#BILANGAN ASLI Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif). Contoh :{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

#BILANGAN CACAHBilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.Contoh :{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

#BILANGAN NEGATIFBilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan. Contoh :{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

#BILANGAN BULATBilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.Contoh :{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

#BILANGAN PRIMABilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.Contoh :{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

#BILANGAN KOMPOSITBilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.Contoh :{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, }

#BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antarabilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalahbilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Contoh :{3 + 2i}

#BILANGAN IMAJINERBilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifati2 = 1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :x2 + 1 = 0atau secara ekuivalen x2 = -1atau juga sering dituliskan sebagai x = -1

#BILANGAN REALBilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547 atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma , sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik .. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan 23/129, dan bilangan irrasional, seperti dan 2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata real).

#BILANGAN IRRASIONALBilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.Contoh : = 3,141592653358..2 = 1,4142135623..e = 2,71828281284590.

#BILANGAN RASIONALBilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.Bilangan Rasional diberi lambangQ(berasal dari bahasa Inggris quotient).Contoh :{, , , , , , , ...}

Bilangan pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli 2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

#BILANGAN PECAHANBilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b 0.a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram VennTeori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.Daftar isi 1 Notasi Himpunan 2 Himpunan kosong 3 Relasi antar himpunan 3.1 Himpunan bagian 3.2 Superhimpunan 3.3 Kesamaan dua himpunan 3.4 Himpunan Kuasa 4 Kelas 5 Kardinalitas 5.1 Himpunan Denumerabel 5.2 Himpunan Berhingga 5.3 Himpunan Tercacah 5.4 Himpunan Non-Denumerabel 6 Fungsi Karakteristik 6.1 Representasi Biner 6.2 Operasi dasar 6.2.1 Gabungan 6.2.2 Irisan 6.2.3 Komplemen 6.2.4 Hasil Kali Kartesian 7 Referensi 8 Bacaan lanjutan 9 Pranala luarNotasi Himpunan

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram VennBiasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.NamaNotasiContoh

HimpunanHuruf besar

Anggota himpunanHuruf kecil (jika merupakan huruf)

KelasHuruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.BilanganAsliBulatRasionalRiilKompleks

Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:SimbolArti

atau Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunan

Operasi irisan dua himpunan

, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati

Komplemen

Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu: Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.Himpunan kosongHimpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunanHimpunan bagianDari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut. {apel, jeruk} {jeruk, pisang} {apel, mangga, pisang}Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

SuperhimpunanKebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

Kesamaan dua himpunanHimpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.Himpunan KuasaHimpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka : { { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} }Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

KelasSuatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.KardinalitasKardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan adalah 4. Himpunan juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.Himpunan DenumerabelJika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .

Himpunan BerhinggaJika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.Himpunan TercacahHimpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.Himpunan Non-DenumerabelHimpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .Fungsi KarakteristikFungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

Jika maka:

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.Representasi BinerJika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka: Himpunan Representasi Biner ---------------------------- ------------------- a b c d e f g S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1 A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0 B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.Operasi dasarGabungan

Gabungan antara himpunan A dan B.Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.Contoh: {1, 2} {1, 2} = {1, 2}. {1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3}. {Budi} {Dani} = {Budi, Dani}.Beberapa sifat dasar gabungan: A B = B A. A (B C) = (A B) C. A (A B). A A = A. A = A. A B jika and hanya jika A B = B.Irisan

Irisan antara himpunan A dan B.Operasi irisan A B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A B = , maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).Contoh: {1, 2} {1, 2} = {1, 2}. {1, 2} {2, 3} = {2}. {Budi,Cici} {Dani,Cici} = {Cici}. {Budi} {Dani} = .Beberapa sifat dasar irisan: A B = B A. A (B C) = (A B) C. A B A. A A = A. A = . A B jika and hanya jika A B = A.Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.Contoh: {1, 2} \ {1, 2} = . {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.Beberapa sifat dasar komplemen: A \ B B \ A untuk A B. A A = U. A A = . (A) = A. A \ A = . U = dan = U. A \ B = A B.Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

Contohnya, diferensi simetris antara: {7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}. {Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A B. Anggota himpunan |A B| adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.Contoh: {1, 2} {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}. {1, 2} {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }. {1, 2} {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.Beberapa sifat dasar himpunan perkalian: A = . A (B C) = (A B) (A C). (A B) C = (A C) (B C). |A B| = |B A| = |A| |B|.