BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMAOleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)

A.   Pendahuluan

Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar I, membahas tentang

bentuk pangkat bilangan negatif. Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk

akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk

akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi

aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Pada kegiatan belajar III

membahas tentang logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma. Dalam

mempelajari modul ini siapkan buku penunjang:

a. Osdirwan Osman, Drs.,M.Si. 2007. Matematika SMA 1A,cetakan pertama.Penerbit Arya

Duta.

b. Tim penyusun. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit IntanPariwara.

B.   Pokok BahasanBentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.

C.   Standar KompetensiMemecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

D.   Kompetensi Dasar1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma

2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan

logaritma.

E.   WaktuUntuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x 45”.

F.    Jumlah Kegiatan

Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar I, kegiatan belajar II

dan kegiatan belajar III .

G.  Petunjuk Belajar1. Siapkan buku penunjang seperti disebut di atas.

2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu siapkan alat tulis untuk membuat catatan

tersendiri (bila diperlukan).

3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan baik, kerjakan latihan beserta tugasnya.

4. Jika anada menemukan kesulitan dalam mempelajari modul ini, tanyakan pada teman

dan diskusikan atau tanyakan pada Bapak/Ibu guru.

H.  Indikator Pencapaian hasil belajar

1. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

2. Siswa dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.

3. Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar.

4. Siswa dapat merasionalkan bentuk akar.

5. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

6. Siswa dapat melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.

7. Siswa dapat menentukan syarat perpangkatan, penarikan akar dan logaritma

8. Siswa dapat membuktikan sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan

logaritma.

KEGIATAN BELAJAR I

PANGKAT BILANGAN NEGATIF

Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya

akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat

nol, dan pangkat negatif.

Bagaimana arti pangkat bulat positif ?

Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an

yaitu:

An = a x a x a x ....x a, n buah faktor

A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka

a1 = a

Sifat-sifat bilangan pangkat positif;Jika m, n € A dan a € R, maka:

a. am x an = a m+n

b. am : an = am-n, m>n

c. (am)n = amxn

d. (a x b)n = an x bn

e. (a : b)n = an : bn

Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positifNo. Sifat-sifat Bukti Contoh

1. am x an = a m+n am x an = (a x a x a x…x a) x (a x a x a

x…x a)

m faktor n

factor

= a x a x a x a x a ……x a

(m + n) faktor

= am+n

a. 23 x 25 = 23+5=28

b. a4 x a5 = a4+5 = a9

c. (2x + 3)2 (2x + 3)3

= (2x + 3)2+3

= (2x + 3)5

2. am : an = am-n,

m>n

a m a m-n+n a m-n . a n a n

an = an = an = am-n . an =

am-n . 1

a. 36 – 34 = 36-4 = 32

b. (a-1) 5

= am-n

(a-1)2 = (a-1)3

3. (am)n = amxn (a m ) n = a m x a m x a m x …(a m )

n faktor

= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x

…)

m faktor m

faktor

n faktor

= a x a x a x a x a = ... ... ... x a

(m x n ) faktor

= (a)mn

a. (23)4 = (2)3x4= 212

b. (x2)3 = (x)2x3 = x6

4. (a x b)n = an x

bn

(a x b)n = (a x b) x (a x b) x….x (axb)

n factor

= (a x a x …x a) x (b x b x …

x b)

n faktor n faktor

= an x bn

a. (2 x 3)4 = 24 x 34

b.(a2 x b3)4 =a8 x b12

5. ( a )n = a n b bn

( a )n = a/b x a/b x a/b x …x a/b b n faktor = a x a x a x … x a , n faktor b x b x b x … x b , n factor = an bn

a. ( 2/3)2 = 22/32

b. (a/b)3 = a3/b3

c. (a2/b3)4=a8/b12

Bagaimana Arti Pangkat Nol dan Bulat negatif ?Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita

akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan

negatif . Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat

bulat positif.

Pengertian Pangkat Nol Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)

Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan

pendefinisian.

ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh: a o+n = a n

an an

ao . a n = a n

an an

ao (1) = 1 ao = 1

Pengertian pangkat bulat negatifJika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 = 1 dan a-n = 1 a-n an

dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat

positif dan nol yaitu sebagai berikut:

an . a-n = an+(-n)

an . a-n = ao

an . a-n = 1

bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh:

a n . a -n = 1 → a n . a-n = 1 → 1 . a-n = 1 → a-n = 1 an an an an an

an

Contoh1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !

a. 3-2

b. (0,2)-3

c. (x + y)-3

d. (2a – 5b)-4

Jawab:a. 3-2 = 1 b. (0,2)-3 = 1 c. (x + y)-3 = 1

32 (0,2)3 (x + y)3

d. (2a – 5b)-4 = 1

(2a – 5b)4

1. Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !

ab-n = 1 b. 1 = a-1 + b-1

abn a + b

Jawab:a. 2 . 3-2 = 2 dan 1 = 1 = 1 32 2.32 2. 9 18

= 2 9

Jadi 2 . 3-2 ≠ 1 2.32

b. 1 = 1 2-1 + 4-1 = ½ + ¼ 2 + 4 6 dan = ¾

Jadi . 1 ≠ 2-1 + 4-1 2 + 4

RANGKUMAN1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n

dari a ditulis an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.

a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.

2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n € A dan a € R, maka:

am x an = a m+n

am : an = am-n, m>n

(am)n = amxn

(a x b)n = an x bn

(a : b)n = an : bn

3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0 = 1

00 tidak didefinisikan

4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka

a-n. 1 = 1 dan a-n = 1 a-n an

TES KEGIATAN BELAJAR 1Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-

soal di bawah ini !

1. Dengan menggunakan sifat am . an = a m+ n, sederhanakanlah bentuk berikut !

a. (0,25)3 (0,25)4 b. 3x y4 x2 y6 c. (2x2) (3x3) (4x4)

2. Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡

a. (23)4 b. z3 (z2)3 c. 3x2 (x2)2 (x3)3

3. Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn, sederhanakanlah bentuk-bentuk

berikut !

a. (2 . 5)4 b. (4 a2)3 c. (m3 . n4)5

4. Dengan menggunakan sifat ( a )n = a n b bn

Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !

a. ( 3/2)4 b. (x2/y3)2 c. (ab2/c3d3)2

5. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut

salah !

a. am x an = a m+n

b. (am)n = amxn

( a )n = a n

c. b bn

6. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !

a. (x . y-5)(x . y)-5 b. (2ab2)-3 (3a2b)-2

7. Dengan menggunakan sifat am : an = am-n sederhanakanlah bentuk berikut:

a. a -3 b. 4p -2 q -5

a-5 2p-7 q-2

KUNCI JAWABAN

1. a. (0,25)7 b. 3x3y10 c. 12x9

2. a. 212 b. z9 c. 3x15

3. a. 24.54 b. 64a6 c. m15 n20

4. a. 81/16 b. x 4 c. a 2 . b 4 Y6 c6 d6

5. Kebijakan guru

6. a. ___1___ b. 1 X4 . y10 72 a6 b8

7. a. a2 b. 2p 5

Q3

KEGIATAN BELAJAR 2

BENTUK AKAR

Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat

beserta operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai

bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.

Pengertian bilangan rasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b,

perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk

desimal yang berakhir/berulang secara periodik.

Contoh:

Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !

a. 6 b. -30 c. 25% d. 0,4 e. √4

Jawab:

a. 6 = 12 b. -90 .

2 3

c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4

100 10

e. √4 = 2 = 2/1

A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-

sifatnya.Perhatikan beberapa contoh berikut !

22 = 4 maka 2 = √4

23 = 8 maka 2 = 3√8

24 = 16 maka 2 = 4√16

25 = 32 maka 2 = 5√32

Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a1/n = n√a

Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat.

Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan

atau bentuk akar. Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif

lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:

Bentuk Pangkat Pecahan Bentuk Akar

1. a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m ↔ m√a x n√a = mn√an + m

mn

2. a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m ↔ m√a : n√a = mn√an - m

mn

3. (a1/m)1/n = a1/m x 1/n = a1/mn ↔ n√a . m√a = mn√a

4. (ab)1/n = a1/n x b1/n ↔ n√ab = n√a x n√b

5. (a/b)1/n = a 1/n

b1/n ↔ n√a/b = n √a n√b

________________________________________________________________________

__________

Sifat-sifat yang lain:

6. a-1/n = ( a1/n)-1 = 1 = 1

a1/n n√a

7. am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau

am/n = (am)1/n = n√am

8. ( √x )2 = x

9. √x y = √x . √y

10. √x/y = √x/√y

Contoh;

1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian

nyatakan ke dalam bentuk akar ¡

a. a½ x a⅓ b. ( a ⅔)¾

\Jawab: Jawab:

a½ x a⅓ = a½+⅓ = a7/12 = 12√a7 ( a ⅔)¾ = a⅔ x ¾ = a½ = √a

c a ¾ a⅔

Jawab:

a ¾ a⅔ = a¾ - ⅔ = a1/12 = 12√a

2. Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡

¼

a3 b-2

__________

a-1 b2

Jawab

¼

a3 b-2

__________ = (a3 – (-1) b-2-2)¼ = (a4 b-4)¼ = ab-1 = a/b a-1 b2

B. Menyederhanakan Bentuk Akar KuadratMenyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat

bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar

kuadrat.

Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

NO. Sifat-sifat Bukti Contoh

1. (√x)2 = x √x = a ↔ x = a2

Maka (√x)2 = (a)2 = x

a. (√5)2 = 5

b. (√2a)2 = 2a

c. (√x + 1)2 = x + 2√x +

1

2. √xy = √x . √y √x = a ↔ x = a2

dan

√y = b ↔ y = b2, maka

√xy = √a2 . b2

= √(ab)2 = a b = √x .

√y

√48 = √16 x3 =

√16 x √3

= 4√3

4√150 = 4√25 x 6

= 4 √25 x √6

= 4 (5) x √6

= 20√6

3. √x/y = √x √y

√x = a Jika dan hanya jika x

= a2

√y = b Jika dan hanya jika y =

b2

Maka,

√x/y = √a2/b2 = √(a/b)2

= a = √x b √y

√64/49 = √64 = 8 √49 7

4.n√an = (an)1/n =

a ,

a ≥0

Silahkan buktikan

Sebagai latihan!

3√8 = (8)⅓

= (23)⅓

= 23/3 = 1

5.n√an b = n√an x n√b

= a n√b,

A dan b ≥0

Silahkan buktikan

Sebagai latihan! √72 = √36 x 2 = √36 x √2

= (6 2)1/2 x

√2

= 6 √2

C. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar KuadratDengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya

maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang

dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar

pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarOperasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c

dan

a√c - b√c = (a-b)√c

Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan

menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.

Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu

termasuk bilangan real.

a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:

1. a√c + b√c = (a+b)√c

2. a√c - b√c = (a-b)√c

3. b n√ a x d n√ c = bd n √ac

4. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/cn√ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan

dua.

Contoh

Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡

1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3

2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18

3. p √a - q √a + r √a

4. 2 √4 x 6 √3

5. 10 √32 : 2 √2

Jawab

1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3 = (10+2+5)√3 = 17 √3

2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 = 4 √36 x 2 + 3 √25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 + 3(5) √2 -

2(3)√2

= 24√2 + 15√2 - 6 √2

= (24+15-6) √2 = 33

√2

3. p √a - q √a + r √a = (p – q + r) √a

4. 2 √4 x 6 √3 = (2 x 6)√12 = 12 √4 x 3 = (12 x 2) √3 = 24 √3

5. 10 √32 : 2 √2 = (10/2) √32/2 = 5 √16 = 5(4) = 20

2. Perkalian Bentuk Akar

Operasi Perkalian bentuk akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:

√ x . √y = √xy

Contoh

Sederhanakanlah !

1. √50 x √2 2. √32 x √12,5 3. √½ x √50 4. √2 x √5 x √10

Jawab

1. √50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10 2. √32 x √12,5 = √(32 x 12,5) =

√400 = 20

3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5 4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10)

= √100 = 10

3. Pembagian Bentuk AkarOperasi Pembagian Bentuk Akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y = √x √y

Contoh

Sederhanakanlah !

1. √108 2. √112,5 3. √12a 2 4. √xy 4 √27 √12,5 √3a2 √x3y2

Jawab

1. √108 2. √112,5 3. √12a 2 4. √xy 4 √27 √12,5 √3a2 √x3y2

= √108/27 = √(112,5/12,5) = √12/3 a2 = √y2/x2

= √4 = √9 = √4 a2 = √y 2 = y = 2 = 3 = 2ª √x2 x

D. Merasionalkan Penyebut

Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk

menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar

penyebutnya. Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan

merasionalkan penyebut.

Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan

pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan

bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:

1. √a x √a akan menghasilkan bilangan rasional a

2. ( a + √b) x ( a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a2 - b

3. (√a + √b) x (√a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a - b

Pembuktian:

1. √a x √a = √a2 = a

2. ( a + √b) x ( a - √b) = a2 – a √b + a √b - (√b)2 = a2 - b

3 (√a + √b) x (√a - √b) = (√a )2 - √a . √b + √a . √b - (√b)2 = a – b

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!

1. √5 . √5 2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) 3. (2 + √3) (2 - √3)

4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)

Jawab:

1. √5 . √5 = 5 2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) = 8 – 2 = 6

3. (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1 4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33

Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?

1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).

2. Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang

dapat merasionalkan penyebut.

Perhatikan bentuk-bentuk berikut!

1. a = a . 1 2. √a . √b = 1 √ab √b √b √b √b b = a . √b = a √b √b √b b

3. ____a___ = ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___ . 1 √b - √c √b - √c √b + √c √b + √c = ____a___ . √b + √c = ____a___ . √b - √c √b - √c √b + √c √b + √c √b - √c = ____a___ ( √b + √c ) b - c = ____a___ (√b - √c ) b - c

5. √a - √b = √a - √b . 1 √a + √b √a + √b

= √a - √b . √a - √b √a + √b √a - √b

= a + b - 2√ab a - b

Contoh 1

Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !

a. √3 b 5 c 6 d . 5 e. 6 √4 √7 6 + √6 5 - √5 √5 + √2f. 6 g. √8 - √2 h. √6 + √2 √6 - √2 √8 + √2 √6 - √2

Jawab

a. √3 . √4 = √12 = 2 √3 = 1 √3 √4 √4 4 4 2

b 5 . √7 = 5 √7 √7 √7 7

c. 6 . 6 - √6 = 6 ( 6 - √6 ) = 6 ( 6 - √6 ) = 1 ( 6 - √6 ) 6 + √6 6 - √6 36 - 6 30 5

d . 5 . 5 + √5 = 5 (5 + √5) = 5 (5 + √5) = 1 (5 + √5) 5 - √5 5 + √5 25 - 5 20 4

e. 6 . √5 - √2 = 6 ( √5 - √2 ) = 6 ( √5 - √2 ) = 2 ( √5 - √2 ) √5 + √2 √5 - √2 5 - 2 3

f. 6 . √6 + √2 = 6 (√6 + √2) = 6 (√6 + √2) = 2 (√6 + √2) √6 - √2 √6 + √2 6 - 2 3

g. √8 - √2 . √8 - √2 = 8 -4-4+2 = 2 = 1 √8 + √2 √8 - √2 8 - 2 6 3

h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5 √6 - √2 √6 + √2 6 - 2 4 2

Contoh 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini

H G

E F Hitung panjang AG ¡

D C

A B (√7 - √2) cm

Jawab

AG adalah panjang diagonal ruang

AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6 Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm

RANGKUMAN

1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.

2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar

a. a√c + b√c = (a+b)√c

b. a√c - b√c = (a-b)√c

c. b n√ a x d n√ c = bd n √ac

d. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c

e. √ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama

dengan dua.

3. Merasionalkan Penyebut

1. a = 1 2. √a . √b = 1 √ab √b √b √b b = a . √b = a √b √b √b b

3. ____a___ = ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___ . 1 √b - √c √b - √c √b + √c √b + √c = ____a___ . √b + √c = ____a___ . √b - √c √b - √c √b + √c √b + √c √b - √c = ____a___ ( √b + √c ) b - c = ____a___ (√b - √c ) b - c

5. √a - √b = √a - √b . 1 √a + √b √a + √b

= √a - √b . √a - √b √a + √b √a - √b

= a + b - 2√ab a - b

TES KEGIATAN BELAJAR 2Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !

1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !

a. √48 b. √1/75

2. Sederhanakan bentuk berikut !

a. 5√3 + √12 - 2√27 b. 4√3 x 3√6

3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!

a. 3 b. √6 c 5 d. √3 + √2 2 - √3 2√3 + 3√2 √7 + √2 √3 - √2

e. 2√3 + 3 2√3 - 3

4. Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan

luas segitiga tersebut adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya!

5. Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan

panjang diagonal ruang balok tersebut!

Kunci

1. a. 4√3 b. 1 √3 5

2. a. √3 b. 36√2

3. a. 9 b. √3 - √2 c. √7 - √2 d. 7 + 2√6

e. 7 + 4√3

4. (√5 - √3) cm 5. 3√14 cm.

KEGIATAN BELAJAR 3

LOGARITMA

1. Pengertian Logaritma

Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan.

Bentuk an dikenal sebagai bilangan berpangkat. a disebut basis dan n disebut pangkat

atau eksponen. Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an dapat dihitung dan b

disebut numerus. Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui

nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan

24 = 16, didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2 n

= 16.

4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.

Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:alog b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka

dianggap bilangan pokoknya adalah 10.

Contoh:10log 10 = log 10 = 1 dan 10log 100 = log 100 = 2

Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel

dibawah ini!

NO. Bentuk Logaritma Bentuk Pecahan Hasil

1 4log 8 = a 4a = 8 a = 3/2

2 3log 27 = b 3b = 27 a = 3

3 2log 1 = c 64

2c = 1/64 c = -6

4 3log 3√3 = d 3d = 3 3 d = 3/2

5 5log 3√ 5 = e 5e = 3 5 e = 1/5

6 ⅓ Log 81 = f (⅓)f = 81 f = -4

7 1000log √10 = g 1000g = 10 g = 1/6

8 1/49 log 1/ 7 = h (1/49)h = 1/7 H = ¼

2. Sifat-sifat LogaritmaSetelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari

sifat-sifat yang berlaku pada logaritma. Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan

sifat dasar logaritma.

2.1 Logaritma dari perkalian

Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari

masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:alog MN = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = an ↔ alog M = p dan N = aq ↔ alog N = q sehingga MN = ar ↔ alog MN = r

Karena ar = MN, maka alog MN = r = p + q = alog M + alog N ( terbukti )

2.2 Logaritma dari pembagian

Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang

dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

alog(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = an ↔ alog M = p dan N = aq ↔ alog N = q sehingga M:N = ar ↔ alog M : N = r

Karena ar = M : N, maka alog ( M : N ) = r = p - q = alog M - alog N ( terbukti )

2.3 Logaritma dari perpangkatan

Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan

pangkat dengan logaritma bilangan pokok.alog Mp = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0

2.4 Mengubah basis logaritma

Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan

logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut: Mlog N = aLog N

aLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = ap ↔ alog M = p

N = aq ↔ alog N = q

Maka MLOG N = aP log aq = q .aP log a = q .aP log (ap)1/p = q/p = a log N alog M

(terbukti)

2.5. Perpangkatan dengan logaritma

Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:

alog M a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0

Pembuktian:Misal alog M = p ↔ ap = M

Maka = alog M a = ap

= M (terbukti)

Contoh:

1. Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar:

a. log 40 + log 25 b. 2log 4 + 2log 8 c. Jika log 4 = a dan

log 3 = b

tentukan log 48

Jawab.

a. log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2

b. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 x 8) = 2log 32 = 5

c. log 48 = log (4 x 4 x 3) = log 4 + log 4 + log 3 = a + a + b = 2a + b

2. a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, dengan menggunakan sifat logaritma

pembagian

Tentukanlah nilai dari log 1,5

Jawab

log 1,5 = log 3/2 = log 3 – log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761

b. Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai 2log 14 – 2log

7

Jawab

2log 14 – 2log 7 = 2log (14/7) = 2log 2 = 1

3. a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48

Jawab.

a. log 48 = log (24 x 3) = log 24 + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771

= 1,2040 + 0,4771

= 1,6811

4. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai 6log 15!

Jawab. 6log 15 = log 15 = log (3 x 5) = 3log 3 + 3 log 5 = 1 + b = a ( 1 + b)

log 6 log (3 x 2) 3log 3 + 3log 2 1 + 1/a 1 + a

5. Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari

4 log 64 4

Jawab.

4 log 64 4 = 64

RANGKUMAN

Definisi logaritma:alog b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Sifat-sifat logaritma:

1. alog M.N = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

2. alog(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

3. alog Mp = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0

4. Mlog N = aLog N aLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0

alog M5. a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0

6. alog b . b log c . c log d = alog d

7. an

Log bm = m alog b n8. alog 1 = 0

9. alog an = n

10. alog b = 1 blog a

TES KEGIATAN BELAJAR 3

Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b, c , d , atau e pada jawaban yang

paling benar!

1. 4log 64 + 3log 81 – ½log 8 = ....

a. 10 b. 9 c. 7 d. 6 e. 4

2. Jika log 2 = a , maka log 5 = ....

a. a b. 1 + a c. 1 – a d. 3a e. -1

3. Jika log 2 = a , maka log 50 = ....

a. -1 b. 2a c. 3a d. 2a – 1 e. 2 – a

4. 2log 54 =....a. 0,4 b. 0,2 c. 1 d. 5 e. 25

5. Jika log (2x + 6) = 2, maka x = ....

a. 46 b. 47 c. 48 d. 49 e. 50

6. alog (1/b) . blog (1/c) . clog(1/a) =....

a. -1 b. 1 c. 1 d. 1 + abc e. 1 – abc abc

7. Bentuk sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah….

a. 100 b. 10 c. 3 d. 2 e. 1

8. Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log √3 adalah….

a. 4/p b. 2/p c. 1/p d. ½p e. ¼p

9. Nilai dari 3log 1 . 5log 8 . 2log √3 25

a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3

10. Jika 2a = 3 , maka 3log 12 = ....

a. 2 + a b. 2 + a c. 2 + a d. 1 + 1 e. 2 + 1 2 a 1 + a a a

11. Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log 3 = ....

a. ¼p b. ½p c. 1/p d. 2/p e. 4/p

12. Nilai x yang memenuhi dari 5log (0,2) = x adalah....

a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4

13. Nilai x dari 2log 5√8 = x adalah....

a. -5/3 b. -3/5 c. 3/5 d. 5/3 e. 5/2

14. Nilai dari 5log 150 – 5log 24 + 5log 4 = ....

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

15. Jika 7log 2 = a dan 2log 3 = b, maka nilai 6log 98 =….

a. a + 2 b. a + 2 c. a - 2 d. a + 1 e. a + 2 a(1+ b) 1 + ab a(1+b) a(1+b) a(1-b)

KUNCI JAWABAN1. a 6. a 11. b

2. c 7. e 12. b

3. e 8. d 13. c

4. e 9. b 14. d

5. b 10. b 15. a

UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes kegiatan belajar 3 ini. Kemudian

gunakan humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi

kegiatan relajar 3.

Rumus:

Tingkat Penguasaan = Jumlah Jawaban Anda yang benar x 100

15

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

96 - 100 = Tuntas istimewa

86 - 95 = Tuntas baik sekali

81 - 85 = Tuntas baik

75 - 80 = Tuntas cukup

65 - 74 = Tuntas kurang

0 - 64 = Belum tuntas Sangat kurang

Bila tingkat penguasaan Anda mencapai ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan

memahami materi pada kegiatan belajar 3. Hebat!. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda

< 75, maka Anda harus mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.