BILANGANA. Macam-macam bilangan

1. BILANGAN ASLI2. BILANGAN PRIMA3. BILANGAN KOMPOSIT4. BILANGAN CACAH5. BILANGAN BULAT6. BILANGAN PECAHAN7. BILANGAN RASIONAL8. BILANGAN RASIONAL9. BILANGAN RIIL10. BILANGAN KOMPLEKS

• Bilangan Asli yaitu bilangan yang digunakan untuk bilangan secara berurut. Misal {1, 2, 3, ……..)

• Bilangan Prima adalah bilangan asli yang mempunyai dua pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri Misal : {2, 3, 5, 7, 11,..}

• Bilangan Komposit adalah bilangan asli yang bukan bilangan prima dan mempunyai lebih dari dua pembagi.

• Bilangan Cacah : Himpunan bilangan yg terdiri dari gabungan bilangan nol (0) dan BA

CTH {0,1,2, ……………}• Bilangan Bulat : Himpunan yg terdiri dari gabungan bilangan

negatif tak terhingga sampai dengan positif tak terhingga. CTH : -~, ….., -2,-1,0,1,2, ….. ~

• Bilangan Pecahan : Hasil bagi dari 2 bilangan bulat dan dinyatakan dalam sistem desimal berulang CTH 1/3 . = 0,3333333: 1/7 = 0,142857142857 ……..

• Bilangan Rasional : Semua bilangan bulat, pecahan postif dan pecahan negatif

• Bilangan Irrasional :Bilangan yg tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dan tidak dapat ditulis desimal berulang

• CTH 2 , 3, 5, • Bilangan Riil : Semua bilangan rasional dan irrasional• Bilangan Kompleks : dinyatakan dalam a + bi , dimana a dan b

masing-masing adalah bilangan riil dan I satuan imaginer. Bilangan imaginer yaitu -1 atau i

PERTIDAKSAMAAN DARI BILANGAN RIIL

Jika a – b adalah sebuah bilangan positif kita dapat katakan a lebih besar dari b dan b lebih kecil dari a ditulis a > b atau b < a

Jika diberikan sebarang bilangan a, b, dan c maka1. Tepat satu berlkau A > b, a= b atau a < b

(Hukum trikotomi)2. Jika a > b dan b > c, maka a > c (H. Transitif)3. Jika a> b, maka a +c > b + c4. Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc5. Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc

DEFENISI : Nilai mutlak dari bilangan riil x , dinyatakan dengan |x| , yang nilainya

Contoh |5| = 5 ; |-5| = - (-5) = 5

Dapatkan himpuan penyelesaian dari masing-masing soal berikut :

a. |5 - 2x| = 11 b. |x + 4| < 7 c. |2x - 5| > 3

d.

NILAI MUTLAK

x-

x x 0 x ,0 x ,

jikajika

5)1( 2 x

Soal-soal latihanBuktikan :1. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc2. Jika a > b> c maka 1/a , 1/b3. Dapatkan nilai x yang memenuhi masing-

masing soal berikut : a. 13 < 2x – 3 < 5 b. 2 < -3 – 3x < -7c. (x -3)(x + 5) > 0 d. 1 –x – 2x2 >= 0e. 4x2 + 9x < 9 f. |4x + 3| = 7g. |5x - 3| = |3x + 5| h. |7x| = 4 – x

i. |x + 4| > 7 j. |3x| > |6 - 3x|

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks ialah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i = . Dalam bilangan kompleks z = a + bi, a bilangan riil ditulis Re z = a, dan b bilangan imaginer ditulis Im z = b

1

OPERASI-OPERASI ALJABAR PADA BILANGAN KOMPLEKS

1. JUMLAH DAN SELISIH DUA BILANGAN KOMPLEKS- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

2. HASIL GANDA DUA BILANGAN KOMPLEKS- (a + bi)(c + di) = (ac -bd) + (ad + bc)i

3. HASIL BAGI DUA BILANGAN KOMPLEKS

4. Contoh : a. (2 + 4i) + (1 - i) b. (-1 + i) - (-3 + 2i) c. (2 + 3i) + (4 - 5i) d.

2222 dc

adbc

dc

bdac

dicdic

dicbia

dic

bia

i

i

2

31

BENTUK KUTUB DARI BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan dengan sebuat titik pada sebuah bidang yang disebut bidang kompleks

Sumbu x sebagai sumbu riil dan sumbu y sebagai sumbu imaginer dan bidang XOY dinamakan bidang kompleks.

Bilangan kompleks z = a + bi pada bidangk kompleks diwakili oleh titik (a,b) sebagai bilangan riil a dan sebagai ordinat adalah bagian imaginer. Lihat gambar. 1 disamping. Jika titik O dihubungankan dengan P dan OP dinyatakan dengan r, sedangkan adalah sudut antara sumbu x dengan OP , maka

b

r

0 a A

P(a,b) atau z = a+bi

x

Gambar .1 . Bidang Kompleks

r = disebut modulus atau nilai mutlak dari z atau |z|

Maka z = a + bi = r cos + (rsin ) i

z = r (cos + i sin ) bentuk kutub dari bilangan kompleks

Contoh : dapatkan bentuk kutub dari masing-asing berikut : a. 1 + i b. -3 + 3i

22 ba

ketemu

r

a cos

sin

r

b

3

Penyelesaian :

A) Kita cari r, dimana x = 1 ; dan y = maka r = = 2 sin = dan cos =

Maka 1 + i = r (cos + isin ) = 2 ( cos + i sin )

Teknik mengambarnya

322 31

2

3

r

b

2

1

r

a3

33

3

600

2

0 1

1+ i

x

3

3

y

Perhatikan : r (cos + i sin ) = cis Sifat : jika z1 = r1 (cos 1 + i sin 1)

z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)

Maka z1.z2 = r1.r2(cos(1+2) + i (sin (1+2)) atau( r1 cis 2)(r2 cis 2) = r1.r2 cis(1+2)

Sifat.2 : jika z1 = r1 (cos 1 + i sin 1)

z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)

z2 0 maka =

2

1

z

z