frekuensi relatif, frekuensi

dinyatakan dalam % sehingga diperoleh : kelas pertama (23-32) : 5 -------- x 100% = 8.3 % 60 Kelas ke dua (33-42) :

9 -------- x 100% = 15 %, dan seterusnya, sehingga menjadi :

60

NILAI UJIAN FREKUENSI (%) 23 - 32 8.3 33 - 42 15 43 - 52 16.7 53 - 62 20 63 - 72 18.3 73 - 82 13.3 83 - 92 8.3 Jumlah 100

Jika distribusi absolut dan relatif digabungkan menjadi NILAI UJIAN Fabs. f rel.

23 - 32 5 8.3 33 - 42 9 15 43 - 52 10 16.7 53 - 62 12 20 63 - 72 11 18.3 73 - 82 8 13.3 83 - 92 5 8.3 Jumlah 60 100

C. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif 1. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari :

NILAI UJIAN Fkum. Kurang dari 23 0 Kurang dari 33 5 Kurang dari 43 14 Kurang dari 53 24 Kurang dari 63 36 Kurang dari 73 47 Kurang dari 83 55 Kurang dari 93 60

Jika tabel distribusi kumulatif kurang dari dibuat dalam bentuk diagram, akan dihasilkan Ogive positif.

2. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif atau lebih : NILAI UJIAN Fkum. 23 atau lebih 60 33 atau lebih 55 43 atau lebih 46 53 atau lebih 36 63 atau lebih 24 73 atau lebih 13 83 atau lebih 5 93 atau lebih 0

Jika tabel distribusi kumulatif atau lebih dibuat dalam bentuk diagram, akan dihasilkan Ogive negatif.

Latihan: Hasil tes pengetahuan tentang Management of change terhadap 30 mahasiswa adalah sebagai berikut: 65 67 81 76 44 53 68 67 65 42 59 60 63 72 79 64 60 71 54 51 71 69 65 76 77 51 89 87 66 69

Tugas 1. Buat tabel distribusi frekuensi (log 30 = 1,4771) 2. Buat histogram frekuensi 3. Buat tabel distribusi frekuensi relatif 4. Buat tabel distribusi kumulatif kurang dari 5. Buat tabel distribusi kumulatif atau lebih. 6. Buat ogive positif 7.Buat ogive negatif

IV. UKURAN PEMUSATAN

A. Rata-Rata Hitung Rata-rata hitung data tanpa pengelompokan: n

Xi

i = 1 x1 + x2 + x3 + ... + xn

= ____________ = __________________ n n

dengan = rata-rata hitung (untuk parameter disimbolkan dengan ) dan n = banyaknya data

Contoh : Indeks prestasi 5 orang mahasiswa adalah sbb: 2,7; 3,2; 3; 2,4 dan 2,1 Maka rata-rata indeks prestasi ke 5 mahasiswa tersebut adalah:

2,7+ 3,2+ 3+2,4+ 2,1 = _________________ = 2,68 5 Rata-rata hitung data yang dikelompokkan (metode kodifikasi)

fi.ci = Y0 + p _______ dengan Y0 disebut TANDA KELAS

fi

Contoh tabel distribusi : Nilai fi

31 40 2 41 50 4 51 60 10 61 70 15 71 80 6 81 - 90 3

Langkah menghitung rata-rata yaitu: tentukan nilai tengah (Yi) masing-masing kelas interval, tentukan tanda kelas dan nilai kodenya (Ci) sehingga tabelnya menjadi:

Nilai fi Yi Ci Fi.Ci 31 40 2 35.5 -3 -6 41 50 4 45.5 -2 -8 51 60 10 55.5 -1 -10 61 70 15 65.5 0 0 71 80 6 75.5 1 6 81 - 90 3 85.5 2 6

40 -12

Rata-rata hitung: - 12

= 65.5 + 10 _____ = 62,5 40

B. Modus (Mo) Nilai yang sering muncul Modus data tidak dikelompokkan : - Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar (optional) - Tentukan nilai yang paling banyak muncul - Nilai modus mungkin lebih dari satu. - Contoh data yang sudah berurut: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8,

8, 9, 9, 11 maka modus (Mo) data tersebut adalah 7. Modus data dikelompokkan: b1 Mo = b + p ( ______) b1 + b2 b = batas bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbesar) p = panjang kelas interval b1 = frekuensi kelas modus frekuensi kelas interval

sebelum kelas modus b2 = frekuensi kelas modus frekuensi kelas interval setelah kelas modus

Contoh tabel distribusi sbb: Nilai fi

31 40 2 41 50 4 51 60 10 61 70 15 71 80 6 81 - 90 3

b = 60.5; p = 10; b1= 15 10 = 5 dan b2 = 15 6 = 9 maka

5 mo = 60.5 + 10 ( _______) = 61.6

5+9

C. MEDIAN (Me) Suatu nilai yang apabila semua data hasil pengamatan diurutkan maka 50% data hasil pengamatan berada di atas dan di bawah nilai tersebut. Median data tidak dikelompokkan: Urutkan data, tentukan titik tengahnya ( jika data ganjil maka median tepat pada satu data, jika data genap maka median terletak antara dua data dan untuk menentukannya jumlahkan kedua data tersebut dan bagi dua) Contoh: Diketahui data sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 ( n= 14)

Titik tengah terletak antara data ke7 dan data ke 8 (angka 6 dan 7) maka: 6 + 7 Me = ______ = 6.5 2

Data : 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9,11, 12 ( n = 15) median terletak pada data ke 8 sehingga Me = 7 Median data dikelompokkan:

n - F Me = b + p ( ____________ ) f b = batas bawah kelas median p = panjang kelas median n = banyaknya data F = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median

Contoh tabel distribusi ( n = 40) Nilai fi

31 40 2 41 50 4 51 60 10 61 70 15 71 80 6 81 - 90 3

Karena n = 40 maka kelas median terletak antara data ke 20 dan data ke 21 atau terletak pada kelas dengan interval 61 70, sehingga diperoleh komponen-komponen:

b = 60.5; p = 10; n = 40; F = 16 dan f = 15 ( .40) -16 Me = 60.5 + 10 ( ___________ ) = 63.2 15

D. Kuartil (K) Titik yang membagi sebaran nilai-nilai yang telah diurutkan menjadi seperempatan. Ada tiga kuartil yaitu K1, K2 dan K3 Kuartil data yang tidak dikelompokkan: - Urutkan data - Tentukan letak kuartil ke i dengan Ki = data ke i/4.(n+1) - Tentukan nilai masing-masing kuartil - Contoh data yang telah diurutkan sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7,

7, 8, 8, 9, 9, 11 Letak kuartil: K1 = data ke 1/4 (14+1) = data ke 3 K2 = data ke 2/4 (14+1) = data ke 7 K3 = data ke 3/4 (14+1) = data ke 11 Nilai Kuartil K1 = data ke 3 + (data ke 4 data ke 3) = 6 + (6 6) = 6 K2 = 7 + (7-7) = 7 K3 = 8 + (9 8) = 8 Kuartil data dikelompokkan : - Tentukan posisi K1, K2 dan K3 seperti pada data yang

tidak dikelompokkan - Tentukan nilai masing-masing kuartil dengan rumus: in ---- - F 4 Ki = b + p ( ------------------ ) f

Ki = nilai kuartil ke i b = batas bawah kelas Ki p = panjang kelas Ki F = jumlah kumulatif frekuensi sebelum kelas Ki f = frekuensi kelas Ki Contoh :

Nilai fi 31 40 2 41 50 4 51 60 10 61 70 15 71 80 6 81 - 90 3

Lokasi kuartil : K1 = data ke 1/4 (40+1) = data ke 10 K2 = data ke 2/4 (40+1) = data ke 20 K3 = data ke 3/4 (40+1) = data ke 30 Kelas kuartil K1 = kelas dengan interval 51 60 K2 = kelas dengan interval 61 70 K3 = kelas dengan interval 61 70 Nilai Kuartil ke-1( K1) ( b = 50.5, p = 10, F = 6, f = 10) 1.40 ------ - 6 4 K1 = 50.5 + 10 ( ------------------ ) 10 = 54.5

Nilai Kuartil ke-2 (K2) ( b = 60.5, p = 10, F = 16, f = 15)

2.40 ------ - 16 4 K1 = 60.5 + 10 ( ------------------ ) 15 = 63.2

Nilai Kuartil ke-3( K3) ( b = 60.5, p = 10, F = 16, f = 15) 3.40 ------ - 16 4 K1 = 60.5 + 10 ( ------------------ ) 15 = 69.8

E. Desil (D) Titik yang membagi sebaran nilai-nilai yang telah diurutkan menjadi sepersepuluhan. Ada sembilan kuartil yaitu D1, D2, D9 Desil data yang tidak dikelompokkan: - Urutkan data - Tentukan letak desil ke i dengan Di = data ke i/10 (n+1) - Tentukan nilai masing-masing kuartil - Contoh data yang telah diurutkan sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 Letak desil: D1 = data ke 1/10 (14+1) = data ke 1 D2 = data ke 2/10 (14+1) = data ke 3 D3 = data ke 3/10 (14+1) = data ke 4 dan seterusnya Nilai Desil D1 = data ke 1 + (data ke 2 data ke 1) = 5 + (5 5) = 5

D2 = 6 D3 = 6 + (6 6) = 6

Desil data dikelompokkan : Tentukan posisi D1, D2 dan D3 Tentukan nilai masing-masing desil dengan rumus: in ---- - F 10 Di = b + p ( ------------------ ) f

Ki = nilai Desil ke i b = batas bawah kelas Di p = panjang kelas Di F = jumlah kumulatif frekuensi sebelum kelas Di f = frekuensi kelas Di

Contoh : Nilai fi

31 40 2 41 50 4 51 60 10 61 70 15 71 80 6 81 - 90 3

40 Lokasi desil : D1 = data ke 1/10 (40+1)

= data ke 4 1/10 D2 = data ke 2/10 (40+1) = data ke 8 1/5 D3 = data ke 3/10 (40+1) = data ke 12 3/10

dimanakah letak D4, D5, D6, D7, D8 dan D9? Kelas desil D1 = kelas dengan interval 41 50 D2 = kelas dengan interval 51 60 D3 = kelas dengan interval 51 60

Nilai desil ke-1 ( b = 40.5, p = 10, F = 2, f = 4) 1.40 ------ - 2 10 D1 = 40.5 + 10 ( ------------------ ) 4 = 45.5

Nilai Desil ke 2 ( b = 50.5, p = 10, F = 6, f = 10) 2.40 ------ - 6 10 D2 = 50.5 + 10 ( ------------------ ) 10 = 52.5

Nilai Desil ke-3 ( b = 50.5, p = 10, F = 6, f = 10) 3.40 ------ - 6 10 D3 = 50.5 + 10 ( ------------------ ) 10 = 56.5

F. Persentil (P) Titik yang membagi sebaran nilai-nilai yang telah diurutkan menjadi seperseratusan. Ada 99 persentil yaitu P1, P2, P99

Kuartil data dikelompokkan : Tentukan posisi P1, P2, P99 Tentukan nilai masing-masing kuartil dengan rumus:

in ---- - F 100 Di = b + p ( ------------------ ) f

Pi = nilai Persentil ke i b = batas bawah kelas Pi p = panjang kelas Pi F = jumlah kumulatif frekuensi sebelum kelas Pi f = frekuensi kelas Pi

Contoh : Nilai fi

31 40 2 41 50 4 51 60 10 61 70 15 71 80 6 81 - 90 3

40

Lokasi persentil : P10 = data ke 1/100 .10 (40+1) = data ke 4 1/10 Kelas kuartil P10 = kelas dengan interval 41 50 Nilai persentil ke-10 ( b = 40.5, p = 10, F = 2, f = 4) 10.40 ------ - 2 100 P10 = 40.5 + 10 ( ------------------ ) 4 = 45.5

Latihan: Menggunakan tabel distribusi frekuensi tentang hasil tes tentang Management of change pada latihan sebelumnya, hitunglah: 1. Rata-rata hasil tes 2. Modus 3. Median 4. Kuartil ke 1, 2 dan 3 5. Desil ke 6 6. Persentil ke 40

V. UKURAN PENYEBARAN

A. Rentang Rentang=data terbesar data terkecil

B. Rentang antar kuartil (RAK) RAK= K3 K1

C. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil: (K3 - K1)

D. Rata-Rata Simpanga Jumlah semua jarak antara tiap data dengan rata-rata

dibagi banyaknya data xi x RS = ___________ n

Contoh: 4, 5, 7, 8, 8, 10 ( n = 6 dan x = 7)

4 7 + 5 7 + ... 10 7 maka RS = __________________________ = 1.67 6

E. Ragam (s2 atau 2) disebut juga Kuadrat Tengah akar kuadrat dari ragam disebut Simpangan baku

Ragam Data Tidak dikelompokkan:

JK = ( xi x)2 .......................................... Jumlah kuadrat

(JK) s2 = ________

n-1 ............................................. Derajat bebas (DB)

Langkah-langkah: hitung x hitung selisih antara x1 x, x2 x dst. hitung kuadrat selisih-selisih di atas

jumlahkan seluruh kuadrat-kuadrat tersebut bagilah dengan n-1

Ragam data dikelompokkan:

n. fi.ci2 ( fi.ci)2 s2 = p2 ( _________________)

n. (n-1)

p = panjang kelas interval fi = frekuensi kelas ke i ci = nilai tanda (kelas dengan fi terbesar diberi nilai tanda 0)

Struktur data: Nilai fi ci ci2 fi.ci fi.ci2

fi= n fi.ci fi.ci2

Ragam Gabungan Jika beberapa kelompok data masing masing mempunyai

nilai ragam, maka ragam gabungan seluruh kelompok data tersebut adalah:

(ni-1).si2 s2 = __________ ni-k

Jika ada 3 kelompok data maka: (n1-1).s12 + (n2-1).s22 + (n3-1).s32 s2 = ___________________________ (n1 + n2 + n3 ) -3

Latihan: Menggunakan tabel distribusi frekuensi tentang hasil tes tentang Management of change pada latihan sebelumnya, hitunglah: 1. rentang 2. rentang antar kuartil 3. simpangan kuartil 4. ragam 5. simpangan baku

VI. MODEL DISTRIBUSI DATA

A. Ukuran Kemiringan (Skewness) Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan

sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Dengan mengetahui koefisien kemiringan dapat ditentukan suatu distribusi data memiliki bentuk kurva yang tergolong positif, simetrik atau negatif seperti gambar beriku:

1. Koefisien kemiringan pertama dari Pearson

X - Mo Koefisien kemiringan = ______ s

dengan: X = rata-rata, Mo = modus dan s = Simpangan baku

2. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson

3 (X Me) Koefisien kemiringan = _________ s dengan: X = rata-rata, Me = median dan s = Simpangan baku

3. Koefisien kemiringan dengan menggunakan nilai kuartil

K3 2K2 + K1 Koefisien kemiringan = __________ K3 K1

Dengan K1 = kuartil ke-1, K2 = kuartil ke-2 dan K3 = kuartil ke-3

4. Koefisien kemiringan dengan menggunakan nilai Persentil

P90 2P50 + P10 Koefisien kemiringan = _____________ P90 P10

Dengan P90 = persentil ke-90, P50 = persentil ke-50 dan P10 = Persentil ke 10

Kriteria: 1. Jika koefisien kemiringan kurang dari nol maka bentuk

distribusinya negatif

2. Jika koefisien kemiringan sama dengan nol maka bentuk distribusinya simetrik

3. Jika koefisien kemiringan lebih dari nol maka bentuk distribusinya positif

Selain dengan menghitung koefisien kemiringan, bentuk distribusi juga dapat ditentukan dengan membandingkan nilai-nilai modus (Mo), median (Me) dan rata-rata (X). kriteria:

1. Distribusi simetrik jika Mo=Me=X 2. Distribusi positif jika MoX

B. Ukuran Keruncingan (Kurtosis) Kurtosis adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi.

Suatu distribusi yang relatif tinggi dinamakan leptokurtik, jika puncaknya datar disebut platikurtik dan jika puncaknya tidak terlalu tinggi atau terlalu datar disebut mesokurtik.

Untuk mengetahui keruncingan kurva dapat ditentukan dengan menghitung koefisien kurtosis:

(K3-K1) K = ________ P90 P10

dengan K3= kuartil ke-3, K1= kuartil ke-1, P90 = persentil ke-90 dan P10 = persentil ke-10

Kriteria: 1. Jika koefisien kurtosis kurang dari 0,263 bentuk distribusi:

platikurtik 2. Jika koefisien kurtosis sama dengan 0,263 bentuk distribusi:

mesokurtik 3. Jika koefisien kurtosis lebih dari 0,263 bentuk distribusi:

leptokurtik

Latihan: Menggunakan tabel distribusi frekuensi hasil tes tentang Management of change pada latihan sebelumnya, tentukan model distribusi berdasarkan koefisien kemiringan dan koefisien keruncingan.

VII. PROBABILITAS

A. Arti Probabilitas 1. Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk

mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. 2. Probabilitas atau peluang merupakan ukuran numeric

tentang seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi.

3. Kejadian Acak atau random event ialah suatu kejadian yang tak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya.

4. Probabilitas merupakan suatu frekuensi relatif dari suatu sukses yang diperoleh jika suatu percobaan dilakukan berulang-ulang sampai tak terbatas didalam situasi dan kondisi yang sama.

Nilai Probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah : P (A) = n(A)/n(S) = m/n

Perumusan ini harus memenuhi ketentuan : Probabilitas A harus merupakan bilangan non-negatif atau

bukan bernilai negatif, yaitu : P (A) 0 . Nilai probabilitas suatu peristiwa berkisar antara :

0 P (A) 1 Jumlah probabilitas A ditambah A (bukan A) harus sama

dengan 1. Atau : P (A) + P (A) = 1 P (A) = 1 P (A) Contoh :

Sebuah dadu yang seimbang memiliki enam sisi. Lima dari keenam sisi tersebut dicat biru sedangkan satu sisi selebihnya

dicat hijau.bila dadu tersebut dilempar sebanyak satu kali, berapa :

a. Probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru b. Probabilitas timbulnya sisi yang bercat hijau

Jawab : a. P (Biru) = 5/6 b. P (Hijau) = 1/6 Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci :

1. Eksperimen Proses pengumpulan data dari sebuah fenomena yang memperlihatkan variasi pada hasilnya.

2. Ruang sampel Kumpulan dari seluruh kemungkinan hasil yang didapatkan dari suatu eksperimen, dilambangkan dengan S.

3. Peristiwa/Event/Kejadian Kumpulan hasil-hasil dasar yang digolongkan oleh suatu ciri tertentu.

B. Peristiwa (event) dan Notasi Himpunan 1) Ruang sampel

Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan.

Keseluruhan dari titik sampel dinamakan Ruang sampel dan dilambangkan dengan S. Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6} ruang vektor

Kejadian yang dapat terjadi di dalam suatu eksperimen (percobaan) dan biasanya dilakukan berulang kali dinamakan Titik Sampel. A = { 2 }

2) Peristiwa/kejadian (event) Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau

terjadi pada suatu percobaan statistik.

Peristiwa A atau B dinotasikan dengan A B

Peristiwa A dan B dinotasikan dengan A B

Peristiwa A dan B merupakan peristiwa yang saling lepas, A B = 0

Peristiwa A bagian B dinotasikan dengan A B

NnAp )(

13/7)( CBP

C. Probabilitas Suatu Peristiwa Probabilitas memberikan nilai kuantitatif pada peryataan

seberapa sering suatu peristiwa terjadi. Probabilitas peristiwa A : Beberapa sifat : a. P(A)=1-P(A) b. 0

5/4)( BAP

Dimana : A B = 0 dan P (A B) = 0. Contoh : Bila sebuah dadu dilempar sekali , berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau 3 ? Jawab : Jika A = peristiwa timbulnya mata dadu 1

B = peristiwa timbulnya mata dadu 3 P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/6

A dan B merupakan dua peristiwa yang saling lepas. P (A B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas bila kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah.

Peristiwa tidak saling lepas / kejadian majemuk Bila A dan B peristiwa sembarang pada ruang sampel S,

maka gabungan kejadian A dan B ditulis A B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada kedua-duanya. Kejadian A B disebut kejadian majemuk, dan A B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B disebut kejadian majemuk.

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

Contoh : Peluang seorang murid SD yang lulus mata pelajaran

matematika adalah 2/3 dari peluang ia lulus mata pelajaran bahasa Indonesia adalah 4/9. Bila sekurang kurangnya satumata pelajaran diatas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata pelajaran tersebut !

Jawab : P(A) = 2/3; P(B) =4/9; P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

13/452/1652/152/1352/4)()()()( BAPBPAPBAP 12,0)4,0)(3,0()().()( BPAPBAP

52/1)( BAP

= 2/3 + 4/9 4/5 = 14/45

Peristiwa yang saling bebas (independen) Dua peristiwa dikatakan independen jika dan hanya jika

terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua.

Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku rumus :

P (A B ) = P (A) . P (B) Contoh :

1) Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, Hitung peluang ! Jawab: P(A) = 4 /52; P(B) = 13/52; maka

2) Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A)= 0,3 dan P(B)= 0,4 maka berlaku:

D. Probabilitas bersyarat Probabilitas suatu peristiwa A seringkali harus

dimodifikasikan bila ada informasi bahwa terdapat peristiwa b yang berkaitan dengan peristiwa a tersebut telah terjadi sebelumnya. Perubahan nilai probabilitas peristiwa A bila diketahui bahwa peristiwa b telah terjadi disebut sebagai

0)(;)()()/( BbilaP

BPBAPBAP

)/().()( BAPBPBAP

)....|()....|()|()()....( 121213121321 kkk AAAAPAAAPAAPAPAAAAP

)()()( BPAPBAp )().....().()....( 21321 kk APAPAPAAAAP

probabilitas bersyarat a bila diketahui b terjadi dan dinotasikan dengan P(A|B).

Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi disebut Probabilitas bersyarat (conditional probability). Rumus Probabilitas bersyarat

Rumus diatas dapat ditulis kembali sebagai :

dan dinyatakan sebagai aturan perkalian, bila terdapat tiga peristiwa A,B, dan C maka sesuai dengan aturan perkalian didapatkan:

Apabila terdapat suatu kondisi dimana probabilitas P(A/B) menjadi bernilai sama dengan P(A), maka dalam hal ini peristiwa B tidak mempunyai pengaruh terhadap terjadinya peristiwa A, sehingga :

P(B/A)=P(B) atau

P(A/B)=P(A) Kondisi ini dinamakan sebagai peristiwa yang saling

bebas(independent) antara A dan B,Sesuai dengan aturan perkalian maka kondisi saling bebas tersebut :

Dengan demikian, bila terdapat peristiwa A1, A2,.....,Ak yang saling bebas maka:

Contoh : 1) Misalkan ruang sampel menyatakan populasi media

penyimpanan data (disket dan CD) pada suatu kantor tertentu.Media penyimpan data tersebut dikelompokan menurut kondisinya: Diadakan audit untuk mengetahui kondidi media penyimpanan data dikantor tsb. Dengan cara mengambil sampel secara acak pada kotak media penyimpanan.Bila media yang terpilih ternyata mempunyai kondisi baik, berapakah peluang yang terpilih itu media CD ? Jawab : Bila M=CD yang terpilih E=Kondisi media yang terpilih baik :

2) Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3 diantaranya rusak. Hitung peluang bila 2 buah gulungan filem diambil acak satu persatu secara beruutan. Jawab: Misal A: peristiwa terambil gulungan pertama eusak B: peristiwa terambil gulungan kedua rusak Maka peluang kedua gulungan rusak adalah :

VII. PERMUTASI

Dalam beberapa macam cara suatu peristiwa dapat terjadi ? Dalam berapa macam cara suatu pemilihan terhadap sebagian dari keseluruhan obyek dapat dilakukan? Pertanyaan sedemikian itu acapkali timbul dalam persoalan tentang cara menghitung berbagai kemungkinan memilih sampel dari suatu populasi tertentu. Pada asasnya, persoalan diatas sama dengan persoalan mencari jumlah cara menyusun atau mengatur suatu himpunan obyek tertentu.

A. Permutasi Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua,

Sekretaris dan Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu: Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3

cara. Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara. Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara. Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3:2:1 =6. Secara formal, permutasi dapat didevinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.1 Permutasi dari n unsur yang berbeda adalah

pengurutan dari n unsur tersebut. Contoh 1.1 Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC ! Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.

Teorema 1.1 Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda. Bukti. Asumsikan bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda merupakan aktitas yang terdiri dari n langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan n 1 cara karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-n yang bisa dilakukan dengan 1 cara. Berdasarkan Prinsip Perkalian, terdapat permutasi dari n unsur yang berbeda.

Contoh 1.2 Berapa banyak permutasi dari huruf ABC ? Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC. Contoh 1.3 Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika subuntai ABC harus selalu muncul bersama? Karena subuntai ABC harus selalu muncul bersama, maka subuntai ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah 4.3.2.1 = 24.

Denisi 1.2 Permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah pengurutan dari sub-himpunan dengan r anggota dari himpunan

. Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan P(n; r). Contoh 1.4 Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Permutasi-3 dari huruf ABCDE adalah :

Sehingga banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60. Teorema 1.2 Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

Bukti. Asumsikan bahwa permutasi- dari unsur yang berbeda merupakan aktitas yang terdiri dari langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang

bisa dilakukan dengan cara karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-r yang

bisa dilakukan dengan cara. Berdasarkan Prinsip Perkalian, diperoleh

Contoh 1.5 Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah

Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60

B. Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pemulihan obyek yang terpilih

1. Permutasi dari n obyek seluruhnya DEFINISI 5.3.1. : Bila n menyatakan bilangan bulat positif, maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial dan diberi tanda n!. Penjelasan : Jika n = 1, 2, . . . , maka n! = n (n-1) (n-2) . . . 2. 1 = n (n-1)! Dan (n+1)! = (n+1)n!

2. Permutasi sebanyak r dari n obyek DEFINISI : Pengaturan atau penyusunan sebanyak r obyek yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda secara matematis dinamakan permutasi secara sekaligus sebanyak r dari n obyek yang berbeda dimana rPn. secara simbolis, permutasi sedemikian itu dinyatakan sebagain P.

Contoh : Jika kita gunakan perumusan nPr = n! (n-r)! untuk menghitung jumlah permutasi 2 huruf yang diambil dari kata laut dalam contoh 5.3.1. maka akan diperoleh hasil : nPr = 4P2 = 4! = 12 (4-2)!

3. Permutasi keliling (circular permutation) Permutasi suatu himpunan obyek yang membuat suatu

lingkaran dinamakan Permutasi keliling. Bila suatu himpunan obyek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran, permutasi obyek yang bersangkutan sebetulnya mempersoalkan kedudukan relatif obyek - obyek diatas bila melintasi lingkaran dalam arti yang tertentu.

4. Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilih

TEOREMA .4.1. Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilih. Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek dan yang diambil sekaligus sebanyak r dengan pemulihan obyek yang telah terpilih ialah : nPr = n*r

dengan ketentuan r dan n merupakan bilangan bulat positif.

5. Permutasi sebanyak r dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan

Secara intuitif, jumlah permutasi dari obyek yang dapat dibedakan tentunya lebih banyak daripada jumlah permutasi dimana terdapat beberapa kumpulan obyek yang sama. Hal sedemikian mudah sekali dimengerti. Kumpulan {a, a, a} terdiri

dari 3 unsur yang tidak dapat dibedakan dan hanya dapat dipermutasikan dalam satu cara saja. Jika kita bedakan unsur himpunan diatas menjadi {a1, a2, a3} , jumlah permutasi himpunan {a1, a2, a3} akan menjadi :

nP n = n! = 3! = 6

VIII. KOMBINASI

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya

dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan,

Contoh :

Diketahui himpunan . Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi dengan penulisan nCk, hitung 10C4 kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1 jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu?

jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. Contoh lainnya 20C5=20C15 3C2=3C1 100C97=100C3 melihat polanya! Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi

Misalkan: Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah: ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya

terdapat 1 kombinasi) Dalil-1 Kombinasi : Kombinasi r dari n obyek adalah

Cn

r n rrn !!( )!

Contoh : Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3

hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

C340 40!

3 40 340!

3 3740 39 38 37

3 37 ! ( )! ! ! !! ! = 9880

Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi

salah satu pemenang adalah: P(Menang) = 98801

Kaidah Perkalian & Kombinasi Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama.

Contoh : Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang

berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. (a) Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan

ketentuan 3 berasal dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer?

Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat = C35 5

3 2 10 !! ! Pemilihan 2 dari 3 calon dari Kantor Cabang = C2

3 32 1

3 !! !

Pemilihan 1 dari 2 calon dari Program Pelatihan= C12 2

1 12 !

! !

n = Pemilihan Manajer = 10 3 2 = 60 cara

(b) Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?

N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer = 610 10!

6!4 210C !

(c) Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan?

P(manajer) = nN

60210 Kombinasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan

tidak memperhatikan urutan. Banyaknya kombinasi r unsur dari himpunan dengan n

unsur dinotasikan dengan rnC , atau rn . Perhatikan bahwa jika nr , definisikan 0, rnC . Jika 0n dan r

bilangan bulat positif, maka rC ,0 . Hal tersebut akan berakibat bahwa 1000,0 C . Fakta berikutnya adalah untuk bilangan bulat tidak negatif n berlaku 10, nC , nnC 1, dan 1, nnC

Untuk nr , rnCrrnP ,!, Akibatnya, !! !, rnr nrnrnC

Kombinasi Berbeda dengan permutasi yang urutan menjadi pertimbangan, pada kombinasi urutan tidak dipertimbangkan. Misalnya pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompak 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) dalam mengikuti suatu kegiatan. Dalam masalah ini, urutan tidak dipertimbangkan karena tidak ada bedanya antara Dedi, Eka dan Feri dengan Eka, Dedi dan Feri. Dengan mendata semua kemungkinan 3 orang yang akan dipilih dari 5 orang yang ada, diperoleh:

Sehingga terdapat 10 cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang yang ada.

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan kombinasi secara formal seperti di bawah ini.

Definisi Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah seleksi tak

terurut r anggota dari himpunan { (sub-himpunan dengan r unsur). Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan C(n,r) atau (n,r ). Contoh 3.6

Tentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Kombinasi-3 dari huruf ABCDE adalah:

ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE

Sehingga banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10.

Teorema Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

C(n, r) = !)!.(

!rrn

n Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menghitung permutasi dari n unsur yang berbeda dengan cara berikut ini. Langkah pertama adalah menghitung kombinasi-r dari n, yaitu

C(n; r). Langkah kedua adalah mengurutkan r unsur tersebut, yaitu r!. Dengan demikian, seperti yang diinginkan.

P(n,r) = C(n, r).r!

C(n,r) = !

),(r

rnP

=

!)!/(!

r

rnn

=

!)!.(!

rrn

n

Contoh 3.7 Gunakan Teorema 3.3 untuk menentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Karena r = 3 dan n = 5 maka kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah

C(5,3) = !3)!.35(

!5 = !3!.2 !5 = 24.5 = 5.2 = 10 Jadi banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10. Contoh 3.8 Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang. Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia. Sehingga dengan mengunakan Teorema 3.3 dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:

C(6,4) = !4)!.46(

!6 = !4!.2 !6 = 25.6 = 3:5 = 15 Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang. Contoh 3.9 Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 ma-hasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? Pertama, memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswa yang ada, yaitu:

C(5,2) =!2)!.25(

!5 = !2!.3 !5 = 24.5 = 5.2 = 10 Kedua, memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi yang ada, yaitu:

C(6,3) =!3)!.36(

!6 = !3!.3 !6 = 2.3 4.5.6 = 5.4 = 20

Sehingga terdapat 10:20 = 200 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? Generalisasi Kombinasi

Generalisasi kombinasi merupakan perluasan dari kombinasi yang membolehkan pengulangan suatu unsur. Misalnya kita ingin memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisi paling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah, biru dan kuning. Kemungkinan terpilihnya 4 kelereng tersebut adalah

Sehingga terdapat 15 kemungkinan terpilihnya 4 kelereng tersebut. Permasalahan di atas dapat kita nyatakan sebagai seleksi dari

4+3-1 simbol yang terdiri dari 4 simbol o sebagai kelereng dan 3 1 simbol k sebagai pemisah kelereng yang berbeda warna. Selanjutnya kita menentukan posisi dari simbol-simbol tersebut, yaitu:

Dari seleksi diperoleh 15 kemungkinan pengaturan simbol-simbol tersebut.Secara umum permasalahan diatas dapat disajikan dalam teorema berikut ini. Teorema 3.5

Jika X merupakan sebuah himpunan yang mempunyai t unsur dimana pegulangan diperbolehkan, maka banyaknya seleksi k unsur tak terurut dari X adalah

Bukti.

Misalkan . Asumsikan bahwa terdapat k +t - 1 slot yang akan diisi oleh k+t - 1 simbol yang terdiri dari k simbol o

dan t - 1 simbol .Penempatan simbol-simbol pada slot tertentu merupakan representasi dari proses seleksi. Bilangan dari simbol

o hingga simbol yang pertama merepresentasikan seleksi dari ;

bilangan dari simbol o dari simbol yang pertama hingga simbol yang kedua merepresentasikan seleksi dari ; dan seterusnya sampai seleksi dari .Karena terdapat C(k + t 1, t - 1) cara untuk menentukan posisi simbol , maka juga terdapat C(k +t - 1, t - 1) seleksi. Hal ini juga sama dengan C(k + t 1, k) cara untuk menentukan posisi simbol o. Sehingga terdapat

C(k + t 1; t 1) = C(k + t 1; k) seleksi k-unsur tak terurut dari X dimana pengulangan diperbolehkan. Contoh 3.11

Gunakan Teorema 3.5 untuk menentukan banyaknya cara memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisi paling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah, biru dan kuning. Karena ada 3 warna kelereng dan 4 kelereng akan dipilih, maka t = 3 dan k = 4. Sehingga banyaknya cara pemilihan 4 kelereng adalah:

Contoh 3.12 Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan

Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10 butir dari jenis . Sehingga banyaknya seleksi adalah

C(10 + 2 1, 2 - 1) = C(11, 1) = 11

LATIHAN SOAL A. Probabilitas

1. Dua buah dadu dilempar sekaligus sebanyak sekali. Hitunglah peluang muncul mata dadu berjumlah 10 atau 7 !

2. Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 6 bola putih,7 bola hijau, 3 bola biru. Semua bola sama bentuk,besar dan bobotnya. Apabila sebuah bola diambil secara random, berapa probabilitasnya bahwa :

a. bola itu merah b. bola itu hijau B. Permutasi

1. Suatu Organisasi akan memilih ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara & humas. Jika ketua & wakil ketua dipilih dari 5 orang, sedangkan sekretaris, bendahara & humas dipilih dari 7 orang yang lain. Maka banyak cara menyusun pengurus organisasi tersebut adalah?

C. Kombinasi 1. Ada 8 siswa baru yang belum saling mengenal satu sama

lain. Apabila mereka ingin berkenalan dengan berjabat tangan, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak??

2. Suatu perkumpulan terdiri dari 7 orang pria & 5 orang wanita akan mengirimkan utusan untuk mengikuti rapat yang hanya terdiri dari 3 orang pria & 2 orang wanita. Bnyaknya susunan utusan tersebut adalah..?

IX. POPULASI DAN SAMPEL

A. PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL 1. Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau

individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang akan diteliti (bahan penelitian). Objek atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat berupa orang, perusahaan, hasil produksi, rumah tangga, dan tanah pertanian.

2. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang dianggap bisa memiliki populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel disebut unit sampel. Unit sampel mungkin sama dengan unit analisis, tetapi mungkin juga tidak.

3. Parameter dan statistik adalah besaran yang berupa data ringkasan atau angka ringkasan yang menunjukan suatu ciri dari populasi data sampel. Parameter dan statistik merupakan hasil hitungan nilai dari semua unit di dalam populasi dan sampel yang bersangkutan.

B. CARA PENGUMPULAN DATA Cara pengumpulan data ada 2, yaitu: 1. Sensus : cara pengumpulan data yang mengambil setiap

elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. 2. Sampling : cara pengumpulan data hanya mengambil

sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.

Alasan dipilih sampling: 1) Objek penelitian yang homogen 2) Objek penelitian yang mudah rusak 3) Penghematan biaya dan waktu 4) Masalah penelitian 5) Ukuran populasi 6) Faktor ekonomis Contoh: Darah

Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas dua macam, yaitu probabilitas dan nonprobabilitas. I. Probabilitas ( Sampling Random / Sampling Acak )

a. Sampling Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Bentuk sampling random yang sifatnya sederhana, tiap sampel yang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi.

b. Sampling Acak Bertingkat (Stratified Random Sampling) Bentuk sampling random yang populasinya atau elemen populasinya dibagi dalam kelompok-kelompok yang disebut strata.

c. Sampling Acak Sistematis (Systematic Random Sampling) Bentuk sampling random yang mengambil elemen-elemen yang akan diselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang akan disusun secara teratur.

d. Sampling Kelompok atau Sampling Kluster (Cluster Sampling) Bentuk sampling random yang populasinya dibagi menjadi beberapa kelompok (cluster) dengan menggunakan aturan-aturan tertentu, seperti batas-batas alam dan wilayah administrasi pemerintah

II. Nonprobabilitas ( Sampling NonRandom / Sampling Tidak Acak )

Cara pengambilan sampel yang semua objek atau elemen populasinya tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Seperti : a. Sampling Kuota

Sampling kuota adalah bentuk sampling nonrandom yang merincikan lebih dahulu segala sesuatu yang berhubungan dengan pengambilan sampel.

b. Sampling Pertimbangan Sampiling pertimbangan adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya ditentukan oleh peneliti berdasarkan pertimbangan dan kebijaksanaan.

c. Sampling Seadanya Sampling seadanya adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya dilakukan seadanya atau berdasarkan kemudahan mendapatkan data yang diperlukan.

X. DISTRIBUSI PROBABILITAS

A. VARIABEL RANDOM Definisi 1: Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R CONTOH 1:

Pelemparan uang logam setimbang sebanyak tiga kali. Ruang sampelnya S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Dari percobaan ini dapat didefinisikan beberapa variabel random yang mampu memetakan ruang sampelnya ke dalam bilangan real. Salah satu variabel random yang dapat dibuat adalah X = banyaknya sisi gambar yang muncul. Maka nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dapat diberikan pada setiap titik sampel.

Definisi 2 : Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya

mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung banyaknya.

Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit disebut variabel random diskrit.

CONTOH 2 : - banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel

sebesar k barang. - banyaknya yang meninggal karena terserang suatu infeksi

pernafasan setiap tahun di Surabaya.

Definisi 3 : Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya

mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya, dan memuat semua bilangan real dalam suatu interval.

Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel kontinu disebut variabel random kontinu.

CONTOH 3 : - lamanya reaksi kimia tertentu - jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi dengan 5 liter

bensin.

B. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu

fungsi probabilitas atau distribusi proabilitas dari variabel random diskrit, jika

)()( .31)( .2

0)( .1

xfxXPxf

xf

x

Rata-rata dan varians dari variabel random diskrit X

xx xfxXE xxfXE )()(])[( )()( 222

C. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan (density) probabilitas

untuk variabel kontinu X, jika

b

adxxfbXaP

dxxf

xf

)()( .3

1)( .20)( .1

-

Rata-rata dan varians dari variabel random kontinu X

dxxfxXE

dxxxfXE

)()(])[(

)()(222

D. BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT 1. Distribusi Binomial

Ciri-ciri percobaan binomial : a. Percobaan terdiri dari n ulangan b. Setiap hasil ulangan dapat digolongkan sebagai sukses (S)

atau gagal (G) c. Probabilitas sukses (p) untuk setiap ulangan adalah sama d. Setiap ulangan harus bersifat independen.

Definisi 4 : Suatu percobaan dengan n ulangan mempunyai

probabilitas sukses p dan gagal q = 1-p. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam n ulangan yang bebas, maka X berdistribusi Binomial dengan distribusi probabilitas :

nxqpx

n xnx,....2,1,0 , p)n, b(x;

Nilai harapan (rata-rata) dan varians dari variabel random yang berdistribusi Binomial

= np 2 = npq

SOAL 1 : Uang logam setimbang dilemparkan sebanyak empat kali. Tentukan distribusi probabilitas bagi banyaknya sisi gambar yang muncul.

SOAL 2 : Probabilitas seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0,4. Jika 15 orang diketahui menderita penyakit ini, tentukan probabilitas :

a. Tepat 5 orang yang sembuh b. Ada 3 sampai 8 orang yang sembuh c. Sekurang-kurangnya 3 orang sembuh.

2. Distribusi Hipergeometrik Ciri-ciri percobaan Hipergeometrik : a. Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran

N b. Dari populasi berukuran N benda, sebanyak k benda diberi

label sukses, dan N-k benda diberi label gagal.

Definisi 5 : Dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label

sukses dan N-k benda lainnya diberi label gagal. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n, maka X berdistribusi hipergeometrik dengan distribusi probabilitas

kx

n

Nxn

kNx

k

,....2,1,0 , k) n, N, h(x;

Nilai harapan dan varians dari variabel random yang berdistribusi Hipergeometrik adalah

Nk

n

kn

NnN

Nnk

1..1

2

SOAL 3 : Sebuah panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 mahasiswa farmasi dan 5 mahasiswa kedokteran. Tentukan distribusi probabilitas banyaknya maha-siswa farmasi dalam panitia tersebut.

Bila n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri dengan distribusi binomial h (x; N, n, k) b (x; n, p)

SOAL 4 : Sebuah perusahaan farmasi melaporkan bahwa diantara 5000 pemakai obat tertentu 4000 diantaranya menggunakan obat generik. Jika 10 orang diantara pemakai obat tersebut dipilih secara acak, berapa probabilitas tepat ada 3 orang yang memakai obat non generik ?

3. Distribusi Poisson Ciri-ciri percobaan Poisson : a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu

selang waktu tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu lain yang terpisah.

b. Probabilitas terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu tersebut.

c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat, dapat diabaikan.

Definisi 6 : Jika variabel random X menyatakan banyaknya hasil

percobaan yang terjadi dalam selang waktu tertentu, dan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan dalam selang waktu tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan distribusi probabilitas

,...2,1,0 , !

) p(x; xx

e x

Nilai harapan dan varians dari ariable random yang berdistribusi Poisson keduanya sama dengan .

SOAL 5 : Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di lab adalah 4. Berapa prob 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu ? Misalkan X b(x; n,p), bila n , p 0, maka b(x; n,p) p(x; ) dengan = np.

SOAL 6 : Probabilitas seseorang meninggal karena suatu infeksi pernafasan adalah 0,002. Carilah probabilitas jika 2000 orang yang terserang infeksi tersebut, kurang dari 5 orang akan meninggal ! Tentukan rata-rata dan variansnya.

E. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU 1. Distribusi Normal Definisi 7 :

Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata dan varians 2 jika mempunyai fungsi densitas f(x) = x-e x ,

21), n(x;

2

21

Sifat-sifat kurva normal : a. Modus terjadi pada x = b. Kurva simetris terhadap x = c. Kedua ujung kurva secara asimtotik mendekati sumbu datar x, bila nilai x bergerak menjauhi . d. Seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.

Xf(x)

x1 x2

Gambar 1 : Kurva Normal

Misalkan ingin dihitung P (x1 < X < x2) dari variabel random X yang berdistribusi normal, maka berdasar kurva di atas P (x1 < X < x2) = luas daerah yang diarsir.

Untuk menghitung P(x1 < X < x2) 21

)(x

x

dxxf sulit diselesaikan.

Namun dapat diatasi dengan mentransformasi variabel random normal X menjadi variabel random Z

XZ . Distribusi variabel random Z disebut dengan Distribusi Normal Standart, dengan fungsi densitas

z- , 21)( 2

2z

ezf

dengan = 0 dan 2 =1.

SOAL 7 : Diketahui suatu distribusi normal standart, carilah luas daerah di bawah kurva yang terletak : a. di sebelah kiri z = -1,39 b. antara z = -2 dan z = 2 c. disebelah kanan z = 1,84.

SOAL 8 : Diketahui suatu distribusi normal standart, carilah nilai k sehingga a. P (Z > k) = 0,3015 b. P (k < Z < -0,18) = 0,4197 c. P (-0,93 < Z < k) = 0,7235.

SOAL 9 : Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Tentukan a. P (x < 45) b. P ( 47 < x < 62) c. P (x > 64)

SOAL 10 : Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dengan simpangan baku 4,1 cm. Berapa persentase banyaknya anjing pudel jenis tersebut yang tingginya melebihi 35 cm, a. bila tingginya menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian

berapapun ? b. bila kali ini tingginya diukur sampai cm terdekat ?

2. Hampiran Normal Terhadap Distribusi Binomial Jika variabel random X berdistribusi Binomial dengan mean = np dan varians 2 = npq, maka variabel random

npqnpXZ

untuk n berdistribusi normal standart.

SOAL 11 : Probabilitas seorang penderita sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang muncul sebesar 0,4. Bila diketahui ada 100 orang yang telah terserang penyakit ini, berapa probabilitas bahwa kurang dari 30 yang sembuh ?

SOAL-SOAL LATIHAN : 1. Menurut teori Mendel tentang sifat-sifat keturunan, perkawinan

silang 2 jenis tanaman yang serupa, yang satu berbunga merah dan lainnya berbunga putih, menghasilkan keturunan yang 25% tanamannya berbunga merah. Andaikan seorang ahli tanaman ingin mengawinsilangkan lima pasang berbunga merah dan berbunga putih. Berapa probabilitas bahwa dari 5 keturunan yang dihasilkan a. Tidak terdapat bunga berwarna merah. b. Paling sedikit 4 tanaman berbunga merah. c. Paling banyak 4 tanaman berbunga merah.

2. Suatu perusahaan farmasi mengetahui bahwa secara rata-rata, 5% dari sejenis pil mempunyai campuran dibawah syarat minimum, sehingga tidak memenuhi persyaratan. Berapa probabilitas bahwa kurang dari 10 pil dalam sampel 200 pil tidak memenuhi persyaratan ?

3. Panjang ikan sardine yang diterima suatu pabrik pengalengan ikan mempunyai panjang rata-rata 4,54 inci dan simpangan baku 0,25 inci. Apabila distribusi panjang ikan sardine tersebut mengikuti distribusi normal, berapa persentase dari ikan-ikan tersebut yang panjangnya adalah : a. Lebih dari 5 inci b. Kurang dari 5 inci c. 4,4 sampai 4,6 inci ?

4. Probabilitas seorang mahasiswa gagal dalam tes scoliosis (membengkoknya tulang belakang) adalah 0,004. Diantara 1875 siswa yang dites scoliosis, hitunglah probabilitas terdapat : a. kurang dari 5 mahasiswa gagal dalam tes itu b. lebih dari 2 mahasiswa gagal dalam tes tersebut c. 8, 9 atau 10 mahasiswa gagal dalam tes tersebut.

5. Dalam suatu dos berisi 50 botol obat dan 5 buah diantaranya tidak memenuhi standart. Dari dos tersebut diambil 4 botol obat secara acak, berapa probabilitas mendapat 2 botol yang tidak memenuhi standart ?

6. Dalam suatu ujian statistika, diketahui bahwa nilai rata-ratanya adalah 82 dengan simpangan baku sama dengan 5. Semua mahasiswa dengan nilai dari 88 sampai 94 mendapat nilai B. Bila nilai-nilai statistika tersebut berdistribusi normal, dan 8 siswa mendapat nilai B, berapa banyak mahasiswa yang menempuh ujian tersebut (bila nilai ujian dibulatkan ke bilangan bulat terdekat) ?

7. Secara rata-rata, di Indonesia banyaknya kematian yang disebabkan oleh penyakit tertentu adalah 3 orang perhari . Tentukan probabilitas dalam suatu hari terjadi kematian a. kurang dari 2 orang b. lebih dari 5 orang

c. antara 3 sampai 7 orang. 8. Suatu organisasi ilmiah mempunyai 1000 anggota, dimana 100

orang diantaranya adalah sarjana farmasi. Jika 10 orang diambil secara acak untuk diangkat jadi pengurus organisasi itu, maka tentukan probabilitas lebih dari 5 orang sarjana farmasi duduk dalam pengurus itu.

9. Tentukan mean dan varians untuk semua soal diatas yang variabel randomnya diskrit.

10. Tinggi 1000 mahasiswa menyebar normal dengan rata-rata 174,5 cm dan simpangan baku 6,9 cm. Bila tinggi dicatat sampai setengah cm terdekat, berapa banyak diantara mahasiswa tersebut yang memiliki tinggi a. Kurang dari 160,5 cm b. Sama dengan 175 cm c. Antara 171,5 sampai 182 cm.

XI. DISTRIBUSI NORMAL

A. Beberapa pengertian umum tentang distribusi Normal 1. Fungsi kepekatan normal umum dan standar

Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable random yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian besar dari variable random yang kontinu di pelbagai bidang aplikasi yang beraneka ragam umumnya memiliki distribusi yang didekati dengan distribusi normal atau dapat menggunakan sebagai model teoritisnya.

Distribusi normal yang demikian merupakan distribusi yang simetris, berbentuk genta dan kontinu serta memiliki fungsi frekuensi.

Fungsi f(x) di atas juga dinamakan fungsi kepekatan normal ( normal density function).

Rumus diatas, distribusi normal tergantung pada 2

parameter yaitu rata-rata dan varians 2 . Dengan kata lain, distribusi normal umum merupakan sekeluarga kurva yang berparameter dua buah dan agar kita memperoleh suatu gambaran tentang distribusi normal yang khusus, kedua parameter diatas harus diberi harga yang tertentu pula. Hasilnya, fungsi kepekatan normal seringkali dinyatakan sebagai berikut :

F(x)=22 ))(21(

21

xe 1.1

Dengan sendirinya, suatu distribusi normal dapat dibedakan dari distribusi normal yang lain atas dasar perbedaan rata-ratanya atau variansinya atau kedua-duanya.

Jika sudah tertentu tanpa menentukan 2X , maka kita akan memperoleh serangkaian keluarga distribusi normal yang memiliki rata-rata yang sama dengan varians seperti pada diagram 1.1

Sebaliknya, jika 2X sudah tertentu sedangkan tidak ditentukan, kita akan peroleh serangkaian keluarga kurva normal yang memiliki bentuk yang sama dengan lokasi yang berbeda sepanjag sumbu X seperti dalam diagram 1.2 Diagram 1.1

25,02

12 52

n(x| , 2X ) = F(x) = 22 ))(21(21 Xxe 1.2

Diagram 1.2

Karena distribusinya kontinu, cara menghitung probablitasnya dilakukan dengan jalan menetukan luas di bawah kurvanya. Sayangnya, fungsi frekuensi normal tidak memiliki integral yang sederhana sehingga probabilitas umumnya dihitung dengan menggunakan distribusi normal standar dimana variabel

randomnya ialah Z dengan = 0 dan 2 = 1. Tabel bagi variable normal standar Z =

dapat dilihat pada bab akhir makalah ini.

Definisi dari diagram 1.1 bila Z merupakan variabel random yang kemungkinan harga-harganya menyatakan bilangan-bilangan riil antara - dan + , maka Z dinamakan variabel normal standar bila dan hanya bila probabilitas interval dari a ke b menyatakan luas dari a ke b antara sumbu Z dan kurva normalnya dan persamaanya diberikan sebagai berikut :

F(x)

0 2 2

f(z) = 21 e 2)21( 1.3

Fungi yang dirumuskan dengan rumus 1.3 diatas dinamakan fungsi kepekatan normal standar ( standar normal density function). Grafiknya dapat dilihat pada diagram 3 Diagram 3. fungsi kepekatan normal standar

f(z) = 21 e 2)21(

Pada diagram 1.3 di atas, skala f(z) dapat berubah. Agar f(z) = 1, maka f(z) naik, mencapai titik maksimal 0,399 dan turun pula. Harus selalu diingat bahwa probabilitas pada sembarang titik-titik ialah nol karena bagi variabel kontinu, probabilitas selalu dinyatakan dalam interval. Dengan kata lain, probabilitas Z yang merupakan nilai pada interval antara Z = a hingga Z = b adalah sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva normalnya, sumbu Z dan garis vertical Z = a dan Z = b. hal demikian dapat dilihat pada diagram 1.4

f(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,4

0,3

0,2

0,1

Z

diagram 1.4 Kurva normal standar

seperti yang kita ketahui, bahwa pencarian luas kurva normal diatas dapat dilakukan dengan bantuan tabel luas normal A(z).

Contoh 1.1: Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai 0 dan 1 ? Per Table luas kurva normal, maka p(0 < Z < 1) = 0,3413. Contoh 1.2: Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara -2 dan +2 ? Per Tabel luas kurva normal, maka p(-2 < Z < +2) = 2(0,4772) = 0,9544. Hal tersebut berarti bahwa 95,44 % dari seluruh luas kurva normal standar terletak antara -2 dan +2. Contoh 1.3: Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara 0,1 dan 2,8 ? Per Tabel luas kurva normal, maka p(0,1 < Z < 2,8 ) = p(0 < Z < 2,8 ) p(0 < Z < 0,1 ) = 0,4974 0,0398 = 0,4576. Luas kurvanya dapat dilihat pada diagram 5

f(x)

A(Z)

0 a Z

b

Diagram 5 Kurva normal standar, p(0,10 < Z < 2,8 ).

Contoh 1. 4 : carilah p( Z > - 0,20 ) Diagram 6 Kurva normal standar, p( Z > - 0,20 )

Dari diagram 1.6, kita ketahui bahwa p( Z > -0,20 ) = 0,5000 + p(-0,20 < Z < 0 ) = 0,5000 + 0,0793 = 0,5793

f(z)

p(0,10 < Z < 2,8 ) = 0,4576

f(z)

p(Z>-0, 20 ) = 0,5793

Z

Z

2. Fungsi distribusi kumulatif Secara umum, fungsi distribusi kumulatif dari distribusi

normal yang kontinu dengan dan 2 dirumuskan sebagai berikut :

Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar (standardized normal cumulative distribution function) dirumuskan sebagai berikut :

Dan grafiknya dapat dilihat pada diagram 1.7

F(x) = 22

21 ))((

21 xe dx

F(z) = 2

21 )(

21 e dz

1.4

1.5

Diagram 1 7, Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar

Contoh 1.4 Carilah p(0 < Z < 1 ) dalam soal contoh 1 Per Tabel distribusi normal kumulatif f(1) = 0,8413 dan f(0) = 0,5000 sehingga p(0 < Z < 1 ) = f(1) f(0) = 0,8413 0,5000 = 0,3413 ( referensi diagram 10.1.7 ) Contoh 1.5 Carilah p(0,10 < Z < 2,80 ) dalam soal contoh 1.3 Per Tabel distribusi normal kumulatif, f(2,8) = 0,9974 dan f(0,10) = 0,5398 sehingga p(0,10 < Z < 2,8 ) = f(2,8) f(0,10) = 0,9974 0,5398 = 0,4576 1.3 Beberapa contoh tentang penggunaan tabel luas kurva normal dan distribusi normal kumulatif

1,00

0,80

0,60

0,40

0,20

-3 -2 -0,67 0 0,67 2 3 Z

f(z)

Pada hakekatnya, kurva normal merupakan keluarga kurva normal

yang dapat memiliki rata-rata dan varians 2 yang berbeda dan tidak usah = 0 dan 2 = 1 seperti dengan halnya kurva normal standar. Bila demikian halnya, apakah tabel yang berbeda harus dibuat untuk

pencarian luas kurva normal dengan dan 2 yang berbeda ? Hal yang sedemikian itu tidak perlu. Luas kurva normal dengan dan

2 yang berbeda tetap dapat dicari dengan jalan mengubah variabel random X yang normal kedalam variabel random Z yang standar dan dirumuskan sebagai berikut :

Atau

Serta kemudian mencari nilai Z-nya dengan bantuan tabel F(z) atau A(z). Pengubahan X ke Z sedemikian itu dapat dilihat dalam diagram 1.8 dan 1.9

Z =

Z =

1.6

Diagram 1.8 Kurva normal umum standar.

5,0

1,0 2,0

4,0 3,0

0

-3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 2 3 X

Z

Diagram 1.9

Contoh 1.6 Bila X merupakan variabel random yang memiliki distribusi normal dengan rata-rata = 24 dan deviasi standar = 12, berapakah probabilitas 17,4 < X < 58,8 ? Pengubahan variabel normal 17,4 dan 58,8 masing-masing kedalam variabel standar memperoleh

Z1 = 12244,17

= - 0,55 dan

Z2 = 12248,58

= 2,90

Hasilnya, p(17,4 < X < 58,8 ) = p(-0,55 < Z < 2,90 ) = 0,2088 + 0,4981 = 0,7069

-3 -2 -1 0 1 2 3

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

3 2 2 3 X Z

Jika probabilitas diatas dihitung dengan bantuan table distribusi normal kumulatif, maka diperoleh hasil p(17,4 ) < X < 58,8 ) = p(-0,55 < Z < 2,90) = F(2,90) F(-0,55) = 0,9981 0,2912 = 0,7069 Contoh 1.7 Dari pengiriman sebanyak 1.000 riem kertas koran berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap riemnya terisi dengan 450 lembar dengan deviasi standar sebesar 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per riem tersebut dapat didekati dengan kurva normal, berapa % dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih ? Dalam soal diatas, = 450 dan = 10 sedangkan yang kita ingin ketahui ialah p(X 455). Pengubah variabel normal 455 kedalam variabel standar memperoleh

Z = 10

450455= 0,50

Karena f(0,50) = 0,6915, maka p(Z 0,50) = 1 0,6915 = 0,3085 atau 30,85 %. Jelas bahwa 30,85 % dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih. Contoh 1.8

Angka ujian statistik sebagian besar mahasiswa memiliki = 34 dan = 4. Jika distribusi angka-angka ujian tersebut kurang kurang

lebih menyerupai distribusi normal, dibawah angka berapa kita akan memperoleh 10 % terendah dari seluruh distribusi angka-angka tersebut ?

Dalam hal diatas, = 34 dan = 4 sedangkan per table distribusi normal kumulatif, nilai Z yang sesuai dengan luas kumulatif 0,10 ialah 1,28 sehingga

- 1,28 = 4

34

- 5,12 = X 34 28,88 = X

Jelas sudah bahwa 10 % dari seluruh mahasiswa memperoleh nilai ujian 28,88 atau kurang.

B. Penerapan kurva normal terhadap data empiris Sampel yang diperoleh dari pengukuran empiris

seringkali memiliki bentuk distribusi kumulatif yang dapat didekati secara memuaskan dengan distribusi normal. Hal tersebut dapat dilakukan dengan jalan mempersamakan dengan X bar dengan dengan s. Agar lebih jelas, kita akan memberikan sebuah contoh yang berhubungan dengan persoalan di atas. Table 2.1 menyajikan distribusi frekuensi dari sebuah sampel yang terdiri dari 75 pengukuran berat barang X.

Tabel 1 Distribusi frekuensi sampel n = 75

Xi titik

tengah fi

frekuensi frekuensi

relatif Fi

frekuensi kumulatif

frekuensi relatif

kumulatif 1,25 0 0 1,30 1 0,013 1 0,013 1,35 5 0,067 6 0,080 1,40 6 0,080 12 0,160 1,45 13 0,173 25 0,333 1,50 8 0,107 33 0,440 1,55 17 0,227 50 0,667 1,60 14 0,187 64 0,854 1,65 7 0,093 71 0,947 1,70 1 0,013 72 0,960 1,75 3 0,040 75 1,000 1,80 0 75

Sumber : Data fiktif

= 114,55/75 = 1,527 s = 527,1 = 0,101

karena hubungan variabel standar Z dan variable X maka dapat dinyatakan sebagai berikut :

Z = 0101,0

527,1

Maka penerapan distribusi normal kumulatifnya dapat dilakukan dengan jalan mencari nilai-nilai X sesuai dengan nilai-nilai Z = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Hal tersebut dapat dilakukan sebagai berikut,

-3 = 101,0

527,1

-3(0,101) = X 1,527 -3,03 = X 1,527 -3,03 = X 1,527 1,224 = X

Distribusi normal kumulatif F(x) bagi data Tabel 1 dapat diikuti dalam Tabel 2

Z X F(x) - 3 1,224 0,0013 - 2 1,325 0,0227 - 1 1,426 0,1587 0 1,527 0,5000 1 1,628 0,8413 2 1,729 0,9773 3 1,830 0,9987

Sumber : Data Tabel 1 Sudah tentu, nilai F(x) dapat secara langsung dicari dari

table F(x), Bila kita ingin memperoleh penerapan yang lebih

X = ki 1 nf ii

merata, kita harus menghitung nilai-nilai X yang sesuai dengan nilai-nilai Z = -3, -2,90, -2,80, -2,70, dan seterusnya.

C. Hubungan antara distribusi Normal dan Distribusi Binomial Bila n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaiakan

sedemikan rupa sehingga dapat didekati dengan distribusi normal standar. Pada makalah ini akan di bahas betapa penyesuaian tersebut dapat dilakukan sehingga menghasilkan sebuah pendekatan yang sangat tepat sekali. Seperti telah kita ketahui, variable random X atau jumlah sukses dalam n percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random n dimana tiap peubah acak (variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau 1.

Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu mendekati distribusi normal, sehingga distribusi jumlah variable diatas dapat didekati dengan distribusi normal bila n makin menjadi besar.

Batas distribusi binomial dapat di fahami secara berangsur-angsur dengan memperhatikan tiga hal pokok sebagai berikut : 1. Distribusi binomial merupakan sebuah distribusi yang diskrit

sedangkan distribusi normal merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat binomial perlu diganti dengan luas binomial karena luas selalu dipakai untuk menyatakan probabilitas dalam distribusi yang kontinu.

2. Skala X perlu diganti dengan skala Z agar tidak terjadi proses bergerak dan mendatar bila n berangsur-angsur menjadi besar.

3. Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial dapat dilakukan dengan menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal.

Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X adalah sama dengan 1. Hal demikian dapat dilihat pada diagram dibawah ini :

Probabilitas variable random X merupakan nilai antara a dan b dan dapat dinyatakan sebagai daerah bergaris dari kurva diagram 3.1 diatas. Pada gambar diatas, p(X = a ) = 0 karena luas a dianggap sama dengan garis f(a) yang memiliki lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali dengan probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit sebab p(X = a) dimana a = 5 tidak usah sama dengan 0.

Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan penggunaan luas untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan dengan ordinat. Tiap ordinat dari distribusi binomial diganti dengan luas empat persegi panjang yang berpusat pada X dan yang memiliki lebar sama

f(x)

X b a

dengan satu unit serta memiliki tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram dibawah ini

Diagram 3.2. Hubungan antara probabilitas luas dengan ordinat.

Setiap perubahan pada variable random X akan mengakibatkan proses bergerak. Satu cara untuk membendung gerakan tersebut ialah dengan menciptakan sebuah variable baru, yaitu Y = X np.

Distribusi variable baru Y memiliki np = 0 dan cara pemusatanya tidak berbeda dari distribusi normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable Y tersebut memiliki =

npq . Kita telah mengetahui bahwa distribusi normal yang

standar memiliki = 0 dan = 1, sehingga variable random Y yang memiliki = np = 0 dan = npq

masih perlu

disesuaikan agar nya sama dengan 1.

X-1 X X1 X+1 X X+1

X- 21 X + 21 X - 21

X + 21

f(x-1)

f(x)

f(x+1)

Probabilitas dinyatakan dengan ordinat Probabilitas dinyatakan dengan luas

Bila npq > 0, maka Y/ npq akan menghasilkan variable

random baru Z yang memiliki = 1 seperti dalam halnya distribusi normal yang standar. Pembuktian :

Rumus 3.1, sebenarnya sama dengan rumus 1.6 jka np =

dan = npq . Sebagai konsekuensi perumusan 3.1 diatas

2 = Var npq = Var npq1 =

npq1 Var Y =

npqnpq

= 1

Sehingga

Karena 2 merupakan konstanta, dengan sendirinya 2

tidak tergantung pada n sehingga penggunaan variable Z selalu dapat mengatasi persoaaln gerakan variable X itu sendiri.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa random

standar Z = npq

npmemiliki = 0, dan = 1 sedangkan nilai-

nilai tersebut masing-masing akan sama dengan dan dari distribusi normal yang standar. Bila n menjadi besar, ordinat-ordinat sentra (tinggai ordinat-ordinat) dari luas grafik probabilitas Z tidak akan mendatar. Karena = 0, maka proses bergerak

Z = npq

=

npqnp

= 2 = 1 = 1

3.1

3.2

3.3

tidak terjadi dank arena = 1, maka perluasan pun tidak terjadi .