KAJIAN & PENGEMBANGAN SEKOLAH MATEMATIKA II

POKOK BAHASAN

BARISAN & DERET ARITMETIKA MAUPUN GEOMETRI

NAMA : LUSIANA

ACA : ACA 110 025

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PALANGKA RAYA

2012

Barisan dan Deret Aritmetika maupun geometri

A. Barisan Aritmetika atau Barisan Hitung

Brisan Bilangan merupakan urutan bilangan- bilangan dengan

aturan tertentu, atau antara bilangan yang satu dengan bilangan berikutnya

dari suatu barisan mempunyai aturan yang sama. Dan setiap bilangan

pada barisan disebut Suku.

Contoh barisan bilangan:

1, 2, 3, …

Suku pertama : 1

Suku kedua : 2

Suku ketiga : 3, dan seterusnya.

Aturan pembentukannya “tambahkan dua suku sebelumnya”

1 2 3, …

+1 +1

Suku berikutnya didapat dengan cara menambahkan 1 pada suku sebelumnya.

Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya

didapat dari suku sebelumnya yang diperoleh dengan cara menambahkan

atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Atau Barisan Aritmetika

merupakan suatu barisan yang setiap beda antara dua suku yang berurutan

tetap. Sedangkan beda atau yang dilambangkan b merupakan selisih dua

suku yang berurutan.

Perhatikan barisan berikut:

U1,U2,U3, …Un-1,Un.

Dari barisan tersebut dapat diperoleh hubungan sebagai berikut:

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.

.

.

Un = Un-1 + b = a + (n – 2) b + b = a + (n – 1)b

Maka dapat diuraikan sebagai berikut:

U2 = U1 + b → b = U2 – U1

U3 = U2 + b → b = U3 – U2

U4 = U3 + b → b = U4 – U3

.

.

.

Un = Un-1 + b → b = Un– Un-1

Jadi kita dapat menentukan barisan aritmetika itu

naik atau turun

Jika b > 0, maka barisan aritmetika itu naik

Jika b < 0, maka barisan aritmetika itu turun.

Contoh:

1. Tentukan suku ke- 10 (U10) dari barisan aritmetika berikut dan tentukan

jenis barisannya!

3, 5, 7, 9 …

penyelesaian:

Dengan menggunakan beda untuk menentukan suku ke-10 ( U10)

Barisan 3, 5, 7, 9…

Rumus Un = U1 + (n- 1) . b

Maka:

3 5 7 9

U1 = 3 U2 = 5 U3 = 7 U4 = 9

b= U2 - U1 = 2 b= U3- U2 = 2 b= U4 – U3 = 2

beda= b = 2 > 0, maka barisan aritmetikanya merupakan barisan naik.

U10 = U1 + ( 10- 1) . b U10 = 3+ 9 . 2 = 21

Jadi, suku ke- 10 dari barisan tersebut adalah 21.

Un= suku ke n

a/U1= suku pertama

n= jumlah suku

b= beda

2. Tentukan Un dari barisan

2, 5, 8, 11, …

Penyelesaian:

Jawab:

2 5 8 11

3 3 3 selisih tetap = 3

Selisih tetap = b= 3, maka barisan itu merupakan barisan aritmetika, yang

mempunyai:

a= 2 dan b= 3

suku ke- n adalah: Un = a + ( n – 1) . b Un = 2 + ( n- 1 ) . 3

= 2 + 3n – 3 = 3n – 1

Jadi, Un = 3n – 1.

B. Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri barisan perbandingan antara dua suku yang

berurutan itu sama atau juga merupakan barisan bilangan yang suku-

sukunya didapat dari hasil kali suku sebelumnya (tak nol). Sedangkan

rasio adalah bilangan tertentu atau pembanding.

Misalkan barisannya:

U1, U2, U3, …, Un-1, Un, maka:

U1 = a

U2 = U1 . r = ar

U3 = U2 . r = ar2

.

.

.

Un = Un-1 . r = arn-1

Jadi dapat di peroleh:

Kita dapat menentukan nilai rasio atau r dengan menentukan apakah baris

tersebut naik atau turun

1. U1 = r x Un-1 atau r = 𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

2. Un = a x rn-1 Dengan

r = rasio atau

pembanding

n= bilangan asli

a= suku pertama

Apabila:

r > 1, maka geometri naik

0 < r < 1, maka barisan geometri turun.

Contoh:

Tentukanlah suku ke- 8 dari barisan 1

, 1, 3, 9, …

Jawab:

a= 1

; U2 = 1 ; r

1

= 3

U8 = 1

x 3

8-1 =

1

x 3

7 =729

Jadi, suku ke- 8 dari barisan geometri tersebut adalah 729.

C. Deret Aritmetika atau Deret Hitung

Deret bilangan merupakan barisan aritmetika yang ditulis dalam bentuk

U1 + U2 + U3 + … + Un atau bentuk umumnya adalah:

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un Menyatakan deret ke- n

Contoh:

Deret dari barisan 3, 5, 7, …,(2n+1) adalah

Sn = 3 + 5 + 7+ … + (2n+1)

Maka:

S1 = 3 S2 = 3+5= 8 S1 = 3+ 5+7 =

15

Deret Aritmetika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika.

Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 +

…,Un yang merupaka deret aritmatika. Jumlah n suku pertama

disimbolkan dengan Sn.

Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Yang diperolel dariSn = U1 + U2 + U3 + … + Un

dengan U1 = a dan Un = a + (n - 1)b, sehingga dapat ditulis:

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [ a + ( n - 1)b]

Sn = [a + (n – 1)b] + [ a+(n- 2)b] +[a + (n- 3)b]+ … + a

2Sn =[ 2a + (n-1)b] + [2a+ (n-1)b] + [2a+(n-1)b]+ …+[2a+(n-1)b]

Sebanyak n buah

2Sn = n . [2a + (n-1)b]

Jadi, Sn =

[2a+(n-1)b]

Karena Un = a+ (n-1)b maka 2a=(n-1)b = a+ (a+(n-1)b) atau

2a + (n-1)b = a+ Un

Maka, dapat juga ditulis: Sn =

(a + Un)

Contoh:

1. Hitunglah jumlah deret aritmetika 2+ 4+ 6+ … +60

Jawab:

Un = a+ (n-1)b

2+ 4+ 6+ … +60, a= 2,b=2, Un = 60

60= 2 +(n-1)2

60=2+ 2n – 2

60=2n

= n

= n

S30 =

(a + U30) = 15 (2+ 10)= 930

Jadi, jumlah deret aritmetika dari 2+ 4+ 6+ … +60 adalah S30 =930.

D. Deret Geometri atau deret ukur

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.

Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri,

maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret geometri.

U1= a, Un= arn-1

, maka diperoleh:

Sn=a+ar+ar2+ar

3+ …+ar

n-1

rSn= ar+ar2+ar

3+ …+ar

n-1 +ar

n

(1-r)Sn= a+ 0+ 0+ 0+ …+ 0 - arn

= a(1- rn)

Sn = 1−

1− atau Sn=

− −1

− −1 =

−1

−1

Jadi, rumus n suku pertama deret geometri dapat ditentukan oleh:

−1

−1 ; r > 1

Sn=

1−

1− ; r < 1

Contoh:

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret 4+ 8+16+ …

Jawab:

U1 =4; U2 =8; r=

=2; n=8

Sn = −1

−1

= −1

=

1 −

=

1

= 340

DAFTAR PUSTAKA

Siswanto, Tatang Y.E. Netti. L: 2007, Matematika SMP dan MTs untuk

KelasIX.Jakarta:Esis

Sukino. Wison Simangunsong: 2007, Matematika untuk SMP kelas IX, Jakarta:

Erlangga