BILANGAN REAL

BILANGAN BERPANGKAT

AdaptifHal.: 2 Bilangan Berpangkat

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

2 × 2 × 2 × 2 × ... × 2

Faktor n

Dilambangkan dengan 2n

Definisi: 1) = a ×a ×a ×a × . . . ×a

Faktor n

2) = a

an

a1

3 × 3 × 3 × 3 × ... × 3 Dilambangkan dengan 3n

8 × 8 × 8 × 8 × ... × 8 Dilambangkan dengan 8n

Faktor n

Faktor n

AdaptifHal.: 3 Bilangan Berpangkat

Perkalian Bilangan Berpangkat

a × a × a × … × a p faktor number a

a× a × a × … × a×

berarti ap+q

q faktor number a

(p + q) faktor bilangan a

××××

→ ap × aq = ap+q

32 × 33 = 32+3 = 35

76 × 713= 76+13 = 719

x5 × x 12= x5+12 = x17

4

4

3

× 5

4

3

54

4

3 +

=

9

4

3

=

Contoh :

AdaptifHal.: 4 Bilangan Berpangkat

Pembagian Bilangan Berpangkat

ap =

Contoh :

1. 54 : 52 = 54-2 = 52 = 25

2.

aqap-q, a = 0

=

35

2

1:

2

1 =

− 35

2

1 =

2

2

1

4

1

AdaptifHal.: 5 Bilangan Berpangkat

Perpangkatan Bilangan Berpangkat

(ap)2 =

Jadi :

1. (52)3 = (5)2.3 = 56

2.

ap, ap, ap … ap…

43

)81( 43

)34(=

q factor

= ap.q

Jadi (ap)q = ap.q

= 15625

= 33 = 27

AdaptifHal.: 6 Bilangan Berpangkat

Perpangkatan dari perkalian dua atau lebih bilangan

(ab)p = (ab) ×(ab) ×(ab) × . . . ×(ab)

p faktor (ab)= (a × b) × (a × b) × (a × b) × . . . × (a × b)

p factor a and p factor b

= (a × a × a × . . .× a) × (b × b × b × . . .× b)

=

menurut definisi menurut definisi

ap × bp

= apbp

p faktor ap faktor ap factor a p faktor bp faktor bp factor b

Jadi (ab)p =apbp

Contoh :

1. 215 = (3 ×7)5 = 3575

2. 125 = (2 ×2 × 3)5 = 25 ×25 × 35 = 210 × 35 = 21035

AdaptifHal.: 7 Bilangan Berpangkat

Perpangkatan Bilangan Pecahan

a × a × a × a × a × a … × a

a× a × a ×…× a

Berarti

q faktor bilangan a = apangkat berapa ?→ ap : aq = ap ‑ q

36 : 34 =

713 : 78 =

_______________________= a × a × a× ... × a

Contoh :

p – q factor

= ap-q

ap : aq = (p >q)

36 4 ‑ = 32

713-8 = 75

=

58

32

:32 58

32 −

3

32

AdaptifHal.: 8 Bilangan Berpangkat

Perpangkatan Bilangan Pecahan

( ) =p

ba ( )p

ba ( )p

ba× ( )p

ba× •••× ( )p

ba×

p faktor ( )pba

=a × a × a × a × a × a … × a_______________________b × b × b × b × b × b … × b

p faktor bilangan a

=ap

____

p faktor bilangan b

bp

Jadi : ( ) =p

ba ap

____bp

AdaptifHal.: 9 Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat Nol

Jika p, q bilangan bulat positif dan p = q dan ap-q = a0

Untuk menentukan nilai dari bilangan pangkat nol, perhatikan uraian

berikut:

Jadi, untuk setiap a R dan a = 0 berlaku a0 = 1 ∈

a0 = ap-p

ap

ap

= 1

=

AdaptifHal.: 10 Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat Negatif

a0

ap =1ap

a0

ap = a0-p = a-p

a-p = 1ap

Jadi, untuk setiap a R, a = 0, dan p bilangan

bulat positif berlaku a-p = dan ap =

∈pa

1 1a-p

Contoh :

1. 5-1 = 15

( )27

133

3

1

81

1 343443

4

43

===

=

−−

2.

AdaptifHal.: 11 Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat Pecahan

q pa

Bilangan berpangkat yang yang dipangkatkansebesar n dapat ditulis sebagai berikut:

pq

as much as q

=

=

a q.

ap

(a )pq =

q pa Diartikan sebagai akar pangkat ke-q dari ap, sehingga:

q paa =

a , a , a , … a (a )pq

q =pq

pq

pq

pq

pq

pq

pq

pq

qp

AdaptifHal.: 12 Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat Pecahan

33 232 2555 ==

25555 2484 8 ===

888 2 12

1

==

Contoh :

aa 2

1

=

1.

2.

3.

4.

AdaptifHal.: 13 Bilangan Berpangkat

Sifat Operasi Bilangan Berpangkat

1. ap × aq = ap+q

2. ap : aq = ap-q ; a ≠ 0

3. (ap)q = apq

4. (ab)p = ap bp

5. ; b ≠ 0

6. a-p = ; a ≠ 0.

7. a0 = 1, a ≠ 0

8. b

( ) pb

papba =

pa1

Jika a, b adalah bilangan real dan p, q adalah bilangan bulatb maka :

asal qaq pap/qa = terdefinisi

AdaptifHal.: 14 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

aa 2

1

=

etc ,50 ,15 ,8 ,3 ,2

rootsnot are 64 and ,4 ,1

Seperti yang sudah dibahas pada sub bab sebelumnya, bahwa

Bentuk akar adalah bilangan –bilangan di bawah tanda akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan Rasional.

Examples :

Meanwhile :Because : 8.64 2,4 1,1 ===

1, 2, and 8 are not irrational numbers

1. Definisi Bentuk Akar

AdaptifHal.: 15 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

242 . 1616.232 ===

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan dimana bilangan yang satu dapat diakarkan sedang bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.

Contoh :

1.

2. 555 . 2525.5125 ===

AdaptifHal.: 16 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

baba +=×

2,n A,n baba nnn ≥∈×=×

3. Operasi Bentuk Akar

Dasar Operasi untuk a ≥ 0 dan b ≥ 0

Perkalian bentuk akar dengan menggunakan sifat

Pejumlahan dan pengurangan dapat disederhanakan apabila akar-akar sejenis.

4814775 +− 343735 +−( ) 3475 +−

32

,a.bba nnn =

Contoh : =

==

1.

2.

Contoh : 426.76.7 ==

246123.22 = 61262.6 ==

real a ifasal a,a nn n =

AdaptifHal.: 17 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

b

a

b

ba

b

b

b

a

b

a =•=

242

28

2

2

2

8

2

8 ==•=

Pembagian Bentuk Akar

(i) Bentuk

552

510

5

5

52

10

52

10 =•

=•=

Contoh :

1.

2.

AdaptifHal.: 18 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

ba

b)k(a

ba

ba

ba

k

ba

k2 −−

=−−•

+=

+

ba

k

+

31

2

+

(ii) Bentuk

=1.

2.

31

31

31

2

−−•

+ 31

)31(2

−−

2

)31(2

−− )31( −− 13 −

175

8

− 175

175

175

8

++•

− 1725

)175(8

−+

8

)175(8 + 175 +

Contoh :

=

= = =

= =

= =

AdaptifHal.: 19 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

ba

k

+

ba

)bak(

ba

ba

ba

k

ba

k

−−=

−−•

+=

+

23

23

+−

(iii) Bentuk

=

=

=

=

23

23

23

23

−−•

+−

23

)23( 2

−−

1

2623 +−

625−

Contoh :

AdaptifHal.: 20 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

129 −x x3427 −

4. Menyelesaikan persamaan dalam bentuk pangkat

Sifat yang digunakan :

ap aq= p = q

Contoh :

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan di bawah ini:x34

=

=

= 641.

2.

AdaptifHal.: 21 Bilangan Berpangkat

Bentuk Akar

Jawab :

1. x34 = 64x34 = 43↔

=3x 3↔

2.x343)3( −

x3427 −129 −x =

122 )3( −x =↔243 −x x9123 −=↔24 −x x912−=↔94 +x 212+=↔x13 14=↔

13

14x =↔

= 1x↔

AdaptifHal.: 22 Bilangan Berpangkat

Logaritma

Perhatikan : ab = c

ab = …. Mencari hasil pemangkatan

…b = c mencari akar pangkat b dari c

a... = c mencari pangkat dari a, agar hasilnya c

= mencari logarima dengan pokok a dari bilangan c

= alog c = …

alog b = c ⇔ ac = b dengan a > 0 , a ≠ 1 dan b > 0

a. Disebut bilangan pokok logaritma

b. Disebut bilangan yang ditulis dalam bentuk logaritma

AdaptifHal.: 23 Bilangan Berpangkat

Logaritma

Sifat-siifat

Jika a > 0 , a ≠ 1 , m > 0 , n > 0 dan x ∈ R, then : alog ax = x

alog (m.n) = alog m + alog n alog (m/n) = alog m - alog n alog mx = x. alog m

alog m = jika g > 0 , g ≠ 1 etc.

an log b = alog b

an log bm = alog b

na na

=log

q

palog paq =

a

mg

g

log

log

n

1

n

m

AdaptifHal.: 24 Bilangan Berpangkat

Logaritma

22 2log3log22

63 2log2

Contoh :

3

6

)8.4log(2 8log4log 22 + 32+

)48log(2 4log8log 22 −

32 16log 16log.3 2 4.3

3=3=

=

= = 5=

23− 1===

12== =

1.

2.

3.

4.

5.

6.

8log2

2log

8log2

2

1

3= =

8log23 8log3

1 2• 33

1 •

42 8log2 8log2

4 2• 32•

1===

6== =

7.

8.

9.