Februari 2010 · Eksponen (Pangkat) dan Bentuk Akar 1. Bentuk Eksponen Misalkan a adalah bilangan...

Februari 2010

Muhammad Hajarul Aswad A, S.Pd.,M.Si

Februari 2010

Kendari - Sulawesi Tenggara

MATEMATIKA Untuk SMA / MA Jilid I

ww

w.a

swhat

82

.blo

gspo

t.co

m

www.aswhat82.blogspot.com

2 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I

Kata Pengantar

Bismillahirrahmanirrahim

Ide dari tulisan ini yakni menampilkan secara sederhana materi matematika yang

ditemukan di jenjang Sekolah Menengah Atas. Hal ini dilakukan tentu saja tanpa

bermaksud mengurangi hirarki penurunan rumus dari setiap bentuk rumus yang ada. Pokok

bahasan yang dimuat dalam Matematika Untuk SMA/MA Jilid I ini adalah: Eksponen

(pangkat) dan Bentuk Akar, Logaritma, Persamaan dan Fungsi Kuadrat, Logika

Matematika, Trigonometri, Dimensi Tiga, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers, Limit

Fungsi, Diferensial (Turunan), dan Lingkaran.

Dalam tulisan ini, penyusun hanya menampilkan bagian terpenting saja dari setiap

pokok bahasan, mengingat sasaran yang ingin dituju penyusun adalah pembaca bisa

mengetahui garis-garis besar dari setiap pokok bahasan yang ingin dipelajari terlebih

dahulu, baru kemudian mengembangkannya untuk kasus-kasus terntentu. Dengan alasan

itu pula, tulisan ini tidak dapat berdiri sendiri tanpa adanya buku matematika lainnya.

Disamping itu pula, penyusun berasumsi bahwa paling tidak pembaca telah memiliki dasar

berhitung dalam matematika.

Tentu saja hal tersebut menjadi kekurangan dari tulisan ini dan akan segera

diperbaiki untuk penyempurnaan tulisan-tulisan selanjutnya. Untuk itu, dengan senang hati

penyusun bersedia menerima segala bentuk kritik dan saran yang dianggap perlu untuk

menyempurnakan tulisan ini dikemudian hari. Kritik dan saran bisa dialamatkan ke

[email protected] atau bisa melalui website penyusun di

www.aswhat82.blogspot.com atau www.aswhat.multiply.com.

Akhir kata, selamat membaca semoga tulisan ini bisa memberikan masukan dan inspirasi

dalam ber-matematika.

Penyusun

Muhammad Hajarul Aswad A, S.Pd.,M.Si

mailto:[email protected]

http://www.aswhat82.blogspot.com/

http://www.aswhat.multiply.com/



Daftar Isi

Halaman

Halaman Sampul ........................................................................................... 1

Kata Pengantar ............................................................................................... 2

Daftar Pustaka ............................................................................................... 3

Eksponen (pangkat) dan Bentuk Akar ........................................................... 4

Logaritma ...................................................................................................... 9

Persamaan dan Fungsi Kuadrat ..................................................................... 12

Logika Matematika ........................................................................................ 17

Trigonometri .................................................................................................. 22

Dimensi Tiga ................................................................................................. 32

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers ............................................................ 36

Limit Fungsi .................................................................................................. 39

Diferensial (Turunan) .................................................................................... 44

Lingkaran ....................................................................................................... 50

Daftar Pustaka ............................................................................................... 54

Biografi Penyusun ......................................................................................... 55



Eksponen (Pangkat) dan Bentuk Akar

1. Bentuk Eksponen

Misalkan a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif, maka

bentuk an (a pangkat n) menyatakan perkalian n faktor yang setiap faktornya adalah a.

Secara umum dapat ditulis:

...n

sebanyak n faktor

a a x a x a x a x x a

Dalam mengoperasikan bilangan berpangkat, perlu diperhatikan sifat-sifat bilangan

berpangkat berikut:

Pangkat Bulat Positif

Misalkan a, b, ∈ ℝ dan m, n adalah bilangan bulat positif

1) am

x an = a

m+n

2) am

: an = a

m-n

3) (am

)n = a

mn

4) (a x b)n = a

n x b

n

5) , 0

n n

n

a ab

b b

Pangkat Nol dan Bulat Negatif

Perhatikan kembali sifat bilangan berpangkat yang ke (b), (am

: an = a

m-n).

Jika diambil m = n maka diperoleh

am

: an = a

m-n

⟺ an : a

n = a

n-n

⟺ 1 = a0

Jadi a0 = 1, untuk a ≠ 0



Selanjutnya, jika diambil m = 0 maka diperoleh

am

: an = a

0-n

⟺ a0 : a

n = a

-n

⟺ 1 : an = a

-n

⟺ 1

na = a

-n

Jadi 1 n

na

a

atau 1 n

na

a , untuk a ≠ 0

Pangkat Rasional

Bilangan pangkat rasional (disebut juga pecahan) adalah bilangan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk m/n dengan ketentuan m,n adalah bilangan bulat, n ≠ 0.

Dengan kata lain, bilangan berpangkat rasional adalah bilangan yang berpangkat

bilangan pecahan.

m

n mna a

2. Bentuk Akar

Bilangan irrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat, dan q ≠ 0. Bilangan-bilangan

32, 5, 4 termasuk dalam bentuk bilangan irrasional karena hasil akar dari bilangan-

bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional. Sedangkan 34, 2,25, 27 bukan

merupakan bilangan irrasional.

Ada beberapa sifat yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan /

menyederhanakan bentuk akar.

Untuk a, b ∈ ℝ, dan c, d ∈ bilangan rasional non negatif.

1) n n naxb a x b

2) a c b c a b c

3) a c b c a b c

4) a x b a xb



5) a a

bb , dengan b ≠ 0

Satu hal yang juga menarik adalah ketika kita menjumpai permasalahan yang berkaitan

dengan merasionalkan bentuk akar. Perhatikan contoh berikut

4

5 3

2

5 24

Mudah bagi kita untuk menyederhanakan bentuk yang terdapat pada contoh yang pertama

yaitu dengan mengalikan bentuk sekawan dari 5 3 , sehingga diperoleh 2 5 3 .

Tetapi, cara tersebut kurang tepat jika diterapkan untuk contoh yang kedua. Sebelum kita

menjawab itu, terlebih dahulu perhatikan hal berikut,

Untuk bentuk 2 .a b a b , dapat diubah menjadi bentuk a b dengan syarat a,b ∈

ℝ dan a > b.

Bukti:

2

2 . 2a b a a b b a b ab

2a b a b ab

Jadi 2a b ab a b

Dengan demikian, untuk menyelesaikan contoh yang kedua, terlebih dahulu kita mengkonversi

bentuknya ke dalam bentuk 2 .a b a b , sehingga diperoleh

2 2 2 2

3 25 24 5 2 6 3 2 2 3 2x

Selanjutnya, tinggal diselesaikan dengan mengalikan bentuk sekawan dari 3 2 sehingga

diperoleh 2 3 2 .



3. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen dalam varibel x merupakan suatu persamaan yang

eksponennya paling sedikit memuat suatu fungsi. Berikut beberapa hal yang perlu

diperhatikan dalam menyelesaiakn soal dalam bentuk persamaan eksponen.

1) Jika af(x)

= ap (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p

2) Jika af(x)

= ag(x)

(a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = g(x)

3) Jika af(x)

= bf(x)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 0, dan a ≠ b), maka f(x) = 0.

4) Jika h(x)f(x)

= h(x)g(x)

, maka kemumngkinannya adalah

a. f(x) = g(x)

b. h(x) = 1

c. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.

d. h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau f(x) dan g(x) keduanya genap.

5) Jika f(x)h(x)

= g(x)h(x)

, maka kemumngkinannya adalah

a. f(x) = g(x)

b. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ≠ 0.

4. Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan Real x menjadi

ax. Bentuk umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut:

f(x) = ax, dengan a > 0, a ≠ 0, dan x ∈ ℝ

Bilangan a disebut bilangan pokok atau basis. Karena a > 0, maka nilai fungsi f(x) = ax

selalu positif atau dengan kata lain bentuk letak grafik fungsinya selalu berada di atas

sumbu X.



Berikut grafik fungsi eksponen untuk y = ax dan y = (1/a)

x.

Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa kurva y = ax dan y = (1/a)

x simetri terhadap

sumbu Y dan berpotongan di titik (0,1).

5. Pertidaksamaan Eksponen

Secara umum, dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan, terlebih dahulu tanda

ketaksamaan (<, >, ≤, ≥, dan ≠) dirubah menjadi kesamaan (=). Selanjutnya ditemukan

variabelnya. Dan yang terakhir adalah yang paling penting, yaitu menguji varibel yang

ditemukan dengan menggunakan garis bilangan, apakah sudah menyebabkan

pertidaksamaan yang dimaksud menjadi suatu kalimat matematika yang bernilai benar.

Untuk pertidaksamaan eksponen, jika af(x)

> ag(x)

maka

1. f(x) > g(x), untuk a > 1

2. f(x) < g(x), untuk 0 < a < 1.

y =1

x

a

y = a

x



Logaritma

Logaritma merupakan invers dari bilangan berpangkat atau eksponen, sehingga

antara eksponen dan logaritma mempunyai hubungan seperti berikut

ax = b ⟺

alog b, untuk b > 0, a > 0, dan a ≠ 1

dengan a disebut bilangan pokok

b disebut numerus

x disebut hasil logaritma

Untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan logaritma, tidak ada acara lain selain

menguasai terlebih dahulu sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.

1. log a.b = log a + log b

2. log log loga

a bb

3. alog b .

blog c =

alog c

4. log an = n. log a

5.

11

log log logn a ana b b bn

6. log logn k aka b b

n

7. loga ba b

8. log 1

loglog log

a

b

bb

a a

9. log1 0a sebab a0 = 1

10. log 1a a sebab a1 = a.

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma dalam x adalah persamaan yang mengandung fungsi x

dibawah tanda logaritma atau fungsi x sebagai bilangan pokok suatu logaritma.



Sifat-sifat yang berlaku pada persamaan logaritma

1. Jika alog f(x) =

alog p, maka f(x) = p, untuk f(x) > 0.

2. Jika alog f(x) =

blog f(x), dengan (a ≠ b), maka f(x) = 1.

3. Jika alog f(x) =

alog g(x), maka f(x) = g(x), untuk f(x) dan g(x) keduanya bernilai

positif.

4. Jika h(x)

log f(x) = h(x)

log g(x), maka f(x) = g(x), untuk f(x) dan g(x) keduanya

bernilai positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.

5. Jika f(x)

log h(x) = g(x)

log h(x), maka kemungkinannya adalah:

a. f(x) = g(x) untuk h(x) = 1, f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0 dan g(x) ≠ 1.

b. f(x) = g(x) untuk h(x) ≠ 1, dan h(x) > 0.

Grafik Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen.

Jika x > 0, a > 0, dan a ≠ 1, maka

y = alog x ⟺ x = a

y

fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dapat ditulis dalam bentuk

f : x ⟶ alog x atau y = f(x) =

alog x

Grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok a > 1

Fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik,

sebab untuk x2 > x1 maka alog x2 >

alog x1.



Grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok 0 < a < 1.

Fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton

turun, sebab untuk x2 > x1 maka alog x2 <

alog x1.

Cara Smart

Ada beberapa cara cepat yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan soal dalam

bentuk bilangan berpangkat. Tetapi, perlu berhati-hati dalam penggunaannya karena cara

ini tidak berlaku untuk semua kasus. Melainkan untuk kasus-kasus tertentu yang memiliki

bentuk/model yang sama dengan cara cepat yang akan diterapkan.

Berikut beberapa bentuk cara cepat yang bisa diterapkan

Jika a. (px)2 – b.p

x + c = 0, maka 1 2 logp c

x xa

Jika a. plog

2x + b.

plog x + c = 0, maka

1 2.

b

ax x p

Jika a.Q + x

+ a.P - x

= K maka x1 + x2 = P – Q

Jika a.Q + nx

+ a.P - nx

= K maka 1 2

P Qx x

n

Jika a.x – a

-x = p maka (a

x)2 – (a

-x)2 = p

2 + 2

Selain itu pula, hafalkan nilai logaritma berikut

Log 1 = 0

Log 2 = 0,3010

Log 3 = 0,4771

Log 5 = 0,6989

Log 7 = 0.8451

Untuk menentukan nilai logaritma yang lain, gunakan sifat-sifat logaritma.



Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan yang pangkat tertinggi

variabelnya bernilai 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c = 0, untuk a ≠ 0, dan a, b, c ∈ ℝ.

Dengan x merupakan variabel dari persamaan kuadrat

a merupakan koefisien x2

b merupakan koefisien x

c merupakan konstanta

1. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Memfaktorkan

Bentuk ax2 + bx + c = 0 diuraikan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0, dengan x1 dan x2

merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang dimaksud.

Pemfaktoran persamaan kuadrat untuk a = 1 dapat dilakukan dengan cara mencari dua

buah angka yang jika dikalikan hasilnya adalah c, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah

b. Sementara untuk nilai a yang lain, dapat dilakukan coba-coba.

Menggunakan Rumus ABC

Cara ini umumnya digunakan jika mengalami kesulitan dalam menerapkan

pemfaktoran. Adapun rumus ABC yang dimaksud adalah

2

1,2

4

2

b b acx

a

, dengan a ≠ 0.

Nilai b2 – 4ac disebut dengan diskriminan, ditulis D.

Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan (x1 ≠ x1)

Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama (x1 = x1).

Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (imajiner).



Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Cara lain dalam menyelesaikan bentuk persamaan kuadrat adalah dengan

melengkapkan kuadrat sempurna. Cara ini umumnya kurang populer dibandingkan

dengan pemfaktoran dan menggunakan rumus ABC, karena hanya dapat digunakan

pada bentuk kuadrat dengan nilai a tertentu. Bentuk umum dari persamaan kuadrat

yang berbentuk kuadrat sempurna adalah

(x + p)2 = q, dengan q > 0

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

dengan a ≠ 0, dapat dicari tanpa terlebih dahulu menemukan akar-akarnya.

1 2

bx x

a

1 2.

cx x

a

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat variabel tertingginya adalah dua.

Bentuk umumnya adalah

y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, dan a, b, c ∈ ℝ.

1. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Sedangkan jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Misalnya grafik fungsi kuadrat tampak seperti pada gambar berikut



A adalah titik potong kurva terhadap sumbu-y

B dan C adalah titik potong kurva terhadap

sumbu-x.

P adalah titik puncak.

L adalah sumbu sinetri.

Berikut dibarikan ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya.

Sumbu simetri 2

bx

a

Puncak , ,2 4 2 2

b D b bf

a a a a

a > 0, grafik terbuka ke atas

a < 0, grafik terbuka ke bawah

Tanda b dikaitkan dengan tanda a.

Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak di sebelah kiri sumbu y.

Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak di sebelah kanan sumbu y.

c > 0 jika grafik memotong sumbu y positif

c < 0 jika grafik memotong sumbu y negatif

c = 0 jika grafik melalui titik (0,0)

D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

D = 0, grafik menyinggung sumbu x.

D < 0, grafik tidak memotong sumbu x.

2. Titik-Titik Potong terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat

Titik potong terhadapa sumbu-x; Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x jika y

= 0. Sehingga koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) dan (x2, 0). Titik potong terhadap

sumbu-y; Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y jika x = 0. Sehingga koordinat titik

potongnya adalah (0, c).



3. Titik Puncak / Titik Balik dan Sumbu Simetri

Bentuk y = ax2 + bx + c dapat ditulis menjadi

2 2 4

2 4

b b acy a x

a a

.

x disebut sumbu simetri (penyebab ekstrim), sedangkan y disebut nilai ekstrim.

Jika a > 0, maka yeks = ymin

Jika a < 0, maka yeks = ymax

Titik puncak parabola adalah

2 4,

2 4

b b ac

a a

Jika a > 0, maka titik puncak adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.

Jika a < 0, maka titik puncak adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

4. Kegunaan Diskriminan pada Fungsi Kuadrat

Letak grafik terhadap sumbu-x dapat dilihat dari nilai diskriminannya. Perhatikan

grafik berikut

Berdasarkan grafik tersebut dapat dikatakan bahwa, nilai a menentukan arah kurva,

sementara nilai D menentukan letak kurva terhadap sumbu-x.



5. Menentukan Persamaan Kurva dari Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan persamaan (rumus) fungsi kuadrat dapat menggunakan rumus

berikut:

f(x) = ax2 + bx + c bila minimal tiga titik yang dilalui diketahui.

f(x) = a(x – x1)(x – x2) bila x1 dan x2 absis titik potong dengan sumbu x dan satu titik

lain diketahui.

f(x) = a(x – p)2 + q bila (p, q) titik puncak dan satu titik lain diketahui.



Logika Matematika

1. Pernyataan (Kalimat Tertutup) dan Kalimat Terbuka

Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinilai dan bernilai

benar saja atau salah saja. Suatu pernyataan biasanya disimbolkan dengan sebuah huruf

kecil, misalnya p, q, r, dan sebagainya.

Misalnya:

p : hari ini matahari bersinar terang

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya

karena mengandung variabel. Suatu alimat terbuka dengan variabel x dilambangkan

dengan p(x), q(x), atau yang lainnya.

Misalnya:

p(x) : 2x + 1 = 5, untuk x ∈ ℝ.

Apabila x diganti dengan 2, maka kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan

yangbernilai benar. Sedangkan jika diganti dengan tidak selain 2, maka kalimatterbuka

tersebut menjadi pernyataan yang bernilai salah.

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari

pernyataan semula sedemikian sehingga jika pernyataan semula bernilai benar, maka

ingkarannya bernilai salah, demikian sebaliknya. Ingkaran dari pernyataan p

diseimbolkan dengan “~p”.

2. Pernyataan Berkuantor

Kuantor artinya pengukur kuantitas atau jumlah. Sehingga pernyataan berkuantor

adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitas atau jumlah seperti kata semua, seluruh,

setiap, terdapat, beberapa, dan sebagainya. Pernyataan berkuantor dibagi menjadi dua

yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.



Kuantor universal disimbolkan dengan “∀” yang artinya untuk setiap atau semua.

Sedangka kuantor eksistensial disimbolkan dengan “∃”, yang artinya ada, beberapa,

terdapat, atau sekurang-kurangnya satu.

Ingkaran pernyataan berkuantor adalah sebagai berikut

Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal

Ingkaran dari pernyataan berkuantor semua p adalah ada / terdapat / beberapa ~p.

Misalkan

p : Semua orang asing berkulit putih

~p : tidak benar bahwa semua orang asing berkulit putih. atau

~p : ada orang asing tidak berkulit putih. atau

~p : beberapa orang asing tidak berkulit putih

Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial

Ingkaran dari pernyataan berkuantor ada / terdapat / beberapa p adalah semua ~p.

Misalkan

p : Ada laki-laki yang tidak berkumis

~p : tidak benar bahwa ada laki-laki yang tidak berkumis. atau

~p : semua laki-laki berkumis

3. Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen, dan Ingkarannya

Peryataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan

tunggal dengan menggunakan kata penghubung dan, atau, jika...maka..., jika dan hanya

jika.

Kata Hubung Logika Lambang Istilah

... dan ... ∧ Konjungsi

... atau ... ∨ Disjungsi

Jika ... maka ... ⇒ Implikasi

... jika dan hanya jika ... ⟺ Biimplikasi

Misalkan pernyataan majemuk terdiri dari dua pernyataan tunggal p dan q. Maka tabel

kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi, adalah sebagaimana yang

terlihat dalam tabel berikut:



p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⟺ q

B B B B B B

B S S B S S

S B S B B S

S S S S B B

4. Tautologi, Kontradiksi, dan Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponen pernyataannya.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai

kebenaran dari komponen-komponen pernyataannya.

Dua pernytaan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk itu

mempunyai nilai kebenaran yang sama. Ekuivalen dua pernyataan majemuk dinotasikan

dengan “≡”.

Perhatikan tabel berikut

p q ~p ~q ~p ∧ q ~p ∨ q p ⟹ q p ∨ (~p ∨ q) p ∧ (~p ∧ q)

B B S S S B B B S

B S S B S S S B S

S B B S B B B B S

S S B B S B B B S

Ekuivalen

↓

tautologi

↓

Kontradiksi

5. Ingkaran Suatu Pernyataan Majemuk

~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q

~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q

~( p ⟹ q ) ≡ p ∧ ~q

~( p ⟺ q ) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi



Dari suatu implikasi, dapat dibentuk suatu implikasi lain yaitu konvers, invers,dan

kontraposisi.

Misalkan, Implikasi : p ⟹ q

Maka Konvers : q ⟹ q

Invers : ~p ⟹ ~q

Kontraposisi : ~q ⟹ ~p

7. Penarikan Kesimpulan

Dalam penarikan suatu kesimpulan / konklusi, diperlukan beberapa pernyataan

(premis). Apabila premis-premisnya bernilai benar, maka kesimpulan / konklusinya juga

bernilai benar (sah). Atau dengan kata lain, penarikan kesimpulan dari beberapa

pernyataan dikatakan sah atau valid jika pernyataan yang dimaksud bersifat tautologi.

P1 : (B) Premis 1

P2 : (B) Premis 2

...

Pk : (B) Premis-k

∴ Kesimpulan (B) Kesimpulan / konklusi

Ada tiga pola penarikan kesimpulan yang selalu digunakan.

1. Modus Ponens

P1 : p ⟹ q (B) Premis 1

P2 : p (B) Premis 2

∴ q (B) Kesimpulan / konklusi

2. Modus Tollens


P2 : ~q (B) Premis 2

∴ ~p (B) Kesimpulan / konklusi



3. Silogisme


P2 : q ⟹ r (B) Premis 2

∴ p ⟹ r (B) Kesimpulan / konklusi



Trigonometri

Trigonometri berasal dari dua kata Yunani yaitu Trigonos yang berarti segitiga

dan Metron yang berarti ukuran.

1. Perbandingan Trigonometri

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut

Berdasarkan segitiga ABC tersebut, maka diperoleh perbandingan trigonometri sudut A

= α0 sebagai berikut:

0 0

0 0

0 0

sin cos

cos sec

tan cot

a cec

c a

b c

c b

a ban

b a

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Sumubu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang sama

yang disebut kuadran. Perhatikan gambar berikut



Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Pertama (90 – α)0

sin (90 – α)0 = cos α

0 cotan (90 – α)

0 = tan α

0

cos (90 – α)0 = sin α

0 sec (90 – α)

0 = cosec α

0

tan (90 – α)0 = cotan α

0 cosec (90 – α)

0 = sec α

0

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Kedua (180 – α)0

sin (180 – α)0 = sin α

0 cosec (180 – α)

0 = cosec α

0

cos (180 – α)0 = - cos α

0 sec (180 – α)

0 = - sec α

0

tan (180 – α)0 = - tan α

0 cotan (180 – α)

0 = - cotan α

0

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Ketiga (180 + α)0

sin (180 + α)0 = - sin α

0 cosec (180 + α)

0 = - cosec α

0

cos (180 + α)0 = - cos α

0 sec (180 + α)

0 = - sec α

0

tan (180 + α)0 = tan α

0 cotan (180 + α)

0 = cotan α

0

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Keempat (360 – α)0 atau (- α)

0

sin (360 – α)0 = - sin α

0 cosec (360 – α)

0 = - cosec α

0

cos (360 – α)0 = cos α

0 sec (360 – α)

0 = sec α

0

tan (360 – α)0 = - tan α

0 cotan (360 – α)

0 = - cotan α

0

atau

sin (- α)0 = - sin α

0 cosec (- α)

0 = - cosec α

0

cos (- α)0 = cos α

0 sec (- α)

0 = sec α

0

tan (- α)0 = - tan α

0 cotan (- α)

0 = - cotan α

0

Perbandingan Trigonometri untuk Sudut yang Lebih dari 3600.

sin (α + n.360)0 = sin α

0 cosec (α + n.360)

0 = cosec α

0

cos (α + n.360)0 = cos α

0 sec (α + n.360)

0 = sec α

0

tan (α + n.360)0 = tan α

0 cotan (α + n.360)

0 = cotan α

0



Cara smart

Sudut relasi

Hafalkan nilai dari sudut-sudut istimewa berikut

0 30 45 60 90

Sin ∝ 0 1

2

12

2

13

2

1

Cos ∝ 1 13

2

12

2

1

2

0

Tan ∝ 0 1

3

1 3 Tak

terdefinisi

Untuk menentukan sudut yang lain, gunakan aturan sudut relasi.

Hubungan Perbandingan Trigonometri

Hubungan Antara Perbandingan-Perbandingan Trigonometri

00 0

0 0

00 0

0 0

0

0

1 sinsin tan

cos cos

1 coscos cot

sec sin

1tan

cot

ec

an

an

f(n.90 ± ∝)

n genap

Fungsi tetap: sin → sin, cos → cos, tan → tan

tanda (+) atau (-) sesuai dengan kuadran fungsi awal

n ganjil

Fungsi berubah: sin → cos, cos → sin, tan → cotan

tanda (+) atau (-) sesuai dengan kuadran fungsi awal



Identitas Trigonometri

cos2α + sin

2α = 1

1 + tan2α = sec

2α

1 + cotan2α = cosec

2α

2. Satuan Ukuran Sudut

Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam satuan sudut. Namun yang biasa

digunakan adalah derajat dan radian.

Sudut 1 putaran = 3600 = 2π radian

Sudut 1/2 putaran = 1800 = π radian

3. Koordinat Kutub (Polar)

Letak suatu titik pada bidang X-Y dapat disajikan dalam koordinat cartesius, yaitu

(x,y), atau dalam koordinat kutub yaitu (r, α0). Perhatikan gambar berikut:

Letak suatu titik P dalam koordinat Cartesius dapat diubah ke dalam koordinat kutub atau

sebaliknya sebagaimana penjelasan berikut:

Dari titik P(x,y) menjadi P(r, α0)

2 2r x y

2 y

x

Dari titik P(r, α0) menjadi P(x,y)

x = r cos α0

y = r sin α0



4. Rumus-Rumus Segitiga Dalam Trigonometri

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Pada segitiga ABC sebarang berlaku aturan sinus dan cosinus sebagai berikut

Aturan Sinus

sin sin sin

a b c

A B C

Aturan Cosinus

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A

b2 = a

2 + c

2 – 2ac cos B

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos C

Luas Segitiga

Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit (sisi-sudut-sisi)

1sin

2L ab C

1sin

2L ac B

1sin

2L bc A

Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi

2 sin sin

2sin

a B CL

A

2 sin sin

2sin

b A CL

B

2 sin sin

2sin

c A BL

C

Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya

L s s a s b s c

dengan 1

2s a b c



Luas segi banyak (segi-n) beraturan

Segi empat beraturan Segi lima beraturan Segi enam beraturan

21 360sin

2

o

segi nL n Rn

dengan : n = banyaknya sisi pada segi banyak beraturan

R = panjang kaki segitiga sama kaki pembentuk segi-n beraturan

Lingkaran Dalam, Lingkaran Luar, dan Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran Dalam Segitiga

Jari-jari lingkaran dalam (rd) ∆ ABC yang

sisi-sisinya a, b, c dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus

d

s a s b s cLr

s s

atau

1

tan2

dr s a A

1

tan2

dr s b B

1

tan2

dr s c C



Lingkaran Luar Segitiga

Jari-jari lingkaran luar (rl) ∆ ABC yang sisi-

sisinya a, b, c dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus

2sin 2sin 2sin

l

a b cr

A B C

atau

4 4

l

abc abcr

L s s a s b s c

Lingkaran Singgung Segitiga

Jari-jari lingkaran singgung ∆ ABC yang panjang sisi-sisinya a, b, c dapat

ditentukan dengan menggunakan rumus

1

tan2

ar s A

a

s s a s b s cLr

s a s a

1

tan2

br s B

b

s s a s b s cLr

s b s b

1

tan2

cr s C

c

s s a s b s cLr

s c s c



dengan 1

2s a b c

5. Rumus-Rumus Trignometri

Rumus Trgigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

tan tan

tan1 tan tan

tan tan

tan1 tan tan

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2α – sin

2α

= 2 cos2α – 1

= 1 - 2 sin2α

2

2 tantan 2

1 tan

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α

cos 3α = 4 cos3α – 3 cos α

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

1

sin cos sin sin2

1

cos sin sin sin2

1

cos cos cos cos2

1

sin sin cos cos2



Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

1 1

sin sin 2sin cos2 2

1 1

sin sin 2cos sin2 2

1 1

cos cos 2cos cos2 2

1 1

cos cos 2sin sin2 2

6. Fungsi Trignometri

Grafik Fungsi Sinus

Ciri-ciri grafik fungsi y = sin x

Nilai maksimum = 1, dan minimum =-

1

Amplitudo = ½ (nilai maks-nilai min)

= 1

Periode sebesar 2π radian

Periodisitas fungsi sin (x + k.2π) = sin

x, dengan k ∈ bil. bulat

Grafik Fungsi Cosinus

Ciri-ciri grafik fungsi y = cos x

Nilai maksimum = 1, dan minimum =-

1

Amplitudo = ½ (nilai maks-nilai min) =

1

Periode sebesar 2π radian

Periodisitas fungsi cos (x + k.2π) = cos




Grafik Fungsi Tangens

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x

Nilai maksimum = +~, dan minimum =

-~

Periode sebesar π radian

Periodisitas fungsi tan (x + k. π) = tan


7. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Rumus-rumus dasar persamaan trigonometri adalah sebagai berikut

sin x = sin α

x1 = α + k . 360o atau x2 = (180

o – α) + k . 360

o

cos x = cos α

x = ±α + k . 360o

tan x = tan α

x = α + k . 180o

dengan k ∈ bilangan bulat



Dimensi Tiga

1. Bangun Ruang

Bangun dimensi tiga yang akan dibahas dalam bab ini adalah bangun dimensi tiga

berbentuk Kubus, Balok, Limas, Kerucut, dan Bola. Untuk selanjutnya, bangun dimensi

tiga disebut bangun ruang.

Kubus

Misalkan kubus ABCD.EFGH di samping memiliki

panjang rusuk a. maka

Panjang diagonal bidang = 2a

Panjang diagonal ruang = 3a

Volume kubus = a3

Luas permukaan kubus = 6 x luas ABCD = 6a2

Balok

Balok ABCD.EFGH di samping memiliki panjang

p, lebar l, dan tinggi t. Maka

Volume balok = p x l x t

Luas permukaan balok = 2 (p.l + l.t + p.t)



Limas

Limas segi-3 Limas segi-4 Limas segi-5

Volume limas = 1

3 x Luas alas x tinggi

Luas permukaan limas = Luas alas + luas bidang/sisi tegak

Kerucut

Kerucut di samping mempunyai jari-jari r, tinggi t, dan

panjang garis pelukis s.

s2 = r

2 + t

2

Volume kerucut = 21

3r t

Luas permukaan kerucut = π r2 + π rs



Bola

Bola di samping mempunyai jari-jari r.

Volume bola = 34

3r

Luas permukaan bola = 4π r2

2. Jarak pada Bangun Ruang

Jarak Antara Dua Titik

Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB yang ditentukan

dengan menggunakan teorema Pythagoras

2 2AB x y

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik A terhadap garis g pada bidang ∝ adalah

sebanding dengan garis lurus AB yang memotong tegak

lurus di g.



Titik A terletak di luar bidang ∝.

Jarak titik A terhadap garis g yang tidak terletak pada

satu bidang adalah sama dengan jarak garis AC, dimana

AB tegak lurus terhadap bidang ∝, dan BC tegak lurus

terhadap garis g.

Jarak Antara Dua Titik

Titik A terletak di luar bidang ∝. Jarak titik A

terhadap bidang ∝ adalah sama dengan jarak garis AB

yang tegak lurus terhadap bidang ∝.



Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi atau pemetaan dari himpuan A ke himpunan B merupakan relasi khusus

yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Misalkan f adalah suatu

fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dinotasikan dengan :

f : A → B

pada fungsi f : A → B, himpuan A disebut daerah asal (domain) fungsi f yang dinotasikan

dengan Df, himpuan B disebut daerah kawan (kodomain) fungsi f yang dinotasikan dengan

Kf, dan himpuan semua pemetaan A pada B disebut daerah hasil (range) fungsi f yang

dinotasikan dengan Rf.

1. Fungsi Komposisi

Apabila f suatu fungsi dari A ke B (f : A → B) dan g suatu fungsi dari C ke D (g :

C → D), maka terdapat h yang merupakan fungsi dari A ke C (h : A → C) yang disebut

fungsi komposisi yang iasa dinyatakn dengan h = g o f (dibaca g bundaran f). Perhatikan

gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas, diperoleh urutan fungsi komposisi h yaitu

h = g o f atau h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))



2. Fungsi Invers

Apabila f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers

fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Hal ini berarti invers suatu

fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka

invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula. Fungsi f mempunyai fungsi

invers f-1

jika dan hanya jika f merupakan fungsi korespondensi satu-satu.

Beberapa cara cepat yang bisa diterapkan untuk memperoleh invers dari suatu fungsi

adalah sebagai berikut

Jika ( )f x ax b maka 1 x bf x

a

Jika 2( )f x ax bx c maka 1 1

4 2

D bf x x

a a a

Jika ( )ax b

f xcx d

maka 1 dx b

f xcx a

Jika ( ) bxf x a maka 1

1 loga bf x x

3. Tinjauan Grafik

Fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah fungsi bijektif (korespondensi satu-

satu). Dalam bentuk kurva, fungsi bijektif dapat diketahui dengan cara menarik garis-garis

yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y. Apabila kedua garis itu hanya memotong

kurva di satu titik, maka fungsi dari kurva tersebut mempunyai invers. Apabila kedua garis

itu memotong kurva di dua titik atau lebih, maka fungsi kurva tersebut tidak mempunyai

invers. Perhatikan gambar berikut

Memotong kurva di tiga titik Memotong kurva di satu titik



4. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

Rumus fungsi invers dari fungsi komposisi yang lain adalah

(g o f)-1

= f-1

o g-1

(f o g o h)-1

= h-1

o g-1

o f-1



Limit Fungsi

Secara intuisi, limx a

f x L

berarti bahwa jika x mendekati a dengan x ≠ a, maka

f(x) mendekati L.

1. Limit fungsi f(x) untuk x → a, (a ≠ 0)

Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → a, (a ≠ 0) dapat dilakukan melalui tiga

cara yaitu subtitusi langsung, pemfaktoran, dan rasionalisasi bentuk akar.

Jika dengan subtitusi langsung dihasilkan bentuk tak tentu 0

0

maka perhitungan limit

dilakukan dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk akar.

2. Limit fungsi f(x) untuk x → 0

Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → 0 sama halnya dengan perhitungan limit

fungsi f(x) untuk x → a, (a ≠ 0).

3. Limit fungsi f(x) untuk x → ~

Cara subtitusi langsung tidak dapat diterapkan pada perhitungan limit fungsi f(x)

untuk x → ~ yang berbentuk

~limx

f x

g x Karena jika disubtitusi langsung, akan

menghasilkan bentuk tak tentu

. Untuk itu, perhitungannya dilakukan dengan cara

membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan xn dimana n adalah pangkat tertinggi

dari g(x).

Sementara untuk limit fungsi yang berbentuk ~

limx

f x g x

jika

dilakukan subtitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu (~ - ~). Untuk itu,



perhitungannya dilakukan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu

f x g x

f x g x

.

4. Teorema Limit

Terdapat beberapa teorema limit yang harus diperhatikan diantaranya :

Jika f(x) = k maka limx a

f x k

, (untuk setiap k konstan, dan a bilangan real)

Jika f(x) = x maka limx a

f x a

, untuk f(x) = k. (untuk setiap a bilangan real)

lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x

.

lim . .limx a x a

k f x k f x

, untuk k konstan.

lim . lim . limx a x a x a

f x g x f x g x

limlim

lim

x a

x a

x a

f xf x

g x g x

, dengan lim 0x a

g x

lim limn

n

x a x af x f x

lim limn nx a x a

f x f x

, dengan lim 0x a

f x

atau

1

1

lim limn

n

x a x af x f x

5. Limit Fungsi Trigonometri

Secara umum, rumus-rumus limit fungsi trigonometri yang sering digunakan

adalah

0 0 0

sin sinlim lim lim

sin sinx x x

ax ax ax a

bx bx bx b

0 0 0

tan tanlim lim lim

tan tanx x x

ax ax ax a

bx bx bx b



0 0

sin tanlim lim

tan sinx x

ax ax a

bx bx b

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi pada limit fungsi

trigonometri adalah

cos x = sin (900 – x)

cos2ax + sin

2ax = 1

1 1

sin 2sin cos2 2

ax ax ax

2 1cos 1 2sin

2ax ax

2

2 2

12cos 1

2

1 1cos sin

2 2

ax

ax ax

6. Teorema L’Hospital

Dalam menentukan nilai

limx a

f x

g x yang menghasilkan bentuk tak tentu

0

0

,

dapat digunakan teorema L’Hospital yaitu

'lim lim

'x a x a

f x f x

g x g x

Apabila

'lim

'x a

f x

g x juga menghasilkan bentuk tak tentu

0

0

, maka nilai

limx a

f x

g x dapat

ditentukan dari turunan kedua, yaitu

"lim lim

"x a x a

f x f x

g x g x



Cara Smart

Beberapa cara smart yang bisa diterapkan untuk bentuk-bentuk limit tertentu diantaranya:

Misalkan 1

1~

...lim

...

m m

n nx

ax bxL

px qx

Jika m < n, maka L = 0

Jika m = n, maka a

Lp

Jika m > n, maka ~ untuk 0

~ untuk 0

aL

a

Misalkan 2 2

~limx

ax bx c px qx r L

Jika a < p, maka L = - ~

Jika a = p, maka 2

b qL

a

Jika a > p, maka L = ~

Untuk menyelesaikan soal dalam bentuk limit, gunakan aturan L’Hospital.

Perhatikan contoh berikut

i.

2

0

1.2

1 2cos 2 22lim5 tan 5.1 5x

x

x x

ii.

2

2 20

15. .6sin 5 1 cos6 102lim

77 tan 3 7.3x

x x

x x

Yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan bentuk limit dengan cara ini adalah

bahwa setiap bentuk f(x) dan g(x) dari

0limx

f x

f x harus dalam bentuk operasi perkalian

atau dalam bentuk f(x) pada contoh i. Jika tidak maka bentuk yang ada, terlebih dahulu

dikonversi ke dalam bentuk perkalian atau sebagaimana yang terlihat pada contoh i dan

ii. Rumus trigonometri yang biasa digunakan adalah

2 2sin cos 1x x

21 cos2 2sinx x

1 1

cos cos 2cos cos2 2

x y x y x y



1 1cos cos 2sin sin

2 2

1 1sin sin 2sin cos

2 2

1 1sin sin 2cos sin

2 2

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y



Diferensial (Turunan)

1. Pendahuluan

Suatu f(x) dikatakan diferensiable pada x = a jika

0' lim

h

f a h f af a

h

Perhatikan gambar berikut

2. Turunan Fungsi Aljabar

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut

Jika f(x) = k maka f '(x) = 0

Jika f(x) = k.u(x) maka f '(x) = k . u'(x), untuk k konstan

Jika f(x) = xn maka f '(x) = n x

n-1

Jika f(x) = u(x) ± v(x) maka f '(x) = u'(x) ± v'(x)

Jika f(x) = u(x) . v(x) maka f '(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

Jika f(x) = {u(x)}n maka f '(x) = n [u(x)]

n-1 . u'(x)

Jika

, 0

u xf x v x

v x maka

2

' . . ''

u x v x u x v xf x

v x



3. Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut

Jika f(x) = sin x maka f '(x) = cos x

Jika f(x) = cos x maka f '(x) = - sin x

Jika f(x) = tan x maka f '(x) = sec2x =

2

1

cos x

4. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial

Rumus-rumus turunan fungsi logaritma dan eksponensial adalah sebagai berikut

Jika f(x) = ln x maka f '(x) = 1

. 'xx

Jika f(x) = alog x maka f '(x) =

1. '

lnx

x a

Jika f(x) = ex maka f '(x) = e

x . x'

Jika f(x) = ax maka f '(x) = a

x ln a. x'

5. Persamaan Garis Singgung pada Kurva


suatu titik P(x1, y1) terletak pada kurva y = f(x), maka persamaan garis yang melalui titik

tersebut adalah

y – y1 = m1 (x – x1)



dengan gradien garis singgung m1 = f '(x1) atau 1

1

dym

x xdx

. Garis yang tegak lurus

garis singgung dan melalui titik P(x1, y1) disebut garis normal. Garis normal juga tegak

lurus terhadap kurva y = f(x).

Karena garis normal tegak lurus terhadap garis singgung (sarat dua garis yang tegak lurus

adalah: m1 . m2 = -1, sedagkan sarat dua garis sejajar adalah: m1 = m2), maka persamaan

garis normal yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m2 adalah

y – y1 = m2 (x – x1)

= 1

1

1x x

m

6. Fungsi Naik dan Fungsi Turun


Misalkan grafik suatu fungsi y = f(x) seperti terlihat pada gambar tersebut di atas. Maka

dapat dikatakan bahwa:

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi naik untuk nilai-nilai x dalam interval x > a, sebab

dalam interval x > a,untuk nilai x yang semakin besar maka fungsi f(x) juga semakin

besar.

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi turun untuk nilai-nilai x dalam interval x < a, sebab

dalam interval x < a,untuk nilai x yang semakin besar maka fungsi f(x) semakin kecil.

Berdasarkan hal tersebut, maka dapat didefinisikan sebagai berikut

Misalkan fungsi f(x) tersefinisi dalam interval I.

Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2

dalam interval I dengan x1 < x2, berlaku hubungan f(x1) < f(x2), atau ditulis

x1 < x2 ⟹ f(x1) < f(x2)



Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2

dalam interval I dengan x1 < x2, berlaku hubungan f(x1) > f(x2), atau ditulis

x1 < x2 ⟹ f(x1) > f(x2)

misalkan fungsi f kontinu dalam interval I dan diferensiabel di setiap titik dalam interval

tersebut, maka

Jika f '(x) > 0 untuk x ∈ I, maka fungsi f(x) naik pada I.

Jika f '(x) < 0 untuk x ∈ I, maka fungsi f(x) turun pada I.

Jika f '(x) = 0 untuk x ∈ I, maka fungsi f(x) stasioner pada I.

7. Titik Stasioner dan Jenis-Jenis Nilai Stasioner


Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a dengan f '(a) = 0, maka f(a) adalah titik stasioner

dari fungsi f(x) di x = a.

Berdasarkan gambar tersebut di atas, dapat dikatakan bahwa

Nilai x yang menyebabkan f(x) mempunyai nilai stasioner, dapat ditentukan dari syarat

f '(x) = 0

Titik (a, f(a)) yang terletak pada grafik y = f(x) disebut sebagai titik stasioner.

Niali stasioner sering disebut nilai kritis dan titik stasioner sering disebut sebagai titik

kritis.



Terdapat 3 jenis nilai stasioner yaitu

a. Nilai balik masksimum

Fungsi y = f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a atau f(a) merupakan nilai

balik maksimum jika f '(a -) > 0; f '(a) = 0; dan f '(a

+) < 0. Atau jika f '(a) = 0 dan f ''(a)

< 0.

b. Nilai balik masksimum

Fungsi y = f(x) mencapai nilai balik minimum pada x = a atau f(a) merupakan nilai

balik minimum jika f '(a -) < 0; f '(a) = 0; dan f '(a

+) > 0. Atau jika f '(a) = 0 dan f ''(a)

> 0.

c. Titik belok

Fungsi y = f(x) mempunyai titik belok pada x = a atau f(a) merupakan titik belok jika f

'(a -) < 0; f '(a) = 0; dan f '(a

+) < 0, atau f '(a

-) > 0; f '(a) = 0; dan f '(a

+) > 0, atau jika f

'(a) = 0 dan f ''(a) = 0.

Perhatikan grafik dari ketiga jenis nilai stasioner tersebut

Grafik fungsi dengan nilai maksimum

x a-

a a+

f '(x) + 0 -

Grafik fungsi dengan nilai minimum

x a-

a a+

f '(x) - 0 +



Grafik fungsi dengan titik belok

x a-

a a+

f '(x) - 0 -

x a-

a a+

f '(x) + 0 +



LINGKARAN

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap

sebuah titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari (r) dan titik tertentu itu disebut

pusat lingkaran.

1. Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran ynag Berpusat di titik (0,0)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r dengan titik

P(x,y) terletak pada lingkaran adalah

OP = r

2 2

0 0x y = r

x2 + y

2 = r

2

Persamaan Lingkaran ynag Berpusat di titik (a,b)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r dengan titik

P(x,y) terletak pada lingkaran adalah

OP = r

2 2

x a y b = r

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2



Jika kita menjabarkan kembali persamaan

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2

Maka akan diperoleh

x2 + y

2 + Ax + By + C = 0

dengan A = -2a → 1

2a A

B = -2b → 1

2b B

C = a2 + b

2 – r

2 → 2 21 1

4 4r A B C

Sehingga, secara umum dapat dikatakan bahwa persamaan lingkaran x2 + y

2 + Ax + By

+ C = 0 merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di 1 1

,2 2

A B

, dengan jari-

jari 2 21 1

4 4r A B C .

2. Perpotongan Garis dan Lingkaran

Pandang lingkaran dengan persamaan x2 + y

2 + Ax + By + C = 0 dan sebuah garis

h dengan persamaan y = mx + n. Jika y = mx + n disubtitusikan ke persamaan lingkaran

tersebut, maka diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat baru sebagai berikut

(1 + m2)x

2 + (2mn + A + Bm)x + (n

2 + Bn + C) = 0

Diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah

D = (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m

2) (n

2 + Bn + C)

Sehingga, terdapat tiga kemungkinan hubungan antara garis dengan lingkaran, yaitu

Garis h tidak memotong dan tidak

menyinggung lingakaran jika D < 0

Garis h menyinggung

lingakaran jika D = 0

Garis h memotong

lingakaran jika D > 0



3. Persamaan garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran x2 + y

2 = r

2

ditentukan dengan menggunakan rumus berikut

x1 . x + y1 . y = r2

Persamaan garis singgung melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)

2 = r

2

ditentukan dengan menggunakan rumus berikut

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

Persamaan garis singgung melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran x2 + y

2 + Ax + By + C

= 0 ditentukan dengan menggunakan rumus berikut

1 1 1 1

1 10

2 2x x y y A x x B y y C

Garis Singgung dengan Gradien yang Diketahui

Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x2 + y

2 = r

2 maka persamaan garis

singgungnya adalah

2 1y mx r m

Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran (x – a)2 + (y – b)

2 = r

2 maka

persamaan garis singgungnya adalah

2 1y b m x a r m

Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Dari suatu titik P(x1, y1)di luar lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung.



Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P(x1, y1) yang terletak

di luar lingkaran adalah

y – y1 = m(x – x1)

Nilai m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Subtitusikan persamaan y – y1 = m(x – x1) ke persamaan lingkaran sehingga

diperoleh suatu persamaan kuadrat.

Dengan mengambil nilai D = 0, maka akan diperoleh nilai m.



Daftar Pustaka

Boediono dan Koster, wayan., 2004. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. PT

Remaja Rosdakarya, Bandung.

Cunayah, Cucun, dkk., 2006. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika: untuk

SMA/MA, Penerbit Yrama Widya, Bandung.

Gunawan T.,2000. Matematika SMU Jilid I, II, dan III. Delta Teknik Jakarta, Jakarta.

Juliartawan, I Wayan., 2005. Matematika; Contoh Soal dan Penyelesaiannya. Penerbit

Andi Yogyakarta, Yogyakarta.

Purcell, J. Edwin, dan Varberg, Dale., 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I.

Penerbit Erlangga, Jakarta.



PROFIL PENYUSUN

Muhammad Hajarul Aswad A, S.Pd., M.Si, lahir di

Bau-Bau pada 3 November 1982. Merupakan anak kedua dari enam

bersaudara dari pasangan Drs. Achmad Mustari dan Andi Hasirah.

Jejak pendidikan formal penyusun dimulai dari TK

Bhayangkara Bau-Bau pada tahun 1986. Kemudian melanjutkan

pendidikan ke SD Negeri 2 Bataraguru dan lulus pada tahun 1994.

Pada tahun yang sama, penyusun melanjutkan studi ke SLTP

Negeri 2 Bau-Bau dan lulus pada tahun 1997. Setelah melanjutkan studi ke SMU Negeri 1

Bau-Bau pada tahun yang sama dan lulus pada tahun 2000, penyusun melanjutkan studi ke

Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Haluoleo Kendari melalui jalur SPMB

dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2007, penyusun kembali melanjutkan studi Program

Magister Matematika di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya (ITS) melalui

program Beasiswa dari Departemen Agama, dan pada bulan Oktober 2009 memperoleh

gelar Magister Sains (M.Si). Saat ini penyusun aktif sebagai pengajar di MAN 1 Kendari

dan bimbingan belajar Primagama Kendari.

Februari 2010 · Eksponen (Pangkat) dan Bentuk Akar 1. Bentuk Eksponen Misalkan a adalah bilangan...

Documents

Transcript of Februari 2010 · Eksponen (Pangkat) dan Bentuk Akar 1. Bentuk Eksponen Misalkan a adalah bilangan...